Este documento describe el cálculo de la densidad de flujo eléctrico y el campo eléctrico en un cable coaxial utilizando la ley de Gauss. Explica que la ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada con la carga eléctrica encerrada. Luego calcula analíticamente la densidad de carga y campo eléctrico en un cable coaxial de TV de 50 cm de longitud usando la ley de Gauss y los parámetros geométricos y de carga del cable.

1. Universidad Técnica Particular de Loja 1
Cálculo de la Densidad de Flujo y
Campo Eléctrico en un Cable Coaxial
José Manuel Castillo, María Alvarado, Jimmy Elizalde, Estudiantes de la Escuela
de Electrónica y Telecomunicaciones.
Resumen— Hemos desarrollado en este trabajo cambio, para la superficie S’’ no hay flujo neto,
una aplicación muy interesante de los ya que no encierra carga.
conocimientos que hemos adquirido acerca de la
ley de Gauss con respecto a distribuciones de
cargas simétricas. Utilizamos un cable coaxial de
antena de TV y mediante las ecuaciones
aprendidas calculamos la densidad de carga en
cada conductor del cable, así como los campos E
y D.
Índice de Términos— Coaxial, Simétrica,
Densidad.
I. INTRODUCCIÓN
Figura 1. Superficies Gaussianas.
a superficie gaussiana para una línea de
L carga finita y uniforme es un cilindro circular
recto de longitud L y radio ρ. El problema de
Finalmente, la carga q4, al no estar encerrada por
ninguna de las superficies, no contribuye en el
cálculo de los flujos totales.
un cable coaxial es muy similar a la de la
línea de carga y es algo complicado de resolver La ley de Gauss establece una relación general
utilizando la ley de Coulomb. Un cable coaxial se entre el flujo (total) a través de una superficie
caracteriza por poseer dos conductores cerrada y la carga encerrada por la misma.
cilíndricos, uno interior y otro exterior, ambos de Lo anterior proporciona una herramienta para el
longitud infinita. Sobre la superficie exterior del cálculo del campo eléctrico debido a una carga o
conductor interior hay una distribución de carga. a una distribución de carga.
Las consideraciones de simetría permitirán Sin embargo, que el campo electrostático debido
observar que sólo está presente la densidad de a una distribución continua de carga siempre
flujo, es por eso que de manera más sencilla se puede encontrarse usando la ley de Coulomb,
emplea la ley de Gauss. aunque el cálculo requerido pueda ser
complicado.
II. LEY DE GAUSS La ley de Gauss es una afirmación general sobre
las propiedades de los campos eléctricos y no
[En física y en análisis matemático, la ley de esta restringida a los campos electrostáticos,
Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una como la ley de Coulomb.
superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada Cuando una distribución de carga tiene
en esta superficie. De esta misma forma, suficiente simetría, la ley de Gauss puede
también relaciona la divergencia del campo proporcionar un camino elegante para determinar
eléctrico con la densidad de carga. el campo electrostático en unos pocos pasos
El flujo neto a través de una superficie cerrada es simples.
proporcional a la carga encerrada. Considerando La ley de Gauss establece que “el flujo neto a
el esquema anexo. El flujo a través de S sólo través de cualquier superficie cerrada encerrando
depende del valor de la carga q1. Similarmente, una carga puntual q está dado por q/e0 y es
el flujo a través de la superficie S’ sólo depende independiente de la forma de dicha superficie”,
de las cargas encerradas, a saber q2 y q3.En es decir que puede escribirse como cuatro
superficies cerradas (S1 a S4), junto con las
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cargas -2Q, Q y -Q se esquematizan en la figura
2. (Las líneas coloreadas representan las
intersecciones de las diferentes superficies con el Á
plano del esquema). donde s es la densidad superficial de carga.
• para una distribución volumétrica (en tres
dimensiones)
donde r es la densidad volumétrica de carga.][1]
Figura 2. Cuatro superficies cerradas gaussianas.
Aplicaciones de la Ley de Gauss III. DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO EN UN
CABLE COAXIAL
Como se mencionó anteriormente, la ley de
Gauss es muy útil para calcular el campo [La densidad de flujo eléctrico D es un campo
eléctrico de una distribución de carga si esta vectorial que pertenece a la clase de campos
presenta suficiente simetría. vectoriales de “densidad de flujo” y distinta de la
Las simetrías más comunes son: clase “campos de fuerza”, en la que se incluye la
intensidad de campo eléctrico E.
• esférica, que corresponde a cargas puntuales
o esféricas. En tal caso, la ley de gauss se La dirección y magnitud del flujo eléctrico D en la
escribe como: región entre un par de esféricas concéntricas
cargadas no son función del dieléctrico colocado
. 4 entre las esferas.
Un condensador cilíndrico esta formado por un
conductor cilíndrico de radio quot;aquot;, densidad de
4
carga uniforme λ y carga + Q , que es
• cilíndrica, que corresponde a distribuciones concéntrico con un cascarón cilíndrico más
lineales o cilíndricas (como alambres). En tal grande de radio quot;bquot; y carga − Q también
caso, la ley de gauss se escribe como: uniformente cargado como se muestra en la
figura 3, estando cada conductor a los
potenciales eléctricos y respectivamente.
. 2
2
Para calcular la carga encerrada, en el caso de
una distribución continua, se usa:
• para una distribución lineal (en una
dimensión):
Figura 3. Condensador cilíndrico.
í
Si se supone que l es grande en comparación con
donde l es la densidad lineal de carga. a y b, pueden despreciarse los efectos en los
extremos. En este caso el campo es
• para una distribución superficial (en dos perpendicular al eje de los cilindros y está
dimensiones): confinado en la región entre ellas. Primero se
calcula la diferencia de potencial entre los dos
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cilindros aplicando, en donde el campo eléctrico IV. CARACTERÍSTICAS DE UN CABLE
es el de la región . COAXIAL
El cilindro circular de longitud L y de radio , [El cable coaxial consiste de un núcleo sólido de
donde , debe elegirse necesariamente cobre rodeado por un aislante, una combinación
como la superficie gaussiana, y con rapidez se de blindaje y alambre de tierra y alguna otra
obtiene: cubierta protectora. En el pasado del cable
coaxial tenía rasgos de transmisión superiores
2 (10 Mbs) que el cable par trenzado, pero ahora
las técnicas de transmisión para el par trenzado
La carga total en una longitud L del conductor igualan o superan los rasgos de transmisión del
interior es: cable coaxial.
2
de lo cual se tiene,
Este resultado puede expresarse en términos de
carga por unidad de longitud, porque el
conductor interior tiene 2 coulombs en cada
metro de longitud, y de aquí, con 2 ,
Figura 4. Partes de un cable coaxial.
2 Sin embargo, el cable coaxial puede conectar
dispositivos a través de distancias más largas que
y la solución tiene una forma idéntica a la que se el cable par trenzado. Mientras que el cable
obtuvo para una línea de carga infinita. Puesto coaxial es más común para redes del tipo
que cada línea de flujo eléctrico que sale de la ETHERNET y ARCENET, el par trenzado y la fibra
carga en el cilindro interior debe terminar en una óptica son más comúnmente utilizados en estos
carga negativa en la superficie interior del días. Los nuevos estándares para cable
cilindro exterior, la carga total en esta superficie estructurado llaman al cable par trenzado capaz
debe ser: de manejar velocidades de transmisión de
100Mbps (10 veces más que el cable coaxial). El
2 cable coaxial no interfiere con señales externas y
puede transportar de forma eficiente señales en
y se encuentra que la carga superficial del un gran ancho de banda con menor atenuación
cilindro exterior es: que un cable normal. Pero tiene una limitación
fundamental: atenúa las altas frecuencias la
2 2 perdida de frecuencia, expresada en decibelios
por unidad de longitud, crece proporcional a la
o raíz cuadrada de la frecuencia de la señal). Por lo
tanto podemos decir que el coaxial tiene una
limitación para transportar señales de alta
frecuencia en largas distancias ya que a partir de
una cierta distancia el ruido superará a la señal.
Tomando en consideración las ecuaciones Esto obliga a usar amplificadores, que introducen
anteriores podemos determinar la intensidad de ruido y aumenta el costo de la red. Se ha venido
campo eléctrico:][2] usando ampliamente desde la aparición de la red
Ethernet. Consiste, básicamente, en un hilo de
2
cobre rodeado por un recubrimiento de aislante
que a su vez esta recubierta por una malla de
alambre. Todo el conjunto está envuelto por un
recubrimiento aislante exterior.
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Se suele suministrar en distintos diámetros, a
mayor diámetro mayor capacidad de datos, pero
también mayor costo. Los conectores resultan
más caros y por tanto la terminación de los
cables hace que los costos de instalación sean
superiores. El cable coaxial tiene la ventaja de
ser muy resistente a interferencias, comparado
con el par trenzado, y por lo tanto, permite
mayores distancias entre dispositivos. Entre
ambos conductores existe un aislamiento de
Figura 5. Cable coaxial.
polietileno compacto o espumoso, denominado
dieléctrico. Finalmente, y de forma externa,
V. CÁLCULOS MATEMATICOS DE UN CABLE
existe una capa aislante compuesta por PVC o
COAXIAL DE ANTENA DE TV.
Policloruro de Vinilo. El material dieléctrico define
la de forma importante la capacidad del cable
El principal objetivo es poder demostrar a través
coaxial en cuanto a velocidad de transmisión por
de un ejemplo práctico la aplicación de la
el mismo se refiere. Siempre haciendo referencia
densidad de flujo y campo eléctrico.
a la velocidad de la luz, la figura 2 muestra la
Utilizamos un cable coaxial de una antena de
velocidad que las señales pueden alcanzar en su
televisión de una longitud de 50 cm, con un radio
interior. Lo interesante del cable coaxial es su
interior de 1mm y radio exterior de 4mm. El
amplia difusión en diferentes tipos de redes de
espacio que existe entre ambos conductores es
transmisión de datos, no solamente en
el aire. La carga total en el conductor interior de
computación, sino también en telefonía y
30 nC. Vamos a calcular la densidad de carga en
especialmente en televisión por cable.
cada conductor, y la densidad de flujo y campo
eléctrico.
Ventajas:
• Son diseñados principalmente para las
comunicaciones de datos, pero pueden
acomodar aplicaciones de voz pero no en
tiempo real.
• Tiene un bajo costo y es simple de instalar y
bifurcar. Figura 6. Cable coaxial para antena de TV.
• Banda ancha con una capacidad de 10 mb/sg.
• Tiene un alcance de 1-10kms. Empezamos por determinar la densidad de carga
superficial del cilindro interior:
Desventajas:
• Transmite una señal simple en HDX (half
2
duplex). 30 10
• No hay modelación de frecuencias. Este es un . /
2 10 0.5
medio pasivo donde la energía es provista por
las estaciones del usuario. Luego calculamos la densidad de carga negativa
• Hace uso de contactos especiales para la en la superficie del cilindro exterior:
conexión física.
• Se usa una topología de bus, árbol y
raramente es en anillo. Ofrece poca
2
inmunidad a los ruidos, puede mejorarse con 30 10
filtros. . /
2 4 10 0.5
• El ancho de banda puede trasportar
solamente un 40 % de el total de su carga Ahora, los campos internos tanto la densidad de
para permanecer estable.][3] flujo como la intensidad de campo la calculamos
así:
10 9.55 10 .
/
y
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9.55 10
/
8.854 10
Los dos últimos resultados obtenidos se aplican a
la región donde 1 4 . En el caso 1 o
4 , E y D son cero.
VI. SIMULACIÓN DE CILINDRO COAXIAL EN FEMLAB
Fig. 10 Vista del cilindro interior y exterior
Fig. 7 Vista de frente del cilindro
Fig. 11 Densidad de flujo
Fig. 8Vista lateral del cilindro
Fig. 12 Líneas de flujo
VII. APLICACIONES DEL CABLE COAXIAL
[Existen diferentes tipos de cables coaxiales que
se utilizan en diferentes campos de la industria. A
continuación veremos algunos de los más
utilizados en la infraestructura común de
Fig. 9Vista del cilindro interior Telecomunicaciones (ICT).
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6. Un
niversidad Técn Particular de Loja
nica 6
A.
A Coaxial Antena TV
V
Figura 15.
Figur 13.
ra
Aplicaaciones: Ca
able para in
nstalación interior de
able Coaxia -TV-75 OHM
Ca al O abonado. Conexió desde el conector d entrada
ón de
Applicaciones Transmis
s: sión de señales de T
TV, hasta el PTR y desde el PTR en adelante.
l
dis
stribución F bajada de antenas parabólicas y
FI, d s Norm mas: -Espe ecificación de requi isitos de
co
olectivas. telefón
nica:
Te
emperatura de servi
a icio: de -15 a + 70° C -ER f 5
5.092-ACOMM.INT. 1 PAR
Raadio de currvatura: 35 mm.
5 -ER f 5
5.100-ACOMM.INT. 2 PARES
Te
ensión de e ensayo: 2.0000 Vca.
Noormas: UNE E-20.527(Ca
able para D. C
Coaxial Ant
tena TV
radiofrecuenccias)y UNE-2
20.003.
B.
B Coaxial RG
6.
Figura 16
Hilos de interior (2 y 3 hilos)
r
Aplicaación: Cabble para instalación in
nterior de
abonado. Conexión desde la roseta de entrada
e
del abonado hasta el aparato receptor.
Figur 14.
ra Norm mas: Especificación de requisitos de
telefón
nica:
Cooaxial Radi iofrecuencia RG -ER f 1
11.005][4]
Applicaciones Como ele
s: ementos de conexión de
e
cir
rcuitos o intterconexión entre circuuitos distinto
os,
pa
ara electróónica com
mercial, in
ngeniería de VII
II. CONCLU
USIONES
radiofrecuenc cia, proceso de datos, aviónica, etc.
Noormas:-MIL L-C-17: Esppecificación militar cabl les Los dos cond ductores cilííndricos de un cable
de radiofrecue
e encia. coaaxial propoorcionan un densidad de flujo
na d
elé
éctrico unifo
orme dentro de los cilindros.
o
C Acometida Interio de 1 Y 2 pares
C. or Si se usara u cable coa
un axial diseña
ado de tal
ma anera que su radio s sea , para la
superficie gau carga total encerrada
ussiana la c
sería cero, d debido a la cargas iguales y
as
opuestas en c cada cilindro conductor.
o
Si , el cable coaxi o condensador no
ial
ene campo externo lo que significa que el
tie
Escuela de Electr
rónica y Teleco
omunicaciones
s

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conductor exterior es un blindaje, y no hay
campo dentro del conductor central.
Los cables coaxiales tienen importantes
propiedades para la aplicación en las
Telecomunicaciones.
REFERENCIAS
[1] http:/Ley de Gauss/Aplicaciones.htm.
[2] William H. Hayt, Jr. y John A. Buck. Teoría
Electromagnética. Séptima Edición. Ed.
Mexico: MacGra-Hill. 2006, pp. 59-63.
[3] http:/Densidad de flujo eléctricoTeorema de
Poynting en un cable coaxial.mht.
[4] http:/Cable coaxial/Momento angular de los
campos electromagnéticos.htm.
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