1. 研究背景
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係
2-tree における inverse degree と直径の関係
.
グラフにおける Inverse Degree と直径の関係
.
山崎遼介
基礎理工学専攻 太田研究室
2012 年 2 月 9 日
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2. 研究背景
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係
2-tree における inverse degree と直径の関係
.
1 研究背景
定義
連結グラフにおける inverse degree と直径の関係
.
2 K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係
K3 禁止グラフの定義
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係
主定理
証明の方針
.
3 2-tree における inverse degree と直径の関係
tree に関する定理
2-tree の定義
2-tree における inverse degree と直径の関係
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3. 研究背景
定義
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係
連結グラフにおける inverse degree と直径の関係
2-tree における inverse degree と直径の関係
. 定義
グラフ G = (V (G ), E (G )), (E (G ) ⊂ (V (2 )))
G
頂点 v の次数 deg v:v を端点に持つ辺の数．
頂点 u, v の距離 dist(u, v ): u, v を結ぶ最短の path の長さ．
G が連結: どの 2 頂点も path で結ばれている．
以後, これから連結グラフだけを扱う．
u: 緑, v :赤
deg v = 3.
dist(u, v ) = 7.
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4. 研究背景
定義
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係
連結グラフにおける inverse degree と直径の関係
2-tree における inverse degree と直径の関係
.
定義 1
. ∑ 1
任意のグラフ G において, inverse degree r (G ) = v ∈V (G ) .
. deg v
.
定義 2
.
任意のグラフ G の直径 diam(G ) = maxu,v ∈V (G ) dist(u, v ).
.
diam(G ) = 18.
r (G ) = 1205 .
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5. 研究背景
定義
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係
連結グラフにおける inverse degree と直径の関係
2-tree における inverse degree と直径の関係
. 研究の動機
GRAFFITI : グラフ理論の予想を作るプログラム
.
予想 1 (GRAFFITI)
.
任意のグラフ G に対して, µ(G ) ≤ δ(n )
G
.
µ(G ): グラフ G におけるすべての 2 頂点間の距離の平均．
δ(G ): グラフ G における最小次数．
n = |V (G )|.
Kouider, Winkler(1997), Dankelmann, Entringer(2000) が証明.
.
予想 2 (GRAFFITI)
.
任意のグラフ G に対して，µ(G ) ≤ n
δ∗ (G )
.
δ∗ (G ): G の次数の調和平均 δ∗ (G ) = ∑ n
1 > δ(G )．
v ∈V (G ) deg v
n
δ∗ (G)
= r(G).
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6. 研究背景
定義
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係
連結グラフにおける inverse degree と直径の関係
2-tree における inverse degree と直径の関係
.
予想 2(GRAFFITI)
.
任意のグラフ G に対して，µ(G ) ≤ r (G )
.
( ) log n
Erdos, Pach, Spencer(1988) が µ(G ) ≥ 2 ⌊3r (G )⌋ + o (1) log log n となる
˝ 3
グラフを構成することによって反証した．同時に以下の定理を証明した．
.
定理 1 (Erdos, Pach, Spencer(1988))
˝
.
r > 0, グラフ G に対して，頂点数 n が十分大きいとき , r (G ) ≤ r ならば，
log n
µ(G ) ≤ diam(G ) ≤ (6r + o (1))
. log log n
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7. 研究背景
定義
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係
連結グラフにおける inverse degree と直径の関係
2-tree における inverse degree と直径の関係
.
定理 2 (Dankelmann, Swart, Berg(2005))
.
r > 0, グラフ G に対して，頂点数 n が十分大きいとき
log n
diam(G ) ≤ (3r + 2 + o (1)) .
. log log n
.
定理 1 (Erdos, Pach, Spencer(1988))
˝
.
r > 0, グラフ G に対して，頂点数 n が十分大きいとき , r (G ) ≤ r ならば，
log n
µ(G ) ≤ diam(G ) ≤ (6r + o (1))
. log log n
より良い結果を得るためには？
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8. 研究背景
定義
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係
連結グラフにおける inverse degree と直径の関係
2-tree における inverse degree と直径の関係
.
補題 3
.
|E (G )|
任意のグラフ G において diam(G ) < 2 n r (G ).
.
連結より diam(G ) < n, 相加平均と調和平均の関係，
∑
v ∈V (G ) deg v = 2|E (G )| より,
∑ 1 n2
r (G ) = ≥∑
deg v v ∈V (G ) deg v
v ∈V (G )
n2
=
2|E (G )|
n
> diam(G).
2|E (G )|
|E (G )|
diam(G ) < 2 r (G ).
n
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9. 研究背景
定義
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係
連結グラフにおける inverse degree と直径の関係
2-tree における inverse degree と直径の関係
.
定理 2(Dankelmann, Swart, Berg(2005))
.
r > 0, グラフ G に対して，頂点数 n が十分大きいとき
log n
diam(G ) ≤ (3r + 2 + o (1)) .
. log log n
.
補題 3
.
|E (G )|
任意のグラフ G において diam(G ) < 2 n r (G ).
.
辺数を少なくすれば，より良い結果が得られる．
辺数の少ないグラフのクラスとして，本論文では K3 禁止グラフ，2-tree
について考える．
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10. 研究背景
K3 禁止グラフの定義
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係
2-tree における inverse degree と直径の関係
. K3 禁止グラフの定義
.
定義 3
.
K3 : 3 頂点からなる完全グラフ
. K3 禁止グラフ: K3 の同型を部分グラフとして含まないグラフ.
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11. 研究背景
K3 禁止グラフの定義
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係
2-tree における inverse degree と直径の関係
. K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係
n2
G が一般のとき，|E (G )| < 2
n2
G が K3 禁止グラフのとき，|E (G )| ≤ 4
.
定理 4
.
r > 0, グラフ G:K3 禁止グラフ，r (G ) ≤ r のとき，
log n
diam(G ) ≤ (2r + 1 + o (1)) .
. log log n
.
定理 2(Dankelmann, Swart, Berg(2005))
.
r > 0, グラフ G に対して，頂点数 n が十分大きいとき, r (G ) ≤ r ならば，
log n
diam(G ) ≤ (3r + 2 + o (1)) .
. log log n
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12. 研究背景
K3 禁止グラフの定義
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係
2-tree における inverse degree と直径の関係
. 証明の方針
diameter を与える u, v-path を取ってきて, Ni に分割する.
Ni = {w |dist(u, w ) = i }, |Ni | = ni , n−1 = nd +1 = 0
∑ 1
f (i ) = v ∈Ni deg v とする．
u v
∑
r = i ∈{0,...,d } f (i ). f (4) = 3
.
主張 1
.
8ni2
f (i ) ≥ .
. (2ni + ni −1 + ni +1 )2
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13. 研究背景 tree に関する定理
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係 2-tree の定義
2-tree における inverse degree と直径の関係 2-tree における inverse degree と直径の関係
. tree に関する定理
tree T ならば，|E (T )| = n − 1.
補題 3 より,
.
主張 2
.
diam(T ) < 2r (T ).
.
n−2
diam(P ) = n − 1, r (P ) = 2
+ 2.
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14. 研究背景 tree に関する定理
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係 2-tree の定義
2-tree における inverse degree と直径の関係 2-tree における inverse degree と直径の関係
より詳細な条件を加えて，diam(G ), r (G ) の関係を調べたものが以下の
研究である．
.
定理 5 (Mubwembi(2010))
.
T を diameter d, leaf の数 s の tree であるとする．q, ϵ を，0 ≤ ϵ ≤ d − 1，
s − 2 = q(d − 1) + ϵ を満たすものとするとき
d−1 ϵ
r (T ) ≥ s + − .
. q + 2 (q + 2)(q + 3)
leaf とは次数 1 の頂点である．
この tree の部分を 2-tree に拡張する．
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15. 研究背景 tree に関する定理
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係 2-tree の定義
2-tree における inverse degree と直径の関係 2-tree における inverse degree と直径の関係
. 2-tree の定義
.
定義 4
.
2-tree とは，条件 1, 2 で帰納的に構成できるグラフ. 頂点数を n とする.
条件 1 n = 3 のとき, K3 は 2-tree.
条件 2 n ≥ 4 のとき, 頂点数 n − 1 の 2-tree の隣接している 2 頂
点 u, v にだけ, 新たに加える頂点 v ′ を隣接させる.
2-tree において，次数 2 の頂点を leaf と呼ぶ．
.
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16. 研究背景 tree に関する定理
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係 2-tree の定義
2-tree における inverse degree と直径の関係 2-tree における inverse degree と直径の関係
.
補題 6
.
2-tree T に対して, |V (T )| = n とすると, |E (T )| = 2n − 3.
.
.
補題 3
.
|E (G )|
diam(G ) < 2 n r (G ).
.
より
.
系1
.
2-tree T において, diam(T ) < 4r (G ).
.
n−4
上の図の黒い部分では diam(G ) = n
2
− 1, r (G ) = 4
+ 5.
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17. 研究背景 tree に関する定理
K3 禁止グラフにおける inverse degree と直径の関係 2-tree の定義
2-tree における inverse degree と直径の関係 2-tree における inverse degree と直径の関係
.
定理 7
.
2-tree T に対して，diameter を d ，leaf の数を s とする．また q, ϵ を
s − 2 = q(d − 1) + ϵ (0 ≤ ϵ ≤ d − 1) を満たすものとする．
s 2(d − 1) 2ϵ
r (T ) ≥ + − .
. 2 (q + 4) (q + 5)(q + 4)
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