SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 50
Baixar para ler offline
Математика
    древних
цивилизаций

 история математики
План
1. Общая характеристика математической культуры
   древних цивилизаций
2. Математика Древнего Египта
3. Древневавилонская математика [4. С. 40-46]
4. Математика Индии и Китая в древности [4. С. 46-50]
5. Математическая культура индейцев мезоамерики

Литература
1.   Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., 1967
2.   Кольман Э. История математики в древности. М., 1961
3.   Депман И.Я. История арифметики. М., 1959
4.   Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М., 1984
Молчат могилы , мумии и кости
              Лишь слову жизнь дана
              Сквозь мглу веков , на мировом
              погосте
              Звучат лишь письмена
                                    И . Бунин
Ржавеет золото и истлевает сталь
Крошится мрамор – к смерти все
готово .
Всего прочнее на земле печаль
И долговечней – царственное
слово
1. Общая характеристика математики
                            древних цивилизаций


Египет
 Египет   Вавилон
          Вавилон   Индия
                    Индия   Китай
                             Китай   Майя, ацтеки, инки
                                     Майя, ацтеки, инки
1. Общая характеристика математики
                            древних цивилизаций


Египет
 Египет   Вавилон
          Вавилон        Индия
                         Индия           Китай
                                          Китай       Майя, ацтеки, инки
                                                      Майя, ацтеки, инки




                                Нил




            Материальный носитель информации:       папирус
                                                    папирус
             Система знаков:                      иероглифы
                                                  иероглифы
1. Общая характеристика математики
                            древних цивилизаций


Египет
 Египет   Вавилон
          Вавилон        Индия
                         Индия           Китай
                                          Китай      Майя, ацтеки, инки
                                                     Майя, ацтеки, инки




                                            Евфрат

                                Тигр




            Материальный носитель информации:      керамика
                                                   керамика
             Система знаков:                      клинопись
                                                  клинопись
1. Общая характеристика математики
                            древних цивилизаций


Египет
 Египет   Вавилон
          Вавилон        Индия           Китай
                                          Китай          Майя, ацтеки, инки
                                                         Майя, ацтеки, инки
                         Индия




                                                Ганг
                                        Инд




            Материальный носитель информации:   листья, кора
                                                листья, кора
             Система знаков:                           символы
                                                       символы
1. Общая характеристика математики
                            древних цивилизаций


Египет
 Египет   Вавилон
          Вавилон        Индия
                         Индия         Китай         Майя, ацтеки, инки
                                                     Майя, ацтеки, инки
                                        Китай




                                             Ганг Янцзы
                                      Инд
                                            Хуанхэ




            Материальный носитель информации: бамбук, бумага
                                              бамбук, бумага
             Система знаков:                   иероглифы
                                               иероглифы
1. Общая характеристика математики
                            древних цивилизаций


Египет
 Египет   Вавилон
          Вавилон        Индия
                         Индия           Китай
                                          Китай     Майя, ацтеки, инки
                                                    Майя, ацтеки, инки




              Мисисипи



                 Амазонка




            Материальный носитель информации:      камень
                                                   камень
             Система знаков:                      символы
                                                  символы
Особенности математики древних
                        цивилизаций
• содержание математических знаний примерно
одинаково, форма резко отличается;
• наши знания зависят от сохранившихся
памятников письменности;
• отсутствие возможности точного определения
времени того или иного математического
открытия;
• практический характер математики;
• отсутствие попыток обоснования.
              Рецептурная, бесформульная,
              безымянная математика древних
              цивилизаций
                                    С.Е. Белозеров
2. Математика Древнего Египта


    Первое известное имя - Инхотеп


                 и
                 д
                 л
                 м
                 е
                 з
                 у
                 к
                 е
                 т
                 и
                 х
                 р
                 а
                  ь
                  с
                  н
                  е
                  ч
                  т
                  о




               ≈ 4 тыс. лет до н.э.
2. Математика Древнего Египта


Наиболее ценными для истории математики являются:
- Московский папирус [≈ 1850 г . до н . э . ];
- Папирус Райнда ( писца Ахмеса ) [≈ 1550 г . до н . э . ];
- Берлинский папирус ;
- Кахунский папирус
- Кожаный свиток .
2.1. Московский папирус

Московский папирус – самый древний памятник
египетской математики (ок. 1850 г. до н.э.). Его приобрел
в 1893 г. русский собиратель Владимир Семенович
Голенищев (1856-1947). С 1912 года он хранится в
Москве, в Музее изобразительных искусств им. Пушкина.
Расшифровка – акад. Б.А. Тураев, детальное изучение – акад. В.В.
Струве (1927 г. – результаты опубликованы на немецком языке в
Германии).                   Размер папируса 544х8 см. Он содержит
                             решения 25 задач. Например, в задаче
                             приведенной       на    фрагменте   (№14),
                             правильно вычислен V усеч. пирамиды с
                             квадратным основанием: «Если тебе называют
                             усеченную пирамиду шести локтей в высоту, 4
                             (локтей) в нижней стороне, 2 в верхней стороне,
                             вычисляй с этой 4, возведя её в квадрат. Получается
                             16. Удвой 4; получается 8. Вычисляй с этой 2, возведя
                             её в квадрат; получается 4. Сложи эти 16 с этими 8 и
                             с этими 4; получается 28. Вычисли 3 от 6; получается
                                                            6
                             2. Вычисли 28 два раза; получается 56. Смотри: она
                                                       V ». (4 2 + 4 ⋅ 2 + 2 2 ) = 56
                             есть 56. Ты нашел правильно 3
                                                          =
2.2. Папирус Райнда

Папирус Райнда был составлен ок. 1550 г. до н.э. писцом
Ахмесом. Приобретен английским собирателем Генрихом
Райндом в 1858 г. и хранится, как и Кожаный свиток, в
Британском музее. Его размеры 544х33 см. Он содержит
84 задачи. Представляет собой конспект писца-учителя
Ахмеса.                                        Название        папируса
                                               Райнда :    «Наставление,
                                             как достигнуть знания всех
                                             темных вещей … (вырван
                                             кусок папируса) … всех
                                             тайн, которые скрывают в
                                             себе вещи. Сочинение это
                                             написано в 33-м году и 4-м
                                             месяце времени вод в
                                             царствование фараона Ра-
                                             А-Ус со старых рукописей
                                             времен фараона … () … ат.
                                             Писец Ахмес написал это».
                                             Цит.     по      тексту   дисс.
                                             В.В.Бобынина        «Математика
                                             древних египтян по папирусу
                                             Ринда» (М., 1880).
2.3. Задачи папируса Райнда

Фотоснимок этой части папируса дает
представление об одном из самых ранних
применений математики – для измерения
земли.    Горизонтальными      линиями
отделены друг от друга     пять задач;
условия и решения читались справа
налево.
В верхней части папируса дается «пример
расчета площади прямоугольного участка
земли размером 10 хетов на 2 хета».
Вторая задача сверху – вычисление
площади «круглого поля» с периметром 9
хетов. Другие задачи показывают как
вычислять площади полей, имеющих
форму треугольника, трапеции, частей
треугольника.
2.3. Задачи папируса Райнда

Среди     задач       папируса    Райнда
встречаются:
- задачи на простые арифметические
          2 1 1
операции+ (12х12, задача №32; 19:8, задача
37 ÷ (1 +    + )
№24; 3 2 7
                  2

           S =  задача №33)
               8 
                  d
                9 
- задачи на определение площади круга
(задача №50:       , где d – диаметр, т.е.
Π≈3,16), равнобедренного треугольника,
равнобочной трапеции;
- задачи на линейное уравнение;
- задачи на арифметическую и геомет-
рическую прогрессии.
Отметим ,        что            площадь
равнобедренного          треу - гольника
( равнобочной трапеции ) определялась
произведением половины основания
2.3. Задачи древнеегипетских папирусов

   1. Разделить 100 караваев хлеба между 5 человеками
      так, чтобы 1/7 общего количества караваев у трех
      последних равнялась количеству караваев у первых
              2     5        1    1
      двух. 1 3(,Райнда)29 6 , Ответ:
                  10 , 20,
                    6
                               38
                                  3
      (арифметическая разностью 9 1
                        1 и
                           2
                               прогрессия с первым членом
                           3           6
           ).
   2. Найти число, если известно, что от прибавления к
      нему 2/3 его и вычитания от полученной суммы ее
      трети получается число 10. Ответ: 9.
   3. У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по
      семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев,
      из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя.
      Как велики числа этого ряда и их сумма? Ответ:
      геометрическая прогрессия из пяти членов с первым
      членом 7 и знаменателем 7. (Райнд, №79 – задача-
      путешественница)                             m      n
                                               х = S, у = S
   4. Определить длину сторон прямоугольника,n если       m
     известны их отношение и площадь фигуры (Моск.)
2.4. Расшифровка древнеегипетских
         папирусов

                     Александр

                               К
                               л         Уже греки взирали на
                               е       таинственную рисуночную
                               о         письменность древних
                               п        египтян с почтительным
                               а       удивлением и назвали ее
                               т             «иероглифами»,
                               р      «священными знаками», так
  Жан Франсуа
                               а      как предполагали, что в ней
Шампольон (1790-1832)
                                             сокрыта тайная
                                         чародейская мудрость
               Еще одиннадцатилетним мальчиком Шампольон
                                           египетских жрецов.
               решил во что бы то ни стало овладеть тайной
 Розеттский    иероглифической письменности. Ему это удалось,
   камень      благодаря сопоставлению надписей на Розеттском
               камне, обнаруженном в 1799 г. при проведении
               саперных работ во время похода Наполеона в
               Египет.
2.5. Особенности математики Древнего
            Египта
                               1. За 2000 лет до н.э. египтяне употребляли
                                  систему счисления, которую мы характеризуем
                                  как          –           древнеегипетскую
                                  иероглифическую                десятичную
                                  непозиционную систему счисления .
                               Узловые числа вида 10k (k=1..7) изображались
                                индивидуальными символами:




   Египетская полихромная
скульптура эпохи Эль-Амарны,
 изображающая Нефертити –
   жену фараона Эхнатона
2.5. Особенности математики Древнего
            Египта
                               2. Аддитивный характер арифметических
                                 действий :
                               + сводилось к присчитыванию соответствующих
                                символов с заменой в случае появления
                                десяти символов одного разряда символом
                                следующего разряда;
                               - сводилось к отысканию числа, которое надо
                                 прибавить к вычитаемому, чтобы в сумме
                                 получить данное уменьшаемое;
                               х(:) сводилось к кратному 2 увеличению
                                 (уменьшению)    множителя    (делителя)   и
                                 сложению тех результатов, для которых сумма
                                 соответствующих кратных равнялась другому
   Египетская полихромная        множителю (делителю).
скульптура эпохи Эль-Амарны,
 изображающая Нефертити –
   жену фараона Эхнатона
2.5. Особенности математики Древнего
            Египта
                               3. Обозначение и действия с дробями .
                               Все дроби сводятся к так называемым
                                основным дробям , к которым относятся
                                аликвотные дроби (т.е. с числителем 1
                                [изображались      знаменателем    с    чертой
                                наверху]) и дроби специального вида:
                                ½, 2/3, ¼, ¾, которые изображались как:

                                                           или
                               В папирусе Райнда дана специальная таблица
                                разложения дробей на сумму аликвотных [см.
                                Выгодский М.Я., С.29]. Подобная система
   Египетская полихромная
                                обозначения дробей достаточно неудобна и
скульптура эпохи Эль-Амарны,    тяжеловесна, тем не менее она была
 изображающая Нефертити –
   жену фараона Эхнатона
                                заимствована греками и применялась не
                                только в эпоху эллинизма, но и в средние
                                века.
2.5. Особенности математики Древнего
            Египта
                               4. Система математических задач
                               Задачи носят прикладной характер, в основном
                                геометрического характера. Многие задачи
                                просты. Часть задач сводится к решению
                                линейного уравнения с одним неизвестным.
                                Для неизвестного применялся специальный
                                иероглиф, обозначавший «кучу» (хау) – хау-
                                исчисление.
                               Папирус Райнда содержит 15 подобных задач, а
                                Московский - 3 задачи.
                               Самый замечательный результат – формула
                                для    объема 1усеченной     пирамиды с

   Египетская полихромная                        3
                                                    2
                                                     (
                                квадратным основанием.+ ab + b
                                          V = ha               2
                                                                  )
скульптура эпохи Эль-Амарны,
 изображающая Нефертити –
   жену фараона Эхнатона       Не имеет аналогов ни в какой другой древней
                                математике и является одной из загадок великой
                                египетской цивилизации.
3. Древневавилонская математика
3. Древневавилонская математика
3. Древневавилонская математика
3. Древневавилонская математика
3. Древневавилонская математика
3. Древневавилонская математика
Математическая культура
                    индейцев Мезоамерики



1. Особенности математики индейцев мезоамерики
2. Математическая культура Майя
3. Математическая культура Ацтеков
4. Математическая культура Инков


Литература
1.   Ершова Г.Г. Майя: тайны древнего письма. М., 2004
2.   Депман И.Я. История арифметики. М., 1959
3.   Диего де Ланда. Сообщение о делах в Юкатане. 1566. М., 1955
4.   Малаховский В.С. Числа знакомые и незнакомые. Калининград, 2004
5.   Математика в современном мире. М., 1967
6.   Эрдёди Янош. Эпоха великих географических открытий. Будапешт, 1985.
Математическая культура Майя
Математическая культура Майя

Хронология:
Зарождение - ок. 4000 до н.э.
Расцвет цивилизации - IV-VI в н.э.
Конец цивилизации - XVI-XVII в.н.э.
           (испанские завоевания)
Основная деятельность:
возделывание кукурузы (маис)




                                      Иероглифическая лестница
Математическая культура Майя


Основные письменные
источники:
- Дрезденский кодекс;
- Мадридский Кодекс;
- Парижский кодекс.


Основные монументаль-
ные источники:
стелы и колоны майя
Математическая культура Майя




Дрезденский кодекс майя
Математическая культура Майя




  Мадридский кодекс майя
Математическая культура Майя




    Парижский кодекс майя
Математическая культура Майя


                 Числа Нового Света

          На обнаруженной в штате Вераскус
          (Мексика) плите с помощью точек и
          черточек записаны числа майя.
          После реставрации плиты удалось
          прочесть, что эти числа означают 7
          периодов по 400 «лет», плюс 16
          периодов по 20 «лет», плюс 6 «лет» по
          360 дней каждый, плюс 16 «месяцев» по
          20 дней каждый, плюс 18 дней.
          Все суммарное время (1 841 641 600 дн.)
          составляет приблизительно 3127 года
          от     начала     данной      системы
          летоисчисления. В сопоставлении с
          христианским календарем эта дата
          соответствует ноябрю 4291 г. до н.э. –
          это вторая по древности запись даты в
          западном полушарии!
Математическая культура Майя
Математическая культура Майя

                                 Из «Сообщения о делах в Юкатане»
                                 «Науки, которым они обучали, были: счет лет,
                             месяцев и дней, праздники и церемонии, управление
                                       дней
                             их святынями, несчастные дни и времена, их
                             способы предсказания и их пророчества, события,
                             лекарства против болезней, памятники древности,
                             умение считать, читать и писать буквами и знаками,
                             которыми они писали, и фигурами, которые
                             объясняли письмена.
                                 Они писали свои книги на большом листе,
                             согнутом складками, который сжимали между двумя
                             дощечками, сделанными очень красиво. Они писали
                             с одной и с другой стороны столбцами, следуя
      Диего де Ланда         порядку складок; эту бумагу они делали из корней
                             дерева копо и покрывали её белым лаком, на
                             котором можно хорошо писать»
    «Эти люди употребляли также определенные знаки, которыми они
записывали в своих книгах свои древние дела и свои науки. По ним они
узнавали свои дела, сообщали их и обучали. Мы нашли у них большое
количество книг этими буквами и, так как в них не было ничего, в чем
не имелось бы суеверия и лжи демона, мы их все сожгли; это их
удивительно огорчило и причинило им страдание».
Математическая культура Майя

                                   Дешифровщик письма Майя
                                «То, что создано одним человеческим
                             умом, не может не быть разгадано
                             другим»


                                      Российский лингвист и этнограф, доктор
                                          исторических наук. Государственная
                                             премия СССР (1975). Дешифровал
                                                письменность древних майя и
                                       протоиндийское письмо, внёс большой
                                   вклад в изучение теории и истории письма,
                                               в вопросы теории дешифровки
                                             исторических систем письма и их
                                    этносемиотического анализа, в разработку
                                           общих проблем семиотики и теории
                                       коллектива, в исследование древних, в
                                                первую очередь американских
                                        цивилизаций. Основатель российской
                                                        школы майянистики.
Юрий Валентинович Кнорозов
Нумерация Майя


      Лицевые варианты цифр Майя по сводке Кнорозова

 1      2      3      4      5      6      7      8      9     10



11     12     13     14     15     16     17      18    19     20




У майя были две системы записи чисел:
1) лицевая, применявшаяся в повседневной жизни;
2) позиционная абсолютная система, употреблявшаяся для
   календарных расчетов. Ее характерная особенность – наличие нуля
   (за X веков до Европы). Изображение – полузакрытый глаз.
Нумерация Майя

Название СС:   Майянская двадцатеричная символическая позиционная с нулем


        0      1     2      3      4      5      6      7       8      9
  0
  1

  2
  3

  4
Позиционное    написание   чисел                 16х20 + 5 = 325
делалось вертикальным столбцом
и предполагало, что единицы
                                                 Наибольшее записанное число:
меньшего порядка находились
снизу, а высшего – сверху.
                                                     1 841 641 600
Математическая культура Майя

       Таблица умножения майя                 Запись чисел майя
                                                       4·(18·204)
                                                       3




                                                       6·(18·203)


                                                       14·(18·202)
 325        260      195      130     65
[65x5]    [65x4]    [65x3]   [65x2] [65 x1]            13·(18·20)

         Встречающиеся     в   рукописях
                                                       15·20
         (Дрезденский кодекс) «таблицы
         умножения»      лишний      раз
         подтверждают существование у                  1
         майя позиционного написания
                                                       12 489 781
         чисел. Относительно дробей ни
         каких сведений до нас не дошло.
Календарь Майя

            Майя проводили точнейшие календарные расчеты: точность их
            календаря превышает точность юлианского. Астрономические
            расчеты Майя превышают по точности вавилонские.
                                           Запись даты «длинного счета»
              А     Вводный иероглиф обозначающий дату
              В1    9 бактунов (9 х 144 000 дней = 1 296 000 дней) ≈ 400 лет
              С1    17 катунов (17 х 7 200 дней = 122 400 дней) ≈ 200 лет
              В2    0 тунов (0 х 360 дней = 0 дней)
              С2    13 Ахав – на эту дату приходится число, отстоящее от начала эры
                    майя на полученную общую сумму дней
              В3    Иероглиф, приходящийся на последний 9-й день 9-дневной недели
              С3    Вводный иероглиф 9-дневной недели
              В4    Иероглиф, обозначающий день новолуния
              С4    Иероглиф, обозначающий второй месяц в лунном полугодии
              В5    Буквально: «Делит отрезок
              С5    Его большого пути»
              В6    Иероглиф, обозначающий текущий лунный 29-дневный месяц
              С6    18 Кумху – месяц, получаемый в результате суммирования всех
                    дней с начальной даты майя
Стелла из          В результате мы получаем дату, приходившуюся на
 Киригуа                     новолуние 24 января 771 г. н.э.
Математическая культура Ацтеков

Мексика. Расцвет цивилизации XII в. н.э.
Математическая культура Ацтеков

                  пирамида Солнца
Математическая культура Ацтеков

         пирамида Луны, храм Кетцалькоатля
Математическая культура Ацтеков




                  Пиктографическая рукопись
                  ацтеков времен завоевания
                                   Мексики.
                     Под пиктографическими
                        рисунками испанский
                    пояснительный текст того
                                   времени.
Нумерация Ацтеков

   Название СС:   Ацтекская двадцатеричная символическая непозиционная


              1      2       3      4      5       6      7      8       9

  единицы



   десятки



    сотни



   тысячи
                   …       …      …      …       …      …                …

Ацтеки имели солнечный календарь, не уступающий по точности современному
Математическая культура Инков
Математическая культура Инков


                                                  Инки вели запись чисел при помощи
                                              узелкового   счета   «квипу»   (расчет
                                              податей,    хронологические    записки,
                                              бухгалтерский учет).
                                                 Веревки связывались по четыре
                                              вместе и к ним присоединялась пятая
                                              веревка, на которой с помощью узлов
                                              выражалось число, являющееся суммой
                                              чисел на первых четырех веревках.
                                                 Узлы для 1, 10, 100 – различной
                                              формы.

                                                 Для производства
                                              арифметических опе-
                                              раций употреблялись
                                              камешки или зерна
                                              маиса

            Узловой счет инков
(Нью-Йорк, Американский музей естественной истории)

Mais conteúdo relacionado

Mais de Вячеслав Пырков

презентация магистерской программы
презентация магистерской программыпрезентация магистерской программы
презентация магистерской программыВячеслав Пырков
 
5 методика изучения элементов стохастики
5 методика изучения элементов стохастики5 методика изучения элементов стохастики
5 методика изучения элементов стохастикиВячеслав Пырков
 
4 методика изучения числовых последовательностей
4 методика изучения числовых последовательностей4 методика изучения числовых последовательностей
4 методика изучения числовых последовательностейВячеслав Пырков
 
3 методика изучения уравнений и неравенств
3 методика изучения уравнений и неравенств3 методика изучения уравнений и неравенств
3 методика изучения уравнений и неравенствВячеслав Пырков
 
2 методика изучения алгебраических выражений, тождеств и тождественных
2 методика изучения алгебраических выражений, тождеств и тождественных2 методика изучения алгебраических выражений, тождеств и тождественных
2 методика изучения алгебраических выражений, тождеств и тождественныхВячеслав Пырков
 
1 общие вопросы методики обучения алгебре
1 общие вопросы методики обучения алгебре1 общие вопросы методики обучения алгебре
1 общие вопросы методики обучения алгебреВячеслав Пырков
 
введение в проектную деятельность
введение в проектную деятельностьвведение в проектную деятельность
введение в проектную деятельностьВячеслав Пырков
 

Mais de Вячеслав Пырков (20)

24 тимом производная
24 тимом производная24 тимом производная
24 тимом производная
 
концепция пмо
концепция пмоконцепция пмо
концепция пмо
 
педпрактика 3 2017
педпрактика 3 2017педпрактика 3 2017
педпрактика 3 2017
 
тимом 2016 2_6
тимом 2016 2_6тимом 2016 2_6
тимом 2016 2_6
 
тимом 2016 2_5
тимом 2016 2_5тимом 2016 2_5
тимом 2016 2_5
 
тимом 2016 2_4
тимом 2016 2_4тимом 2016 2_4
тимом 2016 2_4
 
тимом 2016 2_3
тимом 2016 2_3тимом 2016 2_3
тимом 2016 2_3
 
тимом 2016 2_2
тимом 2016 2_2тимом 2016 2_2
тимом 2016 2_2
 
тимом 2016 2_1
тимом 2016 2_1тимом 2016 2_1
тимом 2016 2_1
 
презентация магистерской программы
презентация магистерской программыпрезентация магистерской программы
презентация магистерской программы
 
5 методика изучения элементов стохастики
5 методика изучения элементов стохастики5 методика изучения элементов стохастики
5 методика изучения элементов стохастики
 
4 методика изучения числовых последовательностей
4 методика изучения числовых последовательностей4 методика изучения числовых последовательностей
4 методика изучения числовых последовательностей
 
3 методика изучения уравнений и неравенств
3 методика изучения уравнений и неравенств3 методика изучения уравнений и неравенств
3 методика изучения уравнений и неравенств
 
2 методика изучения алгебраических выражений, тождеств и тождественных
2 методика изучения алгебраических выражений, тождеств и тождественных2 методика изучения алгебраических выражений, тождеств и тождественных
2 методика изучения алгебраических выражений, тождеств и тождественных
 
1 общие вопросы методики обучения алгебре
1 общие вопросы методики обучения алгебре1 общие вопросы методики обучения алгебре
1 общие вопросы методики обучения алгебре
 
учебные проекты
учебные проектыучебные проекты
учебные проекты
 
планирование проекта
планирование проектапланирование проекта
планирование проекта
 
инициация проекта
инициация проектаинициация проекта
инициация проекта
 
введение в проектную деятельность
введение в проектную деятельностьвведение в проектную деятельность
введение в проектную деятельность
 
цор л 4
цор л 4цор л 4
цор л 4
 

Lec 2

  • 1. Математика древних цивилизаций история математики
  • 2. План 1. Общая характеристика математической культуры древних цивилизаций 2. Математика Древнего Египта 3. Древневавилонская математика [4. С. 40-46] 4. Математика Индии и Китая в древности [4. С. 46-50] 5. Математическая культура индейцев мезоамерики Литература 1. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., 1967 2. Кольман Э. История математики в древности. М., 1961 3. Депман И.Я. История арифметики. М., 1959 4. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М., 1984
  • 3. Молчат могилы , мумии и кости Лишь слову жизнь дана Сквозь мглу веков , на мировом погосте Звучат лишь письмена И . Бунин Ржавеет золото и истлевает сталь Крошится мрамор – к смерти все готово . Всего прочнее на земле печаль И долговечней – царственное слово
  • 4. 1. Общая характеристика математики древних цивилизаций Египет Египет Вавилон Вавилон Индия Индия Китай Китай Майя, ацтеки, инки Майя, ацтеки, инки
  • 5. 1. Общая характеристика математики древних цивилизаций Египет Египет Вавилон Вавилон Индия Индия Китай Китай Майя, ацтеки, инки Майя, ацтеки, инки Нил Материальный носитель информации: папирус папирус Система знаков: иероглифы иероглифы
  • 6. 1. Общая характеристика математики древних цивилизаций Египет Египет Вавилон Вавилон Индия Индия Китай Китай Майя, ацтеки, инки Майя, ацтеки, инки Евфрат Тигр Материальный носитель информации: керамика керамика Система знаков: клинопись клинопись
  • 7. 1. Общая характеристика математики древних цивилизаций Египет Египет Вавилон Вавилон Индия Китай Китай Майя, ацтеки, инки Майя, ацтеки, инки Индия Ганг Инд Материальный носитель информации: листья, кора листья, кора Система знаков: символы символы
  • 8. 1. Общая характеристика математики древних цивилизаций Египет Египет Вавилон Вавилон Индия Индия Китай Майя, ацтеки, инки Майя, ацтеки, инки Китай Ганг Янцзы Инд Хуанхэ Материальный носитель информации: бамбук, бумага бамбук, бумага Система знаков: иероглифы иероглифы
  • 9. 1. Общая характеристика математики древних цивилизаций Египет Египет Вавилон Вавилон Индия Индия Китай Китай Майя, ацтеки, инки Майя, ацтеки, инки Мисисипи Амазонка Материальный носитель информации: камень камень Система знаков: символы символы
  • 10. Особенности математики древних цивилизаций • содержание математических знаний примерно одинаково, форма резко отличается; • наши знания зависят от сохранившихся памятников письменности; • отсутствие возможности точного определения времени того или иного математического открытия; • практический характер математики; • отсутствие попыток обоснования. Рецептурная, бесформульная, безымянная математика древних цивилизаций С.Е. Белозеров
  • 11. 2. Математика Древнего Египта Первое известное имя - Инхотеп и д л м е з у к е т и х р а ь с н е ч т о ≈ 4 тыс. лет до н.э.
  • 12. 2. Математика Древнего Египта Наиболее ценными для истории математики являются: - Московский папирус [≈ 1850 г . до н . э . ]; - Папирус Райнда ( писца Ахмеса ) [≈ 1550 г . до н . э . ]; - Берлинский папирус ; - Кахунский папирус - Кожаный свиток .
  • 13. 2.1. Московский папирус Московский папирус – самый древний памятник египетской математики (ок. 1850 г. до н.э.). Его приобрел в 1893 г. русский собиратель Владимир Семенович Голенищев (1856-1947). С 1912 года он хранится в Москве, в Музее изобразительных искусств им. Пушкина. Расшифровка – акад. Б.А. Тураев, детальное изучение – акад. В.В. Струве (1927 г. – результаты опубликованы на немецком языке в Германии). Размер папируса 544х8 см. Он содержит решения 25 задач. Например, в задаче приведенной на фрагменте (№14), правильно вычислен V усеч. пирамиды с квадратным основанием: «Если тебе называют усеченную пирамиду шести локтей в высоту, 4 (локтей) в нижней стороне, 2 в верхней стороне, вычисляй с этой 4, возведя её в квадрат. Получается 16. Удвой 4; получается 8. Вычисляй с этой 2, возведя её в квадрат; получается 4. Сложи эти 16 с этими 8 и с этими 4; получается 28. Вычисли 3 от 6; получается 6 2. Вычисли 28 два раза; получается 56. Смотри: она V ». (4 2 + 4 ⋅ 2 + 2 2 ) = 56 есть 56. Ты нашел правильно 3 =
  • 14. 2.2. Папирус Райнда Папирус Райнда был составлен ок. 1550 г. до н.э. писцом Ахмесом. Приобретен английским собирателем Генрихом Райндом в 1858 г. и хранится, как и Кожаный свиток, в Британском музее. Его размеры 544х33 см. Он содержит 84 задачи. Представляет собой конспект писца-учителя Ахмеса. Название папируса Райнда : «Наставление, как достигнуть знания всех темных вещей … (вырван кусок папируса) … всех тайн, которые скрывают в себе вещи. Сочинение это написано в 33-м году и 4-м месяце времени вод в царствование фараона Ра- А-Ус со старых рукописей времен фараона … () … ат. Писец Ахмес написал это». Цит. по тексту дисс. В.В.Бобынина «Математика древних египтян по папирусу Ринда» (М., 1880).
  • 15. 2.3. Задачи папируса Райнда Фотоснимок этой части папируса дает представление об одном из самых ранних применений математики – для измерения земли. Горизонтальными линиями отделены друг от друга пять задач; условия и решения читались справа налево. В верхней части папируса дается «пример расчета площади прямоугольного участка земли размером 10 хетов на 2 хета». Вторая задача сверху – вычисление площади «круглого поля» с периметром 9 хетов. Другие задачи показывают как вычислять площади полей, имеющих форму треугольника, трапеции, частей треугольника.
  • 16. 2.3. Задачи папируса Райнда Среди задач папируса Райнда встречаются: - задачи на простые арифметические 2 1 1 операции+ (12х12, задача №32; 19:8, задача 37 ÷ (1 + + ) №24; 3 2 7 2 S =  задача №33) 8  d  9  - задачи на определение площади круга (задача №50: , где d – диаметр, т.е. Π≈3,16), равнобедренного треугольника, равнобочной трапеции; - задачи на линейное уравнение; - задачи на арифметическую и геомет- рическую прогрессии. Отметим , что площадь равнобедренного треу - гольника ( равнобочной трапеции ) определялась произведением половины основания
  • 17. 2.3. Задачи древнеегипетских папирусов 1. Разделить 100 караваев хлеба между 5 человеками так, чтобы 1/7 общего количества караваев у трех последних равнялась количеству караваев у первых 2 5 1 1 двух. 1 3(,Райнда)29 6 , Ответ: 10 , 20, 6 38 3 (арифметическая разностью 9 1 1 и 2 прогрессия с первым членом 3 6 ). 2. Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания от полученной суммы ее трети получается число 10. Ответ: 9. 3. У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма? Ответ: геометрическая прогрессия из пяти членов с первым членом 7 и знаменателем 7. (Райнд, №79 – задача- путешественница) m n х = S, у = S 4. Определить длину сторон прямоугольника,n если m известны их отношение и площадь фигуры (Моск.)
  • 18. 2.4. Расшифровка древнеегипетских папирусов Александр К л Уже греки взирали на е таинственную рисуночную о письменность древних п египтян с почтительным а удивлением и назвали ее т «иероглифами», р «священными знаками», так Жан Франсуа а как предполагали, что в ней Шампольон (1790-1832) сокрыта тайная чародейская мудрость Еще одиннадцатилетним мальчиком Шампольон египетских жрецов. решил во что бы то ни стало овладеть тайной Розеттский иероглифической письменности. Ему это удалось, камень благодаря сопоставлению надписей на Розеттском камне, обнаруженном в 1799 г. при проведении саперных работ во время похода Наполеона в Египет.
  • 19. 2.5. Особенности математики Древнего Египта 1. За 2000 лет до н.э. египтяне употребляли систему счисления, которую мы характеризуем как – древнеегипетскую иероглифическую десятичную непозиционную систему счисления . Узловые числа вида 10k (k=1..7) изображались индивидуальными символами: Египетская полихромная скульптура эпохи Эль-Амарны, изображающая Нефертити – жену фараона Эхнатона
  • 20. 2.5. Особенности математики Древнего Египта 2. Аддитивный характер арифметических действий : + сводилось к присчитыванию соответствующих символов с заменой в случае появления десяти символов одного разряда символом следующего разряда; - сводилось к отысканию числа, которое надо прибавить к вычитаемому, чтобы в сумме получить данное уменьшаемое; х(:) сводилось к кратному 2 увеличению (уменьшению) множителя (делителя) и сложению тех результатов, для которых сумма соответствующих кратных равнялась другому Египетская полихромная множителю (делителю). скульптура эпохи Эль-Амарны, изображающая Нефертити – жену фараона Эхнатона
  • 21. 2.5. Особенности математики Древнего Египта 3. Обозначение и действия с дробями . Все дроби сводятся к так называемым основным дробям , к которым относятся аликвотные дроби (т.е. с числителем 1 [изображались знаменателем с чертой наверху]) и дроби специального вида: ½, 2/3, ¼, ¾, которые изображались как: или В папирусе Райнда дана специальная таблица разложения дробей на сумму аликвотных [см. Выгодский М.Я., С.29]. Подобная система Египетская полихромная обозначения дробей достаточно неудобна и скульптура эпохи Эль-Амарны, тяжеловесна, тем не менее она была изображающая Нефертити – жену фараона Эхнатона заимствована греками и применялась не только в эпоху эллинизма, но и в средние века.
  • 22. 2.5. Особенности математики Древнего Египта 4. Система математических задач Задачи носят прикладной характер, в основном геометрического характера. Многие задачи просты. Часть задач сводится к решению линейного уравнения с одним неизвестным. Для неизвестного применялся специальный иероглиф, обозначавший «кучу» (хау) – хау- исчисление. Папирус Райнда содержит 15 подобных задач, а Московский - 3 задачи. Самый замечательный результат – формула для объема 1усеченной пирамиды с Египетская полихромная 3 2 ( квадратным основанием.+ ab + b V = ha 2 ) скульптура эпохи Эль-Амарны, изображающая Нефертити – жену фараона Эхнатона Не имеет аналогов ни в какой другой древней математике и является одной из загадок великой египетской цивилизации.
  • 29. Математическая культура индейцев Мезоамерики 1. Особенности математики индейцев мезоамерики 2. Математическая культура Майя 3. Математическая культура Ацтеков 4. Математическая культура Инков Литература 1. Ершова Г.Г. Майя: тайны древнего письма. М., 2004 2. Депман И.Я. История арифметики. М., 1959 3. Диего де Ланда. Сообщение о делах в Юкатане. 1566. М., 1955 4. Малаховский В.С. Числа знакомые и незнакомые. Калининград, 2004 5. Математика в современном мире. М., 1967 6. Эрдёди Янош. Эпоха великих географических открытий. Будапешт, 1985.
  • 31. Математическая культура Майя Хронология: Зарождение - ок. 4000 до н.э. Расцвет цивилизации - IV-VI в н.э. Конец цивилизации - XVI-XVII в.н.э. (испанские завоевания) Основная деятельность: возделывание кукурузы (маис) Иероглифическая лестница
  • 32. Математическая культура Майя Основные письменные источники: - Дрезденский кодекс; - Мадридский Кодекс; - Парижский кодекс. Основные монументаль- ные источники: стелы и колоны майя
  • 34. Математическая культура Майя Мадридский кодекс майя
  • 35. Математическая культура Майя Парижский кодекс майя
  • 36. Математическая культура Майя Числа Нового Света На обнаруженной в штате Вераскус (Мексика) плите с помощью точек и черточек записаны числа майя. После реставрации плиты удалось прочесть, что эти числа означают 7 периодов по 400 «лет», плюс 16 периодов по 20 «лет», плюс 6 «лет» по 360 дней каждый, плюс 16 «месяцев» по 20 дней каждый, плюс 18 дней. Все суммарное время (1 841 641 600 дн.) составляет приблизительно 3127 года от начала данной системы летоисчисления. В сопоставлении с христианским календарем эта дата соответствует ноябрю 4291 г. до н.э. – это вторая по древности запись даты в западном полушарии!
  • 38. Математическая культура Майя Из «Сообщения о делах в Юкатане» «Науки, которым они обучали, были: счет лет, месяцев и дней, праздники и церемонии, управление дней их святынями, несчастные дни и времена, их способы предсказания и их пророчества, события, лекарства против болезней, памятники древности, умение считать, читать и писать буквами и знаками, которыми они писали, и фигурами, которые объясняли письмена. Они писали свои книги на большом листе, согнутом складками, который сжимали между двумя дощечками, сделанными очень красиво. Они писали с одной и с другой стороны столбцами, следуя Диего де Ланда порядку складок; эту бумагу они делали из корней дерева копо и покрывали её белым лаком, на котором можно хорошо писать» «Эти люди употребляли также определенные знаки, которыми они записывали в своих книгах свои древние дела и свои науки. По ним они узнавали свои дела, сообщали их и обучали. Мы нашли у них большое количество книг этими буквами и, так как в них не было ничего, в чем не имелось бы суеверия и лжи демона, мы их все сожгли; это их удивительно огорчило и причинило им страдание».
  • 39. Математическая культура Майя Дешифровщик письма Майя «То, что создано одним человеческим умом, не может не быть разгадано другим» Российский лингвист и этнограф, доктор исторических наук. Государственная премия СССР (1975). Дешифровал письменность древних майя и протоиндийское письмо, внёс большой вклад в изучение теории и истории письма, в вопросы теории дешифровки исторических систем письма и их этносемиотического анализа, в разработку общих проблем семиотики и теории коллектива, в исследование древних, в первую очередь американских цивилизаций. Основатель российской школы майянистики. Юрий Валентинович Кнорозов
  • 40. Нумерация Майя Лицевые варианты цифр Майя по сводке Кнорозова 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 У майя были две системы записи чисел: 1) лицевая, применявшаяся в повседневной жизни; 2) позиционная абсолютная система, употреблявшаяся для календарных расчетов. Ее характерная особенность – наличие нуля (за X веков до Европы). Изображение – полузакрытый глаз.
  • 41. Нумерация Майя Название СС: Майянская двадцатеричная символическая позиционная с нулем 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 Позиционное написание чисел 16х20 + 5 = 325 делалось вертикальным столбцом и предполагало, что единицы Наибольшее записанное число: меньшего порядка находились снизу, а высшего – сверху. 1 841 641 600
  • 42. Математическая культура Майя Таблица умножения майя Запись чисел майя 4·(18·204) 3 6·(18·203) 14·(18·202) 325 260 195 130 65 [65x5] [65x4] [65x3] [65x2] [65 x1] 13·(18·20) Встречающиеся в рукописях 15·20 (Дрезденский кодекс) «таблицы умножения» лишний раз подтверждают существование у 1 майя позиционного написания 12 489 781 чисел. Относительно дробей ни каких сведений до нас не дошло.
  • 43. Календарь Майя Майя проводили точнейшие календарные расчеты: точность их календаря превышает точность юлианского. Астрономические расчеты Майя превышают по точности вавилонские. Запись даты «длинного счета» А Вводный иероглиф обозначающий дату В1 9 бактунов (9 х 144 000 дней = 1 296 000 дней) ≈ 400 лет С1 17 катунов (17 х 7 200 дней = 122 400 дней) ≈ 200 лет В2 0 тунов (0 х 360 дней = 0 дней) С2 13 Ахав – на эту дату приходится число, отстоящее от начала эры майя на полученную общую сумму дней В3 Иероглиф, приходящийся на последний 9-й день 9-дневной недели С3 Вводный иероглиф 9-дневной недели В4 Иероглиф, обозначающий день новолуния С4 Иероглиф, обозначающий второй месяц в лунном полугодии В5 Буквально: «Делит отрезок С5 Его большого пути» В6 Иероглиф, обозначающий текущий лунный 29-дневный месяц С6 18 Кумху – месяц, получаемый в результате суммирования всех дней с начальной даты майя Стелла из В результате мы получаем дату, приходившуюся на Киригуа новолуние 24 января 771 г. н.э.
  • 44. Математическая культура Ацтеков Мексика. Расцвет цивилизации XII в. н.э.
  • 46. Математическая культура Ацтеков пирамида Луны, храм Кетцалькоатля
  • 47. Математическая культура Ацтеков Пиктографическая рукопись ацтеков времен завоевания Мексики. Под пиктографическими рисунками испанский пояснительный текст того времени.
  • 48. Нумерация Ацтеков Название СС: Ацтекская двадцатеричная символическая непозиционная 1 2 3 4 5 6 7 8 9 единицы десятки сотни тысячи … … … … … … … Ацтеки имели солнечный календарь, не уступающий по точности современному
  • 50. Математическая культура Инков Инки вели запись чисел при помощи узелкового счета «квипу» (расчет податей, хронологические записки, бухгалтерский учет). Веревки связывались по четыре вместе и к ним присоединялась пятая веревка, на которой с помощью узлов выражалось число, являющееся суммой чисел на первых четырех веревках. Узлы для 1, 10, 100 – различной формы. Для производства арифметических опе- раций употреблялись камешки или зерна маиса Узловой счет инков (Нью-Йорк, Американский музей естественной истории)