1. Caro Professor,
Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da
rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de
todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir
de 2010.
As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por
leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que
postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note
também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações
mais recentes.
Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise
as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.
Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas
no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010,
utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.
Bom trabalho!
Equipe São Paulo faz escola.
1

2. GABARITO
Caderno do Aluno de Matemática – 2ª série – Volume 1
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
O RECONHECIMENTO DA PERIODICIDADE
Páginas 4 - 10
1. Uma possível resposta:
1  0,1 0,9
2. Amplitude:   0,45 m .
2 2
Período: 1 ano.
3. Imagem: {y  R / 0,1 ≤ y ≤ 1,0}.
2

3. As sombras longas
4.
a) Não, pois ao nascer e ao pôr do sol, os raios solares que tocam o topo da estaca e
produzem a sombra são paralelos ao solo onde está a estaca, tornando o comprimento
da sombra muito grande, não podendo mais ser medido.
b) Uma possível resposta:
c) Período: 24 horas
5.
a) Período: 2, imagem: [–1; +1], amplitude: 1
b) Período: 4, imagem: [–4; +4], amplitude: 4
c) Período: 2, imagem: [–3; +3], amplitude: 3
3

4. Páginas 10 - 11
1.
a) Uma possível resposta:
Comprimento da Mola
60
40
20
tempo
0
0,0 s 0,5 s 1,0 s 1,5 s 2,0 s 2,5 s 3,0 s 3,5 s 4,0 s
b) Período: 2 / Amplitude: 20
2.
a) Função 1 (período 8)
b) Função 2 (amplitude 2)
4

5. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
A PERIODICIDADE E O MODELO DA CIRCUNFERÊNCIA
TRIGONOMÉTRICA
Páginas 17 - 19
1.
2.  = 135º e  = 150º
3.  = 300º e  = 330º
4.
5

6. Páginas 20 - 21
1.
2. 210º e 240º
3. 45º e 225º
Páginas 21 - 26
1.
2 2
a) x = m 2 sen 45 o  cos 45 o 
2 2
m 3 3 1
b) x = sen 60 o  cos 60 o 
2 2 2
6

7. m 3 1 3
c) x = sen 30 o  cos 30 o 
2 2 2
2.
a) e b)
c)
Ângulo (º) 0 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º
Seno 0 0,5 0,7 0,9 1 0,9 0,7 0,5 0
Cosseno 1 0,9 0,7 0,5 0 –0,5 –0,7 –0,9 –1
7

8. Ângulo (º) 210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º
Seno –0,5 –0,7 –0,9 –1 –0,9 –0,7 –0,5 0
Cosseno –0,9 –0,7 –0,5 0 0,5 0,7 0,9 1
3.
Página 27
1.
2
a) b) 0 c) 0
2
3 3 3
d) e)  f) 
2 2 2
2.
a) Não.
b) Sim.
c) Sim.
8

9. d) Não.
Páginas 27 - 31
1.
comprimento
a)   3,14159
diâmetro
comprimento comprimento comprimento
b)     2  6,28318
diâmetro 2r r
2.
a) Observando o desenho, meia circunferência equivale a, aproximadamente, 3,14
rad.
b) Uma semicircunferência é equivalente a meia circunferência, como verificamos
no item (a); a medida de meia circunferência equivale a, aproximadamente, 3,14 rad.
3.
a) 1,5 rad
b) 1,5 rad
4.
a)  rad

b) rad
3
2
c) rad
3
5.
2 
a)   rad, isto é, 45º
8 4
 2  3
b) AB = rad AC =  rad AD = rad
4 4 2 4
AF = 5 rad AH 7 = rad
4 4
9

10. 6.
a) A medida do arco AC é cerca de 3,14 vezes maior do que a medida do arco AB.
3
b) O arco AD mede radianos, medida essa que é, aproximadamente, 4,7
2
radianos. Portanto, o arco AD é cerca de 4,7 vezes maior do que o arco AB.
c) Um arco de comprimento igual à circunferência mede 2 radianos, ou,
aproximadamente, 6,28 radianos. Assim, são necessários cerca de 6,28 arcos de
medida igual à do arco AB para completar uma volta da circunferência.
7.
  5  7  11
A: B:    C:    D: 2  
6 6 6 6 6 6 6
  3  5  7
E: F:    G:    H: 2  
4 4 4 4 4 4 4
  2  4  5
I: J:    L:    M: 2  
3 3 3 3 3 3 3
  4  6  9
N: P:    Q:    R: 2  
5 5 5 5 5 5 5
Páginas 31 - 32
1.
19 31
 2 
6 6
a)
23 35
 2 
6 6
31 43
 2 
6 6
b)
35 47
 2 
6 6
10

11. 2.
 5  5 13 17
a) e b) , , e
2 2 6 6 6 6
 2 7 8
c) , , e d) 0,  , 2 , 3 e 4
3 3 3 3
11

12. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
GRÁFICOS DE FUNÇÕES PERIÓDICAS ENVOLVENDO SENOS E
COSSENOS
Páginas 35 - 41
1.
Tabela 1
12

13. Tabela 2
2 e 3. A constante A está relacionada à amplitude da onda, isto é, à distância entre o
eixo horizontal e o valor máximo ou mínimo da função. A imagem da função, nesse
caso, será o intervalo
[–A, +A], se A > 0.
4.
13

14.  x
5. O período da função y = cosx é 2, enquanto o período da função y = cos   é 4.
2
6.
a)
14

15. b)
7.
a)
15

16. b)
Comparação entre os dois gráficos
 x
Função y = senx y = –1 + 2sen  
2
2
Período 2  1  = 4
 
2
Imagem [–1; +1] [–3; +1]
Amplitude 1 2
Páginas 41 - 42
1.
 x
Função y = 2 + senx y = 1 + 2cos  
4
Período 2 8
Imagem [+1; +3] [–1; +3]
Amplitude 1 2
16

17. 2. A = 5
2 1
 24  B
B 12
 x
y  5 sen 
 12 
Páginas 43 - 47
1 e 2.
y = 5senx
y = senx
y = ‐ 3senx
3. Varia a amplitude do gráfico e, portanto, também a imagem da função.
4.
a) R
b) [–A; +A]
c) 2
17

18. 5.
y = senx y = sen4x
y = sen2x
6. A diferença está no período das funções.
7.
y = senx y = sen(x/2) y = sen(x/4)
18

19. 8.
y = cos(x/2) y = cos(2x)
y = cosx
9.
a) R
b) [–A; +A]
2
c)
B
10.
a) R
b) [–5; +5]

c) e 10
2
19

20. Página 48
1. A amplitude da projeção vertical é igual a 4 cm, correspondente à medida do raio da
circunferência. O período, isto é, o tempo para o corpo completar uma volta na
circunferência, é igual a 2 segundos, o que permite concluir que o valor da constante
B é, nesse caso, igual a . Associando a medida da projeção (P) sobre o eixo vertical
ao valor do seno do arco, podemos escrever a seguinte equação: P = 4sen(t), na
qual t é dado em segundos e P em centímetros.
O gráfico da situação, para três períodos do movimento, é este:
20

21. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRIAS
Páginas 50 - 51
1.
a) Adotando x = 90, para facilitar os cálculos correspondentes ao número de dias
35 7  2 .90 
do período, tem-se: N   . sen  . Aproximando 365  360, temos:
3 3  365 
35 7 
N   sen . Portanto, N  14 horas.
3 3 2
b) Adotando x = –90, visto que junho antecede setembro em três meses, e adotando
a simplificação realizada no item anterior, temos:
35 7  35 7 28
N   sen( )    (1)   9,3 horas
3 3 2 3 3 3
35 7  2x   2 . x  4
c) 13   .sen   sen    0,6 . Precisamos responder: qual é
3 3  365   365  7
o arco, em radianos, cujo seno é igual a 0,6? A resposta, de acordo com a calculadora
2 . x
científica, é 0,64. Assim,  0,64  x  37,2 Para encontrar o dia desejado,
365
precisamos contar 37 dias a partir de 23 de setembro. Feito isso, obteremos 30 de
outubro.
21

22. A periodicidade da pressão sanguínea
Página 51
2. Professor, solicite aos alunos que analisem o gráfico e indiquem a imagem,a
120 80
amplitude e o período da função. Imagem 80,120 ; amplitude  20 ; período
2
3
0,75 =
4
3.
a)
 8 . t   8 .2 
P (t )  100  20. cos   P (2)  100  20. cos   P (2)  100  20. ( 0,5) 
 3   3 
P (2)  100  10  P (2)  110 mmHg
b)
 8 . t   8 . t   8 . t   
P(t )  100  100  20 . cos   cos   0  cos   cos  k  
 3   3   3  2 
8 . t  3  6k
  k  t  , k Z
3 2 16
Os possíveis valores de k, neste caso, são 0, 1 e 2, de modo que os valores de t serão:
3 9 15
, e segundos.
16 16 16
Páginas 52 - 53
1.
 2 (146  101)   
a) T  50. sen  7  T  50. sen   7  T  42 ºF ou
 360  4
10
T  5,5 º C .
1,8
22

23. b) A temperatura máxima ocorrerá quando o valor do seno for máximo, isto é, for
25
igual a 1. Portanto, a temperatura máxima será 57 ºF, ou  14 º C . Para que o
1,8

valor do seno seja igual a 1 é preciso que o arco seja igual a rad.
2
2 . t  101 
Assim,   t  191 . Assim, a temperatura máxima da cidade será de
360 2
14º C, 191 dias após 1º de janeiro, isto é, por volta de 10 de julho.
c) Não, pois a temperatura máxima da cidade é 14 ºC, no mês de julho. Portanto a
cidade está localizada em um país do Hemisfério Norte, em latitude alta, como, por
exemplo, Finlândia ou Noruega.
Desafio !
Página 56
 2 t 
1. y  1,8  0,5sen  , com t em dias e y em metros.
 13 
 2 .39 
2. y  1,8  0,5sen   1,8  0,5sen(6 )  1,8 m
 13 
 2 .t   2 .t   2 .t 
3. 2,05 = 1,8 + 0,5sen   0,5sen  = 0,25  sen  = 0,5 
 13   13   13 
2  2 5 13
t  2k ou t  2k , isolando t, temos: t =  13k , ou t =
13 6 13 6 12
65
 13k Atribuindo valores naturais para k, obtém-se os valores de t no intervalo
12
que se desejar.
AJUSTES
Caderno do Professor de Matemática – 2ª série – Volume 1
Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada
página.
23

24. desenhar um gráfico que reflita a periodici- Como, em média, são duas obser-
dade e que possa ser modelado por uma fun- vações por dia, o período do grá-
ção trigonométrica. Observe, por exemplo, o fico, em dias, é aproximadamente
gráfico do porto do Recife durante um perío- igual a 13 dias. Assim, a constante
do de dois meses. No eixo horizontal estão 2π
B= .
assinalados os números de observações, cujo 13
valor máximo chega próximo de 120, o que é Tábua de marés - Recife
razoável visto que ocorrem, em média, duas agosto/setembro 2004
altura (m)
marés altas por dia, e o período do gráfico 2,5
compreende 2 meses.
2
1,5
Tábua de marés - Recife
1
agosto/setembro 2004 51 – 25
altura (m) 0,5
2,5
0
2 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111
1,5
1 a) De acordo com as simplificações rea-
lizadas, qual é a equação da função
0,5 que pode ser representada por esse
0 gráfico?
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111
2π
y = 1,8 + 0,5sen t, com t em dias e y em
13
Podemos obter a equação desse gráfico, metros.
do tipo y = C + AsenBx, se fizermos algumas
b) Qual será a altura da maré no 39º dia
-
simplificações: de observação?
ff adotar que o gráfico é uma senoide. 1,8 m.
ff traçar uma linha horizontal para iden-
c) Quais serão os dias em que a maré alta
tificar a constante C da equação. No atingirá 2,05 m de altura?
caso, C ≅ 1,8.
2π 2π
ff identificar o valor da amplitude A ≅ 0,5. 2,05 = 1,8 + 0,5sen t ⇒ sen t = 0,5
13 13
ff deslocar a origem do sistema para o 2π π
⇒ t= + 2kπ
ponto de observação nº 25, de maneira
- 13 6
que todos os demais valores de observa- 2π 5π
ção passem a ser subtraídos de 25. ou t= + 2kπ . (Isolando t, tem-se:
13 6
ff identificar o período do gráfico, corres- 13 65
pondente, nesse caso, a 26 observações. t= + 13k, ou t = + 13k. Atribuindo
12 12
54