1. Caro Professor,
Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da
rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de
todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir
de 2010.
As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por
leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que
postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note
também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações
mais recentes.
Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise
as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.
Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas
no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010,
utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.
Bom trabalho!
Equipe São Paulo faz escola.
1

2. GABARITO
Caderno do Aluno de Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
OS RACIONAIS COMO MOSTRUÁRIO DAS FRAÇÕES
Páginas 5 - 6
1.
a) As classes de equivalência seriam: o conjunto dos triângulos, o conjunto
dos quadriláteros, o conjunto dos pentágonos, o conjunto dos hexágonos, etc.
b) O mostruário seria o conjunto dos tipos de polígonos: {triângulos, quadriláteros,
pentágonos, hexágonos, etc.} ou
2.
a) As classes de equivalência seriam: {1, –1}, {2, –2}, {3, –3}, {4, – 4}, {5, –5}, e
assim por diante.
b) O mostruário seria o conjunto das distâncias possíveis de um inteiro na reta até a
origem, ou seja, seria o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, ...}. Em outras palavras, estamos
escrevendo o conjunto do módulo dos números inteiros.
3.
a) As classes de equivalência seriam formadas por frações cuja soma do numerador
com o denominador é constante, começando pelo menor valor possível, que é 2,
depois 3, 4, e assim por diante:
2

3. 1
Soma igual a 2 , ou seja, 1
1
1 2
Soma igual a 3 ,
2 1
1 2 3
Soma igual a 4 , ,
3 2 1
1 2 3 4
Soma igual a 5 , , ,
4 3 2 1
...
...
1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12
Soma igual a , , , , , , , , , ,
13 12 11 10 8 7 6 5 4 3 2 1
... e assim por diante.
Assim sendo, podemos representar as classes de equivalência através do seguinte
conjunto:
3

4. Outra forma de responder à pergunta seria a construção da seguinte tabela:
b) O mostruário seria o conjunto dos valores possíveis para a soma numerador +
denominador: {2, 3, 4, 5, 6, ..., 13, 14, ...}.
A localização dos números racionais na reta
Páginas 6 - 8
4.
5.
a) 16
b) – 6
c) não existe
d) 5
e) infinitos
f) infinitos
4

5. 6. Alguns exemplos de resposta são:
1 3 5

a) 2 4  4 5
2 2 8
5 9
1
b) 4  4 9
2 2 8
c) 0,881 ou 0,882 ou ainda 0,888
d) 1,0100100010000112 ou 1,0100100010000119
Página 8
1.
9 19 17
Algumas soluções possíveis são: , , .
80 160 160
2. Nos dois intervalos há uma infinidade de números racionais. É isso que caracteriza
um conjunto denso.
3. Alguns exemplos podem ser referentes às medidas de temperatura, de massa, de
volume, de comprimento, etc.
5

6. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
AS DÍZIMAS PERIÓDICAS SÃO PREVISÍVEIS...
Desafio!
Página 10
Páginas 11 - 12
1. É possível constatar que frações irredutíveis em que o denominador é formado
apenas por fatores primos 2, 5 ou 2 e 5 geram decimais exatos quando o numerador é
dividido pelo denominador.
Para que se possa generalizar alguma conclusão obtida baseando-se na tabela, é
conveniente que sejam consideradas frações com numerador e denominador maiores
27 124
que 9, como ou .
160 125
6

7. 2. Quando for possível simplificar os termos da fração, eliminando o fator 3 do
9 3
denominador, como em   1,5 .
6 2
3. Sim. Os dados observados na tabela indicam que os denominadores 3 geram dízimas
periódicas, quando o numerador não é múltiplo de 3.
4. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29.
5. Analisando os valores desse conjunto com os dados da tabela, observa-se que,
excetuando-se os fatores 2 e 5, todos os outros gerarão uma dízima periódica. Dessa
forma podemos concluir que, se o denominador tiver um fator diferente desses dois,
a fração irredutível gerará uma dízima.
6. Nesse caso, o aluno deve escrever frações irredutíveis, cujo denominador não seja
múltiplo de 2 ou de 5.
Páginas 12 - 14
1. Quando o denominador tem fatores primos que não são 2 ou 5.
1 7 9 3
2. Algumas possíveis soluções seriam: , , , ,...
5 4 10 25
Desafio!
Página 14
5
Seguindo o processo discutido em sala, podemos deduzir que em , como o
7
5
primeiro resto é 5, seu desenvolvimento será: = 0,714285…
7
7

8. Páginas 15 - 16
1.
10 3
a) = 0,769230… c) = 0,230769…
13 13
9 4
b) = 0,692307… d) = 0,307692…
13 13
2. Observando na tabela a coluna dos restos, como ela não apresenta o resto igual a 2,
2 1
ela não permite prever o desenvolvimento de
13
a partir de
13
. Portanto, temos a
2
necessidade de efetuar a divisão de
13
.
Nessa divisão, além do resto 2, aparecem outros restos que não estavam presentes na
primeira tabela: {2, 5, 6, 7, 8, 11}. Agora, de posse desse novo desenvolvimento,
7 11 8
podemos escrever as frações
13
, 13 e 13 observando o caráter cíclico dos
quocientes:
7 11 8
= 0,538461… = 0,846153… ou = 06153846…
13 13 13
As tabelas juntas formam, agora, todos os restos que podem ser numeradores ou
frações irredutíveis de denominador 13: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
8

9. 1
Diferente da fração , em que todos os possíveis restos apareceram na primeira
7
1
tabela, na fração tivemos necessidade de construir duas tabelas.
13
3.
25
a)
9
45
b)
99
1 222
c)
990
316 697
d)
99 990
Páginas 16 - 17
7
1. .
2
2. Inicialmente, coloca-se o x em evidência: x(3 + 0,1 + 0,05 + 0,005 + 0,0005 +...) = 4.
Observamos então que o coeficiente de x é uma dízima periódica: (3,15555...)x = 4.
Encontrando sua geratriz, podemos resolver o problema:
284 90  90 
x  4 , isto é, x  Solução  
90 71  71 
9

10. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
DO GOOGOL AO ANGSTROM, UM CAMINHO PARA AS
POTÊNCIAS
Páginas 18 - 19
1.
a) Considerando-se o ano com 365 dias de 24 horas, a resposta exigirá o seguinte
cálculo: 365 . 24 . 60 . 60 . 3 . 108 = 9 460 800 000 000 000 m = 9,4608 . 1015 metros.
b) Para responder a essa pergunta, se escrevermos os valores em notação científica,
1,5 . 1011
teremos: 15
 1,58 .10 5  0,0000158 anos-luz.
9,4608 . 10
c) Como a distância da Terra ao Sol é de, aproximadamente, 1,5 . 1011 metros e a
velocidade da luz é de 3 . 108 m/s, um feixe de luz demorará
1,5 . 1011
 500 segundos para atingir a Terra, o que é, aproximadamente, 8 minutos e
3 . 10 8
20 segundos. Para efeito de comparação, o professor pode comentar que um feixe de
luz, em um segundo, dá, aproximadamente, 7 voltas e meia em torno da Terra.
Página 19
Resposta pessoal. Exemplo: uma unidade de medida para medir grandes distancias é
a unidade astronômica abreviada por UA, que corresponde a distancia média entre a
Terra e Sole, cujo valor corresponde a 1,4 96 x 1011m = 1,496,108Km> Para calcular
algumas medidas em UA, utiliza-se o valor aproximado de 1,5 x 108 Km, ou seja,
150 000 000 Km. No entanto, a medidas mais utilizada pelos astrônomos é o ano luz
(  9,5 x 10 12 km) ou o parsec (  3 x 1013 km)
10

11. Página 20
1. Para medir distâncias grandes é mais prático o uso de uma unidade grande. Na
Astronomia existem unidades menores que o ano-luz, como a “unidade
astronômica”, que é a distância média entre a Terra e o Sol, ou seja, 150 000 000 km.
O parsec, que corresponde a cerca de 3,26 anos-luz, é usado normalmente para
indicar distâncias entre as estrelas ou as galáxias.
Páginas 20 - 21
1.
a) 6,7.109 pessoas.
b) 2,3.109 segundos.
c) 1,9.1012 de reais.
Página 22
1. Para resolver essa atividade, primeiro temos que converter km³ em cm³
(1 km³ = 1 . 1015 cm³), o que indicará a massa de água na Terra (  1,4 . 10 24 gramas).
Como sabemos (pela tabela) que 1g de água tem 3 . 10 22 moléculas, então o número
de moléculas no total de água da Terra é, aproximadamente, igual a 4,2 . 10 46 .
Aproximando-se grosseiramente esse número para 1050, pode-se discutir com os
alunos que esse número é muito menor que 1 googol. Muitos alunos poderão pensar,
à primeira vista, que 1050 é metade de 1 googol, o que não é verdade. Se dividirmos 1
googol por 1050, o resultado será 1050, que é o número de vezes que o número de
moléculas na água da Terra caberia dentro de 1 googol.
11

12. Páginas 23 - 24
1. Resposta livre.
2.
3.
Página 25
Resposta pessoal.
12

13. 4.
Página 26
1. 1 angstrom corresponde a 10–10 m.
2. Para determinar a quantidade de fios de cabelo que correspondem a 1 metro, basta
1
que façamos a divisão: = 39 370 fios. O professor pode ainda discutir com
2,54 .10 5
os alunos que, como, em média, o ser humano tem 100 000 fios de cabelo, podemos
também concluir que todos os fios de cabelo de um indivíduo, quando alinhados por
seus diâmetros, resultariam cerca de 2,54 metros (2,54 . 10–5 . 100 000).
3. A solução desse problema exige que efetuemos os seguintes cálculos:
3.10 2 1,875.10 3
= 1,875 . 103 horas, o que corresponde a = 78,125 dias, ou seja,
1,6 .10 5 24
78 dias e 3 horas.
13

14. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
AS POTÊNCIAS E A MEMÓRIA DO COMPUTADOR
Páginas 32 – 33
1. A tabela preenchida ficará da seguinte forma:
a) Como podemos observar, a última letra do alfabeto que pode ser representada
com 4 bits é a letra P. Daí para frente temos de acrescentar outros bits.
b) A letra representada pelo número 0111 é a letra H.
14

15. 2. 28 ou 256 informações.
3. Para responder a essa atividade, podemos aplicar não só o raciocínio inverso, como
também trabalhar com a estimativa. Seriam necessários ao menos 10 bits, pois 29 é
igual a 512 e 210 é igual a 1 024.
Múltiplos de byte
Páginas 33 - 34
4.
a) 10 . 106 = 107 bytes
10 9
b) 3
 10 6 quilobytes
10
10 2.10 3
c) 9
 10  4 gigabytes
10
2 .10.1012
d) 6
 2.10 7 megabytes
10
10 6
e) 12
 10 6 terabytes
10
5.
21.2 20
a) 10
 211 quibibytes
2
b) 2 4.2 30  2 34 bytes
210
c)  2 10 mebibytes
2 20
d) 5.21.2 40  5.2 41 bytes
2 5.210
e) 30
 2 15 gibibytes
2
6.
a) Basta transformar 700 mebibytes em megabytes.
15

16. 7.10  . 2
2 20

7.2 20 7 . 1 048 576
  734 megabytes.
10 6 10 4 10 000
Portanto, a capacidade efetiva do CD-ROM é de 734 MB.
b) Basta transformar 4,7 gigabytes em gibibytes.
47.10 .10
1 9

47.10 8 4 700 000 000
  4,4 gibibytes.
2 30 2 30 1 073 741 824
Portanto, a capacidade em base binária do disco de DVD é de 4,4 gibibytes.
Páginas 35 - 39
1. 23 − 1 = 7
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1 0
1 0 1
0 1 1
1 1 1
2. 25 – 1 = 31
16

17. 3.
n 2 elevado a n Número de algarismos
0 1 1
1 2 1
2 4 1
3 8 1
4 16 2
5 32 2
6 64 2
7 128 3
8 256 3
9 512 3
10 1 024 4
11 2 048 4
12 4 096 4
13 8 192 4
14 16 384 5
15 32 768 5
16 65 536 5
17 131 072 6
18 262 144 6
19 524 288 6
20 1 048 576 7
21 2 097 152 7
22 4 194 304 7
23 8 388 608 7
24 16 777 216 8
25 33 554 432 8
26 67 108 864 8
17

18. 4. Utilizando o recurso gráfico das planilhas eletrônicas, encontramos um gráfico
semelhante a esse:
5.
n 2 elevado a n Número de algarismos
39 5,498E+11 12
40 1,100E+12 13
41 2,199E+12 13
42 4,398E+12 13
43 8,796E+12 13
44 1,759E+13 14
6. Para responder a essa pergunta, podemos proceder com algumas estratégias próprias,
como efetuar com a contagem da quantidade de algarismos baseando-se nos dados da
tabela na sequência: 4, 3, 3, 4,
18

19. Outra forma é utilizar o gráfico dos colegas e ajustar, pelo menos quatro deles,
fazendo coincidir os pontos iniciais e finais até encontrar o valor correspondente ao
expoente 100.
Contudo, podemos buscar uma forma mais simples para se chegar à solução do
problema. Para isso, investigaremos, no gráfico, uma correspondência entre a
variação de algarismo e do expoente. A ideia é perceber que, a cada variação de 10
no expoente, há um acréscimo de 3 algarismos na escrita por extenso da potência de
2, isto é, há uma variação de 3 no número de algarismos. Basta, portanto, fazermos a
relação 10 para 3. Contudo, como a sequência parte do 1, devemos acrescentar uma
unidade no resultado dessa relação. Assim, para encontrarmos o número de
algarismos do desenvolvimento de 2100, devemos fazer a seguinte relação: se a cada
10 no expoente acrescentamos 3 no número de algarismos, quando o expoente for
100 teremos acrescentado 30 algarismos. Como a sequência da quantidade de
algarismos partiu do 1, teremos como solução 31 algarismos. Isso é o mesmo que
realizar as seguintes operações:
100
 10 10 . 3 = 30 30 + 1 = 31 algarismos
10
Agora vamos observar o que acontece quando o expoente não é múltiplo de 10, como
é o caso de 36 e 37.
36
 3,6 3,6 . 3 = 10,8 10 + 1 = 11 algarismos
10
37
 3,7 3,7 . 3 = 11,1 11 + 1 = 12 algarismos
10
Como vemos, a casa decimal resultante do produto por 3 é ignorada na determinação
do número de algarismos da escrita por extenso, o que percebemos quando ligamos
por um traço os pontos do gráfico.
AJUSTES
Caderno do Professor de Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada
página.
19

20. Estado: Número
menos 10 bytes, pois 29 é igual a 512 e 210 é
Configuração
dos capacitores
D – desligado binário Letra igual a 1 024.
L – ligado (4 casas)
D –D – D –D 0000 A Múltiplos de byte
D–D–D–L 0001 B No Sistema Internacional, os prefixos qui-
D–D–L–D 0010 C lo, mega e giga expressam diferentes potências
D–D–L–L 0011 D de dez. Assim, um quilobyte (Kb) equivale a
D–L–D–D 0100 E 103 bytes, um megabyte (Mb) a 106 bytes, um
D – L –D – L 0101 F
gigabyte (Gb) a 109 bytes, e assim por diante.
D–L–L–D 0110 G Atividade 4
D–L–L–L 0111 H
Com base no Sistema Internacional,
L–D–D–D 1000 I
complete a tabela a seguir fazendo as
L–D–D–L 1001 J transformações pedidas. Dê a resposta na
L–D–L–D 1010 K forma de potência de dez.
L–D–L–L 1011 L a) 10 megabytes em bytes
L–L–D–D 1100 M
10 . 106 = 107 bytes.
b) 1 gigabyte em quilobytes
L–L–D–L 1101 N
109
L–L–L–D 1110 O = 106 quilobytes
103
L–L–L–L 1111 P
c) 100 quilobytes em gigabytes
b) A letra representada pelo número 0111 é 102 . 103
= 10–4 gigabytes
a letra H. 109
d) 20 terabytes em megabytes
Atividade 2
2 . 10 . 1012
= 2 . 107 megabytes
Um byte é composto por oito bits. Quan- 106
tas informações podem ser armazenadas em e) 1 megabyte em terabytes
um byte? 106
= 10–6 terabytes
1012
28 ou 256 informações.
Atividade 5
Atividade 3 Já no sistema binário, os prefixos usa-
Quantos bytes seriam necessários para ar- dos expressam potências de dois. Um quibi-
mazenar 1 000 informações? byte (Kib) equivale a 210 bytes, um mebibyte
(Mib) a 220 bytes, um gibibyte (Gib) a 230
Neste item o aluno deve aplicar não só o bytes, e assim por diante. Faça as transfor-
raciocínio inverso, como também trabalhar mações a seguir e dê as respostas na forma
com a estimativa. Seriam necessários ao de potência de dois.
40
MAT_CP_7a_vol1_FINAL.indd 40 4/22/09 1:11:39 PM