01 - Conjuntos

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01 - Conjuntos

  1. 1. 01 - Conjuntos CONJUNTOS PRELIMINARES Na Matemática, tratamos o conceito de conjunto como conceito primitivo, portanto sem definição. Intuitivamente, aceitamos por conjunto uma coleção ou classe de objetos bem definidos, e os objetos que formam o conjunto são chamados elementos do conjunto. Exemplos: Conjunto dos meses do ano. Conjunto das letras do alfabeto. Conjunto dos números naturais maiores que 2. Convenções: Os conjuntos são designados, geralmente, por letras maiúsculas: A, B, C, D, , Z . Os elementos são indicados, geralmente, por letras minúsculas: a, b, c, d, , z . REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO Podemos representar um conjunto enumerando os seus elementos entre chaves e separados por vírgulas. Exemplos: 1. Sendo V o conjunto das vogais, representamos: V = {a, e, i, o, u} 2. Sendo I o conjunto dos números ímpares menores que 50: I = {1, 3, 5, 7, , 49} 3. Sendo I o conjunto dos números ímpares menores que 50: P = {2, 4, 6, 8, } Uma outra maneira de representamos um conjunto consiste em enunciarmos uma propriedade característica do conjunto, isto é, uma propriedade comum aos seus elementos e somente a eles. Exemplo: D = {x | x é dia da semana} A barra vertical ( | ) significa “tal que”. Lê-se: “D é o conjunto dos elementos x, tais que x é dia da semana”. Observe: A letra x representa um elemento genérico e a sentença “x é dia da semana” é a propriedade característica do conjunto. Outros exemplos: I = {x | x é impar} P = {x | x é par e maior que 3} ~1~
  2. 2. PERTINÊNCIA Se um elemento x é um elemento de um conjunto A, escrevemos: x  A (que se lê: x pertence ao conjunto A) Por outro lado, se o elemento x não é elemento de A, escrevemos: x  A (que se lê: x não pertence ao conjunto A) EXERCÍCIOS 1) Represente os seguintes conjuntos, enumerando os seus elementos entre chaves: a) b) c) d) e) f) g) h) i) D = {x | x é dia da semana} V = {x | x é vogal do nosso alfabeto} L = {x | x é par e maior que 3} M = {x | x  e x > 7} J = {x | x  e x < 2} U = {x | x  e x > 4 e x < 6} T = {x | x  e 3 < x < 7} S = {x | x  e 2 < x < 5} E = {x | x  e 3  x < 6} IGUALDADE DE CONJUNTOS Dizemos que um conjunto A é igual a um conjunto B e escrevemos: A=B quando A e B possuem os mesmos elementos, ou seja, todo elemento de A pertence a B e todo elemento de B pertence a A. Exemplo: Se A = {a, e, i, o, u} e B = {i, a, o, e, u} então A = B , pois todo elemento de A pertence a B e vice-versa. Observe que um conjunto não se modifica quando trocamos a ordem dos seus elementos. CONJUNTO VAZIO O conjunto que não possui nenhum elemento chama-se conjunto vazio e é representado pelo símbolo  . Exemplos: 1. Sendo A o conjunto dos meses do ano com mais de 31 dias, A é um conjunto vazio, pois nenhum mês do ano tem mais de 31 dias. Representamos A =  ou usando o par de chaves A = { } . 2. Sendo B o conjunto dos dias da semana que iniciam pela letra r, então B =  ou B = { } . 3. Sendo C = {x | x  e x < 0} , então C =  . CONJUNTO UNITÁRIO O conjunto que possui apenas um elemento chama-se conjunto unitário. Exemplos: 1. Sendo B o conjunto dos meses do ano cujos nomes iniciam pela letra d, B é um conjunto unitário, pois apenas dezembro inicia por d: B = {dezembro} . ~2~
  3. 3. 2. Sendo R o conjunto das consoantes da palavra era, R é um conjunto unitário: R = {r} . 3. Sendo A = {x | x  e 3 < x < 5} , A é unitário: A = {4} . SUBCONJUNTOS Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B quando todo elemento de A é também elemento de B. A relação A é subconjunto de B é representada por: A  B (e também se lê: A está contido em B) ou ainda: B  A (que se lê: B contêm A) Exemplo: Sendo A = {1, 2} e B = {1, 2, 3, 4} , então A  B , pois todo elemento de A é também de B. Contra-exemplo: Sendo E = {1, 5} e D = {1, 2, 3, 4} , então E não é subconjunto de D, portanto D não contém E. Em símbolos: E  D (lê-se: E não está contido em D) D  E (lê-se: D não contêm E)  Para tornar mais claro o exemplo e o contra-exemplo dados, vamos representar os conjuntos usando os diagramas de Venn, que consistem em representar um conjunto pela região limitada por uma curva fechada: Notas: a) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. b) Os símbolos  e  devem ser usados exclusivamente relacionando elemento e conjunto. c) Os símbolos  ,  ,  e  devem ser usados exclusivamente relacionando dois conjuntos.  EXERCÍCIOS 2) Determine o valor de x: a) {3, 4, 5} = {3, 4, x} b) {1, 7, x, 8} = {8, 7, 1, 9} 3) Classifique os conjuntos abaixo em vazio ou unitário: a) b) c) A = {x | x  B = {x | x  C = {x | x  e x < 1} e x < 2 e x é par} e x < 4 e x > 3} d) e) D = {x | x  E = {x | x  e 7 < x < 9} e x  x} 4) Dê os subconjuntos: Modelo: A = {x, y} , os conjuntos de A são: {x} , {y} , {x, y} ,  . a) b) B = {4, 7} C = {a, b, c} ~3~
  4. 4. 5) Passe para linguagem corrente: Modelo: a) b) A  B A está contido em B. M  N P  A 6) Sendo c) d) E  F  xA A = {x, y, z} , coloque V (verdadeiro) ou F (falso): c) {y}  A d) z  A a) x  A b) {y}  A UNIÃO DE CONJUNTOS Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B e se indica A  B (A união B) o conjunto cujos elementos pertencem a A ou a B. Exemplos: 1. A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5, 6} A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. V = {vogais do nosso alfabeto} C = {consoantes do nosso alfabeto} V  C = {a, b, c, d, e, ..., z} 3. Resumindo: Definição de união ou reunião de conjuntos: A  B = {x | x  A ou x  B} INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A e B e se indica A  B (A inter B) o conjunto cujos elementos são comuns a A ou a B, isto é, que pertencem a A e também a B. Exemplos: 1. A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5, 6} A  B = {3, 4} 2. V = {vogais do nosso alfabeto} C = {consoantes do nosso alfabeto} V  C= ~4~
  5. 5. 3. Resumindo: Definição de intersecção de conjuntos: A  B = {x | x  A e x  B} EXERCÍCIOS 7) Dados os conjuntos: A = {1, 2, 3, 4} ; B = {1, 7, 9}; C = {3, 4, 8} e D =  , determine: AB AB AC a) b) c) d) e) f) AC AD BA g) h) i) BA AA  A  B  C DIFERENÇA DE CONJUNTOS Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre os conjuntos A e B nessa ordem e se indica A  B o conjunto cujos elementos pertencem a A mas não pertencem a B. Exemplos: A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5, 6} A  B = {1, 2} 1. 2. M = {3, 5, 6} P = {3, 5, 6, 7} M  P= 3. R = {1, 2, 3, 4} S = {3, 4, 5, 6} S  R = {5, 6} 4. CONJUNTOS COMPLEMENTARES Particularmente, quando B é um subconjunto de A, a diferença A  B chama-se conjunto complementar de B em relação a A: C C B A B A =A  B (lemos: complementar de B em relação a A) ~5~
  6. 6. Exemplos: A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 2} 1. C B A 2. = 3, 4 A = {a, b, c} B = {a, b, c} C B A = 3. EXERCÍCIOS 8) Hachure a operação indicada: 9) Dados os conjuntos: A = {x, y, z, w} ; B = {x, y} ; C = {a} e D = {a, x, y, z, w} , determine: a) b) c) d) AB B A C e) f) g) B A AC h) D A AD C C D AD i) j) k) BC AB C CD  B l) C C D B CONJUNTOS NUMÉRICOS Os principais conjuntos numéricos recebem as seguintes notações: * Conjunto dos Números Naturais : = {0, 1, 2, 3, 4, ...} Nota: O * (asterisco) é usado para indicar a supressão do zero. Assim: * = {1, 2, 3, 4, ...} ~6~
  7. 7. * Conjunto dos Números Inteiros : = {...,  3,  2, 1, 0, 1, 2, 3, ...} (inteiros não negativos)  = {0, 1, 2, 3, ...}  = {...,  3,  2,  1, 0} (inteiros não positivos) * Conjunto dos Números Racionais a =  |a  b :  e b  *  Números racionais são todos os números que podem ser representados na forma a , com a e b inteiros e b difeb rente de zero. Exemplos: 7= 7 1 2,5 = 25 5 = 10 2 0,666... = 6 2 = 9 3 Nota: Os números que não podem ser expressos na forma a , com a e b inteiros e b diferente de zero, chamam-se b irracionais. Exemplos: 2  1,414213... 3  1,7320... * Conjunto dos Números Reais   3,1415... : O conjunto dos números racionais reunido com o conjunto dos números irracionais forma o conjunto dos números reais. Sendo: (racionais) ΙΙ (irracionais)  ΙΙ = (reais) Assim, os números reais podem ser racionais ou irracionais. Os reais racionais, quando expressos na forma decimal, ou são decimais exatos ou têm infinitas casas, porém periódicas. Os reais irracionais, representados aproximadamente na forma decimal, têm infinitas casas decimais e não periódicas. Exemplos: 1. 7   0,8    reais racionais 5,3232...  9  2. 2,81828...   reais irracionais 3,1415...  ~7~
  8. 8. Através dos diagramas de Venn visualizamos melhor a relação entre os conjuntos numéricos. Observe: A RETA REAL Os números reais são representados graficamente considerando a correspondência biunívoca existente entre os pontos de uma reta e os números reais. Assim, a cada ponto da reta corresponde um e um só número real a cada número real é correspondente de um único ponto. Por outro lado, assim como entre dois pontos de uma reta há infinitos pontos, também entre dois números reais quaisquer existem infinitos números reais: INTERVALOS NUMÉRICOS Considerando dois números reais a e b, sendo a < b , vamos definir alguns subconjuntos de tervalos numéricos de extremos a e b. , chamamos in- Por exemplo, sendo a = 5 e b = 8 , o conjunto dos infinitos números reais compreendidos entre 5 e 8 é um subconjunto de chamado intervalo numérico de extremo 5 e 8. Um intervalo pode incluir ou não os extremos, daí termos a seguinte classificação: * Intervalo fechado Quando inclui os extremos a e b . Notação: [ a, b ] Na reta real: Subconjunto de {x  | a  x  b} Exemplo: {x  [ 5, 8 ] | 5  x  8} * Intervalo aberto Quando não inclui os extremos a e b . Notação: ] a, b [ Na reta real: Subconjunto de {x  | a  x < b} Exemplo: ] 5, 8 [ {x  | 5  x  8} ~8~
  9. 9. * Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita Quando a e não inclui b . Notação: [ a, b [ Na reta real: Subconjunto de {x  | a  x < b} Exemplo: {x  [ 5, 8 [ | 5  x  8} * Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita Quando não inclui a e inclui b . Notação: ] a, b ] Na reta real: Subconjunto de {x  | a  x  b} Exemplo: {x  ] 5, 8 ] | 5  x  8} Exemplos: 1. Dados os intervalos: A = [ 3, 7 [ e B = ] 1, 5 [ Pedem-se: A  B e A  B Colocando esses intervalos na reta real, temos: Observações: Na união temos todos os elementos de A e todos os elementos de B. Na intersecção temos apenas os elementos comuns a A e B. Assim: A  B = ] 1, 7 [ e A  B = [ 3, 5 [ 2. Dados os conjuntos: A = {x  | 2  x  4} e B = {x  Pedem-se: A  B e A  B Então: A  B = ] 1, 4 ] ou A  B = {x  A  B = [ 2, 3 [ ou A  B = {x  | 1 < x < 3} | 1 < x  4} | 2  x  3} ~9~
  10. 10. EXERCÍCIOS 10) Represente na reta real: a) b) c) [ 3, 5 ] ] 1, 2 ] {x  | 3  x < 5} {x  {x  d) e) | 0 < x < 4} | 1 < x  3} 11) Associe a coluna da direita com a da esquerda: ( ) [ 3, 5 [ b) ( ) {x  c) ( ) ( ) ] 3, 5 [ a) d) [ 3, 5 ] {x  | 3  x < 5} | 3  x  5} 12) Usando a notação de desigualdade escreva as seguintes relações entre números da reta real. Modelo: a) b) c) d) e) x está à direita do 3 Escrevemos: x > 3 ou 3 < x y está à esquerda do 7 z está à direita do 0 w está entre 5 e 8 t está entre  1 e 1 r está à direita de  3 13) Escreva os seguintes subconjuntos de Modelo: a) b) c) d) e) usando a notação de conjuntos: Subconjunto dos números reais menores que 4. Solução : {x  | x < 4} Subconjunto dos números reais maiores que 5. Subconjunto dos números reais maiores que 7 e menores que 10. Subconjunto dos números reais maiores que  8 e menores que 3. Subconjunto dos números reais maiores ou igual a 3 e menores que 4. Subconjunto dos números reais positivos e menores que 5. 14) Dados os intervalos abaixo, obtenha as uniões e intersecções: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) [ 1, 3 ] ] 3, 5 [ [ 2, 5 [ [ 1, 6 ] {x  {x  {x  [ 0, 3 ] {x  {x  e ] 2, 5 ] e [ 1, 6 ] e ] 1, 4 [ e ] 2, 7 [ | 1  x  4} e {x  | 2  x  5} | 2  x  5} e {x  | 0  x  3} | x  0} e {x  | x  3} e ]  4, 4 [ | x < 0} e {x  | x > 0} | -1  x < 8} e {x  | 7  x  9} ~ 10 ~
  11. 11. ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA: 15) A região hachurada do diagrama abaixo corresponde ao conjunto: B B B A a) b) c) d) A A A B 16) Se A  B = B e A  B = A , então: a) b) A  B A  B c) d) B  A A  B= 17) Dado o diagrama abaixo, então: a) b) c) 3B 3  A 3, 4  A d) 4, 5 18) Se A  B = 6, 8, 10 , A = 4, x, 8, 10 e B = 2, x, y, 10, 12 , então x e y são respectivamente: a) b) 4e6 2e6 19) Sendo a) b) B c) d) P  (cidades brasileiras) , então podemos afirmar que: Brasília  P Brasília  P 20) Sendo 8 e 10 6e8 c) d) P  Brasília N.R.A. R  (pessoas que vivem em Brasília) , T  (pessoas que vivem no Brasil) , então podemos afirmar que: a) b) R  T RT 21) Se A  B , então necessariamente: a) b) A  B= A  B=A 22) Dados os conjuntos a) b) c) d) c) d) {1, 6} {5, 8} 2 3 24) Sendo A e B dois conjuntos tais que a) b) A  B= AB  A A  {1, 3, 4, 6} , B  {3, 5, 7, 8} e C  {1, 5, 6, 8} , então (B  A)  C é igual a: 23) O número de elementos do conjunto a) b) T  R a, b, c são corretas A  B=A A  B=B  A= c) d) {1} {3, 7} A  {, {}, {{}}} é: c) d) 4 5 A  B , podemos afirmar que: c) d) B  A=B A  B é o conjunto universo ~ 11 ~
  12. 12. 25) Os valores reais de x que pertencem ao intervalo 0 a 1, aberto à direita e fechado à esquerda, são: a) b) 0  x  1 0<x<1 c) d) 0  x<1 x < 0 ou x > 1 APLICAÇÃO DA TEORIA DOS CONJUNTOS NA RESOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS Exemplos: 1. Se dois conjuntos A e B têm 25 elementos, A tem 18 elementos e há 3 elementos comuns, então quantos elementos tem o conjunto B? Como o número de elementos da intersecção de A e B que se indica n(A  B) = 3 , temos no diagrama: Se o número de elementos de A n(A) = 18 , no diagrama temos 18  3 = 15 elementos que pertencem somente a A. O número total de elementos n(A  B) = 25 ; assim, elementos somente de B: 25  15  3 = 7 . Assim, B tem 10 elementos. Algebricamente podemos escrever: n(A  B) = n(A) + n(B)  n(A  B) 25 = 18 + 10  3 Essa expressão algébrica pode ser generalizada 2. Numa cidade são consumidos três produtos: A, B e C. No mês passado, um levantamento sobre o consumo desses produtos apresentou os seguintes resultado: Observe que todas deste levantamento consumiram pelo menos um dos três produtos. Então pergunta-se: a) Quantas pessoas consumiram somente o produto A? b) Quantas pessoas consumiram somente um produto A, B ou C? c) Quantas pessoas consumiram mais de um produto? ~ 12 ~
  13. 13. 1º) Com base nos dados, fazemos o diagrama abaixo e colocamos inicialmente os elementos comuns nos três n(A  B  C) = 5 ; 2º) Em seguida, com n(A  B) = 30 , n(A  C) = 20 e n(B  C) = 15 e subtraindo 5 de cada uma dessas intersecções, colocamos no diagrama: 3º) Completamos cada conjunto A, B e C levando em conta os elementos já colocados, no A por exemplo, faltam 80  25  15  5 = 35 e assim por diante: Respondendo às perguntas temos: a) Consumiram apenas o produto A: 35 pessoas. b) Consumiram somente um produto, A, B ou C: 35 + 30 + 60 = 125 pessoas. c) Consumiram mais de um produto: 15 + 25 + 10 + 5 = 55 pessoas. EXERCÍCIOS 26) Num grupo de pessoas pesquisadas todas assinavam pelo menos um dos dois jornais A e B: 50 assinavam o jornal A; 80 o jornal B e 30 assinavam A e B. Qual o total de assinantes? 27) Numa escola 150 alunos estudam Matemática, 20 estudam Português e Matemática e os 30 restante estudam outras disciplinas. Pergunta-se: Qual o total de alunos da escola? 28) Num clube exatamente 30% dos sócios praticam futebol, 80% vôlei. Se todos os sócios praticam pelo menos um dos dois esportes, qual é o percentual de praticantes dos dois? ~ 13 ~
  14. 14. 29) A tabela abaixo é o resultado de uma pesquisa feita em uma cidade sobre o consumo de três produtos: Com base nesta tabela, pergunta-se: a) Quantas pessoas foram pesquisadas? b) Quantas consomem apenas um dos produtos? c) Quantas não consomem o produto C? d) Quantas consomem só dois produtos? 30) Em um condomínio de 600 famílias, 315 possuem carro, 240 famílias possuem TV e 182 não possuem nem carro nem TV, Pergunta-se: a) Quantas possuem carro ou TV? b) Quantas possuem carro e TV? c) Quantas possuem carro e não possuem TV? ~ 14 ~
  15. 15. Gabarito 1) a) D = {domingo, segunda, b) V = {a, e, i, o, u} c) L = {4, 6, 8, } d) M = {8, 9, 10, 11, } e) J = {0, 1} f) V = {5} g) T = {4, 5, 6} h) S = {3, 4} i) E = {3, 4, 5} , sábado} 9) a) unitário b) unitário c) vazio d) unitário 4) a) {4}, {7}, {4, 7},  b) {a}, {b}, {b}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c},  5) a) M contém N b) P não está contido em A c) E não contém F d) x pertence a A 6) a) V 7) a) {1, 2, 3, 4, 7, 9} b) {1} c) {1, 2, 3, 4, 5, 8} d) {3} e) {1, 2, 3, 4} e) b) x = 9 3) d) b) a) x = 5 8) a) g) {x, y, z, w} h) {x, y, z, w} i) {x, y, a} j) {x, y} k)  l) {x, y, z, w} 10) a) 2) b) F a) {z, w} b)  c) {z, w} d) {x, y, z, w} e) {a} f)  c) c) V e) vazio d) F f) {1, 2, 3, 4, 7, 9} g) {1} h) {1, 2, 3, 4} i) {1, 3, 5, 8} d) 11) (d), (b), (a), (c) 12) a) y < 7 ou 7 > y b) z > 0 ou 0 < z c) 5 < w < 8 d) 1 < t < 1 e) r >  3 ou 3 < r 13) a) x  | x > 5 b) x  | 7 < x < 10 c) x  |  8 < x < 3 d) V = x  | 3  x < 4 e) x  | 0  x < 5 14) a) [ 1, 5 ] e ] 2, 3 ] b) [ 1, 6 ] e ] 3, 5 [ c) ] 1, 5 [ e [ 2, 4 [ d) [ 1, 7 [ e ] 2, 6 ] e) [ 1, 5 [ e ] 2, 4 ] f) ] 0, 5 [ e ] 2, 3 [ g) e [ 0, 3 [ h) ]  4, 4 [ e [ 0, 3 ] i) * e  g) ]  1, 9 [ e ] 7, 8 [ 15) b e) 17) c 18) d 19) a b) 16) c 20) a 21) b 22) b 23) b 24) b 25) c 26) 100 pessoas c) f) 27) 180 alunos 28) 10% 29) a) 10 130 pessoas b) 111 30) a) 418 b) 137 c) 10 060 d) 18 pessoas c) 178 famílias ~ 15 ~

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