Apostila Professor Linhares

Apostila de Matemática
Professor: Linhares e Júlio.

[...] a Matemática procura compreender os modelos
que permeiam o mundo que
nos rodeia assim como a mente dentro de nós. […]
Assim é necessário enfatizar:
— a procurar de soluções, e não apenas a
memorização de procedimentos;
— a exploração de modelos, e não apenas a
memorização de fórmulas;
— a formulação de conjecturas, e não apenas a
resolução de exercícios.
[...] com essas ênfases, os estudantes terão a
oportunidade de estudar a Matemática
como uma disciplina exploradora, dinâmica, que se
desenvolve, em lugar
de ser uma disciplina que tem um corpo rígido,
absoluto, fechado, cheio de regras
que precisam ser memorizadas.
Shoenfeld (1992).

26/01/2011

Análise Combinatória
Fatorial de um número:

n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1

Definições especiais: 0!=1
1!=1

100!101!
1) Calcule o valor da expressão .
99!
100!101! 100.99!101.100.99!
  100  101.100  100  10100  10200
99! 99!

( x  1)!
2) Resolva a equação  56.
( x  1)!
( x  1)! ( x  1)( x)( x  1)!
 56   56  ( x  1)( x)  56  x 2  x  56 
( x  1)! ( x  1)!
 1  225  1  15 x  7
 x 2  x  56  0  x   x 
2 2 x  -8
Resposta : x  7, pois não existe fatorial de um número negativo.

3) Quatro times de futebol (Grêmio, Santos, São Paulo e Flamengo) disputam o torneio dos
campeões do mundo. Quantas são as possibilidades para os três primeiros lugares?
R : Existem 4 possibilidades para o 1º lugar, sobrando 3 possibilidades para o 2º lugar e 2
possibilidades para o 3º lugar  4.3.2  24 possibilidades.

Arranjo simples:

n!
An, p 
(n  p)!

A6, 2  A4,3  A5, 2
4) Calcule .
A9, 2  A8,1
6! 4! 5!
 
A6, 2  A4,3  A5, 2 (6  2)! (4  3)! (5  2)! 30  24  20 34 17
   
A9, 2  A8,1 9! 8! 72  8 80 40

(9  2)! (8  1)!

Prof: Linhares e Júlio Página 2

5) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com o algarismos do
sistema decimal (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) sem os repetir, de modo que :
a) COM ECEM COM 1.
R : O número pode possuir três algarismos , sendo que para o primeiro existe apenas 1
possibilidade (1) e para os outros dois ainda existem 9 números disponíveis :
9! 9! 9.8.7!
1. A9, 2     9.8  72 números.
(9  2)! 7! 7!

b) COM ECEM COM 2 E TERM INEM COM 5.
R : Para o primeiro algarismo existe apenas 1 possibilidade (2), e para o terceiro também
existe apenas 1 possibilidade (5). Para o segundo ainda existem 8 possibilidades :
8! 8! 8.7!
1.1. A8,1     8 números.
(8  1)! 7! 7!

c) SEJAM DIVISÍVEIS POR 5.
R : Para um número ser divisível 5, ele deve terminar com 0 ou com 5. Primeirame nte
vamos calcular o número de divisíveis por 5 que terminam com 0 :
 Para o terceiro algarismo existe apenas 1 possibilidade (0), e para os dois primeiros ainda
existem 9 números disponíveis. Portanto o número de divisíveis por 5 que terminam com 0 é :
9! 9! 9.8.7!
1. A9, 2     9.8  72 números.
(9  2)! 7! 7!
 Agora calculamos quantos divisíveis por 5 terminam com 5 : para o terceiro algarismo
existe apenas uma possibilidade (5). Para o primeiro algarismo existem ainda 8 possibilidades,
pois o número não pode começar com 0 (senão seria um número de 2 algarismos ). E para o
segundo algarismo também existem 8 possibilidades (o segundo algarismo pode ser 0).
8! 8! 8! 8! 8.7! 8.7!
1. A8,1 . A8,1  .  .  .  8.8  64 números.
(8  1)! (8  1)! 7! 7! 7! 7!
Resposta : O número de divisíveis por 5 é 72  64  136 números.

6) Quantos são os números compreendidos entre 2000 e 3000 formados por algarismos
distintos escolhidos entre 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9?
R : O número deve ter quatro algarismos (pois está entre 2000 e 3000). Para o primeiro
algarismo existe apenas uma possibilidade (2), e para os outros três ainda existem 8 números
disponíveis, então :
8! 8! 8.7.6.5!
1. A8,3     8.7.6  336 números.
(8  3)! 5! 5!


Permutação Simples: É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de
agrupamento ordenado onde entram todos os elementos.

Pn  n!

7) Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados por 1,2,3,5 e 8?
P5  5! 5.4.3.2.1  120 números.

8) Quantos anagramas da palavra EDITORA :
a) COM EÇAM POR A.
Para a primeira letra existe apenas uma possibilidade (A), e para as outras 6 letras
existem 6 possibilidades. Então o total é :
1.P6  1.6! 6.5.4.3.2.1  720 anagramas.

b) COM EÇAM POR A e terminam com E.
Para a primeira letra existe 1 possibilidade (A), e para última também só existe 1 (E),
e para as outras 5 letras existem 5 possibilidades. Então o total é :
1.1.P5  1.1.5! 5.4.3.2.1  120 anagramas.

8) Calcule de quantas maneiras podem ser dipostas 4 damas e 4 cavalheiro s, numa fila, de
forma que não fiquem juntos dois cavalheiro s e duas damas.
R :Existem duas maneiras de fazer isso :
C - D - C - D - C - D - C - D ou D - C - D - C - D - C - D - C
Colocando um cavalheiro na primeira posição temos como número total de maneiras :
P4 .P4  4!.4! 24.24  576 maneiras.
Colocando uma dama na primeira posição temos também :
P4 .P4  4!.4! 24.24  576 maneiras.
Portanto o total é 576  576  1152 maneiras.

Combinação Simples: é o tipo de agrupamento em que um grupo difere do
outro apenas pela natureza dos elementos componentes.

n!
Cn, p 
p!(n  p)!

9) Resolver a equação C m ,3  C m , 2  0.
m! m!
 0
3!(m  3)! 2!(m  2)!
m.(m  1).(m  2).(m  3)! m.(m  1).(m  2)!
 0
3!(m  3)! 2!(m  2)!
m.(m  1).(m  2) m.(m  1)
 0
3! 2!
m 3  2m 2  m 2  2m m 2  m
 0
6 2
m 3  3m 2  2m  3m 2  3m
 0  m 3  6 m 2  5m  0
6
6  16 m '  5
m 2  6m  5  0  m   
2 m ' '  1
Resposta : m  5.
obs : m  1 não é a resposta porque não pode haver C1,3.

10) Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentes
podem ser feitas?
10! 10.9.8.7.6! 5040 5040
C10, 6      210 tipos de saladas.
6!.(10  6)! 6!.4! 4! 24

11) Numa reunião com 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões podemos formar com 3
rapazes e 4 moças?
RAPAZES- C 7 ,3
M OÇAS- C 6, 4
O resultado é o produto C 7 ,3 .C 6, 4 .
7! 6! 7.6.5.4! 6.5.4! 210 30
.  .  .  35.15  525 comissões.
3!(7  3)! 4!(6  4)! 3!.4! 4!.2! 3! 2


Binômio de Newton
Introdução
Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b².
Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Se quisermos calcular , podemos adotar o mesmo procedimento:

(a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b)

= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de
modo geral, obter o desenvolvimento da potência a partir da
anterior, ou seja, de .
Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo
é muito trabalhoso.
Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio,
conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico
inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são
coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de
Pascal.

Coeficientes Binomiais

Sendo n e p dois números naturais , chamamos de coeficiente

binomial de classe p, do número n, o número , que indicamos por

(lê-se: n sobre p). Podemos escrever:

O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por
analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o
denominador. Podemos escrever:


É também imediato que, para qualquer n natural, temos:

Exemplos:

Propriedades dos coeficientes binomiais

Se n, p, k e p + k = n
1ª)
então

Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a
soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados
complementares.

Exemplos:

2ª) Se n, p, k e p p-1 0


então

Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel,
matemático alemão, 1487 - 1567).

Exemplos:

Triângulo de Pascal

A disposição
ordenada dos
números binomiais,
como na tabela ao
lado, recebe o nome
de Triângulo de
Pascal

Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador
são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma
coluna.

Por exemplo, os números binomiais , , e estão na linha 3 e os

números binomiais , , , , ..., , ... estão na coluna 1.

Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:


Construção do triângulo de Pascal
Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes
propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:

1ª) Como = 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.

2ª) Como = 1, o último elemento de cada linha é igual a 1.

3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de
cada linha é igual à soma daquele
que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa
à esquerda deste último (relação
de Stifel).
Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção
do triângulo:


Propriedade do triângulo de Pascal
P1 Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dos
extremos são iguais.

De fato, esses binomiais são complementares.

P2 Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é .

De modo geral temos:

P3 Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do
1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à
direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

1 + 4 + 10 + 20 = 35

P4 Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma
diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao
elemento imediatamente abaixo deste.

1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35

Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton

Como vimos, a potência da forma , em que a, ,é
chamada binômio de Newton. Além disso:

quando n = 0 temos
quando n = 1 temos
quando n = 2 temos
quando n = 3 temos
quando n = 4 temos


Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo de
Pascal. Então, podemos escrever também:

De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do
desenvolvimento do binômio de Newton:

Note que os expoentes de a vão diminuindo de unidade em unidade,
variando de n até 0, e os expoentes de b vão aumentando de unidade em
unidade, variando de 0 até n. O desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1
termos.


Fórmula do termo geral do binômio
Observando os termos do desenvolvimento de (a + b)n, notamos

que cada um deles é da forma .

Quando p = 0 temos o 1º termo:




..............................................................................
Percebemos, então, que um termo qualquer T de ordem p + 1pode ser
expresso por:


Cilindro
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um
círculo R contido em e uma reta r que intercepta , mas não R:

Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento ,
paralelo à reta r :

Assim, temos:


Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os
segmentos congruentes e paralelos a r.

Elementos do cilindro
Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:

bases: os círculos de centro O e O'e raios r

altura: a distância h entre os planos

geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das
circunferências das bases ( por exemplo, ) e paralelo à reta r .


Áreas
Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL)

Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua
planificação:

Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos
círculos das bases são r é um retângulo de dimensões :

b) área da base ( AB):área do círculo de raio r

c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases


Volume
Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de
Cavalieri.

Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano ,
paralelo ao plano , intercepta os sólidos e determina secções de mesma
área, os sólidos têm volumes iguais:

Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.
Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro
é o produto da área da base pela medida de sua altura:

Vcilindro = ABh

No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de
raio r ;

portanto seu volume é:


Esfera
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do
espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.

Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um
eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por
uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa
superfície e ao seu interior.

Volume
O volume da esfera de raio R é dado por:


Partes da esfera
Superfície esférica
A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do
es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.

Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em
torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.

A área da superfície esférica é dada por:

Cone circular
Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V ( vértice) fora
de , chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos
.


Elementos do cone circular
Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:

altura: distância h do vértice V ao plano

geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num
ponto da circunferência

raio da base: raio R do círculo

eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo
vértice do cone

Cone reto
Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone
reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela
rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus
catetos.


Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:

G2 = h2 +
R2

Secção meridiana
A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que
contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.

Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero:


Áreas
Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um
setor circular de raio g e comprimento :

Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

a) área lateral (AL): área do setor circular

b) área da base (AB):área do circulo do raio R

c) área total (AT):soma da área lateral com a área da base


Volume
Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes
de sólidos de revolução. Observe a figura:

d = distância do
centro de gravidade
(CG) da sua
superfície ao eixo e

S=área da superfície

Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma
superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que:

Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela
rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto h:

O CG do triângulo está a uma distância do eixo de rotação.
Logo:


CONJUNTOS NUMÉRICOS
 Conjunto dos números naturais (IN)

IN={0, 1, 2, 3, 4, 5,...}

Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*:
IN*={1, 2, 3, 4, 5,...}  o zero foi excluído do conjunto IN.
Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre
uma reta, como mostra o gráfico abaixo:

 Conjunto dos números inteiros (Z)

Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

O conjunto IN é subconjunto de Z.
Temos também outros subconjuntos de Z:
Z* = Z-{0}
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}
Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}

Observe que Z+=IN.
Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta,
conforme mostra o gráfico abaixo:


 Conjunto dos números racionais (Q)

Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na
forma de fração (com o numerador e denominador  Z). Ou seja, o
conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números
inteiros com as frações positivas e negativas.

5 3 3
Então : -2,  ,  1, , 1, , por exemplo, são números racionais.
4 5 2

Exemplos:

3 6 9
a)  3   
1 2 3
1 2 3
b) 1   
1 2 3

Assim, podemos escrever:

a
Q  {x | x  , com a  Z , b  Z e b  0}
b

É interessante considerar a representação decimal de um número
racional a , que se obtém dividindo a por b.
b
Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas:

1 5 75
 0,5   1,25  3,75
2 4 20

Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas:

1 6 7
 0,333...  0,857142857142...  1,1666...
3 7 6

Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de
número racional.


 Conjunto dos números irracionais

Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja,
os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois
inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de
2 e a raiz quadrada de 3:
2  1,4142135...
3  1,7320508...

Um número irracional bastante conhecido é o número
=3,1415926535...

 Conjunto dos números reais (IR)

Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais,
definimos o conjunto dos números reais como:

IR=Q  {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional}

O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:

Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são
todos números reais. Como subconjuntos importantes de IR temos:
IR* = IR-{0}
IR+ = conjunto dos números reais não negativos
IR_ = conjunto dos números reais não positivos

Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por
exemplo:
 Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...

 Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:
5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...


Determinantes
Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas
e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).

A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome
de determinante.

Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:

resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;

cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando
são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;

Determinante de 1ª ordem
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o
número real a11:

det M =Ia11I = a11
Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas
barras verticais, que não têm o significado de módulo.

Por exemplo:

M= [5] det M = 5 ou I 5 I = M = [-3] det M = -3 ou I -3
5 I = -3

Determinante de 2ª ordem

Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante
associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:


Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença
entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos
elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.

Menor complementar
Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma
matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1,
associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que
passam por aij .
Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:

a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor
complementar relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a
coluna 1:

Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é:


b) Sendo , de ordem 3, temos:

Cofator
Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento
aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (-1)i+j .
MCij .
Veja:

a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da
matriz M são:

b) Sendo , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:


Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser
obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha
ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.

Assim, fixando , temos:

em que é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até
m, .

Regra de Sarrus
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um
dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.

Acompanhe como aplicamos essa regra para .

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:


2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal
principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos
das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal
secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos
das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal
negativo):

Assim:


Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o
Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.

Determinante de ordem n > 3
Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de
uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos
empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e
depois aplicar a regra de Sarrus.

Propriedades dos determinantes
Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as
seguintes propriedades:

P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o
determinante dessa matriz é nulo.

Exemplo:

P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu
determinante é nulo.
Exemplo:


P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares
dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é
nulo.

Exemplos:

P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera
quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos
elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª,
temos:

P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.

Exemplo:


P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em
uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.

Exemplos:

P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de
uma matriz muda de sinal.
Exemplo:

P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal
principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos
dessa diagonal.

Exemplos:


P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal
secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos

elementos dessa diagonal multiplicado por .

Exemplos:

P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n,

. Como:

Exemplo:

P12)

Exemplo:


Equações algébricas
(com uma variável)

Introdução
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de
igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer
"igual". Exemplos:

2x + 8 = 0

5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0

Não são equações:

4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)
x - 5 < 3 (Não é igualdade)

(não é sentença aberta, nem igualdade)
A equação geral do primeiro grau:
ax+b = 0
onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples:
subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -b

dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

Considera a equação 2x - 8 = 3x -10


A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa "
desconhecida".

Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade
denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser
escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a
diferente de zero.

Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação
Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.

Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto
universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma
equação.

Observe este outro exemplo:

Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25

O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.


Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto
verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.
Daí concluímos que:

Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que
variável pode assumir. Indica-se por U.

Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que
tornam verdadeira a equação . Indica-se por V.

Observações:

O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.

Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como
conjunto universo o conjunto dos números racionais.

O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e
pode ser indicado por S.

Raízes de uma equação

Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes
da equação.

Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à
seguinte seqüência:

Substituir a incógnita por esse número.

Determinar o valor de cada membro da equação.
Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número
considerado é raiz da equação.


Exemplos:

Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes
das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.

Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.

Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0
=> -2 = 0. (F)
=> -1 = 0. (F)

=> 0 = 0. (V)

=> 1 = 0. (F)

Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.

Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.

Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) -
5 = 1 => -7 = 1. (F)

Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 =
1 => -5 = 1. (F)

1 => -3 = 1. (F)

1 => -1 = 1. (F)

A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.


Função de 1º grau - Afim
Definição

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer
função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b
são números reais dados e a 0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o
número b é chamado termo constante.

Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é
uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los
com o auxílio de uma régua:

a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).

b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é
.

Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os
dois com uma reta.


x y
0 -1
0

Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como
veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0,
temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto
em que a reta corta o eixo Oy.

Zero e Equação do 1º Grau
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a
0, o número real x tal que f(x) = 0.

Temos:

f(x) = 0 ax + b = 0

Vejamos alguns exemplos:
1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:

f(x) = 0 2x - 5 = 0

2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2

3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10
corta o eixo das abicissas:
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) =


0; então:
h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x=5

Crescimento e decrescimento
Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada
vez maiores a x e observar o que ocorre com y:

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -10 -7 -4 -1 2 5 8

Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes
valores de y também aumentam. Dizemos, então que a
função y = 3x - 1 é crescente.
Observamos novamente seu gráfico:

Regra geral:

a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é
positivo (a > 0);
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é
negativo (a < 0);


Justificativa:

para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde
vem f(x1) < f(x2).
para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde
vem f(x1) > f(x2).

Sinal
Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para
os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de
x para os quais y é negativo.
Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu

sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos
possíveis:
1º) a > 0 (a função é crescente)

y>0 ax + b > 0 x>

y>0 ax + b < 0 x<
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é
negativo para valores de x menores que a raiz

2º) a < 0 (a função é decrescente)

y>0 ax + b > 0 x<


y>0 ax + b < 0 x<

Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo
para valores de x maiores que a raiz.


EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a
incógnita aparece em expoente.

Exemplos de equações exponenciais:
1) 3x =81 (a solução é x=4)
2) 2x-5=16 (a solução é x=9)
3) 16x-42x-1-10=22x-1 (a solução é x=1)
4) 32x-1-3x-3x-1+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1)

Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos
importantes:
1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma
base;
2º) aplicação da propriedade:

a m  a n  m  n (a  1 e a  0)

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1) 3x=81
Resolução: Como 81=34, podemos escrever 3x = 34
E daí, x=4.

2) 9x = 1
Resolução: 9x = 1  9x = 90 ; logo x=0.

x
3 81
3)   
4 256
x x x 4
3 81 3 34 3 3
Resolução :        4       ; então x  4.
4 256 4 4 4 4

4) 3 x  4 27
3
3
Resolução : 3  27  3  3  3  3 ; logo x 
x 4 x 4 3 x 4
4

5) 23x-1 = 322x

Resolução: 23x-1 = 322x  23x-1 = (25)2x  23x-1 = 210x ; daí 3x-1=10,
de onde x=-1/7.

6) Resolva a equação 32x–6.3x–27=0.
Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação:
32x–6.3x–27=0  (3x)2-6.3x–27=0
Fazendo 3x=y, obtemos:
y2-6y–27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos  y’=-3 e y’’=9
Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x=y:

y’=-3  3x’ = -3  não existe x’, pois potência de base positiva é
positiva
y’’=9  3x’’ = 9  3x’’ = 32  x’’=2

Portanto a solução é x=2

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a
variável aparecendo em expoente.
A função f:IRIR+ definida por f(x)=ax, com a  IR+ e a1, é
chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o
conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que
zero).

GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Temos 2 casos a considerar:
 quando a>1;
 quando 0<a<1.

Acompanhe os exemplos seguintes:

1) y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores
de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:


X -2 -1 0 1 2
y 1/4 1/2 1 2 4

2) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)

X -2 -1 0 1 2
Y 4 2 1 1/2 1/4

Nos dois exemplos, podemos observar que
a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem
raízes;
b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);
c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é
positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+.

Além disso, podemos estabelecer o seguinte:


a>1 0<a<1

f(x) é crescente e Im=IR+ f(x) é decrescente e Im=IR+
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1  y2>y1 (as desigualdades têm x2>x1  y2<y1 (as desigualdades têm
mesmo sentido) sentidos diferentes)

INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a
incógnita aparece em expoente.

Exemplos de inequações exponenciais:

1) 3 x  81 (a solução é x  4)
1
2) 2 2x-2  2 x
2
(que é satisfeita para todo x real)
x 3
4 4
3)      (que é satisfeita para x  -3)
5 5
4) 25 x - 150.5 x  3125  0 (que é satisfeita para 2  x  3)

Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos
importantes:
1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma
base;

a>1 0<a<1
am > an  m>n am > an  m<n
(as desigualdades têm mesmo sentido) (as desigualdades têm sentidos
diferentes)

EXERCÍCIO RESOLVIDO:

 11
1) 4 x 1  4 x  4 x 1 
4
Resolução :
4x  11
A inequação pode ser escrita  4 x  4 x .4  .
4 4
M ultiplicando ambos os lados por 4 temos :
4 x  4.4 x  16.4 x  11 , ou seja :
(1  4  16).4 x  11  -11.4 x  11 e daí, 4 x  1
Porém, 4 x  1  4 x  4 0.
Como a base (4) é maior que 1, obtemos :
4 x  40  x  0
Portanto S  IR - (reais negativos)


FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A função f:IR+IR definida por f(x)=logax, com a1 e a>0, é
chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o
conjunto IR+ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR
(reais).

GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Temos 2 casos a considerar:
 quando a>1;
 quando 0<a<1.

Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em
cada caso:

3) y=log2x (nesse caso, a=2, logo a>1)

x 1/4 1/2 1 2 4
y -2 -1 0 1 2

4) y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)


x 1/4 1/2 1 2 4
y 2 1 0 -1 -2

Nos dois exemplos, podemos observar que
d) o gráfico nunca intercepta o eixo vertical;
e) o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é
x=1;
f) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é
Im=IR.

Além disso, podemos estabelecer o seguinte:

a>1 0<a<1

f(x) é crescente e Im=IR f(x) é decrescente e Im=IR
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1  y2>y1 (as desigualdades têm x2>x1  y2<y1 (as desigualdades têm
mesmo sentido) sentidos diferentes)


EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve
logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em
ambos.

Exemplos de equações logarítmicas:
7) log3x =5 (a solução é x=243)
8) log(x2-1) = log 3 (as soluções são x’=-2 e x’’=2)
9) log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (a solução é x=4)
10) logx+1(x2-x)=2 (a solução é x=-1/3)

Alguns exemplos resolvidos:
1) log3(x+5) = 2
Resolução: condição de existência: x+5>0 => x>-5
log3(x+5) = 2 => x+5 = 32 => x=9-5 => x=4
Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto
solução é S={4}.

2) log2(log4 x) = 1
Resolução: condição de existência: x>0 e log4x>0
log2(log4 x) = 1 ; sabemos que 1 = log2(2), então
log2(log4x) = log2(2) => log4x = 2 => 42 = x => x=16
Como x=16 satisfaz as condições de existência, então o
conjunto solução é S={16}.

3) Resolva o sistema:
log x  log y  7

3. log x  2. log y  1

Resolução: condições de existência: x>0 e y>0
Da primeira equação temos:
log x+log y=7 => log y = 7-log x
Substituindo log y na segunda equação temos:
3.log x – 2.(7-log x)=1 => 3.log x-14+2.log x = 1 => 5.log x = 15 =>

=> log x =3 => x=103
Substituindo x= 103 em log y = 7-log x temos:


log y = 7- log 103 => log y = 7-3 => log y =4 => y=104.
Como essas raízes satisfazem as condições de existência, então o conjunto
solução é S={(103;104)}.

INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve
logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em
ambos.

Exemplos de inequações logarítmicas:
1) log2x > 0 (a solução é x>1)
2) log4(x+3)  1 (a solução é –3<x1)

Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos
importantes:
1º) redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma
base;

a>1 0<a<1
logam > logan  m>n>0 logam > logan  0<m<n
(as desigualdades têm mesmo sentido) (as desigualdades têm sentidos
diferentes)

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1) log2(x+2) > log28
Resolução:
Condições de existência: x+2>0, ou seja, x>-2 (S1)
Como a base (2) é maior que 1, temos:
x+2>8 e, daí, x>6 (S2)
O conjunto solução é S= S1  S2 = {x  IR| x>6}.
Portanto a solução final é a intersecção de S1 e S2, como está
representado logo abaixo no desenho:


2) log2(log3x)  0
Resolução:
Condições de existência: x>0 e log3x>0
Como log21=0, a inequação pode ser escrita assim:
log2(log3x)  log21
Sendo a base (2) maior que 1, temos: log3x  1.
Como log33 = 1, então, log3x  log33 e, daí, x  3, porque a base (3) é
maior que 1.
As condições de existência estão satisfeitas, portanto S={x  IR| x  3}.


Função Quadrática
Definição

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer
função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a,
b e c são números reais e a 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
3. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a
0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x 2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor
correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y
-3 6
-2 2
-1 0

0 0
1 2
2 6


Observação:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c,
notaremos sempre que:

se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;

se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equação do 2º Grau
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 +
bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação
do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de
Bhaskara:

Temos:

Observação

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor
obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:

quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;

quando é zero, há só uma raiz real;
quando é negativo, não há raiz real.

Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto
de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo
e um ponto de máximo V.


Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:


Imagem
O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto
dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

1ª - quando a > 0,

a>0

2ª quando a < 0,

a<0


Construção da Parábola
É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a
tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação
seguinte:

1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;

2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos
x;

3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou
máximo (se a< 0);
4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de
simetria da parábola;
5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em
que a parábola corta o eixo dos y.

Sinal
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e
determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x
para os quais y é positivos.
2
Conforme o sinal do discriminante = b - 4ac, podemos ocorrer os
seguintes casos:
1º- >0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1


x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o
indicado nos gráficos abaixo:

quando a > 0

y > 0 (x < x1 ou x > x2)
y < 0 x1 < x < x2

quando a < 0

y > 0 x1 < x < x2
y<0 (x < x1 ou x > x2)


2º - =0

quando a > 0

quando a < 0


3º - <0

quando a > 0


quando a < 0

GEOMETRIA ANALÍTICA
Retas
Introdução
Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma
correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um
único número real e vice-versa.
Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita
(eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u,
unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos
determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:

Medida algébrica de um segmento
Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA
e xB , temos:


A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que
corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem
desse segmento.

Plano cartesiano
A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês
René Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos
associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par
ordenado e vice-versa.

Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa
correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano
cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria (
ponto, reta, circunferência) e da Álgebra ( relações, equações etc.),
podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar
algebricamente representações gráficas.
Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:


Exemplos:

A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0)
B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0)

Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão
em nenhum quadrante.

Distância entre dois pontos
Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles,
temos:

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem:

Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e
B(4, -5):


Equações de uma reta
Equação geral
Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de
alinhamento de três pontos.
Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e
distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P
alinhados, podemos escrever:

Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b não são
simultaneamente nulos , temos:

ax + by + c = 0

(equação geral da reta r)
Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta.
Assim, dado o ponto P(m, n):


se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta;

se am + bn + c 0, P não é ponto da reta.
Acompanhe os exemplos:

Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e
B(2, 4).

Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

Vamos verificar se os pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à reta r
do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0,
temos:

-3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0

Como a igualdade é verdadeira, então P r.
Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:

1-2+2 0
Como a igualdade não é verdadeira, então Q r.


Geometria Analítica: Circunferência
Equações da circunferência
Equação reduzida
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano
eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da
circunferência:

Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da
circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência.
Então:

Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e
permite determinar os elementos essenciais para a construção da
circunferência: as coordenadas do centro e o raio.


Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem (
C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2 .

Equação geral
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da
circunferência:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de
centro C(2, -3) e raio r = 4.

A equação reduzida da circunferência é:
( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16

Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Geometria Analítica - Cônicas
Elipse
Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a
um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o
conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses
pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2
< 2a, temos:


A figura obtida é uma elipse.
Observações:

1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos
focos dessa trajetória.
A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus
respectivos planetas também apresentam esse comportamento.

2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos
focos.

3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte
feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.

Elementos
Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:


focos : os pontos F1 e F2

centro: o ponto O, que é o ponto médio de

semi-eixo maior: a
semi-eixo menor: b

semidistância focal: c

vértices: os pontos A1, A2, B1, B2

eixo maior:

eixo menor:

distância focal:

Relação fundamental
Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2
, retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:

a2 =b2 + c2

Excentricidade
Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e
< 1.

Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito
pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.


Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal

Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):

Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da
elipse:

b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical
Nessas condições, a equação da elipse é:


Hipérbole
Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a
um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de
hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença
das dist6ancias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e
F1F2 = 2c, temos:


A figura obtida é uma hipérbole.

Observação:Os dois ramos da
hipérbole são determinados por um
plano paralelo ao eixo de simetria de
dois cones circulares retos e opostos
pelo vértice:

Parábola

Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de
parábola o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de F e d.

Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma
reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:

Observações:


1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:

2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas
parabólicas.

3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o
foco.
4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de
seu eixo com velocidade constante é parabólica.


Matrizes
Introdução
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das
matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia,
Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo.

A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:

Química Inglês Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o
número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.
Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e
colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou
colchetes:

Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são
enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:


Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de
0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto,
uma matriz 3 x 3.

Veja mais alguns exemplos:

é uma matriz do tipo 2 x 3

é uma matriz do tipo 2 x 2

Notação geral
Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus
elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que
indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.
Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam,
respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na
matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.


Na matriz , temos:

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5.

Denominações especiais
Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações
especiais.
Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por
exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.

Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna.

Por exemplo, , do tipo 3 x 1

Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo
número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por

exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem
2.
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal
secundária. A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na
secundária, temos i + j = n + 1.

Veja:


Observe a matriz a seguir:

a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1

a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1)
Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é
representada por 0m x n.

Por exemplo, .

Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que
não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo:

Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da
diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada
por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:


Assim, para uma matriz identidade .

Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-
se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por
exemplo:

Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m.
Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A
corresponde à 2ª coluna de At.

Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por
exemplo,

é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 =
4, ou seja, temos sempre a ij = a ij.

Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de

todos os elementos de A. Por exemplo, .


Igualdade de matrizes
Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se,
todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:

.

Operações envolvendo matrizes

Adição

Dadas as matrizes , chamamos de soma dessas
matrizes a matriz , tal que Cij = aij + bij , para todo
:

A+B=C

Exemplos:

Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.

Propriedades
Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes
propriedades para a adição:

a) comutativa: A + B = B + A

b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)


c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n

d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0

Subtração

Dadas as matrizes , chamamos de diferença entre
essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:

A-B=A+(-B)

Observe:

Multiplicação de um número real por uma matriz
Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x
por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada
elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:

B = x.A

Observe o seguinte exemplo:

Propriedades
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais
quaisquer, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: x . (yA) = (xy) . A


b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A +
B) = xA + xB
c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x
+ y) . A = xA + yA

d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A

Multiplicação de matrizes
O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do
produto dos sus respectivos elementos.

Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C
= (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos
produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos
elementos da j-ésima coluna B.

Vamos multiplicar a matriz para entender como se
obtém cada Cij:
1ª linha e 1ª coluna





Assim, .

Observe que:

Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a
propriedade comutativa.

Vejamos outro exemplo com as matrizes :

Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de
colunas de A for igual ao número de linhas de B:


A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de
colunas de B(n):
Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1

Propriedades
Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes,
valem as seguintes propriedades:

a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )

b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou
(A+B).C=A.C+B.C
c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de
ordem n

Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a
multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou
seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica,
necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.

Matriz inversa
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de
mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = In , então A' é matriz inversa de A .
Representamos a matriz inversa por A-1 .


Grandezas - Introdução
Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado.
As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas.
Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o
comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.

É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou
mais grandezas. Por exemplo:

Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a
velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a
velocidade e o tempo.

Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto
maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as
grandezas são o tempo e a produção.

Grandezas diretamente proporcionais
Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela
abaixo:

Tempo
Produção (Kg)
(minutos)
5 100
10 200
15 300
20 400

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas
são variáveis dependentes. Observe que:

Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.
5min ----> 100Kg
10 min ----> 200Kg
Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.
5min ----> 100Kg
15 min ----> 300Kg

Assim:


Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente
proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é
igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual
a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

Grandezas inversamente proporcionais
Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o
relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo,
assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo

Velocidade (m/s) Tempo (s)
5 200
8 125
10 100
16 62,5
20 50

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas
são variáveis dependentes. Observe que:

Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.
5m/s ----> 200s
10 m/s ----> 100s
Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta
parte.
5m/s ----> 200s
20 m/s ----> 50s

Assim:


Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a
razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os
valores correspondentes da 2ª.

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual
ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra
grandeza.


POLINÔMIOS
 Definição

Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função
definida pela relação P(x)=anxn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.
Onde:
an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 são números reais chamados coeficientes.
n  IN
x  C (nos complexos) é a variável.

GRAU DE UM POLINÔMIO:

Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o
coeficiente an0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e
indicamos gr(P)=n. Exemplos:
a) P(x)=5 ou P(x)=5.x0 é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0.
b) P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1.
c) P(x)=4x5+7x4 é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5.

Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio.

 Valor numérico

O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se
obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela
relação que define o polinômio. Exemplo:
Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é:
P(x)= x3+2x2+x-4
P(2)= 23+2.22+2-4
P(2)= 14

Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x).
Por exemplo, no polinômio P(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz
ou zero desse polinômio.


Alguns exercícios resolvidos:

1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x)=x3+4x2-ax+1, calcular o valor de a.
Resolução: Se –3 é raiz de P(x), então P(-3)=0.
P(-3)=0 => (-3)3+4(-3)2-a.(-3)+1 = 0
3a = -10 => a=-10/3
Resposta: a=-10/3

2º) Calcular m  IR para que o polinômio
P(x)=(m2-1)x3+(m+1)x2-x+4 seja:
a) do 3ºgrau b) do 2º grau c) do 1º grau

Resposta:
a) para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser
diferentes de zero. Então:
m2-10 => m21 => m1
m+10 => m-1
Portanto, o polinômio é do 3º grau se m1 e m-1.

b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x 3 deve ser igual a
zero e o coeficiente de x2 diferente de zero. Então:
m2-1=0 => m2=1 => m=1
m+10 => m-1
Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1.

c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser
iguais a zero. Então:
m2-1=0 => m2=1 => m=1
m+1=0 => m=-1
Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1.

3º) Num polinômio P(x), do 3º grau, o coeficiente de x3 é 1. Se
P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1).
Resolução:
Temos o polinômio: P(x)=x3+ax2+bx+c.
Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes).
Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema:

P(1)=0 => (1)3+a.(1)2+b(1)+c = 0 => 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1
P(2)=0 => (2)3+a.(2)2+b(2)+c = 0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8
P(3)=30 => (3)3+a.(3)2+b(3)+c = 30 => 27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3


Temos um sistema de três variáveis:
a  b  c  -1

4a  2b  c  -8
9a  3b  c  3


Resolvendo esse sistema encontramos as soluções:
a=9, b=-34, c=24
Portanto o polinômio em questão é P(x)= x3+9x2-34x+24.
O problema pede P(-1):
P(-1)= (-1)3+9(-1)2-34(-1)+24 => P(-1)=-1+9+34+24
P(-1)= 66
Resposta: P(-1)= 66

 Polinômios iguais

Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e
indicamos A(x)B(x)) quando assumem valores numéricos iguais para
qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois
polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos
correspondentes sejam iguais.
Exemplo:
Calcular a,b e c, sabendo-se que x2-2x+1  a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1).
Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes
do segundo membro temos:
x2-2x+1  ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c
1x2-2x+1  (a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c)
Agora igualamos os coeficientes correspondentes:
a  b  1

a  b  c  2
a  c  1


Substituindo a 1ª equação na 2ª:
1+c = -2 => c=-3.
Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos:
a-3=1 => a=4.
Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos:
4+b=1 => b=-3.
Resposta: a=4, b=-3 e c=-3.


Obs: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seus
coeficientes nulos.

 Divisão de polinômios

Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo.
Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x),
que satisfaçam as duas condições abaixo:
1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x)
2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0
P( x) D( x )
R( x) Q( x)

Nessa divisão:
P(x) é o dividendo.
D(x) é o divisor.
Q(x) é o quociente.
R(x) é o resto da divisão.

Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x)
é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x).

Se D(x) é divisor de P(x)  R(x)=0

Exemplo:
Determinar o quociente de P(x)=x4+x3-7x2+9x-1 por D(x)=x2+3x-2.
Resolução: Aplicando o método da chave, temos:

x 4  x3  7 x 2  9 x  1 x 2  3x  2
 x 4  3x3  2 x 2 x 2  2 x  1  Q( x)
 2 x3  5 x 2  9 x  1
 2 x3  6 x 2  4 x
x2  5x  1
 x 2  3x  2
2 x  1  R( x)


Verificamos que:

x 4  -  1  (x 2  3x - 2) (x 2 - 2x  1)  (2x  1)
  x 7x  9x   
3 2
-
 
P(x) D(x) Q(x) R(x)

 Divisão de um polinômio por um binômio da forma ax+b

Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x2-2x+3 por D(x)=2x-1.
Utilizando o método da chave temos:

4x2  2x  3 2x  1
 4x2  2x 2x
3

Logo: R(x)=3
A raiz do divisor é 2x-1=0 => x=1/2.
Agora calculamos P(x) para x=1/2.
P(1/2) = 4(1/4) – 2(1/2) + 3
P(1/2) = 3

Observe que R(x) = 3 = P(1/2)
Portanto, mostramos que o resto da divisão de P(x) por D(x) é igual ao
valor numérico de P(x) para x=1/2, isto é, a raiz do divisor.

 Teorema do resto

O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual a P(-b/a).

Note que –b/a é a raiz do divisor.

Exemplo: Calcule o resto da divisão de x2+5x-1 por x+1.
Resolução: Achamos a raiz do divisor:
x+1=0 => x=-1
Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1):
P(-1)=(-1)2+5.(-1)-1 => P(-1) = -5 = R(x)
Resposta: R(x) = -5.


 Teorema de D’Alembert

Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se P(-b/a)=0

Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x)=2x3+5x2-
px+2 seja divisível por x-2.
Resolução: Se P(x) é divisível por x-2, então P(2)=0.
P(2)=0 => 2.8+5.4-2p+2=0 => 16+20-2p+2=0 => p=19
Resposta: p=19.

 Divisão de um polinômio pelo produto (x-a)(x-b)

Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da divisão do
polinômio P(x) pelo produto (x-a)(x-b), sabendo-se que os restos da divisão
de P(x) por (x-a) e por (x-b) são, respectivamente, r1 e r2.
Temos:
a é a raiz do divisor x-a, portanto P(a)=r1 (eq. 1)
b é a raiz do divisor x-b, portanto P(b)=r2 (eq. 2)
E para o divisor (x-a)(x-b) temos P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + R(x) (eq.
3)

O resto da divisão de P(x) por (x-a)(x-b) é no máximo do 1º grau, pois o
divisor é do 2º grau; logo:
R(x)=cx+d

Da eq.3 vem:
P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + cx + d
Fazendo:
x=a => P(a) = c(a)+d (eq. 4)
x=b => P(b) = c(b)+d (eq. 5)

Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

ca  d  r1

cb  d  r2

Resolvendo o sistema obtemos:


r1  r2 ar  ar1
c e d 2 , com a  b
ab ab
r r ar  ar1
Logo : R( x)  1 2 x  2 , com a  b
ab ab

Observações:
1ª) Se P(x) for divisível por (x-a) e por (x-b), temos:
P(a)= r1 =0
P(b)= r2 =0
Portanto, P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b), pois:

r1  r2 ar  ar1
R( x)  x 2  00  0
a b a b

2ª) Generalizando, temos:
Se P(x) é divisível por n fatores distintos (x-a1), (x-a2),..., (x-an) então
P(x) é divisível pelo produto (x-a1)(x-a2)...(x-an).

Exemplo:
Um polinômio P(x) dividido por x dá resto 6 e dividido por (x-1) dá
resto 8. Qual o resto da divisão de P(x) por x(x-1)?
Resolução:
0 é a raiz do divisor x, portanto P(0)=6 (eq. 1)

1 é a raiz do divisor x-1, portanto P(1)=8 (eq. 2)
E para o divisor x(x-1) temos P(x)=x(x-1) Q(x) + R(x) (eq. 3)

O resto da divisão de P(x) por x(x-1) é no máximo do 1º grau, pois o
divisor é do 2º grau; logo:
R(x)=ax+b

Da eq.3 vem:
P(x)=x(x-1) Q(x) + ax + b
Fazendo:
x=0 => P(0) = a(0)+b => P(0) = b (eq. 4)
x=1 => P(1) = a(1)+b => P(1) = a+b (eq. 5)

Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

b  6

a  b  8

Logo, b=6 e a=2.
Agora achamos o resto: R(x) = ax+b = 2x+6
Resposta: R(x) = 2x+6.

 O dispositivo de Briot-Ruffini

Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da
forma (ax+b).
Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio
P(x)=3x3-5x2+x-2 por (x-2).
Resolução:


 
RAIZ DO DIVISOR ES DE P(x) 
COEFICIENT
  
2 3 5 1 2
 3.(2)  5 1.(2)  1 3.(2)  2

1 
3  3
 4

COEFICIENTES DO QUOCIENTE Q(x) RESTO

Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o
divisor é de grau 1.
Resposta: Q(x)=3x2+x+3 e R(x)=4.

Para a resolução desse problema seguimos os seguintes passos:
1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo
ordenadamente na parte de cima da “cerquinha”.
2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo.
3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo
e somamos o produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando o
resultado abaixo deste.
4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º
coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o
resultado abaixo deste, e assim sucessivamente.
5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da
divisão, e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do
quociente.


 Decomposição de um polinômio em fatores

Vamos analisar dois casos:
1º caso: O polinômio é do 2º grau.
De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax2+bx+c que
admite as raízes r1 e r2 pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da
seguinte forma:

ax2+bx+c = a(x-r1)(x-r2)

Exemplos:
1) Fatorar o polinômio P(x)=x2-4.
Resolução: Fazendo x2-4=0, obtemos as raízes r1=2 e r2=-2.
Logo: x2-4 = (x-2)(x+2).

2) Fatorar o polinômio P(x)=x2-7x+10.
Resolução: Fazendo x2-7x+10=0, obtemos as raízes r1=5 e r2=2.
Logo: x2-7x+10 = (x-5)(x-2).

2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3.
Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau, podemos
decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do
2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também.

Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x3-x2-x.
Resolução:
2x3-x2-x = x.(2x2-x-1)  colocando x em evidência
Fazendo x.(2x2-x-1) = 0 obtemos: x=0 ou 2x2-x-1=0.
Uma das raízes já encontramos (x=0).
As outras duas saem da equação: 2x2-x-1=0 => r1=1 e r2=-1/2.
Portanto, o polinômio 2x3-x2-x, na forma fatorada é:
2.x.(x-1).(x+(1/2)).

Generalizando, se o polinômio P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 admite n
raízes r1, r2,..., rn, podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma:

anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 = an(x-r1)(x-r2)...(x-rn)


Observações:
1) Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes
duplas, triplas, etc.
2) Uma raiz r1 do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de
multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r1)2 e não por (x-r1)3.


PROBABILIDADE
A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de
cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos
de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade
permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um
experimento aleatório.

Experimento Aleatório

É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem
fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso.
Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem
envolve cálculo de experimento aleatório.

Espaço Amostral

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.

Exemplo:
Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço
amostral, constituído pelos 12 elementos:
S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}

1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número
par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um
número ímpar aparecem}.
2. Idem, o evento em que:

a) A ou B ocorrem;

b) B e C ocorrem;
c) Somente B ocorre.

3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos

Resolução:

1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e
um número par: A={K2, K4, K6};


Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números
primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}
Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um
número ímpar: C={R1,R3,R5}.

2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}

(b) B e C = B  C = {R3,R5}

(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;

B  Ac  Cc = {K3,K5,R2}

3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A  C = 


Conceito de probabilidade
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente
prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer
de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P =
3/6= 1/2 = 50%
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus
eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.

Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de
ocorrência de um evento A é sempre:


Propriedades Importantes:
1. Se A e A’ são eventos complementares, então:
P( A ) + P( A' ) = 1

2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre 
(probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento
certo).

Probabilidade Condicional
Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha
alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o
espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de
ocorrência alterada.

Fórmula de Probabilidade Condicional
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e
E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).

Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato
de já ter ocorrido E1;

P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já
terem ocorrido E1 e E2;

P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato
de já ter ocorrido E1 e E2...En-1.

Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um
sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a
probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:
Seja o espaço amostral S=30 bolas, bolinhas e considerarmos os
seguintes eventos:


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