1. TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Recopilado y publicado por: Pedro González
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Transformadas de Laplace por definición
2. Transformadas de Laplace utilizando teoremas
3. Transformadas inversas
4. Derivada de transformada
5. Teorema de convolución
6. Ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales (transformada)
7. Ecuaciones integrales
8. Ecuaciones integrodiferenciales
9. Circuitos
10. Sistemas de ecuaciones diferenciales(método de la transformada)
TRANSFORMADAS DE LAPLACE POR DEFINICIÓN:
1) f ( T ) = 1
− ST ∞
− e −∞ e 0 1
(1) dT = − e
∞
L {1} = ∫
− ST
e = + =
0 S 0
S S S
2) f ( T ) = T
∞
− ST − ST
− ST − ST
( T ) dT = − Te − ∫0 − e dT = − Te − e 2 = 12
∞ ∞
L {T } = ∫
− ST
e
0 S S S S 0 S
2. u = T ⇒ du = dT
− e − ST
dv = e − ST dT ⇒ v =
S
3) f ( T ) = e
aT
∞
− e −T ( S − a )
{ }=∫
L e
aT
∞
e − ST
( e )dT = ∫
aT
∞
e − ST + aT
∞
dT = ∫ e −T ( S − a )
dT = =
1
0 0 0
S − a 0 S − a
TRANSFORMADAS DE LAPLACE UTILIZANDO TEOREMAS:
1) f ( T ) = sen2T + cos 2T
2 S
L { sen 2T + cos 2T } = L { sen2T } + L { cos 2T } = + 2
S +4 S +4
2
2) f ( T ) = T + 6T − 3
2
{
L T + 6T − 3 = L T
2
} { } + 6 L {T } - 3 L {1} = S2
2
3
+
6 3
−
S2 S
3) f ( T ) = ( T + 1) = T 3 + 3T 2 + 3T + 1
3
{
L T + 3T + 3T + 1 = L T
3 2
} { } + 3 L {T } + 3 L {T } + L {1} = S6
3 2
4
+
S
6
3
S
3 1
+ 2 +
S
(
4) f ( T ) = 1 + e 2T ) 2
= 1 + 2e 2T + e 4T
{
L 1 + 2e
2T
+ e 4T } = L {1} + 2 L {e 2T } + L {e 4T } =
1
+
2
+
1
S S −2 S −4
(
5) f ( T ) = e T − e −T ) 5
= e 5T − 5e 3T + 10e T − 10e −T + 5e −3T − e −5T
{
L e
5T
− 5e 3T + 10e T − 10e −T + 5e −3T − e −5T } = L {e 5T } - 5 L {e 3T } + 10 L {e T } - 10 L {e −T } + 5 {e −3T } - L
{e −5T } = S 1 5 − S 5 3 + S10 1 − S10 1 + S 5 3 − S 1 5
− − − + + +
TRANSFORMADAS DE LAPLACE (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
1) f ( T ) = e
2T
cos 2T
3. S S −2 S −2
{ }
L e 2T cos 2T = L { cos 2T } S →S −2
=
S +42
=
( S − 2) 2
+4
=
S − 4S + 8
2
S →S −2
2) f ( T ) = e T sen3T
3 3 3
{ }
L e T sen3T = L { sen3T } S → S −1
=
S +92
=
( S − 1) 2
+9
=
S − 2S + 10
2
S → S −1
TRANSFORMADAS INVERSAS:
1 1 -1 2! 1 2
1)L-1 3
= L 3 = T
S 2! S 2
1 1 -1 3! 1 3
2) L-1 4
= L 4 = T
S 3! S 6
1 48 1 48
3) L-1 2
+ 5 = L-1 2 + L-1 5 = T + 2T 4
S S S S
2 1 2
4 4 1 4 1! 4 -1 3! 1 -1 5!
4) L-1 − 3 = L-1 2 − 4 + 6 = L-1 2 − L + L 6 =
S S
S S S 1! S 3! S 4 5! S
2 1 5
4T − T 3 + T
3 120
( S + 1) 3 -1 S 3 + 3S 2 + 3S + 1 -1 1 3 3 1
5) L-1 4 = L 4 = L + 2 + 3 + 4 =
S S S S S S
1 1 3 -1 2! 1 -1 3! 3 2 1 3
L-1 + 3 L-1 2
+ L 3+ L 4 = 1 + 3T + T + T
S S 2! S 3! S 2 6
1 1 1
6) L-1 − + = T −1 + e
2T
S 2
S S − 2
1 -1 14 1 -1 1 1 − 14T
7) L-1 = L = L = e
4 S + 1 S + 14 4 S + 14 4
1 1 1 1 1 25 T
8) L-1 = L-1 5 = L-1 = e
5S − 2 S − 25 5 S − 25 5
4. 5 5 -1 7 5
9) L-1 = L 2 = sen7T
S + 49 7 S + 49 7
2
10S S
10) L-1 = 10 L-1 2 = 10 cos 4T
S + 16 S + 16
2
2S − 6 S 6 -1 3
11) L-1 = 2 L-1 2 − L 2 = 2 cos 3T − 2 sen3T
S + 9 S + 9 3 S + 9
2
5
12) L-1
( S − 2 )( S − 3)( S − 6 )
A B C 5
+ + =
S − 2 S − 3 S − 6 ( S − 2 )( S − 3)( S − 6 )
A( S − 3)( S − 6 ) + B ( S − 2 )( S − 6 ) + C ( S − 2 )( S − 3) = 5
A( S 2 − 9 S + 18) + B ( S 2 − 8S + 12 ) + C ( S 2 − 5S + 6) = 5
A+ B +C = 0
− 9 A − 8 B − 5C = 0
18 A + 12 B + 6C = 5
A= 1
2 , B = −1 y C = 1
2
5 1 -1 1 1 1 -1 1 1 2T
− L-1 + L = e −e + 1 e
3T 6T
L-1 = L
( S − 2)( S − 3)( S − 6) 2 S − 2 S − 3 2 S − 6 2 2
1
13) L-1
S ( S + 4)
2
A BS + C 1
+ 2 =
S S + 4 S ( S 2 + 4)
A( S 2 + 4 ) + ( BS + C ) S = 1
AS 2 + 4 A + BS 2 + CS = 1
A+ B = 0
C =0
4 A = 1 ⇒ A = 14 ⇒ B = − A = − 14
1 1 -1 1 1 -1 S 1 1
L-1 = L − L 2 = − cos 2T
S ( S + 4) 4 S 4 S + 4 4 4
2
5. 1
14) L-1
( S + 1)( S + 4 )
2 2
AS + B CS + D 1
+ 2 = 2
S +1
2
S + 4 ( S + 1)( S 2 + 4 )
( AS + B ) ( S 2 + 4) + ( CS + D ) ( S 2 + 1) = 1
AS 3 + 4 AS + BS 2 + 4 B + CS 3 + CS + DS 2 + D = 1
A+C = 0
B+D=0
4A + C = 0
4B + D = 1
A=0 , B= 1
3 , C = 0 y D = − 13
1 1 -1 1 1 2 1 1
L-1 = L 2 − L-1 2 = senT − sen 2T
( S + 1)( S + 4 ) 3 S + 1 3 * 2 S + 4 3
2 2
6
TRANSFORMADAS INVERSAS (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
1 1 -1 2! 1 1 2 − 2T
1)L-1 = L 3 = T2 = T e
( S + 2 ) 2! S S → S + 2 2
3
S →S +2 2
1 1 1
2) L-1 = L-1 2 = L-1 2 =
S − 6S + 10 S − 6S + 10 − 1 + 1 S − 6S + 9 + 1
2
1 1
L-1 = L-1 2 = e 3T senT
( S − 3) + 1 2
S + 1 S → S −3
1 1 1 1
3) L-1 = L-1 2 = L-1 =
S + 2S + 5 S + 2S + 1 + 4 ( S + 1) + 4 2
2 2
2 1
L-1 = e −T sen 2T
S + 4 S → S +1 2
2
2S + 5 2S + 5 2S + 5
4) L-1 = L-1 2 = L-1 2 =
S + 6 S + 34 S + 6 S + 34 − 25 + 25 S + 6 S + 9 + 25
2
2 S + 5 + 1 − 1 2S + 6 1 S +3
L-1 = L-1 − L-1 = 2 L-1
( S + 3) + 25 ( S + 3) + 25 ( S + 3) + 25 ( S + 3) + 25
2 2 2 2
6. 1 -1 5 S 1 5
− L = 2 L-1 2 − L-1 2 =
5 ( S + 3) + 25
2
S + 25 S →S +3 5 S + 25 S → S +3
1
2e −3T cos 5T − e −3T sen5T
5
2S − 1
5) L-1 3
S ( S + 1)
2
A B C D E 2S − 1
+ + + + =
S S 2 S + 1 ( S + 1) 2 ( S + 1) 3 S 2 ( S + 1) 3
AS ( S + 1) + B ( S + 1) + CS 2 ( S + 1) + DS 2 ( S + 1) + ES 2 = 2S − 1
3 3 2
AS 4 + 3 AS 3 + 3 AS 2 + AS + BS 3 + 3BS 2 + 3BS + B + CS 4 + 2CS 3 + CS 2 + DS 3 + DS 2 + ES 2 = 2S − 1
A + C = 0 ⇒ C = − A ⇒ C = −5
3 A + B + 2C + D = 0
3 A + 3B + C + D + E = 0
A + 3 B = 2 ⇒ A = 2 − 3B = 5
B = −1 , D = −4 y E = −3
2 S − 1 -1 5 − 1 −5 − 4 3 -1 2!
L-1 3 = L
+ L-1 2 + L-1 + L-1 − L =
S 2 ( S + 1) S S S + 1 ( S + 1) 2 2! ( S + 1) 3
3
5 − T − 5e −T − 4Te −T − T 2 e −T
2
DERIVADA DE TRANSFORMADA:
d d S S 2 − 4 − 2S 2
1)L {T cos 2T } = ( − 1) L {T cos 2T } = ( − 1) 2 = ( − 1) =
dS dS S + 4 ( S 2 + 4) 2
4 − s2
= S −4
2
( − 1)
( S + 4) ( S + 4)
2 2 2 2
d d 3 − 3( 2S ) 6S
2) L {Tsenh3T } = ( − 1) L { senh3T } = ( − 1) 2 = ( − 1) 2 =
( S − 9)
( S − 9)
2
dS dS S − 9
2 2
1 d − 2S
2
2 d
{ }
3) L T 2 senhT = ( − 1)
2 d2 {
L senhT } = ( − 1)
dS 2
2
=
S − 1 dS ( S 2 − 1) 2
=
dS 2
7. (S 2
− 2 S + 1)( − 2 ) − 8S ( S 2 − 1)
=
− 2( S 2 − 1) + 8S 2 ( S 2 − 1)
2
=
6S 2 + 2
(S 2
− 1)
2
(S 2
− 1)
4
(S 2
− 1)
3
L {e sen6T } = ( − 1)
d 6
4) L Te { 2T
sen6T } = ( − 1)
d
dS
2T
dS S 2 + 36 S → S −2
=
d 6 d 6 − 6( 2 S − 4 )
( − 1) = ( − 1) 2 = ( − 1) 2 =
( S − 4S + 40 ) 2
dS ( S − 2 ) 2 + 36
dS S − 4S + 40
12 S − 24
(S 2
− 4 S + 40 )
2
L {e cos 3T } = ( − 1)
d S
5) L Te { −3T
cos 3T } = ( − 1)
d
dS
−3T
dS S 2 + 9 S → S + 3
=
d S +3 d S +3 S 2 + 6 S + 18 − ( S + 3)( 2 S + 6 )
( − 1) = ( − 1) 2 = ( − 1) =
dS ( S + 3) 2 + 9
dS S + 6S + 18
( S + 6S + 18)
2 2
S 2 + 6 S + 18 − 2 S 2 − 12 S − 18 S 2 + 6S
( − 1)
=
( S 2 + 6 S + 18) 2
( S 2 + 6S + 18) 2
L {e senhT } = ( − 1)
d3 1
{
6) L T 3 e −T senhT = ( − 1) } 3 d3
dS 3
−T
dS 3 S 2 − 1 S → S +1
=
d3 d3 d2 − 1( 2 S + 2)
= ( − 1) 3 2
1 1
( − 1) 3
( S + 1) 2 − 1 = ( − 1) 2 =
( S 2 + 2S ) 2
dS dS S + 2 S dS
d ( S 2 + 2 S ) ( − 2 ) − ( − 2 S − 2 ) 2( S 2 + 2 S ) ( 2 S + 2 )
2
( − 1) =
dS ( S + 2S )
2 4
= [
d ( S 2 + 2 S ) ( 2) − 2( 2 S + 2) ( S 2 + 2 S ) d ( S 2 + 2 S ) 2( S 2 + 2 S ) − 2( 2 S + 2)
2 2 2
] =
dS
( S 2 + 2S ) 4 dS
( S 2 + 2S ) 4
d − 6 S 2 − 12 S − 8 ( S 2 + 2 S ) ( − 12 S − 12 ) − ( − 6 S 2 − 12S − 8)3( S 2 + 2 S ) ( 2 S + 2 )
3 2
= =
dS ( S 2 + 2 S ) 3
( S 2 + 2S ) 6
8. (S 2
+ 2S )
2
[( − 12S − 12) − 3( − 6S 2
− 12 S − 8)( 2 S + 2 ) ] = 36S 3
+ 108S 2 + 108S + 36
( S + 2S )
2 6
(S 2
+ 2S )
6
TRANSFORMADAS DE LAPLACE (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
e − aS
1)L { u ( T − a )} = e − aS L {1} =
S
3e −2 S
2) L { 3u ( T − 2 )} = e − 2 S L { 3} =
S
3) L {Tu ( T − a )} = L { ( T − a + a ) u ( T − a ) } = L { ( T − a ) u ( T − a ) } + L { au ( T − a )} =
e − aS ae − aS
e − aS L {T } + ae −aS L {1} = +
S2 S
e −S
4) L { ( T − 1) u ( T − 1) } = e − S L {T } =
S2
e −2 S
{ } {
5) L e 2−T u ( T − 2) = L e −( T − 2 ) u ( T − 2 ) = e − 2 S L e −T =} { } S +1
6) L { ( 3T + 1) u ( T − 3) } = L { ( 3T + 1 − 10 + 10 ) u ( T − 3)} = L { ( 3T − 9 + 10 ) u ( T − 3) } =
3e −3 S 10e −3 S
3 L { ( T − 3) u ( T − 3)} + 10 L { u ( T − 3)} = 3e −3 S L {T } + 10e −3S L {1} = +
S2 S
{ } { }
7) L Te T −5 u ( T − 5) = L ( T − 5 + 5) e T −5 u ( T − 5) = L ( T − 5) e T −5 u ( T − 5) + { }
e −5 S5e −5 S
{ u ( T − 5) } = e { } + 5e L {e } = +
T −5 −5 S T −5 S T
L 5e L Te
( S − 1) 2 S − 1
{ }
8) L ( T − 1) e T −1u ( T − 1) = e − S L T e
3
{ 3 T
}= 6e − S
( S − 1) 4
TRANSFORMADAS INVERSAS (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
e −2S 1 1 -1 2! − 2 S 1 2 − 2 S 1 2
1)L-1 3
= L-1 3 e − 2 S = L 3 e = T e = T u( T − 2) =
S S 2! S 2 2
9. 1
( T − 2) 2 u( T − 2)
2
(1 + e −2 S ) 2
1 + 2e −2 S + e − 4 S -1 1 1 −2 S
2) L
-1
= L-1 = L + 2 L-1 e +
S +2
S +2 S + 2 S + 2
1 −4 S
L-1 e = e − 2T + 2e −2T u ( T − 2 ) + e − 2T u ( T − 4 ) =
S + 2
e − 2T + 2e −2 ( T − 2 ) u ( T − 2) + e −2 ( T −4 ) u ( T − 4 )
e − S -1 1 − S
3) L
-1
=L e
S ( S + 1) S ( S + 1)
A B 1
+ =
S S + 1 S ( S + 1)
A( S + 1) + BS = 1
A = 1 ⇒ B = −1
1 − S -1 1 −S 1 −S
e = u ( T − 1) − e u ( T − 1)
− ( T −1)
L-1 e = L e − L-1
S ( S + 1) S S + 1
e −2 S 1 −2 S
4) L-1 = L-1 2 e
S ( S − 1) S ( S − 1)
2
A B C 1
+ 2 + = 2
S S S − 1 S ( S − 1)
AS ( S − 1) + B ( S − 1) + CS 2 = 1
AS 2 − AS + BS − B + CS 2 = 1
A+C = 0
− A+ B = 0
B = −1 ⇒ A = −1 ⇒ C = 1
−2 S -1 − 1 1
= ( − 1 − T + e T )u ( T − 2 ) =
1 1 −2 S
L-1 e = L − 2 + e
S ( S − 1) S − 1
2
S S
−u ( T − 2 ) − ( T − 2 ) u ( T − 2 ) + e T − 2 u ( T − 2 )
TEOREMA DE CONVOLUCIÓN:
10. 1)L {∫ e sen(T − τ ) dτ }
o
T
τ
f (T ) = e T
g (T ) = senT
L {∫ e sen(T − τ ) dτ } =
T
o
τ
L eT{ } L { senT } = S 1 1 S 1+ 1
−
2
= ( e )( e ) = ∫0 e e
1 1 -1 1 T
τ − 4 ( T −τ ) T
dτ = ∫
− 4T
= L-1 e τ e −4T e 4τ dτ =
T
2) L-1 L
( S − 1)( S + 4 ) S −1 S + 4 0
T
T e 5τ e 5T 1 e T e − 4T
∫
5τ
e − 4T
e dτ = e − 4T
5 = e − 4T
5 − 5 = 5 − 5
0
0
= ( e )( e ) = ∫0 e e
1 1 -1 1 T
−τ 2 ( T −τ )
3) L-1 = L-1 L
−T 2T
dτ =
( S + 1)( S − 2 ) S + 1 S − 2
T
T T e −3τ e −3T 1 e −T e 2T
∫ ∫
−τ 2τ − 3τ
e e e dτ = e 2T 2T
e dτ = e
2T
−3 = e 2T
−3 + 3 = −3 + 3
0 0
0
1 -1 1
= ( e )( e ) = ∫0 e e
1 T
−τ − ( T −τ )
= L-1 dτ =
−T −T
4) L-1 L
( S + 1) S + 1 S + 1
2
e −τ e −T eτ dτ = e −T ∫ dτ = e −T (τ ) 0 = Te −T
T T
∫
T
0 0
S S -1 1 1
5) L-1 2
= L-1 2 L 2 = ( cos 2T ) sen2T =
( S + 4)
2
S + 4 S + 4 2
1 1 T
∫0 ( cos 2τ ) sen( 2T − 2τ )dτ = cos 2τ ( sen 2T cos 2τ − cos 2Tsen 2τ ) dτ =
T
2 2 ∫0
1 T 1 T 1 T 1 + cos 4τ
∫0 sen2T cos 2τdτ − 2 ∫0 cos 2Tsen2τ cos 2τdτ = 2 ∫0 sen2T 2 dτ −
2
2
1 T 1 1 T 1 T 1 T
2 ∫0 cos 2T 2 sen4τ dτ = 4 sen2T ∫0 dτ + 4 sen2T ∫0 cos 4τdτ − 4 cos 2T ∫0 sen4τdτ =
11. T T
1 1 1 1 −1
sen2T (τ ) 0 + sen 2T sen 4τ − cos 2T cos 4τ =
T
4 4 4 0 4 4 o
1
4 Tsen 2T + 16 sen2Tsen 4T + 16 cos 2T cos 4T − 16 cos 2T = 1 Tsen 2T + 16 ( cos( 4T − 2T ) − cos 2T ) =
1 1 1
4
1
1
Tsen 2T
4
ECUACIONES DIFERENCIALES CON CONDICIONES INICIALES (TRANSFORMADA):
1) y ′ − y = 1 y( 0) = 0
Sy s − y ( 0) − y s = L {1}
1 1
y s ( S − 1) = ⇒ ys =
S S ( S − 1)
A B 1
+ =
S S − 1 S ( S − 1)
A( S − 1) + BS = 1
A = −1 ⇒ B = 1
1 1
y ( T ) = − L-1 + L-1 = −1 + e
T
S S − 1
2) y ′ + 2 y = T y ( 0 ) = −1
Sy s − y ( 0) + 2 y s = L {T }
1
Sy s + 1 + 2 y s =
S2
1 1− s2
y s ( S + 2) = − 1 ⇒ ys = 2
S2 S ( S + 2)
A B C 1− s2
+ + =
S S 2 S + 2 S 2 ( S + 2)
AS ( S + 2) + B( S + 2 ) + CS 2 = 1 − S 2
AS 2 + 2 AS + BS + 2 B + CS 2 = 1 − S 2
A + C = −1
2A + B = 0
2 B = 1 ⇒ B = 12 ⇒ A = − 14 ⇒ C = − 3 4
12. 1 1 1 −1 1 3
y ( T ) = − 14 L-1 + 12 L-1 2 − 34 L-1 = + T − e − 2T
S S S + 2 4 2 4
3) y ′′ − 4 y ′ + 4 y = T 3 e 2T y ( 0 ) = 0 , y ′( 0 ) = 0
S 2 y s − Sy ( 0 ) − y ′( 0 ) − 4Sy s − 4 y ( 0 ) + 4 y s = L {T 3 e 2T }
6
S 2 y s − 4Sy s + 4 y s =
( S − 2) 4
6 6 6
ys = = =
(S 2
− 4 S + 4)( S − 2 )
4
( S − 2) ( S − 2)
2 4
( S − 2) 6
6 -1 5! 1
y( T ) = L 6 = T 5 e 2T
5! S S → S − 2 20
4) y ′ + y = f ( T ) y ( 0 ) = 0 , f ( T ) = 5u ( T − 1)
Sy s − y ( 0) + y s = L { 5u ( T − 1)}
5e − S
y s ( S + 1) =
S
5e − S 5
ys = = e −S
S ( S + 1) S ( S + 1)
A B 5
+ = ⇒ A = 5, B = −5
S S + 1 S ( S + 1)
1 1 −S
y ( T ) = 5 L-1 e −S − 5 L-1 e = 5u ( T − 1) − 5e u ( T − 1) =
−T
S S + 1
5u ( T − 1) − 5e −( T −1) u ( T − 1)
5) y ′′ + 4 y = f ( T ) y ( 0 ) = 0 , y ′( 0 ) = −1 , ( T ) = 1 − u ( T − 1)
S 2 y s − Sy ( 0 ) − y ′( 0 ) + 4 y s = L {1 − u ( T − 1)}
13. 1 e −S
S 2 ys + 1 + 4 ys = −
S S
−S
y S ( S 2 + 4) = −
1 e
−1
S S
1 e −S
yS = − −1
S ( S 2 + 4 ) S ( S 2 + 4)
A BS + C 1
+ 2 =
S S + 4 S ( S + 4) 2
A= 1
4 , B= −1
4 y C=0
1 1 1 S 1 1 −S 1 S −S 1 -1 2
y( T ) =L-1 − L-1 2 − L-1 e − L-1 e − L 2
S + 4 4 S + 4 S + 4
2
4 S 4 S 4 2
1 1 1 1 1
= − cos 2T − u ( T − 1) + cos 2( T − 1) u ( T − 1) − sen2T
4 4 4 4 2
6) y ( 4 ) − y = 0 y ( 0 ) = 1 , y ′( 0 ) = 0 , y ′′( 0 ) = −1 , y ′′′( 0 ) = 0
S 4 y s − S 3 y ( 0 ) − S 2 y ′( 0) − Sy ′′( 0 ) − y ′′′( 0) − y S = 0
S 4 ys − S 3 + S − ys = 0
y S ( S 4 − 1) = S 3 − S
S ( S 2 − 1) S ( S 2 − 1) S
yS = = 2 = 2
( S − 1) ( S + 1)( S − 1) S + 1
4 2
S
y ( T ) = L-1 2 = cos T
S + 1
ECUACIONES INTEGRALES:
1) f ( T ) + ∫ ( T − τ ) f (τ ) dτ = T
T
0
L { f ( T )} + L {∫ (T − τ ) f (τ ) dτ } =
T
0
L {T }
F(S) 1
F(S) + 2
= 2
S S S2 1 1
F(S) = 2 2 = 2 ⇒ y ( T ) = L-1 2 = senT
1 1 S ( S + 1) S + 1 S + 1
F ( S ) 1 + 2 = 2
S S
14. f ( T ) = 2T − 4∫ senτf ( t − τ ) dτ
T
2) 0
2 1
F(S) = − 4 2 F ( S )
S +1
2
S
4 2
F ( S ) 1 + 2 = 2
S +1 S
S 2 +1+ 4 S2 +5 2 2S 2 + 2
F ( S ) = F ( S ) 2 = 2 ⇒ F(S) = 2 2
S 2 +1
S +1 S
S ( S + 5)
A B CS + D 2S 2 + 2
+ 2 + 2 = 2 2
S S S + 5 S ( S + 5)
AS ( S 2 + 5) + B ( S 2 + 5) + ( CS + D ) S 2 = 2S 2 + 2
AS 3 + 5 AS + BS 2 + 5 B + CS 3 + DS 2 = 2 S 2 + 2
A+ B = 0
B+D=2
5A = 0 ⇒ A = 0 ⇒ C = 0
5B = 2 ⇒ B = 25 ⇒ D = 85
2 -1 1 8 5 2 8
y( T ) = L 2 + L-1 2 = T + sen 5T
5 S 5 5 S + 5 5 5 5
f ( T ) + 2 ∫ f (τ )dτc0 s( T − τ ) dτ = 4e −T + senT
T
3) 0
S 4 1
F ( S ) + 2F ( S ) 2 = + 2
S + 1 S + 1 S + 1
S 2 + 2S + 1 4 1 ( S + 1) 2 4 1
F ( S )
S 2 + 1 = S + 1 + S 2 + 1 ⇒ F ( S ) S 2 + 1 = S + 1 + S 2 + 1
4( S 2 + 1) S 2 +1 4S 2 + 4 1
F(S) = + 2 = +
( S + 1)( S + 1) ( S + 1)( S + 1) ( S + 1) ( S + 1) 2
2 2 3
15. A B C 4S 2 + 4
+ + =
S + 1 ( S + 1) 2 ( S + 1) 3 ( S + 1) 3
A( S + 1) + B( S + 1) + C = 4 S 2 + 4
2
A = 4, B = −8, C = 8
4 8 8 1
f ( T ) = L-1 ' − L-1 2
+ L-1 3
+ L-1 2
= L1
S + 1 ( S + 1) ( S + 1) ( S + 1)
−T −T 2 −T −T
4e − 8Te 4T e + Te
ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES:
dy
+ 6 y ( T ) + 9 ∫ y (τ ) dτ = 1 y( 0) = 0
T
1)
dT 0
ys 1
Sy s − y ( 0) + 6 y s + 9 =
S S
9 1 S 1
ys S + 6 + = ⇒ ys = =
S S S ( S + 6 S + 9 ) ( S + 3) 2
2
1
y ( T ) = L-1 2
= Te −3T
( S + 3)
∫ y(τ ) dτ y( 0) = 0
T
2) y ′ = 1 − senT −
0
1 1 y
Sy s − y ( 0) =
− 2 − s
S S +1 S
1 1 1 1 S
ys S + = − 2 ⇒ ys = 2 −
S S S +1 S + 1 ( S + 1) 2
2
1
y ( T ) = senT − TsenT
2
CIRCUITOS:
1)Determine la corriente I(T) de un circuito ¨LRC¨ en serie, cuando L = 0.005 henrios, R =1Ω y C = 0.02
faradios.
16. E ( T ) = 100[1 − u ( T − 1) ] I ( 0) = 0
dI 1 T
L + RI + ∫ I (τ ) dτ = 100[1 − u ( T − 1) ]
dT C o
dI 1 T
I (τ ) dτ = 100[1 − u ( T − 1) ]
0.02 ∫o
0.05 +I+
dT
50 I s 1 e −S
0.05( SI s − I ( 0) ) + I s + = 100 −
S
S S
10000 I s 1 e −S
SI s + 200 I s + = 20000 −
S
S S
S 2 + 200 S + 10000 1 e −S ( S + 100) 2 1 − e −S
Is
= 20000 −
S ⇒ Is = 20000
S S
S
S
20000S 1 − e − S 20000 20000e − S
Is = = −
( S + 100) 2 S ( S + 100) 2 ( S + 100) 2
I ( T ) = 20000Te −100T
− 20000Te −100T e − S = 20000Te −100T − 20000( T − 1) e −100( T −1) u ( T − 1)
2)Use la transformada de Laplace para determinar la carga en un capacitor de un circuito en serie (RC)
cuando q ( 0 ) = 0 , R = 2.5Ω, C = 0.08 faradios y E(T) = 5u(T-3).
dq 1
R + q = E(T )
dT c
5e −3 S
2.5q ′ + 12.5q = 5u ( T − 3) ⇒ 2.5( Sq s − q( 0 ) ) + 12.5q s =
S
5e −3 S 2e −3 S
2.5q s ( S + 5) = ⇒ qs =
S S ( S + 5)
A B 2
+ =
S S + 5 S ( S + 5)
AS + 5 A + BS = 2 ⇒ A = 2 5 ⇒ B = − 2 5
2 -1 1 −3 S 2 -1 1 −3 S 2 2 −5( T − 3 )
q( T ) = L e − L e = u ( T − 3) − e u ( T − 3)
5 S 5 S + 5 5 5
3)Aplique la transformada de Laplace para hallar la carga q(T). En el capacitor de un circuito ¨RC¨ en
serie cuando q ( 0 ) = 0 , R = 50Ω, C = 0.01 faradios y E(T) = 50u(T-1)-50u(T-3).
17. dq 1
50 + q = 50u ( T − 1) − 50u ( T − 3)
dT 0.01
50e − S 50e −3 S
50( Sq s − q ( 0 ) ) + 100q s = −
S S
−S −3 S
e e
qs = −
S ( S + 2) S ( S + 2 )
A B 1
+ =
S S + 2 S ( S + 2)
AS + 2 A + BS = 1 ⇒ A = 12 ⇒ B = −12
1 1 − S 1 1 − S 1 1 −3 S 1 1 −3 S
q( T ) = e − e − e + e
2 S 2 S + 2 2 S 2 S + 2
1 1 1 1
q ( T ) = u ( T − 1) − e − 2( T −1) u ( T − 1) − u ( T − 3) + e − 2( T −3 ) u ( T − 3)
2 2 2 2
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES(MÉTODO DE LA TRANSFORMADA):
dx
= −x + y
dT x( 0 ) = 0
1)
dy y( 0) = 1
= 2x
dT
x′ = − x + y Sx s − x( 0 ) + x s − y s = 0
⇒
y′ = 2x Sy s − y ( 0) − 2 x s = 0
Sx s + x s − y s = 0 ⇒ y s = Sx s + x s
Sy s − 1 − 2 x s = 0 ⇒ S ( Sx s + x s ) − 1 − 2 x s = 0 = S 2 x s + Sx s − 1 − 2 x s
x s ( S 2 + S − 2) = 1 ⇒ x s =
1 1 1
= 2 =
( S + S − 2 ) S + S − 2 + 4 − 4 ( S + 12 ) 2 − 9 4
2 9 9
2 32 2 1 3
x( T ) = 2 9 = e − 2T senh T
3 S − 4 S →S + 1 3 2
2
18. 1 1
y s = Sx x + x s = S +
(S + 1 ) − 9 (S + 1 )2 − 9
2
2 4 2 4
S+ 2 21 − 1 1 S+ 21 1 1
ys = + = − 2
(S + 2 1 )2 − 9
4 (S + 2 1 )2 − 9
4 (S + 2
1 )2 − 9
4 (S + 2
1 )2 − 9 (S + 1 )2 − 9
4 2 4
3 3 1 3 2 1 3
y ( T ) = e − 2T cosh T − e − 2T senh T + e − 2T senh T
1
2 4 2 3 2
2 − 12T 3
R/ x( T ) = e senh T y
3 2
3 3 1 3 2 1 3
y ( T ) = e − 2T cosh T − e − 2T senh T + e − 2T senh T
1
2 4 2 3 2
dx
= x − 2y
dT x( 0 ) = −1
2)
dy y( 0) = 2
= 5x − y
dT
x′ = x − 2 y Sx s − x( 0 ) = x s − 2 y s Sx s + 1 = x s − 2 y s Sx s − x s + 2 y s = −1
⇒ ⇒ ⇒
y′ = 5x − y Sy s − y ( 0) = 5 x s − y s Sy s − 2 = 5 x s − y s Sy s + y s − 5 x s = 2
5 x s ( S − 1) + 10 y s = −5
− 5 x s ( S − 1) + y s ( S + 1)( S − 1) = 2( S − 1)
10 y s + y s ( S + 1)( S − 1) = −5 + 2 S − 2
[ x s ( S − 1) + 2 y s = −1]( 5)
[ − 5 x s + y s ( S + 1) = 2]( S − 1) y s (102 + S − 1) = 2S − 7
⇒ 2
y s ( S + 9) = 2S − 7
2S 7 7
ys = − 2 ⇒ y ( T ) = 2 cos 3T − sen3T
S +9 S +9
2
3
10 x s − 2 y s ( S + 1) = −4
x s ( S − 1)( S + 1) + 2 y s ( S + 1) = −1( S + 1)
[ x s ( S − 1) + 2 y s = −1]( S + 1) xs ( S − 1)( S + 1) + 10 xs = −1( S + 1) − 4
⇒
[ − 5 x s + y s ( S + 1) = 2]( − 2) xs ( S 2 − 1 + 10) = − S − 5
−S 5 5
xs = − 2 ⇒ x( T ) = − cos 3T − sen3T
S +9 S +9
2
3
19. 7
R/ y ( T ) = 2 cos 3T − sen3T
3
5
x( T ) = − cos 3T − sen3T
3