Lista de exercícios produto vetorial produto misto

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Lista de exercícios de fixação - geometria analítica

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Lista de exercícios produto vetorial produto misto

  1. 1. PRODUTO VETORIAL 01) Dados os vetores u  =( –1,3,2),v  =(1,5,–2) e w  =(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores: a) u  v  b) v    w c) v  (u   )  w d) (v  u   ) w e)(u  +v   ) f) (u  – w )(u  + w   ) w RESP: a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(24,72,48) e)(24,0,64) f)(–3,–13,18) 02)Determinar o vetor x   =(2,–3,0) e tal que x  , paralelo ao vetor ao vetor w  u  = v , onde u  =(1,–1,0) e v =(0,0,2). RESP: x  =(4.–6,0) 03) Determinar o vetor v  , sabendo que ele é ortogonal ao vetor a =(2,3,1) e ao vetor b =(1,2,3) e que satisfaz a seguinte condição; 10 ) k 7 j 2 i ( v     . RESP:   1, 5, 7v 04)Determinar v , tal que v seja ortogonal ao eixo dos y e que w v u   ,sendo ) 1 , 1, 1( u   e ) 1, 1 , 2( w   . RESP: v =(1,0,1)  =(–1,–1,0) e 2 v 05)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 1 v  =(0,–1–1). 1 RESP:  1,  1,1 3  =(3,0,1). Determine o vetor v 06) Dado o vetor 1 v  =(x,y,z), sabendo-se que v  é ortogonal ao eixo OX, que   1 v  v    1 v = 14 6 , e que v   =4. RESP: v  (0,  6, 4)  =(1,1,1) e v 07) Dados os vetores u  =(2,3,4), calcular:  e v a) A área do paralelogramo de determinado por u  ;  . b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u RESP: a)A= . a. u6 b) . c . u 2 h  08)Dados os vetores u  =(2,1,1) e v  =(1,1,), calcular o valor de  para que a área do paralelogramo determinado por u  e v  seja igual a 62 u.a.(unidades de área). RESP: =3 09) A área de um triângulo ABC é igual a 6 . Sabe-se que A(2,1,0), B(–1,2,1) e que o vértice C pertence ao eixo OY. Calcule as coordenadas de C.   1 RESP: (0,3,0) ou   0 , 5 0,
  2. 2. 10)Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A (0,1,1), B(2,0,1) e C(1,2,0). Determine a altura 3 35 relativa ao lado BC. RESP: u.c. 7 h  11) Calcule a distância do ponto P(–2,1,2) à reta determinada pelos pontos M(1,2,1) e N(0,–1,3). RESP: d= 3 35 7 u.c. (calcule a área do triângulo MNP; a distância entre o ponto P e a reta será a altura) PRODUTO MISTO 01) Qual é o valor de x para que os vetores a  =(3,–x,–2), b  =(3,2,x) e c  =(1,–3,1) sejam coplanares. RESP: x=14 ou x=–2 02) Determinar o valor de k para que os pontos A(0,0,3),B(1,2,0), C(5,–1,–1) e D(2,2,k) sejam vértices de uma mesma face de um poliedro. RESP: k=– 1  = 2 i 03) Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores u  – j  e  +k  = i v  – j  e w  + j  =x i  , seja unitário. RESP: x=–5 ou x= –3  –3k  =(1,1,0), v 04) Sejam os vetores u       . Determinar o  =(2,0,1) e w1  3u  2v , w2  u  3v e w3 i j 2k volume do paralelepípedo definido por 1 w , 2 w e 3 w . RESP: V=44 u.v. 05) Dado um tetraedro de volume 5 e de vértices A (2,1,–1), B(3,0,1) e C(2,–1,3). Calcular as coordenadas do quarto vértice D, sabendo-se que se acha sobre o eixo OY. RESP: D (0,–7,0) ou D(0,8,0) 06) São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor de m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AC , AB e AD . RESP: m=6 ou m=2  =(1,1,0), v 07) Sendo u  =(2,1,3) e w  =(0,2,–1). Calcular a área do triângulo ABC e o volume do tetraedro ABCD, onde B=A+u  . C=A+v  e D=A+ w  . 19 RESP: S= ua 2 5 ,V= uv 6 08) Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A(1,3,1), B(0,2,4) ,C(2,1,3) e D(0,6,0). 4 6 RESP: u.c. 11 h  09)Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1) , B(1,1,–3) e C(–1,– 3,0). RESP: 5 174 58 u.c.
  3. 3. 10) Os vértices de um tetraedro são M (0,3,4), N(1,2,2) e Q(2,–1,2) e P é um ponto pertencente ao eixo coordenado OZ. Calcule: a)as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a 1 uv; b)a área e o perímetro da face NMQ; c)calcule a altura do tetraedro MNPQ, relativa à face MNQ. RESP: a)P(0,0,0) ou P(0,0,2) b)S= 33 u.a., 2p= 12 3 6 3  u.c. c) 1 3 3 u.c.  , A O 11) São dados no espaço os pontos A(2,–1,0), B(1,–2,1) e C(1,0,2), determine o ponto D, tal que D O    e OA OB  sejam coplanares, OD   OC   OB  = –28 e que o volume do tetraedro OABD seja igual a 14. RESP: D(0,0,–28) ou D(12,24,8)

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