Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar probabilitas dan statistika seperti populasi, sampel, parameter, statistik, ruang sampel, kejadian, variabel acak, distribusi, fungsi probabilitas, ekspektasi dan variansi.

1. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas Brawijaya
Slide 04 : Probabilitas
dan Distribusi
PERAWATAN DAN
KEANDALAN
Teknik Industri - Universitas
Brawijaya
1

2. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Populasi
Populasi atau semesta (universe) adalah set
lengkap observasi yang menjadi perhatian peneliti.
Populasi adalah grup keseluruhan unsur yang
menjadi fokus studi.
Populasi adalah total keanggotaan dari semua
elemen sistem yang relevan dengan lingkup batasan
permasalahan.
2

3. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Populasi
Populasi (population) adalah himpunan semua
objek, percobaan, pengamatan, data, keluaran,
atau nilai yang memiliki kesamaan kondisi umum
(common state) dalam rentang (range) tertentu
(finite atau infinite) dengan parameter identik
sesuai dengan batasan permasalahan yang menjadi
fokus studi peneliti.
3

4. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Sampel
Sampel (sample) adalah sejumlah observasi yang
diambil dari populasi
Sampel adalah beberapa unsur yang menjadi bagian
dari populasi
Sampel adalah sebagian anggota dari populasi
4

5. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Populasi dan Sampel
5

6. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Statistik dan Parameter
Parameter adalah nilai yang menjelaskan
karakteristik populasi
Statistik adalah nilai yang menjelaskan karakteristik
sampel
6

7. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Ruang dan Titik Sampel
Ruang sampel (sample space) adalah satu set
lengkap semua keluaran yang mungkin terjadi
dalam populasi.
Titik sampel (sample point) adalah setiap keluaran
yang menjadi elemen atau anggota ruang sampel.
Ruang sampel dapat dirinci titik sampelnya, atau
menggunakan interval atau pernyataan
(statement / rule) jika terlalu banyak.
7

8. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Keluaran dan Kejadian
Keluaran (outcome) adalah fakta hasil
pengumpulan data dalam observasi ataupun
eksperimen
Kejadian (event) adalah peristiwa yang termasuk
dalam keluaran-keluaran yang mungkin (possible
outcomes) terjadi saat pengumpulan data.
8

9. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Proses Stokastik
Proses stokastik (stochastic process) adalah proses
dengan keluaran sekumpulan variabel acak X={X(t), t∈T},
yang terdistribusi acak pada saat t dalam rentang
continuum T.
Eksperimen acak (random experiment) adalah
eksperimentasi yang menghasilkan keluaran yang berbeda,
meskipun dilakukan perulangan dengan rancangan kondisi
eksperimentasi yang sama.
9

10. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Variabel Acak
Variabel acak (random variable) adalah suatu nilai
bersifat acak dalam numerik (format angka diskrit
atau kontinyu) atau nonnumerik yang menandai
keluaran dalam ruang sampel tertentu (finite atau
infinite).
Variabel acak dinotasikan dengan huruf kapital
miring (misal : X). Sedangkan nilai variabel acak
dinotasikan dengan huruf kecil miring (misal : x).
10

11. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Tipe Data
Data Diskrit, data hasil pencacahan atau
penghitungan, sehingga biasanya dalam angka
bilangan bulat.
Data Kontinyu, data hasil pengukuran yang
memungkinkan dalam angka bilangan nyata
(meskipun dapat pula dibulatkan)
11

12. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Probabilitas
Probabilitas kejadian E dalam ruang sampel S,
(P(E), E⊂S), adalah peluang kejadian E menjadi
keluaran percobaan dasar (trial) dalam sebuah
eksperimen yang mempunyai ruang sampel S di
mana kejadian E termasuk sebagai bagian dari
ruang sampel tersebut.
12
SEExPEP ⊂∈= ,)()(

13. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Probabilitas
Probabilitas kejadian E dalam ruang sampel S,
(P(E), E⊂S), adalah peluang empiris kejadian E
yang ekuivalen dengan proporsi banyaknya elemen
kejadian E, N(E). dibandingkan dengan segenap
elemen ruang sampel S, N(S).
13
( )
)(
)dan;(
)(
);(
SN
SEExxN
SN
SEEN
EP
⊂∈
=
⊂
=

14. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Probabilitas
Probabilitas kejadian E dalam ruang sampel S,
(P(E), E⊂S), adalah total peluang semua titik
sampel dalam ruang sampel S yang menjadi elemen
kejadian E.
14
( ) 1)(,0)(,10 ==∅≤≤ SPPEP
)(,,2,1,,)()(
)(
1
ENiExxPEP i
EN
i
i =∈= ∑=

15. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Probabilitas
Probabilitas kejadian E dalam ruang sampel S,
(P(E), E⊂S), adalah frekuensi relatif kejadian E.
15
SE
xf
xf
EfEP
Sx
Ex
r
⊂=
=
∑
∑
∈∀
∈∀
,
)(
)(
)()(

16. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Hukum Total Probabilitas
Jika A1, A2, ..., Ak menunjukkan bagian dari ruang
sampel S yang bersifat mutually exclusive, dan tidak
ada titik sampel yang tidak menjadi elemennya
(A1∪A2∪...∪Ak= S), maka total probabilitas
gabungan keseluruhan adalah satu
16
exclusivemutuallydan,manadi
1)(0dengan,1)(
1
1
i
k
i
i
i
k
i
i
ASA
APAP
∀=
≤≤=
=
=
∑

S
A1
A2
A3
A4 A5

17. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Kejadian Eksklusif
Dua kejadian bersifat saling eksklusif (mutually
exclusive), jika kemunculan kejadian E1 akan
meniadakan probabilitas kejadian E2
◦P(A|B) = 0
◦P(B|A) = 0
Dua kejadian bersifat saling eksklusif (mutually
exclusive), jika probabilitas irisan adalah nol.
P(A∩B) = 0
17

18. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Kejadian Eksklusif
Probabilitas gabungan (probability of a union)
beberapa kejadian E1, E2,... dan Em dalam ruang
sampel S, (P(E1∪E2∪...∪Em); ∀E⊂S dan ∀E
mutually exclusive) di mana semua kejadian saling
mutually exclusive adalah sebesar jumlah
probabilitas segenap kejadian tersebut
18
∑=
=
=
++=
m
i
i
m
m
i
i
EP
EPEPEPEP
1
21
1
)(
)()()()( 

19. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Kejadian Bebas
Dua kejadian bersifat saling bebas (independent),
jika kemunculan kejadian E1 tak mempengaruhi
probabilitas kejadian E2
◦P(A|B) = P(A)
◦P(B|A) = P(B)
Dua kejadian bersifat saling bebas tidak terikat
(independent), jika probabilitas irisan adalah
perkalian kedua probabilitasnya.
P(A∩B) = P(A).P(B)
19

20. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Kejadian Bebas
Sejumlah kejadian, E1, E2, ... , Ek bersifat saling
bebas tidak terikat (independent), jika probabilitas
irisannya ekuivalen dengan perkalian
probabilitasnya
20
∏==
=





=∩∩∩
k
i
i
k
i
i
kk
APAP
APAPAPAAAP
11
2121
)(
)(.).().()(



21. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Distribusi
Distribusi adalah sebaran variabel acak X dalam
ruang sampel S dengan rentang R yang mempunyai
karakteristik unik (parameter atau statistik) dalam
interval tertentu (finite atau infinite) dengan fungsi
probabilitas yang spesifik.
21

22. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Distribusi
Distribusi empiris (empirical distribution) adalah
distribusi sebaran data aktual dari observasi atau
eksperimen dengan pengelompokan dalam
distribusi frekuensi.
Distribusi teoritis (theoretical distribution) adalah
distribusi sebaran variabel acak dalam rentang
tertentu yang mengikuti fungsi probabilitasnya.
22

23. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Fungsi Probabilitas
Fungsi probabilitas menunjukkan tingkat frekuensi
relatif dari variabel acak X bernilai diskrit atau
luasan frekuensi relatif dari interval variabel acak X
bernilai kontinyu.
23

24. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Fungsi Probabilitas
Probability Mass Function, p(x)
Probability Density Function, f(x)
Cumulative Distribution Function, F(x)
Expectation, E(xn
)
Variance, V(x)
Moment, mr(x)
Moment Generating Function , Mr(x)
24

25. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Probability Mass Function
Fungsi massa probabilitas (probability mass
function) adalah fungsi yang memberikan
penaksiran probabilitas dari variabel acak diskrit
pada nilai tertentu.
Jika X adalah sebuah variabel acak diskrit, penaksiran nilai
probabilitas P(X=x)=p(x) untuk setiap x dalam rentang R di mana nilai
p(x) memenuhi :
◦p(x)>0 untuk seluruh x∈R
◦Σ p(x) = 1
25

26. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Probability Density Function
Fungsi kepadatan probabilitas (probability density
function) adalah fungsi yang memberikan
penaksiran probabilitas dari variabel acak kontinyu
dalam interval tertentu.
Jika X adalah sebuah variabel acak kontinyu, penaksiran nilai
probabilitas P(a<X<b)=a∫b
f(x)dx untuk setiap interval X dalam rentang
R di mana nilai f(x) memenuhi :
◦f(x)>0 untuk seluruh x∈R
◦∫ f(x) dx = 1
26

27. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Cumulative Distribution
Function
Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution
function) adalah fungsi yang memberikan
penaksiran probabilitas kumulatif dari variabel acak
diskrit atau kontinyu hingga nilai tertentu.
Jika X adalah sebuah variabel acak, penaksiran nilai probabilitas
P(X<b)= F(x) untuk setiap interval X dalam rentang R di mana nilai
F(x) memenuhi :
◦F(x) = Σb
p(x) untuk variabel acak diskrit x∈R
◦F(x) = -∞∫b
f(x) dx untuk variabel acak kontinyu x∈R
27

28. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Expectation
Nilai ekspektasi (expectation) adalah sebuah nilai
harapan dari sebuah fungsi terhadap fungsi
probabilitas variabel acaknya.
Jika X adalah sebuah variabel acak, dan g(x) adalah fungsi dari X,
maka nilai ekspektasi dari g(x) didefinisikan sebagai berikut :
◦E((g(x)) = Σ g(x).p(x) untuk variabel acak diskrit x∈R
◦E((g(x)) = ∫ g(x).f(x) dx untuk variabel acak kontinyu x∈R
28
µ== xxE )(

29. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Variance
Variansi (variance) adalah nilai ekspektasi fungsi
kuadrat deviasi variabel acak X dengan rata-ratanya
terhadap fungsi distribusi probabilitasnya.
29
RxdxxfxxxV
RxxpxxxV
∈−=
∈−=
∫
∑
∞
∞−
∞
kontinyuacakabeluntuk vari)(.)()(
diskritacakabeluntuk vari)(.)()(
2
0
2
( )
( )22
2
22
)()(
)(
)(
xExE
xxE
xVs
−=
−=
==σ

30. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Moment
Momen origin (moment about the origin atau raw
moment) adalah nilai ekspektasi fungsi deviasi
variabel acak X dengan titik origin (nol, 0) dalam
orde ke-r terhadap fungsi distribusi probabilitasnya.
30
( )r
rr xEm == ''µ
Rxdxxfxm
Rxxpxm
r
rr
r
rr
∈==
∈==
∫
∑
∞
∞−
∞
kontinyuacakabeluntuk vari)(.''
diskritacakabeluntuk vari)(.''
0
µ
µ

31. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Moment
Momen pusat (central moment) adalah nilai
ekspektasi fungsi deviasi variabel acak X dengan
nilai rata-rata dalam orde ke-r terhadap fungsi
distribusi probabilitasnya.
31
( )r
rr xxEm )( −==µ
Rxdxxfxxm
Rxxpxxm
r
rr
r
rr
∈−==
∈−==
∫
∑
∞
∞−
∞
kontinyuacakabeluntuk vari)(.)(
diskritacakabeluntuk vari)(.)(
0
µ
µ

32. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Moment Generating
Function
Fungsi pembangkitan momen (moment generating
function) adalah nilai ekspektasi fungsi eksponensial
variabel t dan variabel acak X dengan nilai rata-rata
terhadap fungsi distribusi probabilitasnya.
32
( )xt
eEtM .
)( =
RxdxxfetM
RxxpetM
xt
xt
∈=
∈=
∫
∑
∞
∞−
∞
kontinyuacakabeluntuk vari)(.)(
diskritacakabeluntuk vari)(.)(
.
0
.

33. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Moment Generating
Function
Hubungan antara Fungsi pembangkitan momen
(moment generating function) dengan momen
origin (moment about the origin) ditunjukkan
dengan fungsi derivatif.
33
r
t
r
r
dt
tMd
'
)(
0
µ=
=

34. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Distribusi Diskrit
Hubungan antara p(x) dengan F(x)
34
RxF
xpxXPxF
xX
rentangdalamasprobabilitluntuk tota1)(manadi
)()()(
0
=
=≤= ∑≤≤
p(x) F(x)

35. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Distribusi Kontinyu
Hubungan antara f(x) dengan F(x)
35
RxF
dxxfxXPxF
xX
rentangdalamasprobabilitluntuk tota1)(manadi
)()()(
=
=≤= ∫ ≤≤∞−
f(x) F(x)

36. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas BrawijayaArif Rahman – Universitas Brawijaya
Distribution Fitting & Parameter Estimation
Chi-Square Test
Kolmogorov Smirnov Test
Geary Test
Lilliefors Test
Shapiro-Wilk Test
Moment Generating Function
Maximum Likelihood Estimation
Least Square Error
36

37. Perawatan & Keandalan – 04 Probabilitas Arif Rahman – Universitas Brawijaya37
End of Slides ...End of Slides ...