El documento presenta una propuesta de actividad para que los estudiantes de cuarto y quinto grado exploren la diferencia entre el perímetro y el área de figuras planas. La actividad involucra transformar figuras originales cortando y moviendo partes para descubrir que el perímetro y el área pueden variar independientemente. El documento también proporciona ejemplos de cómo las transformaciones pueden dar como resultado un mayor o menor perímetro y área.

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Geometría: cuarto y quinto grado
En cuanto a la confusión “perímetro– área”, “área – volumen” que se da frecuentemente
en los alumnos, como ya se dijo tienen su origen en diversas razones tanto de origen
psicológico como de origen didáctico.
El área y el perímetro son dos conceptos íntimamente ligados, por lo cual el estudio de
dicha relación no debe quedar fuera de la escuela.
Su exploración favorece el mayor entendimiento de determinadas propiedades que sólo
quedan en evidencia a partir de un trabajo de diferenciación entre las mismas. Esta
práctica no toma en cuenta que las magnitudes área y longitud están íntimamente
relacionadas, y por lo tanto se impone un trabajo de diferenciación entre ellas, que
colabore en la mayor comprensión de cada una.
Una propuesta de actividad cuarto o grado superior podría ser la siguiente:
El juego de las transformaciones
El objetivo de esta actividad es que los alumnos puedan descubrir la independencia de las
variaciones del área y del perímetro.
Los alumnos suelen confundir ambas nociones, o bien considerar que son magnitudes
proporcionales entre sí o que el aumento de una de ellas se corresponde con un aumento
en la otra. Existen además errores causados por las formas de designación habitual en la
escuela. Un cuadrado de 1 m2
se define como un cuadrado de 1m de lado, pero resulta
que un cuadrado de 2 m2
no es un cuadrado de 2m de lado. Lo mismo sucede con otros
cuadrados.
Esta actividad permite operar sobre las figuras planas realizando transformaciones que
apuntan a diferencias ambas nociones y a descubrir que el aumento, la disminución o la
conservación de la medida del perímetro es independiente del aumento, la disminución o
la conservación de la medida de la superficie.
Veamos algunos ejemplos de diversas variantes que adjuntamos para el uso del docente:
a) Mayor superficie y mayor perímetro:
Se puede agregar alguna superficie accesoria que aumenta como en los ejemplos el
perímetro.
b) Menor superficie y menor perímetro:

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Se puede, en ciertos casos, realizar un corte siempre que el nuevo lado de la figura sea
menor que los que se suprimen.
c) Mayor superficie e igual perímetro:
Se pueden construir dos rectángulos por ejemplo de 12 cm de perímetro pero con
diferentes superficies.
d) Menor superficie e igual perímetro:
Se pueden cortar un cuadradito en un ángulo de la figura y se conserva el perímetro.
e) Igual superficie y mayor perímetro:
Se puede cortar un rectángulo en dos y desplazar una de las partes. También se puede
cortar una parte de la figura y colocar en otro lado como indica el ejemplo.
f) Igual superficie y menor perímetro:
Se puede realizar un corte por la mitad al rectángulo y colocar una mitad debajo de la
otra. Por ejemplo un rectángulo de lados 2 cm y 6 cm, se convierte en un rectángulo de
lados 4 cm y 3 cm. El primero tiene perímetro 16 cm y el segundo de 14 cm. Ambos
tienen un área de 12 cm2
.

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g) Menor superficie y mayor perímetro:
Se puede realizar un corte interior a la figura y se logra disminuir la superficie aumentando
el perímetro (pues también el borde interior forma parte del perímetro). O bien es posible
realizar un corte irregular en un lado.
h) Mayor superficie y menor perímetro.
Es la inversa de la situación anterior. Se regulariza un lado o se completa una figura
hueca.
Secuencia:
1° Etapa. Se divide a la clase en grupos de dos o tres alumnos. Cada grupo deberá tener
los siguientes materiales: papel, tijera, lápiz, goma de pegar, hilo o soga. Se les solicita a
los grupos que construyan cuatro rectángulos iguales y que a tres de ellos les realicen
alguna transformación. Se les puede sacar o agregar una parte o bien cortar una parte y
ubicarla en otro lugar sin superponerla a la figura original.
2° Etapa. Luego de que cada grupo obtiene su figura original y las tres transformadas se
le pide que analicen qué variaciones se han producido en la superficie y en el perímetro
de cada una de las figuras con respecto al rectángulo original. Se deberá observar si han
aumentado, disminuido o se ha conservado la superficie y el perímetro. Los alumnos en
muchos casos, podrán deducirlo sin necesidad de medición. Podrán en caso de duda
utilizar recursos de medición (bordear con un hilo el perímetro, pegar y despegar para
comparar los hilos, superponer figuras para comparar áreas o realizarlas en papel
cuadriculado para contar lo cuadraditos).
Cada grupo registra para las tres figuras los cambios producidos en cada transformación.
Sólo es necesario descubrir si ha aumentado o disminuido pero no es necesario encontrar
las medidas de las variaciones.
3° Etapa. Se realiza una puesta en común. Cada grupo expone sus transformaciones y
justifica sus observaciones. El docente registra los ejemplos en el pizarrón. Se construye
un registro de manera que queden agrupadas las mismas transformaciones de los

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diferentes equipos. El docente aclara dudas y en caso de discusión propondrá comprobar
los resultados.
4° Etapa. El docente invita a los alumnos a que busquen nuevas transformaciones que no
hayan aparecido. En esta etapa se puede utilizar como figura original para transformar
cualquier tipo de figura plana, pudiendo ser una figura no clásica.
Para esta etapa el docente puede utilizar diversas posibilidades presentadas en al
introducción. En algunos casos los alumnos evaluarán como imposible algunas de las
variantes y el docente puede guiar la exploración por medio de preguntas: ¿y si hacemos
un agujero?¿y si le agregamos un triángulo?¿y si partimos de una figura con muchos
cortes, muy irregular?, entre otras. El docente podrá mostrar ejemplos para someterlos a
discusión.
5° Etapa. Una vez que se hayan explorado diversas variaciones, se realizará una
actividad que permita reconstruir las acciones realizadas y los resultados obtenidos en las
etapas anteriores. Para lograr dicho objetivo, el docente propondrá cada grupo que:
1) Numere las figuras transformadas.
2) Dibuje las figuras, tanto la original como las transformadas.
3) Retome los registros realizados para cada transformación.
4) Complete el siguiente cuadro para registrar si aumentó, disminuyó o se conservó
el perímetro y la superficie de la figura transformada con respecto de la original.
Luego de completado el cuadro, se realiza una puesta en común en la cual, el docente
propondrá comparar los distintos cuadros y extraer conclusiones acerca de las
transformaciones realizadas. Los alumnos registran las conclusiones.
Variantes:
a) Realizar transformaciones de perímetro y superficie sobre geoplano o con varillas.
Dichos materiales facilitan la comparación de perímetros y áreas y permiten
nuevas reflexiones.
b) Buscar figuras con igual perímetro e igual área.

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c) Cortar un papel glacé en 5 piezas. Combinarlas de diferentes maneras y observar
qué sucede con el perímetro y el área.
d) Construir 3 triángulos diferentes de igual área y distinto perímetro y viceversa.
e) Investigar qué sucede en un triángulo o en rectángulo cuando se duplica su
perímetro, ¿se duplica el área?
La siguiente secuencia está tomada de Matemática 5 de la serie Cuadernos para el aula.
Secuencia para relacionar perímetro y área: “Armando figuras”.
Actividad 1
A continuación, presentamos un juego que apunta, como primer objetivo, a poner en
evidencia para los alumnos que hay diferentes figuras que tienen la misma área, del
mismo modo que hay diferentes figuras que tienen el mismo perímetro.
“Figuras y condiciones”: figuras con perímetros y áreas dados.
Materiales:
 60 cuadraditos de igual tamaño en cartulina o plástico.
 10 tarjetas que digan área, con los siguientes números: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,
13.
 10 tarjetas que digan perímetro, con los siguientes números: 12, 14, 16, 18, 20, 22,
24, 26, 28, 30.
Organización de la clase: se juega entre tres o cuatro grupos formados por dos personas
cada uno.
Desarrollo: el juego consiste en formar, con los cuadraditos, configuraciones en las que
estos se encuentren unidos por un lado completo (es decir no pueden tener sólo como
punto de contacto un vértice), y que tengan áreas o perímetros que se estipulen desde las
tarjetas. La unidad de medida para el perímetro es el lado de los cuadraditos y la unidad
de medida para la superficie son cada uno de los cuadraditos.
Se colocan los cuadraditos en el centro de la mesa. Se mezclan las tarjetas numeradas y
se colocan boca abajo sobre la mesa. Por turno, uno de los jugadores levanta una tarjeta
y la lee en voz alta.
Durante un tiempo estipulado previamente, se trata de armar la mayor cantidad de
configuraciones que respeten la condición dada por la tarjeta, utilizando los cuadraditos
que están en el centro de la mesa.
Pasado el tiempo, se ponen en común las configuraciones y se adjudica 1 punto a cada
configuración correcta y 0 puntaje a las incorrectas.
Se vuelven a colocar los cuadraditos en el centro para la próxima jugada.
El juego termina cuando la suma de puntos acumulados por alguno de los grupos alcance
15 puntos.

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Actividad 2
A continuación, se ofrecen algunas partidas simuladas que se pueden presentar como
problemas.
• Marisa dijo que cuando a su grupo le tocó la tarjeta área: 10, armaron 6 figuras; ¿cuáles
pudieron haber sido esas figuras?
• El grupo de Hernán armó las siguientes figuras a partir de la tarjeta perímetro: 18.
¿Cuáles van a obtener puntaje?
Actividad 3
Los problemas que siguen plantean cuestiones y dificultades que no aparecen
necesariamente en el juego y que significan una profundización en la reflexión acerca de
la constancia y variación del perímetro y el área.
• Martín dijo que cuando les salió la tarjeta área: 8 el grupo de Rocío había armado las
figuras de abajo y él armó otras 2 figuras, también de área: 8 pero de mayor perímetro.
¿Cuáles pueden ser esas figuras?
• Josefina dijo que en la jugada en la que Máximo armó la figura de abajo, ella había
armado otras 2 de igual perímetro y área. ¿Qué figuras pudo haber armado?

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Actividad 4
Otra actividad que podemos realizar con el mismo material, y apuntando al mismo
objetivo, es disponer una configuración con los cuadritos y solicitarles a los chicos que
armen otras, que cumplan a la vez dos condiciones en relación con la dada. Por ejemplo,
que tengan mayor área y menor perímetro o menor perímetro e igual área.
Actividad 5
Esta actividad tiene como propósito que los chicos discutan sobre la validez de
proposiciones generales acerca de conservación del área y el perímetro. Para esto, tienen
la posibilidad de partir del conocimiento de casos particulares que les proporcionó el
problema, y de la resolución y el debate de las partidas simuladas.
• Luego de haber participado del juego anterior, algunos alumnos sacaron las siguientes
conclusiones. Indicá si estás de acuerdo o en desacuerdo con las mismas y fundamentá
tu respuesta.
- Todos los polígonos de igual área tienen el mismo perímetro.
- Algunos polígonos del mismo perímetro y la misma área tienen diferente forma.
- Todos los polígonos del mismo perímetro tienen igual área.
A continuación, proponemos otra actividad orientada en el mismo sentido que la
secuencia anterior, y que puede contribuir a la profundización de las reflexiones iniciadas,
puesto que aparecen algunas formas que no son posibles de construir a partir de los
materiales del juego.
• Cuando sea posible, transformá (agregándoles o sacándoles algo) las siguientes figuras,
para obtener otras que tengan:
a) un área mayor, conservando el mismo perímetro;
b) un área menor y un perímetro mayor.

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Situaciones para sistematizar propiedades de figuras y cuerpos
Para que al argumentar los alumnos avancen hacia el uso de propiedades, es necesario
que enfrenten problemas en los que tengan que anticipar y dar razones sobre, por
ejemplo, la figura que se obtiene al realizar una construcción.
Para el caso de las figuras, la comparación entre los triángulos del siguiente conjunto
puede desembocar en la sistematización de las propiedades de sus lados y sus ángulos.
Adivinanza de figuras: propiedades de los triángulos.
Estas cartas, así como otras con diferentes figuras geométricas, están disponibles en
Chemello, G. (coord.), Hanfling, M. y Machiunas, V. (2001), Juegos en Matemática EGB 2.
El juego, un recurso para aprender. (Material recortable para alumnos).
Materiales: hojas con triángulos dibujados.
Organización de la clase: se divide en grupos de no más de 4 integrantes.
Desarrollo: se entrega a cada equipo una hoja con los triángulos. El juego consiste en
adivinar cuál es la figura elegida por el docente, haciéndole preguntas que se respondan
por sí o por no. Gana el equipo que primero encuentra la figura.
Las preguntas que los alumnos elaborarán, seguramente, serán de muy distinta índole.
Por ejemplo, podrán preguntar: ¿Tiene lados congruentes (iguales)? o ¿Tiene un ángulo
recto?, sin pensar en que algunas de esas propiedades son comunes a otras figuras del
conjunto dado. O bien ¿Es el triángulo alargadito? ¿Es el triángulo gordo?, es decir,
preguntas que no se refieren a características geométricas.

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Cabe señalar aquí que para decidir si una figura se descarta o no en función de la
respuesta del maestro, los chicos podrán realizar algunas comprobaciones empíricas,
como comparar ángulos con la esquina de una hoja de papel para saber si son rectos o
no, o realizar mediciones, pues no es suficiente con decidir “a ojo”.
Un registro en el pizarrón de todas las preguntas que van formulando los alumnos puede
ser un buen recurso para organizar la discusión posterior. Si bien la consigna indica que
solo pueden formularse aquellas preguntas que se respondan por sí o por no, es muy
probable que, inicialmente, algunas preguntas (¿Cómo son sus lados? ¿Cuántos lados
congruentes –iguales- tiene?) no sean adecuadas, lo que requerirá una discusión grupal
que permita realizar acuerdos al respecto.
Por ejemplo, se podría concluir que las preguntas por cuánto, cómo y dónde no admiten
como respuesta un sí o un no.
También habrá que realizar acuerdos básicos acerca de cuáles son las preguntas más
útiles para determinar cuál es la figura seleccionada por el docente, lo que permite
comenzar a identificar figuras que poseen una misma propiedad, como tener (o no) un
ángulo recto o un par de lados congruentes (iguales).
En una segunda instancia, se puede volver a jugar incluyendo en la consigna la condición
de elaborar la menor cantidad de preguntas posibles. Es de esperar que, luego de las
discusiones realizadas y de los acuerdos a los que se arribó, los alumnos estén en
mejores condiciones para realizar otras actividades, como la siguiente.
María y Martín dicen que eligieron el mismo triángulo. María dice que eligió un
triángulo obtusángulo, en el que uno de sus lados mide 2,6 cm, y Martín dice que
eligió un isósceles, en el que uno de sus lados mide 2,6 cm. ¿Es posible que sea
cierto lo que afirman?
Es importante destacar aquí que para los niños no es evidente que un mismo triángulo
pueda ser, a la vez, isósceles y obtusángulo.
Otra actividad de sistematización posible es solicitar a los alumnos que armen, en forma
individual, un cuadro donde ubiquen las propiedades de las figuras o cuerpos que hayan
explorado, y, luego, presentar algunas preguntas donde las propiedades se utilicen para
justificar la verdad o la falsedad de ciertas afirmaciones.
Por ejemplo, en relación con los cuadriláteros, se podría proponer.

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Completá el siguiente cuadro, dibujando, si es posible, un cuadrilátero en cada sector.
Discutí con tus compañeros si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
- Los cuadrados tienen diagonales congruentes (iguales).
- Las diagonales del rectángulo son perpendiculares.
- El rombo y el cuadrado son los únicos que tienen diagonales congruentes (iguales).
- Los cuadriláteros que no tienen todos sus lados iguales tampoco tienen diagonales
congruentes (iguales).
- El romboide y el cuadrado tienen diagonales perpendiculares.
- Las diagonales de todos los cuadriláteros se cortan en el punto medio.
Algo similar se puede hacer con las figuras tridimensionales (cuerpos)