Produtos notáveis autor antonio carlos carneiro barroso

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Produtos notáveis autor antonio carlos carneiro barroso

  1. 1. Produtos Notáveis: Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem uma forma geral para sua resolução. Os produtos abaixo são exemplos, em forma geral, de produtos notáveis: (a + b) . (a + b) = (a + b)2    Quadrado da soma (a – b) . (a – b) = (a – b)2    Quadrado da diferença
  2. 2. Continuação: <ul><li>(a + b) . (a – b)    Produto da soma pela diferença (x + p) . (x + q)    Produto do tipo (a + b) . (a + b) . (a + b) = (a + b)3  Cubo da soma (a – b) . (a – b) . (a – b) = (a – b)3   Cubo da diferença Tem duas formas de provar como resolver o quadrado da soma. A primeira é resolvendo algebricamente , veja como: (a + b)2 é o mesmo que (a + b) . (a + b) Então, utilizando a propriedade distributiva vamos calcular: (a + b) . (a + b) ------ utilizando a propriedade distributiva. </li></ul>
  3. 3. <ul><li>a 2 + ab + ab + b 2 ------ operar os termos semelhantes. a 2 + 2ab + b 2 Concluímos que: (a + b) . (a + b) = (a + b)2 A segunda forma é geometricamente , veja como: Observe o quadrado de lado (a + b) e calculemos a sua área. </li></ul>
  4. 4. Veja:
  5. 5. Professor Antonio Carlos
  6. 6. Cont.
  7. 7. Veja: <ul><li>Concluímos que (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>(a + b)2 = quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo </li></ul>
  8. 8. Produtos Notáveis: <ul><li>Algumas multiplicações envolvendo expressões algébricas revelam certos padrões matemáticos em suas resoluções. Essas expressões são conhecidas como produtos notáveis, que se dividem em quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença. Desses, destacaremos a nossa atenção para o quadrado da diferença e seu desenvolvimento. </li></ul>
  9. 9. Quadrado da Diferença: <ul><li>As expressões que possuem a forma (a – b)2 podem ser resolvidas de duas formas distintas: aplicando a propriedade distributiva da multiplicação ou a regra prática. Utilizando a propriedade distributiva na expressão (a – b)2 . Pela definição de potenciação sabemos que (a – b)2 pode ser escrito na forma (a – b)* (a – b) . (a – b)* (a – b) = a*a – a*b – b*a + b*b = a² – 2ab + b² </li></ul>
  10. 10. Cont. <ul><li>(x – 4)² = (x – 4) * (x – 4) = x*x – 4*x – 4*x + 4*4 = x² – 8x + 16 (2y – 5)² = (2y – 5) * (2y – 5) = 2y*2y – 2y*5 – 5*2y + 5*5 = 4y² – 20y + 25 (5a – 2b)² = (5a – 2b) * (5a – 2b) = 5a*5a – 5a*2b – 2b*5a + 2b*2b = 25a² – 20ab + 4b² Utilizando a regra prática na expressão (a – b)2. </li></ul>
  11. 11. Cont. <ul><li>O quadrado do primeiro termo menos, duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.” (y – 6)² = (y)² – 2*y*6 + (6)² = y² – 12y + 36 (4b – 9)² = (4b)² – 2*4b*9 + (9)² = 16b² – 72b + 81 (7y – 6x)² = (7y)² – 2*7y*6x + (6x)² = 49y² – 84xy + 36x² (10x – 2z)² = (10x)² – 2*10x*2z + (2z)² = 100x² – 40xz + 4z² </li></ul>
  12. 12. Cont. <ul><li>Uma situação interessante envolvendo expressões algébricas se apresenta na seguinte forma: (a + b)(a – b), sendo denominada Produto da Soma pela Diferença, podendo ser resolvida através da propriedade distributiva da multiplicação ou através de uma regra prática. Essa expressão pode ser considerada um produto notável, pela característica regular apresentada na resolução de situações semelhantes </li></ul>
  13. 13. Diferença de dois quadrados. <ul><li>Essa expressão pode ser considerada um produto notável, pela característica regular apresentada distributiva na resolução da expressão (a + b)(a – b). (a + b)(a – b) = a*a – a*b + b*a – b*b = a² – b² Note que os termos – ab e + ba são opostos, por isso se anulam. (2x + 4)(2x – 4) = 2x*2x – 2x*4 + 4*2x – 4*4 = 4x² – 8x + 8x – 16 = 4x² – 16 (7x + 6)(7x – 6) = 7x*7x – 7x*6 + 6*7x – 6*6 = 49x² – 42x + 42x – 36 = 49x² – 36 </li></ul><ul><li>(10x³ – 12)(10x³ + 12) = 10x³*10x³ + 10x³*12 – 12*10x³ –12*12 = 100x6 + 120x³ – 120x³ – 144 = 100x6 – 144 (20z + 10x)(20z – 10x) = 20z*20z – 20z*10x + 10x*20z – 10x*10x = 400z² – 200zx + 200xz – 100x² = 400z² – 100x² na resolução de situações semelhantes. </li></ul>
  14. 14. Cont. <ul><li>Aplicando a propriedade Aplicando a regra prática A aplicação da regra prática se dá através da seguinte situação: “o primeiro termo elevado ao quadrado menos o segundo termo elevado ao quadrado” (4x + 7)(4x – 7) = (4x)² – (7)² = 16x² – 49 (12x + 8)(12x – 8) = (12x)² – (8)² = 144x² – 64 (11x² – 5x)(11x² + 5x) = (11x²)² – (5x)² = 121x4 – 25x² (20b – 30)(20b + 30) = (20b)² – (30)² = 400b² – 900 </li></ul>
  15. 15. Cubo da soma: <ul><li>Cubo da Soma Temos que a expressão (a + b)³ pode ser escrita da seguinte forma: (a + b)² * (a + b). A decomposição permite aplicarmos o quadrado da soma na expressão (a + b)², multiplicando o resultado pela expressão (a + b). Veja: (a + b)² = a² + 2ab + b² -> (a² + 2ab + b²) * (a + b) = a²*a + a²*b + 2ab*a + 2ab*b + b²*a + b²*b a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ -> a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (2x + 3)³ = (2x + 3)² * (2x + 3) </li></ul>
  16. 16. Cont. <ul><li>(2x + 3)² = (2x)² + 2*2x*3 + (3²) = 4x² + 12x + 9 (4x² + 12x + 9) * (2x + 3) = 4x²*2x + 4x²*3 + 12x*2x + 12x*3 + 9*2x + 9*3 = 8x³ + 12x² + 24x² + 36x + 18x + 27 = 8x³ + 36x² + 54x vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo mais o cubo do + 27 </li></ul>
  17. 17. Cont. <ul><li>Regra Prática “O cubo do primeiro termo mais três segundo termo.” (x + 3)³ = (x)³ + 3*(x)²*3 + 3*x*(3)² + (3)³ = x³ + 9x² + 27x³ + 27 (2b + 2)³ = (2b)³ + 3*(2b)²*2 + 3*2b*(2)² + (2)³ = 8b³ + 24b² + 24b + 8 </li></ul>
  18. 18. Cubo da diferença: <ul><li>Cubo da Diferença O cubo da diferença pode ser desenvolvido de acordo com os princípios resolutivos do cubo da soma. A única alteração a ser efetuada é quanto à utilização do sinal negativo. Observe: Regra prática “O cubo do primeiro termo menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo menos o cubo do segundo termo.” (x – 3)³ = (x)³ – 3*(x)²*3 + 3*x*(3)² – (3)³ = x³ – 9x² + 27x³ – 27 (2b – 2)³ = (2b)³ – 3*(2b)²*2 + 3*2b*(2)² – (2)³ = 8b³ – 24b² +24– 8 </li></ul>
  19. 19. Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso <ul><li>Professor de Matemática do Colégio Estadual Dinah Gonçalves em Valéria Salvador-Ba </li></ul><ul><li>Graduado pela UFBA </li></ul><ul><li>Pós Graduado em Metodologia e Didática </li></ul><ul><li>08/12/2010 </li></ul>

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