Pa E Pg Feito Por Min

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Pa E Pg Feito Por Min

  1. 1. Função real: : Uma função f sobre um conjunto X com imagem no conjunto Y, associa a cada x um único elemento y, para todos os elementos de X. O que caracteriza o nome da função é o contradomínio Y da mesma. Se Y é um conjunto de:
  2. 2. números reais, temos uma função real. vetores, temos uma função vetorial. matrizes, temos uma função matricial. números complexos, a função é complexa. <ul><li>Conjunto dos reais </li></ul>
  3. 3. Seqüência real: <ul><li>Uma seqüência real (ou sucessão) é uma função f:NR que associa a cada número natural n um número real f(n). O valor numérico f(n) é o termo de ordem n da seqüência. Do modo como definimos a seqüência, o domínio de f é um conjunto infinito, mas o contradomínio poderá ser finito ou infinito. O domínio de uma seqüência é indicado por Dom(f)=N e a imagem de uma seqüência por Im(f)={a 1 ,a 2 ,a 3 , ...}. </li></ul>
  4. 4. FUNÇÃO: <ul><li>Muitas vezes, a seqüência (função) é confundida com a Imagem da função (conjunto de números), no entanto, esta confusão até mesmo colabora para o entendimento do significado de uma seqüência no âmbito do Ensino Médio. </li></ul><ul><li>Um fato importante é que a função determina a regra que os elementos do conjunto imagem devem seguir. </li></ul>
  5. 5. FUNÇÃO IDENTIDADE: <ul><li>Função identidade: Seja f:NR definida por f(n)=n. Esta função pode ser representada graficamente de várias formas, sendo que duas delas estão mostradas abaixo, com o diagrama de Venn-Euler (esquerda) e o gráfico cartesiano (direito). Neste caso, Dom(f)=N e Im(f)={1,2,3,...} </li></ul>
  6. 6. Gráficos:
  7. 7. Seqüência de números pares: <ul><li>Seja f:NR definida por f(n)=2n. Neste caso Im(f)={2,4,6,...}. Duas representações gráficas para esta seqüência, são: </li></ul>
  8. 8. Os gráficos
  9. 9. Números impares: <ul><li>Sequência de números ímpares: A função f:NR definida por f(n)=2n-1, está representada abaixo e a sua imagem é Im(f)={1,3,5,...}. </li></ul>
  10. 10. Os gráficos
  11. 11. Sequência dos recíprocos : <ul><li>: A sequência dos recíprocos (ou inversos) dos números naturais f:NR é definida por f(n)=1/n. Neste caso Im(f)={1,1/2,1/3,1/4,...,1/n,...}. </li></ul>
  12. 12. Gráficos:
  13. 13. Sequência constante: <ul><li>Uma sequência constante é uma função f:NR definida, por exemplo, por f(n)=3 e pode ser representada graficamente por: </li></ul>
  14. 14. Os recíprocos:
  15. 15. Seqüência nula: <ul><li>A seqüência nula f:NR é definida por f(n)=0. A imagem é o conjunto Im(f)={0}. f pode ser vista graficamente como: </li></ul>
  16. 16. O Gráfico:
  17. 17. Sequência alternada: <ul><li>Uma seqüência alternada f:NR pode ser definida por f(n)=(-1) n n. Esta seqüência de números fica alternando o sinal de cada termo, sendo um negativo e o seguinte positivo, e assim por diante. A imagem é o conjunto:, Im -1+2,-3,+4,-5,+6,...} </li></ul>
  18. 18. Seqüência aritmética: <ul><li>A seqüência aritmética f:NR é definida por: f(n)=a 1 +(n-1)r e pode ser vista com os gráficos abaixo: </li></ul>
  19. 19. O Gráfico:
  20. 20. Seqüência geométrica: <ul><li>Uma seqüência geométrica é uma função f:NR definida por: f(n)=a 1 q n-1 que pode ser esboçada graficamente por: </li></ul>
  21. 21. O Gráfico:
  22. 22. Seqüência recursiva:: <ul><li>Uma seqüência é recursiva se, o termo de ordem n é obtido em função dos termos das posições anteriores. </li></ul><ul><li>Exemplo: A importante seqüência de Fibonacci, definida por f:NR tal que f(1)=1 e f(2)=1 com </li></ul><ul><li>f(n+2)=f(n)+f(n+1) </li></ul>
  23. 23. As seqüência de Fibonacci <ul><li>Aparecem de uma forma natural em estudos de Biologia, Arquitetura, Artes e Padrões de beleza. O livro &quot;A divina proporção&quot;, Huntley, Editora Universidade de Brasília, trata do assunto. </li></ul><ul><li>Observação: O gráfico de uma seqüência não é formado por uma coleção contínua de pontos mas por uma coleção discreta. Eventualmente usamos retas ou curvas entre dois pontos dados para melhor visualizar o gráfico, mas não podemos considerar tais linhas como representativas do gráfico da seqüência. </li></ul>
  24. 24. Seqüência finitas e infinitas <ul><li>Quanto ao número de elementos da imagem , uma seqüência poderá ser finita ou infinita. </li></ul><ul><li>Seqüência Finita: Uma seqüência é finita se, o seu conjunto imagem é um conjunto finito. </li></ul><ul><li>Exemplos: As seqüência f:NR definidas por f(n)=0, g(n)=(-1) n e h(n)=cos(n/3) são finitas e as suas imagens são, respectivamente: </li></ul><ul><li>Im(f)={0}, Im(g)={-1,1}, Im(h)={1/2,-1/2,-1,1} </li></ul>
  25. 25. Seqüência Infinita: <ul><li>Uma seqüência é infinita se, o seu conjunto imagem é um conjunto infinito. </li></ul><ul><li>Exemplos: As seqüência f:NR definidas por f(n)=2n, g(n)=(-1) n n, h(n)=sin.(n) e k(n)=cos(3n) são infinitas, pois suas imagens possuem infinitos termos. </li></ul><ul><li>Exemplo: Seja a seqüência infinita f:NR, cujo conjunto imagem é dado por Im(f)={5,10,15,20,...}. Observamos que </li></ul>
  26. 26. Seqüência aritméticas e <ul><li>Uma seqüência muito útil é a seqüência aritmética, que possui domínio infinito. Esta seqüência é conhecida no âmbito do Ensino Médio, como uma Progressão Aritmética infinita, Progressão Aritmética finita não é uma seqüência, uma vez que o domínio da função que define a progressão, é um conjunto finito {1,2,3,...,m} contido no conjunto N dos números naturais . </li></ul>
  27. 27. Progressão Aritmética finita: <ul><li>Surge aqui o conceito de Progressão Aritmética finita, que é uma coleção finita de números reais com as mesmas características que uma seqüência aritmética. As Progressões Aritméticas são denotadas por PA e são caracterizadas pelo fato que, cada termo a partir do segundo, é obtido pela soma do anterior com um número fixo r, denominado razão da PA. </li></ul>
  28. 28. C = { a1, a2, a3, ..., an, ..., am-1, am } <ul><li>n indica uma posição na seqüência. n é o índice para a ordem do termo geral a n no conjunto C. </li></ul><ul><li>a n é o n-ésimo termo da PA, que se lê a índice n. </li></ul><ul><li>a 1 é o primeiro termo da PA, que se lê a índice 1. </li></ul><ul><li>a 2 é o segundo termo da PA, que se lê a índice 2. </li></ul><ul><li>a m é o último elemento da PA. </li></ul><ul><li>r é a razão da PA e é possível observar que </li></ul><ul><li>a 2 =a 1 +r, a 3 =a 2 +r, ..., a n =a n-1 +r, ..., a m =a m-1 +r </li></ul><ul><li>A razão de uma Progressão Aritmética, pode ser obtida, subtraindo o termo anterior (antecedente) do termo posterior (conseqüente), ou seja: </li></ul><ul><li>a 2 -a 1 = a 3 -a 2 = a 4 -a 3 = ...  a n -a n-1 = r </li></ul>
  29. 29. Exemplos de Progressões Aritméticas (finitas) <ul><li>A PA definida pelo conjunto C={2,5,8,11,14} possui razão r=3, pois: </li></ul><ul><li>2+3=5,  5+3=8,  8+3=11,  11+3=14 </li></ul><ul><li>A PA definida pelo conjunto M={1,2,3,4,5} possui razão r=1, pois: </li></ul><ul><li>1+1=2,  2+1=3,  3+1=4,  4+1=5 </li></ul><ul><li>A PA definida por M(3)={3,6,9,12,15,18} possui razão r=3, pois: </li></ul><ul><li>6-3 = 9-6 = 12-9 = 15-12 = 3 </li></ul><ul><li>A PA definida por M(4)= {0,4,8,12,16 } possui razão r=4, pois: </li></ul><ul><li>4-0 = 8-4 = 12-8 = 16-12 = 4 </li></ul>
  30. 30. Média aritmética: <ul><li>Dados n números reais x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , definimos a média aritmética entre estes números, denotada pela letra x com um traço sobre a mesma, como a divisão entre a soma desses números e o número de elementos: </li></ul>
  31. 31. PA: <ul><li>Na Progressão Aritmética, cada termo é a média aritmética entre o antecedente e o conseqüente do termo tomado, daí a razão de tal denominação para este tipo de seqüência. </li></ul>
  32. 32. Fórmula do termo Geral de uma PA <ul><li>Consideremos a PA com razão r, definida por </li></ul><ul><li>P = { a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n-1 , a n } </li></ul><ul><li>Observamos que: </li></ul><ul><li>a 1 = a 1 = a 1 + 0r a 2 = a 1 + r = a 1 + 1r a 3 = a 2 + r = a 1 + 2r a 4 = a 3 + r = a 1 + 3r ... ... ... ... a n = a n-1 +r = a 1 +(n-1)r </li></ul><ul><li>e obtemos a fórmula do termo geral da PA: </li></ul><ul><li>a n = a 1 + (n-1) r </li></ul>
  33. 33. PA: <ul><li>Com o material apresentado, podemos obter qualquer termo de uma Progressão Aritmética (PA), sem precisar escrevê-la completamente. </li></ul><ul><li>Exemplo: Seja a PA com razão r=5, dada pelo conjunto C={3,8,...,a 30 ,...,a 100 }. O trigésimo e o centésimo termos desta PA podem ser obtidos, substituindo os dados da PA na fórmula do termo geral a n =a 1 +(n-1)r. Assim: </li></ul><ul><li>a 30 =3+(30-1)3=90   e   a 100 =3+(100-1)3=300 </li></ul>
  34. 34. Qual é o termo de ordem n=4 desta PA? <ul><li>Exemplo: Para inserir todos os múltiplos de 5, que estão entre 21 e 623, montaremos uma tabela. </li></ul><ul><li>  21 2530...615620623 a 1 a 2 ...a n-1 a n  Aqui, o primeiro múltiplo de 5 é a 1 =25, o último múltiplo de 5 é a n =620 e a razão é r=5. Substituindo os dados na fórmula a n =a 1 +(n-1)r, obteremos </li></ul><ul><li>620 = 25 + (n-1)5 </li></ul><ul><li>de onde segue que n=120, assim o número de múltiplos de 5 entre 21 e 623, é igual a 120 </li></ul>
  35. 35. Progressões Aritméticas monótonas <ul><li>Quanto à monotonia, uma PA pode ser: </li></ul><ul><li>crescente se para todo n > 1: r>0 e a n <a n+1 . </li></ul><ul><li>constante se para todo n > 1: r=0 e a n+1 =a n . </li></ul><ul><li>decrescente se para todo n > 1: r<0 e a n+1 <a n . </li></ul>
  36. 36. Extremos e Meios em uma PA <ul><li>Em uma Progressão Aritmética (finita) dada pelo conjunto: </li></ul><ul><li>C = { a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ,...,a m-1 , a m } </li></ul><ul><li>os termos a 1 e a m são denominados extremos enquanto os demais: a 2 , a 3 , ..., a m-2 , a m-1 são os meios aritméticos. </li></ul><ul><li>a 1 a 2 , a 3 , ..., a m-2 , a m-1 a m meios aritméticos </li></ul>
  37. 37. Exemplo: <ul><li>Na PA definida por C={1,3,5,7,9,11}, os números 1 e 11 são os extremos e os números 3, 5, 7 e 9 são os meios aritméticos. </li></ul>
  38. 38. Termos eqüidistantes dos extremos: <ul><li>: Em uma PA com m termos, dois termos são eqüidistantes dos extremos se a soma de seus índices é igual a m+1 e sob estas condições, são eqüidistantes dos extremos os pares de termos a 1 e a m ,  a 2 e a m-1 ,   a 3 e a m-2 , ... </li></ul>
  39. 39. M É PAR: <ul><li>Se a PA possui um número de termos m que é par, temos m/2 pares de termos eqüidistantes dos extremos. </li></ul>
  40. 40. Exemplo: <ul><li>A PA definida por C={4,8,12,16,20,24}, possui um número par de termos e os extremos são a 1 =4 e a 6 =24, assim: </li></ul><ul><li>a 2 + a 5 =  8 + 20  = 28 = a 1 + a 6 a 3 + a 4 = 12 + 16  = 28 = a 1 + a 6 a 4 + a 3 = 16 + 12  = 28 = a 1 + a 6 a 5 + a 2 = 20 +  8  = 28 = a 1 + a 6 </li></ul>
  41. 41. M É IMPAR: <ul><li>Se o número m de termos é impar, temos (m-1)/2 pares de termos eqüidistantes e ainda teremos um termo isolado (de ordem (m+1)/2) que é eqüidistante dos extremos </li></ul>
  42. 42. Exemplo: <ul><li>Na PA de C={1,3,5,7,9} os números 1 e 9 são os extremos da PA e os números 3, 5 e 7 são os meios da PA. O par de termos eqüidistante dos extremos é formado por 3 e 7, e além disso o número 5 que ficou isolado também é eqüidistante dos extremos. </li></ul>
  43. 43. Exemplo: <ul><li>A PA definida por C={4,8,12,16,20}, possui um número ímpar de termos e os extremos são a 1 =4 e a 5 =20, logo </li></ul><ul><li>a 2 + a 4 =  8 + 16  = 24 = a 1 + a 5 a 3 + a 3 = 12 + 12  = 24 = a 1 + a 5 a 4 + a 2 = 16 +  8  = 24 = a 1 + a 5 </li></ul>
  44. 44. Interpolação aritmética <ul><li>Interpolar k meios aritméticos entre os números a e b, significa obter uma PA com k+2 termos cujos extremos são a e b, sendo que a é o primeiro termo e b é o (último) termo de ordem k+2. Para realizar a interpolação, basta determinar a razão da PA. </li></ul><ul><li>Exemplo: Para interpolar 6 meios aritméticos entre a=-9 e b=19, é o mesmo que obter uma PA tal que a 1 =-9, a m =19 e m=8. Como r=(a m -a 1 )/(m-1), então r=(19-(-9))/7=4 e assim a PA ficará na forma do conjunto: </li></ul><ul><li>C = { -9, -5, -1, 3, 7, 11, 15, 19 } </li></ul>
  45. 45. Soma dos n primeiros termos de uma PA (finita) <ul><li>a fórmula para o cálculo da soma dos n primeiros termos da PA. </li></ul><ul><li>S n = (a 1 + a n )n/2 </li></ul>
  46. 46. Seqüência geométricas e PG: <ul><li>Outra sequência muito importante é a sequência geométrica, que possui domínio infinito. Esta sequência é conhecida no âmbito do Ensino Médio, como uma Progressão Geométrica infinita, mas o objeto matemático denominado Progressão Geométrica finita não é uma sequência, uma vez que o domínio da função é um conjunto finito {1,2,3,...,m} que é um subconjunto próprio de N. </li></ul>
  47. 47. Progressão Geométrica finita: <ul><li>Uma Progressão Geométrica finita, é uma coleção finita de números reais que possui as mesmas características que uma seqüência geométrica, no entanto, possui um número finito de elementos. As Progressões Geométricas são denotadas por PG e são caracterizadas pelo fato que a divisão do termo seguinte pelo termo anterior é um quociente q fixado. </li></ul>
  48. 48. Média geométrica: <ul><li>Na Progressão Geométrica, cada termo é a média geométrica entre o antecedente e o conseqüente do termo tomado, daí a razão de tal denominação para este tipo de seqüência . </li></ul>
  49. 49. Fórmula do termo geral da PG. <ul><li>Observamos que: </li></ul><ul><li>a 1 = a 1 = a 1 q 0 a 2 = a 1 q = a 1 q 1 a 3 = a 2 q = a 1 q 2 a 4 = a 3 q = a 1 q 3 ... ... ... a n = a n-1 q = a 1 q n-1 </li></ul><ul><li>E temos a fórmula para o termo geral da PG, dada por: </li></ul><ul><li>a n = a 1 q n-1 </li></ul>
  50. 50. Exemplos com progressões geométricas finitas. <ul><li>Seja a PG finita, definida por G={2,4,8,16,32}. Obtemos a razão q=2 da PG com a divisão do conseqüente pelo antecedente, pois: </li></ul><ul><li>32÷16 = 16÷8 = 8÷4 = 4÷2 = 2 </li></ul>
  51. 51. Interpolação Geométrica. <ul><li>Interpolar k meios geométricos entre dois números dados a e b, significa obter uma PG com k+2 termos, cujos extremos são a e b, sendo que a é o primeiro termo da PG e b é o último termo da PG, que possui ordem k+2. Para realizar a interpolação geométrica, basta determinar a razão da PG. </li></ul><ul><li>Exemplo: Para interpolar três meios geométricos entre 3 e 48, basta tomar a 1 =3, a n =48, k=3 e n=5 para obter a razão da PG. Como a n =a 1 q n-1 , então 48=3q 4 e segue que q 4 =16, garantindo que a razão é q=2. Temos então a PG: </li></ul><ul><li>R = { 3, 6, 12, 24, 48 } </li></ul>
  52. 52. Fórmula da soma dos termos de uma PG finita. <ul><li>S n = a 1 (1-q n )/(1-q) </li></ul>
  53. 53. Exercícios resolvidos. <ul><li>Seja a seqüência f com Im(f)={3,6,9,12,15,18,...}. Determinar os elementos indicados. </li></ul><ul><li>a. f(1), b. f(3), c. f(4)-f(1), d. f(4)+f(2) </li></ul><ul><li>Para a seqüência f:NR definida por f(n)=2n+1, determinar: </li></ul><ul><ul><li>Os 4 primeiros termos da seqüência. </li></ul></ul><ul><ul><li>A imagem de f. </li></ul></ul><ul><ul><li>O n-ésimo termo da seqüência. </li></ul></ul>
  54. 54. PG. <ul><li>As Progressões Geométricas são formadas por uma seqüência numérica, onde estes números são definidos (exceto o primeiro) utilizando a constante q, chamada de razão. O próximo número da P.G. é o número atual multiplicado por q. Exemplo: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, ...), onde a razão é 2 </li></ul>
  55. 55. VEJA <ul><li>A razão pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações). Para descobrir qual a razão de uma PG, basta escolher qualquer número da seqüência, e dividir pelo número anterior. Fórmula do termo geral A seguinte fórmula pode ser utilizada para encontrar qualquer valor de uma seqüência em progressão geométrica: an = a1 . q(n - 1) </li></ul>
  56. 56. CALCULO <ul><li>onde a é um termo, então a1 refere-se ao primeiro termo. No lugar de n colocamos o número do termo que queremos encontrar. Exemplo: q = 2 a1 = 5 para descobrir, por exemplo, o termo a12, faremos: a12 = 5 . 2 (12 - 1) a12 = 5 . 211 a12 = 5 . 2048 = 10240 </li></ul>
  57. 57. TIPOS DE PG. <ul><li>As PG's podem ser divididas em quatro tipos, de acordo com o valor da razão: Oscilante (q < 0) Neste tipo de PG, a razão é negativa, o que fará com que a seqüência numérica seja composta de números negativos e positivos, se intercalando. (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...), onde a razão é -2 Crescente (q > 0) Na PG crescente, a razão é sempre positiva, e por isto a seqüência será formada por números crescentes, como: (1, 3, 9, 27, 81, ...), onde a razão é 3 </li></ul>
  58. 58. CONSTANTE <ul><li>Nesta PG, a seqüência numérica tem sempre os mesmos números, podendo ter a exceção do primeiro. Para isso, a razão deve ser sempre 0 ou 1: (4, 0, 0,0,0,0,0,0,0, ...) onde a razão é 0 (4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...) onde a razão é 1 Decrescente As progressões geométricas decrescentes tem a razão sempre positiva e diferente de zero, e os números da seqüência são sempre menores do que o número anterior: (64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, ..) razão = 1/2 (-1, -3, -9, -27, -81, ...) onde a razão é 3 (observe que na PG crescente temos um exemplo com a mesma razão, porém o número inicial aqui é negativo, alterando toda a seqüência) </li></ul>
  59. 59. PA. <ul><li>Denomina-se progressão aritmética (PA) a seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da progressão aritmética. </li></ul><ul><li>A seqüência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética finita de razão 5 pois: a1 = 2 a2 = 2+5 = 7 a3 = 7 +5 = 12 a4 = 12 + 5= 17 As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r. Se r > 0, então a PA é crescente. Se r = 0, então a PA é constante. Se r < 0, a PA é decrescente </li></ul>
  60. 60. PRATICANDO <ul><li>Seja (a1, a2, a3, ... , ak, ... , a50) uma progressão aritmética. Se a2 = 14, a5 – a3 = 18 e ak = 239, então k é igual a: Resolução: Retirando os dados do problema temos: a2 = 14 a5 – a3 = 18 ak = 239 k = ? Para o calculo de k deveremos utilizar a equação ak = a1 + (k – 1) . r , mas para darmos continuidade devemos achar o valor de a1 e de r, então observe os cálculos abaixo: Utilizando o termo geral da P.A, an = a1 + (n-1) . r podemos dizer que: a2 = a1 + r 14 = a1 + r </li></ul>
  61. 61. ESSE TRABALHO É DE: <ul><li>ANTONIO CARLOS CARNEIRO BARROSO </li></ul><ul><li>PROFESSOR DE MATEMÁTICA </li></ul><ul><li>01/03/2009 </li></ul>
  62. 62. EXEMPLO <ul><li>Utilizando novamente o termo geral da P.A, podemos dizer que: a5 = a1+ 4r e a3 = a1 + 2r Substituindo no dado do problema a5 – a3 = 18, temos: a1 + 4r - a1 - 2r = 18 -> unindo os termos semelhantes. a1 - a1 + 4r - 2r = 18 -> operando os termos semelhantes. 2r = 18 r = 18 : 2 r = 9 </li></ul>
  63. 63. CALCULANDO A1 <ul><li>Agora devemos descobrir o valor de a1, para isso substituiremos o valor de r = 9 na equação 14 = a1 + r: a1 + 9 = 14 a1 = 14 – 9 a1 = 5 Agora que sabemos que a1 = 5 e r = 9 podemos calcular qual é o termo de k: ak = a1 + (k – 1) .r -> Substituído os dados na equação. 239 = 5 + (k – 1) . 9 239 = 5 + 9k – 9 -> unindo os termos semelhantes. 239 -5 + 9 = 9k 243 = 9k k = 243 : 9 </li></ul>
  64. 64. PG. <ul><li>Uma P.G de razão 3 foi formada introduzindo–se três termos entre o 2º termo e 486. Qual o 1º termo da P.G? Resolução: q = 3 Como foram introduzidos três termos entre o 2º termo e 486 podemos então concluir que 486 é o sexto termo da minha P.G. a1 , a2, a3, a4, a5, 486 a3 , a4 e a5 são os três termos introduzidos. Então podemos dizer que a6 = 486, utilizando o termo geral de uma P.G an = a1 . qn - 1, temos: a6 = a1 . qn – 1 -> Substituindo os dados. 486 = a1 . 36 – 1 486 = a1 . 35 486 = a1 . 243 a1 = 486 : 243 a1 = 2 </li></ul>

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