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A UA U L A
     L A


72
 72

              Produtos notáveis


 Introdução                                         O
                                               cálculo algébrico é uma valiosa ferra-
              menta para a álgebra e para a geometria. Em aulas anteriores, já vimos
              algumas operações com expressões algébricas.

                  Nesta aula, estudaremos alguns produtos especialmente importantes por-
              que aparecem com muita freqüência no cálculo algébrico. Esses produtos são
              conhecidos pelo nome de produtos notáveis. Produto por ser resultado de
              uma multiplicação, e n o t á v e l por ser importante, digno de nota, que se destaca.


 Nossa aula      Vamos verificar que podemos calcular a área de algumas figuras de
              maneiras diferentes.


                  Primeiro produto notável

                  Vejamos a área da figura abaixo, cujo lado mede a.




                                     Área: a2



                 Aumentando de b a medida de cada lado desse quadrado, determinamos
              um quadrado de lado a + b, assim:




                                                2
                                Área: (a + b)
Outra maneira de calcular a área desse quadrado é somando as áreas de                             A U L A
cada uma das figuras que o formam. Observe que temos dois quadrados, de
lados a e b respectivamente, e dois retângulos iguais, cujas dimensões são a e b:
                                                                                                      72



              2                 2                                                    2
    (a + b)       =         a           +           2·ab                +        b


    Podemos ainda calcular a área desse quadrado usando cálculo algébrico:
            2
    (a + b) = (a + b) (a + b)                                E le var ao qu adr ado éo m e sm oqu e
                                                                  multiplicar dois fatores iguais.
                       2                    2
    (a + b) (a + b) = a + ab + ba + b =                       Aplicando a propriedade distributiva
                                                                da multiplicação.
       2                    2       2                2
    = a + ab + ab + b = a + 2ab + b                          Efetuando os termos semelhantes.



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                                                2        2               2
                                    (a + b) = a + 2ab + b


    O trinômio obtido é chamado de trinômio quadrado perfeito por ser o
resultado do quadrado de (a + b).

    Observe novamente esse produto:


            quadrado da soma                                      trinômio quadrado perfeito

                           ( a + b )2               =        a2    +    2ab      +       b2
                       å                â                    â               æ           æ
            1º termo        2º termo            quadrado               duas vezes          quadrado
                                                do 1º                  o 1º pelo 2º       do 2º


    Portanto, o primeiro produto notável pode ser lido assim:

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo,
mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º, mais o quadrado do 2º termo.
A U L A      EXEMPLO 1


72
                                                   2
             Podemos calcular (2 + 3) de duas maneiras:

                             (2 + 3)2 = 52 = 25
                                    2    2              2
                             (2 + 3) = 2 + 2 . 2 . 3 + 3 = 4 + 12 + 9 = 25

             Encontramos o mesmo resultado nos dois caminhos usados.


               É claro que, nesse exemplo, não faz sentido usar a conclusão do produto
          notável, pois, como os termos da soma são números, podemos achar diretamen-
          te o resultado, somando os números e elevando o resultado ao quadrado.

             No caso de uma soma algébrica, é impossível efetuar a adição, e então
          temos de usar a regra do produto notável.



             EXEMPLO 2
                         2           2                     2       2
             l    (x + 1) = x + 2 . x . 1 + 1 = x + 2x + 1
                             2               2                             2           2
             l    (3x + 4) = (3x) + 2 ·. (3x) ·. 4 + 4 = 9x + 24x + 16

                  Φ + yΙ = æxxöΙ + 2·. æxöΙ.· y + y 2 = x2 + xy + y 2
                  æxx ö    Φ 2
                                       Φx
                                             2

             l
                  Η øΚ è22øΚ è2øΚ
                  è22      Η           Η2               4

                    2            2       2 2           2                       2       4   2       2
             l    (a + 3b) = (a ) + 2 · a · 3b + (3b) = a + 6a b + 9b



             Segundo produto notável

              O segundo produto notável é o quadrado da diferença entre dois termos
          e é praticamente igual ao primeiro produto, sendo a única diferença o sinal.
          Vamos calculá-lo:
                                         2                             2                       2
                             (a - b) = (a - b) (a - b) = a - ab - ba + (- b) =
                             = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2


             Logo:
                                                   2           2                   2
                                             (a - b) = a - 2ab + b


             que pode ser lido assim:

                 O quadrado da diferença d e dois termos é igual ao quadrado
                  do 1º termo, menos duas vezes o produto do 1º termo pelo
                             2º termo, mais o quadrado do 2º termo.
EXEMPLO 3                                                                    A U L A

    l


          2
              2


                  2
                      2


                          2 2   2
                                    2    2
        (a - 2) = a - 2 . a . 2 + 2 = a - 4a + 4
                                              2    4      2   2
                                                                                 72
    l   (x - 2y) = (x ) - 2 . x . 2y + (2y) = x - 4x y + 4y

        æ        ö²                3y   æ3yö ²
         4x - 3y = (4x)² -2 . 4x .    +        = 16x² - 6xy + 9y²
    l
        è      4 ø                  4   è4ø                   16



    Terceiro produto notável

    O terceiro produto notável pode ser mostrado por meio do cálculo da área
de uma figura. Essa área será calculada também de duas maneiras diferentes.




     A área que devemos calcular é a da figura pintada em forma de L que tem
três dimensões diferentes a, b e c.

    Completando as linhas tracejadas, obtemos um quadrado maior de lado a
e um quadrado menor de lado b.

    A área da figura pintada pode ser calculada fazendo-se a diferença entre a
área do quadrado maior e a área do quadrado menor:

    Área do L = área do quadrado maior - área do quadrado menor


                                    Área do L = a2 - b2


    Outra maneira para calcular a área do L é decompor a figura em dois
retângulos, assim:




    Observe na figura anterior, que c = a - b
A U L A        Como os dois retângulos têm uma das dimensões iguais (c), vamos
          colocá-los juntos de maneira a formar um só retângulo de medidas a + b e a

72        - b.


               comprimento: a + b
               largura:     a-b



               Calculando a área do retângulo, que é igual à área do L, temos:

               Área do retângulo: (a + b) (a - b)



               Então:
                                                         2       2
                                 (a + b) (a - b) = a - b                 que pode ser lido:




                    O produto da soma pela diferença de dois termos é igual
                   ao quadrado do 1º termo menos o quadrado do 2º termo.



               EXEMPLO 4

                                       2     2       2
               l   (x + 2) (x - 2) = x - 2 = x - 4

                                                 2           2       2       2
               l   (2x - 5y) (2x + 5y) = (2x) - (5y) = 4x - 25y

                     2       2             2 2   2       4       2
               l   (a + b) (a - b) = (a ) - b = a - b

                                          ²      ²
                   æx   yö æx    y   æ x ö æ y ö x²
                               - ö=
                                                        y²
                      +    .
               l
                   è2   3 ø è2   3 ø è 2ø - è 3 ø = 4 - 9



               Observações

          1.   Quando se diz “o quadrado da soma de dois números”, essa sentença é
                                                      2
               representada algebricamente por (x + y) .

          2.   Quando se diz “a soma dos quadrados de dois números”, a expressão
                                 2   2
               correspondente é x + y .
                                                                                              2
          3.   Da mesma forma, “o quadrado da diferença” representa-se por (x - y) e “a
                                                    2   2
               diferença entre dois quadrados” por x - y .
Resumindo                                                                               A U L A

     Os três produtos notáveis estudados nesta aula são:
                                                 2       2                   2
                                                                                             72
1.   Quadrado da soma de dois termos: (a + b) = a + 2ab + b
                                                     2           2               2
2.   Quadrado da diferença de dois termos: (a - b) = a - 2ab + b
                                                                                     2   2
3.   Produto da soma pela diferença de dois termos: (a + b) (a - b) = a - b




Exercício 1
                2   2              2
                                                                                             Exercícios
   Sabendo que x + y = 29 e (x + y) = 49 são números inteiros positivos,
   determine:
   a) x + y
   b) xy
   c) x e y
                                  2                          2       2   2
     Sugestão: desenvolver (x + y) e substituir (x + y) e x + y pelos seus valores
     dados pelo enunciado.


Exercício 2
   Efetue:
                2
   a) (2x + 3y)
        Φ yöΙ
        æ
     b) Γ - ϑ
         xx
               2


        Η 2øΚ
        è
         2          2
     c) (x - 2xy) (x + 2xy)


Exercício 3
   Qual o polinômio que somado a (a + 2) (a - 2) dá (a + 2)2 como resultado?


Exercício 4
   Observe os seguintes trinômios quadrados perfeitos e determine os qua-
   drados correspondentes:
   a) x2 + 2ax + a2
         2
   b) 4x + 4x + 1

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  • 1. A UA U L A L A 72 72 Produtos notáveis Introdução O cálculo algébrico é uma valiosa ferra- menta para a álgebra e para a geometria. Em aulas anteriores, já vimos algumas operações com expressões algébricas. Nesta aula, estudaremos alguns produtos especialmente importantes por- que aparecem com muita freqüência no cálculo algébrico. Esses produtos são conhecidos pelo nome de produtos notáveis. Produto por ser resultado de uma multiplicação, e n o t á v e l por ser importante, digno de nota, que se destaca. Nossa aula Vamos verificar que podemos calcular a área de algumas figuras de maneiras diferentes. Primeiro produto notável Vejamos a área da figura abaixo, cujo lado mede a. Área: a2 Aumentando de b a medida de cada lado desse quadrado, determinamos um quadrado de lado a + b, assim: 2 Área: (a + b)
  • 2. Outra maneira de calcular a área desse quadrado é somando as áreas de A U L A cada uma das figuras que o formam. Observe que temos dois quadrados, de lados a e b respectivamente, e dois retângulos iguais, cujas dimensões são a e b: 72 2 2 2 (a + b) = a + 2·ab + b Podemos ainda calcular a área desse quadrado usando cálculo algébrico: 2 (a + b) = (a + b) (a + b) E le var ao qu adr ado éo m e sm oqu e multiplicar dois fatores iguais. 2 2 (a + b) (a + b) = a + ab + ba + b = Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação. 2 2 2 2 = a + ab + ab + b = a + 2ab + b Efetuando os termos semelhantes. Logo: 2 2 2 (a + b) = a + 2ab + b O trinômio obtido é chamado de trinômio quadrado perfeito por ser o resultado do quadrado de (a + b). Observe novamente esse produto: quadrado da soma trinômio quadrado perfeito ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 å â â æ æ 1º termo 2º termo quadrado duas vezes quadrado do 1º o 1º pelo 2º do 2º Portanto, o primeiro produto notável pode ser lido assim: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo, mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º, mais o quadrado do 2º termo.
  • 3. A U L A EXEMPLO 1 72 2 Podemos calcular (2 + 3) de duas maneiras: (2 + 3)2 = 52 = 25 2 2 2 (2 + 3) = 2 + 2 . 2 . 3 + 3 = 4 + 12 + 9 = 25 Encontramos o mesmo resultado nos dois caminhos usados. É claro que, nesse exemplo, não faz sentido usar a conclusão do produto notável, pois, como os termos da soma são números, podemos achar diretamen- te o resultado, somando os números e elevando o resultado ao quadrado. No caso de uma soma algébrica, é impossível efetuar a adição, e então temos de usar a regra do produto notável. EXEMPLO 2 2 2 2 2 l (x + 1) = x + 2 . x . 1 + 1 = x + 2x + 1 2 2 2 2 l (3x + 4) = (3x) + 2 ·. (3x) ·. 4 + 4 = 9x + 24x + 16 Φ + yΙ = æxxöΙ + 2·. æxöΙ.· y + y 2 = x2 + xy + y 2 æxx ö Φ 2 Φx 2 l Η øΚ è22øΚ è2øΚ è22 Η Η2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 l (a + 3b) = (a ) + 2 · a · 3b + (3b) = a + 6a b + 9b Segundo produto notável O segundo produto notável é o quadrado da diferença entre dois termos e é praticamente igual ao primeiro produto, sendo a única diferença o sinal. Vamos calculá-lo: 2 2 2 (a - b) = (a - b) (a - b) = a - ab - ba + (- b) = = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2 Logo: 2 2 2 (a - b) = a - 2ab + b que pode ser lido assim: O quadrado da diferença d e dois termos é igual ao quadrado do 1º termo, menos duas vezes o produto do 1º termo pelo 2º termo, mais o quadrado do 2º termo.
  • 4. EXEMPLO 3 A U L A l 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (a - 2) = a - 2 . a . 2 + 2 = a - 4a + 4 2 4 2 2 72 l (x - 2y) = (x ) - 2 . x . 2y + (2y) = x - 4x y + 4y æ ö² 3y æ3yö ² 4x - 3y = (4x)² -2 . 4x . + = 16x² - 6xy + 9y² l è 4 ø 4 è4ø 16 Terceiro produto notável O terceiro produto notável pode ser mostrado por meio do cálculo da área de uma figura. Essa área será calculada também de duas maneiras diferentes. A área que devemos calcular é a da figura pintada em forma de L que tem três dimensões diferentes a, b e c. Completando as linhas tracejadas, obtemos um quadrado maior de lado a e um quadrado menor de lado b. A área da figura pintada pode ser calculada fazendo-se a diferença entre a área do quadrado maior e a área do quadrado menor: Área do L = área do quadrado maior - área do quadrado menor Área do L = a2 - b2 Outra maneira para calcular a área do L é decompor a figura em dois retângulos, assim: Observe na figura anterior, que c = a - b
  • 5. A U L A Como os dois retângulos têm uma das dimensões iguais (c), vamos colocá-los juntos de maneira a formar um só retângulo de medidas a + b e a 72 - b. comprimento: a + b largura: a-b Calculando a área do retângulo, que é igual à área do L, temos: Área do retângulo: (a + b) (a - b) Então: 2 2 (a + b) (a - b) = a - b que pode ser lido: O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo menos o quadrado do 2º termo. EXEMPLO 4 2 2 2 l (x + 2) (x - 2) = x - 2 = x - 4 2 2 2 2 l (2x - 5y) (2x + 5y) = (2x) - (5y) = 4x - 25y 2 2 2 2 2 4 2 l (a + b) (a - b) = (a ) - b = a - b ² ² æx yö æx y æ x ö æ y ö x² - ö= y² + . l è2 3 ø è2 3 ø è 2ø - è 3 ø = 4 - 9 Observações 1. Quando se diz “o quadrado da soma de dois números”, essa sentença é 2 representada algebricamente por (x + y) . 2. Quando se diz “a soma dos quadrados de dois números”, a expressão 2 2 correspondente é x + y . 2 3. Da mesma forma, “o quadrado da diferença” representa-se por (x - y) e “a 2 2 diferença entre dois quadrados” por x - y .
  • 6. Resumindo A U L A Os três produtos notáveis estudados nesta aula são: 2 2 2 72 1. Quadrado da soma de dois termos: (a + b) = a + 2ab + b 2 2 2 2. Quadrado da diferença de dois termos: (a - b) = a - 2ab + b 2 2 3. Produto da soma pela diferença de dois termos: (a + b) (a - b) = a - b Exercício 1 2 2 2 Exercícios Sabendo que x + y = 29 e (x + y) = 49 são números inteiros positivos, determine: a) x + y b) xy c) x e y 2 2 2 2 Sugestão: desenvolver (x + y) e substituir (x + y) e x + y pelos seus valores dados pelo enunciado. Exercício 2 Efetue: 2 a) (2x + 3y) Φ yöΙ æ b) Γ - ϑ xx 2 Η 2øΚ è 2 2 c) (x - 2xy) (x + 2xy) Exercício 3 Qual o polinômio que somado a (a + 2) (a - 2) dá (a + 2)2 como resultado? Exercício 4 Observe os seguintes trinômios quadrados perfeitos e determine os qua- drados correspondentes: a) x2 + 2ax + a2 2 b) 4x + 4x + 1