1) Título da Experiência: O Uso De Sensores De Posição No Estudo De Funções

2) Objetivo: formalizar o conceito de função,...
3.6) Função

Dado 2 conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma relação que a cada elemento x de A faz
correspo...
3.13) Paridade - Função Impar


Por outro lado, dada uma função f: A B, dizemos que f é ímpar se, e somente se, f(-x)=-f(x...
Experiência Matemática

4) Material Utilizado

    •   Sensor KDS 1025 – sensor de movimento que fornece a distância ao ob...
6) Resultados

6.1) A tabela 1 mostra os resultados obtidos na experiência de obtenção da altura da pilha com a colocação
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8) Exercícios Resolvidos

8.1) Responda se cada um dos esquemas abaixo define ou não uma função A={-1,0,1,2} B={-2,-1,0,1,...
Pela análise do gráfico, é correto afirmar que no período considerado :

       a)   a maior taxa de desemprego foi de 14%...
9.8) (UFRJ-RJ O ponto M de coordenadas (m-2, 5) pertence ao eixo das ordenadas . Determine m.

                           ...
f(3) = 2 + f(3-1) = 2 + f(2)
f(2) = 2 + f(2-1) = 2 + f(1)
f(1) = 2+ f(1-1) = 2 + f(0) = 2 + (-5) = -3

f(2) = 2+(-3) = -1
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Solução 8.9

f(2) → 2.a + b = 3 (1)                      f(3) → 3.a + b = 5 (2)

Da equação 1 temos b = 3 - 2.a levando na...
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Introducao Funcao

  1. 1. 1) Título da Experiência: O Uso De Sensores De Posição No Estudo De Funções 2) Objetivo: formalizar o conceito de função, e estabelecer uma representação verbal e algébrica que corresponda à observação feita durante o desenvolvimento da atividade. 3) Introdução 3.1) Par Ordenado É uma coleção de dois elementos, tal que, um dos elementos pode ser distinguido como o primeiro, e, o outro como o segundo. Um par ordenado com primeiro elemento a e segundo b é usualmente escrito como (a,b). De um modo geral (x,y) ≠ (y,x) assim como (x, y) e (r, s) são iguais somente se: x = r e y = s. 3.2) Produto Cartesiano Dados A e B, dois conjuntos não vazios, o produto cartesiano AxB = {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B }. AxB lê-se “ A cartesiano B” Exemplo A={1,2,3} e B={4,5} → AxB = {(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,)} 3.3) Representação Gráfica do Produto Cartesiano AxB O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y, perpendiculares entre si, que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX), e, o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal, Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, pela abscissa e sua ordenada respectivamente.O primeiro número indica a medida do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo), ou, para a esquerda (se negativo).Os dois eixos dividem o plano cartesiano em quatro quadrantes, sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema, formando um ângulo reto (90 graus). 3.4) Relação Binária Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação binária de A em B todo subconjunto R de AxB. Se R é a relação binária de A em B → R⊂ AxB Exemplo - Dados os conjuntos A = {1,2,5,7} e B = {0,2,4,6} quais são os elementos da relação R de A em B dada por :R = {(x,y) ∈ AxBx<y} R={(1,2), (1,4),(1,6),(2,4),(2,6),(5,6)}  3.5) Relação Inversa Dada uma relação binária R de A em B, consideramos o conjunto R ={(y,x)∈BxA  (x,y) ∈R}.Dessa definição -1 -1 decorre que R é um conjunto de pares ordenados obtidos a partir dos pares ordenados de R, invertendo-se a ordem dos termos de cada par. -1 -1 -1 -1 Propriedades D(R ) = Im(R) (R ) = D(R) ((R )) =R Exemplo :A={2,3,4} e B{2,3,5} quais os elementos de R dado por R={(x,y)∈AxB x<y} -1 -1 R ={(3,2),(5,2),(5,3),(5,4)}
  2. 2. 3.6) Função Dado 2 conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma relação que a cada elemento x de A faz corresponder um único elemento y de B. Todo elemento de A deve ser associado a algum elemento de B * Dado elemento de A associamos a um único elemento de B * O conjunto A é denominado Domínio da função. * Conjunto B é denominado de contradomínio. * O elemento y de B associado ao elemento x de A é denominado imagem de x 3.7) Valor de Uma Função Se (x,y) ∈ a f, o elemento y é chamado imagem de x pela aplicação f ou valor f para o elemento x e se indica y=f(x). 3.8) Notação das Funções Indicaremos a função f pela notação f: x →f(x), lê-se f aplicação a x produz f(x), ou ainda a função f definida por y=f(x) 3.9) Domínio e Imagem de Uma Função O domínio de uma função é sempre o próprio conjunto de partida, ou seja, D = A. Se um elemento x ∈ A estiver associado a um elemento y ∈ B, dizemos que y é a imagem de x 3.10) Propriedades de uma Função Função sobrejetora: Dizemos que uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio, isto é, se Im=B. Em outras palavras, não pode sobrar elementos no conjunto B sem receber flechas. Função Injetora: A função é injetora se elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas, ou seja, dois elementos não podem ter a mesma imagem. Portanto não pode haver nenhum elemento no conjunto B que receba duas flechas. Por exemplo, a função f:R R definida por f(x)=3x é injetora pois se x1 ≠ x2 então 3x1 ≠ 3x2, portanto f(x1)≠ f(x2). Função Bijetora: Uma função é bijetora quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Por exemplo, a função f: R R definida por y=3x é injetora, como vimos no exemplo anterior. Ela também é sobrejetora, pois Im=B=R. Logo, esta função é bijetora. 3.11) Raízes De Uma Função Dada uma função y=f(x), os valores, os valores de x para os quais f(x)=0 são chamados raízes de uma função. No gráfico cartesiano da função, as raízes são abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal.No gráfico ao lado temos: f(x1)=0, f(x2)=0 e f(x3)=0. 3.12) Paridade - Função Par Dada uma função f: A B, dizemos que f é par se, e somente se, f(x)=f(-x) para todo x ∈ A. Ou seja: os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. O diagrama a seguir mostra um exemplo de função par:
  3. 3. 3.13) Paridade - Função Impar Por outro lado, dada uma função f: A B, dizemos que f é ímpar se, e somente se, f(-x)=-f(x) para todo x ∈ A. Ou seja: valores simétricos possuem imagens simétricas. O diagrama a seguir mostra um exemplo de função ímpar: 3.14) Funções Crescentes Dada uma função f: A B, dizemos que f é decrescente em algum conjunto A’ ⊂ A, se, e somente se, para quaisquer x1 ∈ A’ e x2 ∈ A’, com x1<x2, tivermos f(x1)>f(x2). 3.15) Funções Decrescentes Dada uma função f: A B, dizemos que f é crescente em algum conjunto A’ ⊂ A, se, e somente se, para quaisquer x1 ∈ A’ e x2 ∈ A’, com x1<x2, tivermos f(x1)<f(x2). 3.16) Função Composta Dadas as funções f:A B e g:B C, a composta de f com g, denotada por g©f, é a função definida por (g©f)(x)=g(f(x)). gof pode ser lida como "g bola f". Para que a composição ocorra o CoDom(f)=Dom(g) Exemplo : f(u)=4u+2 e g(x)=7x-4 (f©g)(x)=f(g(x))=f(7x-4)=4(7x-4)+2=28x-14 (g©f)(u)=g(f(u))=g(4u+2)=7(4u+2)-4=28u+10 (g©f)(x)=g(f(x))=g(4x+2)=7(4x+2)-4=28x+10 3.17) Função Inversa - -1 Função inversa da função bijetora f: A -> B é a função f : B -> A, que associa a cada x de B um elemento y de - -1 A, tal que y = f (x). Para obter a inversa de uma função deve-se a) verificar se a função é bijetora ; b) trocar x por y e y por x; c) isolar novamente o y, deixando-o em função de x; Exemplo: função f : IR → IR, definida por f(x) = 2x + 3 Permutando x e y, temos: x = 2y + 3. Escrevendo y em função de x → y = (x – 3)/2 que define a função inversa da função dada
  4. 4. Experiência Matemática 4) Material Utilizado • Sensor KDS 1025 – sensor de movimento que fornece a distância ao objeto, através de ondas supersônicas, com 20 coletas de dados por segundo. • Interface Science Cube Lite II – interface utilizada para coleta de dados dos sensores. • 10 caixas para CDs com espessura de 1 cm.cada. • Suporte com altura de 1m para fixação do sensor 5) Procedimento Experimental • A figura acima mostra a montagem da experiência realizada.Um sensor de posição é afixado em um suporte com uma altura H dada em metros. • O sensor é configurado para tomada de dados a cada 10 segundos, o que permite o acréscimo de Capas de Cds no intervalo de não medição. • O sensor de posição é ligado, sem a colocação de nenhuma capa de CD. Desta forma, a posição obtida pelo sensor será à distância do sensor a base do suporte. Esta distância medida ,representa a altura do suporte. (H = 0,668 metros). • Como estamos medindo a altura h (metros) de uma pilha de capas de CD com o sensor, podemos afirmar que para N = 0 h = 0 metros onde N representa a quantidade de capas de CD. • É colocada uma capa de CD, e o sensor acusa uma distância de 0,658 metros que representa a distância entre o sensor e a capa de CD. Se efetuarmos a diferença da altura do suporte com esta medida, ou seja 0,668 metros menos 0,658 metros, obteremos 0,01 metros ou seja 1 cm que corresponde a altura da pilha com 1 CD, ou seja para N = 1 → h = 0,01m • Podemos concluir que a altura da pilha h é obtida com a diferença entre a altura do sensor H (0,668metros) com a medida realizada ao se colocar a capa de CD.
  5. 5. 6) Resultados 6.1) A tabela 1 mostra os resultados obtidos na experiência de obtenção da altura da pilha com a colocação de 10 capas de CDs. Tempo(seg) Medida do Sensor(m) Quant.Capas de CDs Altura Pilha h (m) 0 0.668 0 0 10 0.658 1 0.01 20 0.648 2 0.02 30 0.638 3 0.03 40 0.628 4 0.04 50 0.618 5 0.05 60 0.608 6 0.06 70 0.598 7 0.07 80 0.588 8 0.08 90 0.578 9 0.09 100 0.568 10 0.1 Dados obtidos com o sensor Relação entre Quantidade de Capas de CDs e altura da pilha 6.2) Pelo análise do item 3.6 podemos afirmar que esta relação representa uma função. 6.3) Propriedades da função – (item 3.10) → função bijetora 6.3) Raízes da Função – (item 3.11) → x = 0 6.4) Paridade da Função – ( item 3.12 e 3.13 ) → função impar 6.5) Crescimento e decrescimento – (item 3.14 e 3.15) → função crescente x 6.6) Função Inversa – (item 3.17) → y= a 6.7) Gráfico da Função Função Nxh 0.15 0.1 h (m) 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 N 7) Conclusões / Comentários Através de um experimento com uso de sensores de posição, pode-se construir na prática, uma relação entre grandezas (quantidade de capas de CDs e altura da pilha de capas de CDs) Este experimento apresenta recursos em consonância com processo de aprendizagem construtivista, o qual tem como princípio básico, que, o conhecimento se constrói a partir das ações do sujeito, que favorecem a construção do conhecimento matemático. Na aprendizagem da Matemática este suporte é a possibilidade do “fazer matemática’: experimentar, visualizar múltiplas facetas, generalizar, conjeturar e enfim demonstrar.
  6. 6. 8) Exercícios Resolvidos 8.1) Responda se cada um dos esquemas abaixo define ou não uma função A={-1,0,1,2} B={-2,-1,0,1,2,3}. Justifique. a) b) 1 8.2) Seja f uma função com domínio em N definida por f ( x) = 2 x + 3 Calcule f (0), f (2), f (3), f ( ) 2 8.3) Uma função f com domínio real é linear se : f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) e f ( a.x) = a. f ( x ) . Para quaisquer x e y reais,sendo a uma constante real. Verifique se as seguintes funções são lineares: a) f ( x) = 3 x b) f ( x) = 2 x + 5 c) f ( x) = x 8.4) Uma função f tem a propriedade f ( x) = 2 + f ( x − 1) , para x ∈ R. Sabendo que f (1) = −3 determine o valor de f (0) e f ( 4) 8.5) Determine o domínio de cada uma das funções reais 1 f ( x) = − x + 2 g ( x) = h( x ) = x + 4 x −1 8.6) O número y de pessoas ( em milhares ) que tomam conhecimento do resultado de um jogo de futebol após x horas depois de sua realização é dado por y = 10 x . Responda: a) Quantas pessoas já sabem do resultado do jogo após 1 dia ? b) Após quantas horas após sua realização 50 mil pessoas tomam conhecimento do resultado do jogo? 8.7) Os pares ordenados (x+2y, 2x-y) e (5,-3) são iguais. Determine x e y 8.8) Determine o conjunto imagem de cada função: a) D(f) = {1,2,3} y = f ( x) = x + 1 b) D(f) = {1,3,5} y = f ( x) = x 2 c) D(f) = {2,4,6,8.} y = f ( x) = 2 x + 1 f (−1) 8.9) Seja a função f ( x) = 2 x + 6 . Sabendo-se que f (2) = 3 e f (3) = 5 calcule f ( 2) 8.10) Construa o gráfico das seguintes funções: a) f ( x) = − x + 2 b) g ( x) = x 2 9) Exercícios Propostos 9.1) (ENEM – MEC) . Um estudo sobre o problema de desemprego na Grande São Paulo, no período de 1985 – 1996, realizado pelo Seade-Dieese, apresentou o seguinte gráfico sobre a taxa de desemprego.
  7. 7. Pela análise do gráfico, é correto afirmar que no período considerado : a) a maior taxa de desemprego foi de 14% b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente d) no período 1985-1996 a taxa de desemprego foi decrescente e) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido entre 1988 e 1991. 9.2) (FURG.RS) Se f ( x) = 2 x + 3 então [ f ( 2 ) − f (− 2 ) ] é igual a : a) 4 b) 35 d) 1 c) e) 0 2 1 f ( p) − f (q) 9.3) (UNICAMP) - Se f ( x ) = x − , p = 10 e q=10 , então o valor de 8 10 3 3 q− p 8 10 a) 10 b) 10 c) 2/3 d) –2/3 e) –1/3 9.4) (PUC-PELOTAS) Seja f: R→R uma função tal que 2 f (2 x + 1) = f ( x) − 5 para todo x real. O valor de f (0) , sabendo.se que f (31) = 0 é : a) 255 b) 0 c) 150 d) 75,5 e) 155 x+5 9.5) (UPF-RS) – O domínio da função f ( x) = x + 3 x − 18 2 a) { x∈ R x ≥ -5} b) { x∈ R  -6≤x ≥ 3} c) { x∈ R x ≥ -5 e x < 3} d) { x∈ R x ≥ -5 e x≠ 3} * e) R 9.6) (UNEB-BA) Para uma função f: R→R que satisfaz as condições f(x+y) = f(x) + f(y) e f(1) = 3 O valor de f(3) é igual a : a) 1 b)3 c) 6 d) 9 e) 27 9.7) (UFF-RJ) Na figura abaixo, está representado o gráfico de uma função real de variável real y=f(x) Considerando os elementos deste gráfico, analise as afirmativas seguintes. I ) A função f em questão possui exatamente 3 raízes reais II ) A função f é crescente no intervalo [1/4 , 7/3] III ) A função f é decrescente no intervalo [10/3 , 9/2] IV ) f(3) + f(1) < f(2) + f(5) V ) f(19/3) + f(-19/3) = 0 De acordo com esses dados a alternativa correta é : a) todas as afirmativas são falsas b) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras c) apenas a afirmativa V é falsa d) apenas a afirmativa III é verdadeira
  8. 8. 9.8) (UFRJ-RJ O ponto M de coordenadas (m-2, 5) pertence ao eixo das ordenadas . Determine m. f ( x) − 3 9.9) (UFRJ-RJ) Seja f a função que satisfaz a seguinte igualdade = x . O domínio de f é o f ( x) + 3 conjunto a) {x∈R x≠0} b) { x∈Rf(x) ≠ -3} c) {x∈Rx≠ 1} d) {x∈R-3<x<3} e) {x∈Rx≠-3} 9.10) O ponto R(-a,-b) pertence ao 3° quadrante. Qu al o sinal do produto ab? 10) Solução dos problemas resolvidos e propostos Solução 8.1) a) Solução • Todo elemento de A deve ser associado a algum elemento de B – Falso • Para um dado elemento de A associamos a um único elemento de B Não é função b) Solução • Todo elemento de A deve ser associado a algum elemento de B – OK • Para um dado elemento de A associamos a um único elemento de B OK É Função Solução 8.2) f(1/2) → não pode ser calculada em virtude de 1/2 ser um número f(0) = 2*0+3 = 3 f(2) = 2*2+3 = 7 f(3) = 2*3 +3 = 9 racional, não é inteiro portanto não pertence ao domínio. Solução 8.3) f(x) = 3.x f(x) = 2x +5 f(x) = x f(x+y) = 3(x+y) = 3x + 3y = f(x) + f(y) f(x+y) = 2(x+y) +5 = 2x+5 +2y f(x+y) = x + y = f(x) + f(y) f(a*x) = 3ax = a3x = af(x) Logo a função não é linear. f(ax) = ax = a f(x) Logo a função f(x) = 3x é linear Logo a função é linear Solução 8.4) f(1) = 2 + f(1-1) = 2 + f(0) Sendo f(1) = -3 temos -3 = 2 + f(0) → -3-2 = f(0) → f(0) = -5 Logo f(0) = -5 f(4) = 2 + f(4-1) = 2 + f(3)
  9. 9. f(3) = 2 + f(3-1) = 2 + f(2) f(2) = 2 + f(2-1) = 2 + f(1) f(1) = 2+ f(1-1) = 2 + f(0) = 2 + (-5) = -3 f(2) = 2+(-3) = -1 f(3) = 2+(-1) = 1 f(4) = 2+1=3 Solução 8.5) 1 f ( x) = − x + 2 g ( x) = h( x ) = x + 4 x −1 a) f ( x) = − x + 2 → D = R 1 b) g ( x ) = → x deve ser diferente de 1 pois não temos divisão por zero. Logo Domínio R – {1} x −1 c) h( x) = x + 4 → x+4 ≥0 → x ≥ -4 → D = {x ∈ R  x ≥ -4} Solução 8.6) a) y = 10 x → y = 10 24 = 10.(4.9 ) = 49 mil pessoas = 5 → x = (5) = 25 horas 50 y = 10 x → 50 = 10. x → x= 2 b) 10 Solução 8.7) Se os pares sâo iguais temos que (a,b) = (c,d) → a = c e b = d x +2y = 5 (1) 2x –5 = -3 (2) Da equação 1 temos que x = 5 – 2y ; levando este resultado na equação 2 2.( 5-2y) –5 = -3 → 10 – 4y –5 = -3 4y = -3 + 5 –10 → 4y = -8 → y = -2 Levando este resultado na equação 1 temos x + 2y = 5 → x + 2.(-2) = 5 x –4 = 5 → x = 5 + 4 x=9 Solução 8.8 a) D(f) = {1,2,3} y = f ( x) = x + 1 Im(f) = {2,3,4} b) D(f) = {1,3,5} y = f ( x) = x 2 Im(f) = {1,9,25} c) D(f) = {2,4,6,8.} y = f ( x) = 2 x + 1 Im(f) = {5,9,13,17}
  10. 10. Solução 8.9 f(2) → 2.a + b = 3 (1) f(3) → 3.a + b = 5 (2) Da equação 1 temos b = 3 - 2.a levando na equação 2 temos 3.a + (3-2.a) = 5 → 3.a + 3 - 2.a = 5 → a = 2 Levando o resultado de a na equação 2 temos 2.2 + b = 3 → 4 + b = 3 → b = -1 Logo f(x) = 2.x – 1 Com estes resultados podemos calcular f(-1) e f(2) f(-1) = 2.(-1) – 1 = -2-1 = -3 f (−1) − 3 f(2) = 2.2 – 1 = 4-1 = 3 Logo = = −1 f (2) 3 Solução 8.10 y = -x+2 2 y=x Resultado dos exercícios propostos 9.1) d 9.2) a 9.3) d 9.4) e 9.5) d 9.6) d 9.7) d 9.8) m = 2 9.9) c 9.10) ab>0

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