Função Exponencial

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Função Exponencial

  1. 1. Prof. Jorge Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso www.ensinodematemtica.blogspot.com.br www.profantoniocarneiro.com www.accbarrosogestar.blogspot.com.br
  2. 2. Prof. Jorge Funções exponenciais
  3. 3. Prof. Jorge As aparências enganam  Mateus e Hugo são colegas de turma. Outro dia, Hugo, o melhor aluno da sala em Matemática, fez a Mateus uma proposta estranha: ou melhor, as potências Durante 10 dias, a partir de hoje, vou lhe dar 10000 reais por dia. Em compensação, você me dará 10 reais hoje e, a cada dia até o último dia, o triplo do dia anterior.
  4. 4. Prof. Jorge A operação potenciação  Se a, b e x são números reais, define-se a operação potenciação, expressa pela igualdade: ax = b a é a base x é o expoente b é a potência  De acordo com o tipo de expoente, a potenciação apresenta restrições quanto ao valor da base.
  5. 5. Prof. Jorge A operação potenciação  Potência de expoente natural Se a é real e n é natural, definimos:  a0 = 1 (a ≠ 0)  a1 = a  an = a.a.a. ... .a (n ≥ 2) n fatores
  6. 6. Prof. Jorge  (√5)1 = √5 Exemplos  60 = 1  (–2)5 = (–2).(–2).(–2).(–2).(–2) = –32
  7. 7. Prof. Jorge A operação potenciação  Potência de expoente inteiro negativo Se a e n são números reais, com a ≠ 0, define-se: a–n = 1 a n = 1 an
  8. 8. Prof. Jorge Exemplos  5–1 = 1 51 = 1 5 . –8 3 -1 = –3 8 1 = –3 8
  9. 9. Prof. Jorge A operação potenciação  Potência de expoente inteiro fracionário racional Se a é real, m e n são números inteiros, com n > 0, define-se: a = m n n √am
  10. 10. Prof. Jorge √4 Exemplos  41/2 = . √25 251/2 = = 5 √16 161/3 = = 2√23 3 = 2
  11. 11. Prof. Jorge Propriedades da potenciação
  12. 12. Prof. Jorge ay b Propriedades operatórias ax . ay = ax+y ax = ax–y (ax )y = ax.y (a.b)x = ax .bx a x bx ax =
  13. 13. Prof. Jorge √3 33 .32 Exemplos  40,3 . 40,2 = 40,3+0,2 = 40,5 = 41/2 = √4 = 2  32x – 1 = 32x 31 = (3x )2 3 = 31/2 33 .32 = 33 + 2 – 1/2 = 39/2 5x 2x .32x = 5x 2x .(32 )x = 5x 2x .9x = 5 2.9 x = 5 18 x . .
  14. 14. Prof. Jorge Crescimento e decrescimento exponencial
  15. 15. Prof. Jorge Crescimento exponencial  Vamos imaginar o seguinte experimento. A temperatura de um líquido, inicialmente a 10 ºC, aumenta em 30% a cada minuto.  Isso significa que, a cada minuto, sua temperatura T é multiplicada por 1,3. (100% + 30% = 1 + 0,3 = 1,3).
  16. 16. Prof. Jorge Crescimento exponencial  Vamos obter as temperaturas em o C, em alguns instantes do experimento.  Temperatura inicial: T0 = 10  1 minuto: T1 = 10.(1,3)1 = 10.(1,3)  2 minutos: T2 = 10.(1,3)2 = 10.(1,69) = 13 = 16,9  3 minutos: T3 = 10.(1,3)3 = 10.(2,2) = 22  4 minutos: T4 = 10.(1,3)4 = 10.(2,86) = 28,6  6 minutos: T6 = 10.(1,3)6 = 10.(4,83) = 48,3  t minutos: T = 10.(1,3)t
  17. 17. Prof. Jorge Crescimento exponencial  Veja o gráfico de T em função do tempo t. t(min) T(o C) 0 1 2 3 4 20 40 60 80 5 6 t(min) T(o C) 0 10 1 13 2 16,9 3 22 4 28,6 6 48,3
  18. 18. Prof. Jorge Decrescimento exponencial  Vamos supor agora a seguinte situação. A temperatura de um líquido, inicialmente a 70 ºC, diminui em 20% a cada minuto.  Isso significa que, a cada minuto, sua temperatura T é multiplicada por 0,8. (100% – 20% = 1 – 0,2 = 0,8).
  19. 19. Prof. Jorge Decrescimento exponencial  Vamos obter as temperaturas em o C, em alguns instantes do experimento.  Temperatura inicial: T0 = 70  1 minuto: T1 = 70.(0,8)1 = 70.(0,8)  2 minutos: T2 = 70.(0,8)2 = 70.(0,64) = 56 = 44,8  3 minutos: T3 = 70.(0,8)3 = 70.(0,512) = 35,8  4 minutos: T4 = 70.(0,8)4 = 70.(0,41) = 28,7  6 minutos: T6 = 70.(0,8)6 = 70.(0,262) = 18,3  t minutos: T = 70.(0,8)t
  20. 20. Prof. Jorge Decrescimento exponencial  Veja o gráfico de T em função do tempo t. t(min) T(o C) 0 1 2 3 4 20 40 60 80 5 6 t(min) T(o C) 0 70 1 56 2 44,8 3 35,8 4 28,7 6 18,3
  21. 21. Prof. Jorge Funções exponenciais  Funções como a que acabamos de analisar são chamadas de funções exponenciais.  Nos dois casos a variável t é expoente de uma potência de base constante. T = 10.(1,3)t T = 70.(0,8)t  base (1,3) ⇒ Crescente.  base (0,8) ⇒ Decrescente.
  22. 22. Prof. Jorge Funções exponenciais elementares
  23. 23. Prof. Jorge Funções exponenciais  De modo geral, se a é uma constante real (a > 0 e a ≠ 1), chamamos de função exponencial elementar de base a a função definida por: y = f(x) = ax
  24. 24. Prof. Jorge Exemplos  y = 5x → base 5  y = (0,3)x → base 0,3  y = 2–x ou y = 1 2 x → base 1/2
  25. 25. Prof. Jorge x y 0–1 1 2 1 2 4 –2  Traçar o gráfico da função exponencial elementar y = f(x) = 2x . Exemplos 42 21 10 ½–1 ¼–2 y = 2x x D = R e Im = R+ * → função é crescente
  26. 26. Prof. Jorge x y 0–1 1 2 1 2 4 –2 Exemplos  Traçar o gráfico da função exponencial elementar y = f(x) = (1/2)x . ¼2 ½1 10 2–1 4–2 y = (1/2)x x D = R e Im = R+ * → função é decrescente
  27. 27. Prof. Jorge Funções exponenciais - Resumo  Da análise dos dois últimos gráficos, tiramos algumas conclusões sobre a função exponencial elementar y = ax (a > 0 e a ≠ 1):  O domínio é os Reais;  O conjunto imagem é os Reais positivos;  Ela é crescente em todo o seu domínio para a > 1.  Ela é decrescente em todo o seu domínio para 0 < a < 1.
  28. 28. Prof. Jorge Propriedades da função exponencial elementar
  29. 29. Prof. Jorge Propriedades operatórias  A função exponencial y = ax (a > 0 e a ≠ 1), é injetora. Isso significa que potências de mesma base só são iguais se os expoentes forem iguais. x y 0–1 1 2 1 2 4 –2 am = an m = n⇔ y = 2x
  30. 30. Prof. Jorge Exemplos  5x = 53 ⇔ x = 3  3x – 1 = 32 ⇔ x – 1 = 2 ⇒ x = 3
  31. 31. Prof. Jorge x y 0 1 Propriedades operatórias  Os gráficos de todas as função exponenciais têm apenas em comum o ponto (0, 1). Isso significa que potências de bases diferentes só são iguais apenas se o expoente comum é 0. am = bm m = 0⇔ y = 2xy = 4x y = 2–x
  32. 32. Prof. Jorge Exemplos  3x = 7x ⇔ x = 0  2x + 1 = 5x + 1 ⇔ x + 1 = 0 ⇒ x = –1  53x – 6 = 7x – 2 ⇒ (53 )x – 2 = 7x – 2 ⇒ 125x – 2 = 7x – 2 ⇒ x – 2 = 0 ⇒ x = 2
  33. 33. Prof. Jorge am > an m > n⇔ Propriedades operatórias  A função exponencial y = ax é crescente em todo o seu domínio, se a > 1. x y 0–1 1 2 1 2 4 –2  Quanto maior o expoente x maior é a potência ax . Mesmo sentido y = 2x
  34. 34. Prof. Jorge am > an m < n⇔ Propriedades operatórias  A função exponencial y = ax é decrescente em todo o seu domínio, se 0 < a < 1.  Quanto maior o expoente x menor é a potência ax . Sentidos contrários x y 0–1 1 2 1 2 4 –2 y = 2–x
  35. 35. Prof. Jorge Exemplos  32 < 35 ⇔ 2 < 5  (0,7)3 < (0,7)–2 ⇔ 3 > –2 base > 1, sinal mantido 0 < a < 1, sinal invertido  2x > 2–3 ⇒ x > –3 a > 1, sinal mantido
  36. 36. Prof. Jorge Equações e inequções exponenciais
  37. 37. Prof. Jorge Equacões exponenciais  Chama-se equação exponencial toda equação cuja incognita aparece no expoente.  A resolução de uma equação exponencial se baseia nas propriedades abaixo. am = an m = n⇔ am = bm m = 0⇔ P1 P2
  38. 38. Prof. Jorge Exemplos  Resolver as equações exponenciais. a) 3x = 27 3x = 27 ⇒ 3x = 33 ⇒ x = 3 b) 52x – 1 = 125 52x – 1 = 125 ⇒ 52x – 1 = 53 ⇒ 2x – 1 = 3 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
  39. 39. Prof. Jorge Exemplos  Resolver as equações exponenciais. c) 22x .2x+7 23 – x = 1 22x .2x+7 23 – x = 1 ⇒ 22x + x + 7 – (3 – x) = 20 ⇒ 24x + 4 = 20 ⇒ 4x + 4 = 0 ⇒ 4x = –4 ⇒ x = –1
  40. 40. Prof. Jorge Exemplos  Resolver as equações exponenciais. d) 2 3 x + 1 = 9 4 2 3 x + 1 = 3 2 2 ⇒ 2 3 x + 1 = 2 3 –2 ⇒ x + 1 = –2 ⇒ x = –3
  41. 41. Prof. Jorge Exemplos  Resolver as equações exponenciais. e) 2x + 1 – 2x + 3.2x – 2 = 14 2x .21 – 2x + 3.2x .2–2 = 14 Vamos isolar em toda equação a potência 2x . Fazendo 2x = y. 2y – y + 3. y 4 = 14 ⇒ 8y – 4y + 3y = 56 ⇒ 7y = 56 ⇒ y = 8 ⇒ 2x = 8 ⇒ 2x = 23 ⇒ x = 3
  42. 42. Prof. Jorge Exemplos  Resolver as equações exponenciais. f) 9x + 3x + 1 = 4 (32 )x + 3x .3 = 4 Vamos isolar em toda equação a potência 3x . Fazendo 3x = y. ⇒ y2 + 3y – 4 = 0 ⇒ y’ = –4 e y” = 1 ⇒ 3x = –4 (impossível) ⇒ 3x = 1 ⇒ 3x = 30 ⇒ (3x )2 + 3x .3 = 4 ⇒ x = 0
  43. 43. Prof. Jorge Inequacões exponenciais  Chama-se inequação exponencial toda inequação cuja incognita aparece no expoente.  A resolução de uma inequação exponencial se baseia nas propriedades abaixo. P3 P4 am > an m > n⇔ Mesmo sentido am > an m < n⇔ Sentidos contrários ⇒ para a > 1 ⇒ para 0 < a < 1
  44. 44. Prof. Jorge Exemplos  Resolver as inequações exponenciais. a) 53x – 1 > 25x + 2 53x – 1 > (52 )x + 2 ⇒ 53x – 1 > 52x + 4 ⇒ 3x – 1 > 2x + 4 base > 1, mantém-se o sentido ⇒ 3x – 2x > 4 – 1 ⇒ x > 3
  45. 45. Prof. Jorge Exemplos  Resolver as inequações exponenciais. b) (0,9)2x – 1 ≤ (0,9)x + 2 (0,9)2x – 1 ≤ (0,9)x + 3 ⇒ 2x – 1 ≥ x + 3 base < 1, inverte-se o sentido ⇒ 2x – x ≥ 3 + 1 ⇒ x ≥ 4
  46. 46. Prof. Jorge Exemplos  Resolver as inequações exponenciais. c) 9x – 3x + 1 – 3x + 3 ≤ 0 (32 )x – 3x .31 – 3x + 3 ≤ 0 Vamos isolar em toda equação a potência 3x . Fazendo 3x = y.⇒ (3x )2 – 3x .3 – 3x + 3 ≤ 0 ⇒ y2 – 3y – y + 3 ≤ 0 ⇒ y2 – 4y + 3 ≤ 0 ⇒ 1 ≤ y ≤ 3 ⇒ 1 ≤ 3x ≤ 3 ⇒ 30 ≤ 3x ≤ 31 ⇒ 0 ≤ x ≤ 1
  47. 47. Prof. Jorge Calculando juros compostos ou capitalizados
  48. 48. Prof. Jorge Exemplos  Cláudia tomou um empréstimo de R$ 1 000,00, pagando juros a uma taxa de 5% a.m. Mas no final de cada mês sua dívida é acrescida dos juros relativos o mês. Qual será o montante M da dívida após t meses?  1º mês: M1 = 1 000.1,05  2º mês: M2 = M1.1,05 = 1 000.(1,05)2  3º mês: M3 = M2.1,05 = 1 000.(1,05)3  4º mês: M4 = M3.1,05 = 1 000.(1,05)4 ...............................................................  t meses: M = 1 000.(1,05)t 100% + 5% = 105% (1 + i) = 1,05
  49. 49. Prof. Jorge Calculando juros compostos  Para um capital inicial C e uma taxa mensal i, o fator de aumento é (1 + i). O montante M, após t meses, no sistema de juros compostos é calculado pela fórmula: M = C.(1 + i)t Nessa fórmula, é importante que a taxa i e o tempo t estejam expressos na mesma unidade de tempo.
  50. 50. Prof. Jorge Exemplos  Um agiota emprestou R$ 6 000,00 a Paulo, a uma taxa fixa de 5% ao mês. Qual foi o rendimento do agiota, após 4 meses? Dados: C = 6 000 i = 5 % a.m = 0,05 t = 4 meses M = C.(1 + i)t = 6 000 . (1 + 0,05)4 M = 6 000 . 1,2155 ⇒ M = 7 293 M = C + j ⇒ 7 293 = 6 000 + j ⇒ j = 1 293,00
  51. 51. Prof. Jorge Exemplos  Marcos tomou um empréstimo de R$ 2 000,00 em um banco, a juros compostos, com taxa de 2% ao mês. De quanto tempo foi o empréstimo, se ele pagou R$ 438,00 de juros? Dados: C = 2 000 i = 2 % a.m = 0,02 M = 2 000 + 438 = 2 438 M = C.(1 + i)t ⇒ 2 438 = 2000 . (1,02)t ⇒ 1,02t = 1,219 ⇒ t = 10 ⇒ t = 10 meses 1,026 ≈ 1,126 1,027 ≈ 1,148 1,028 ≈ 1,171 1,029 ≈ 1,195 1,0210 ≈ 1,219
  52. 52. Prof. Jorge Crescimento e decrescimento exponencial
  53. 53. Prof. Jorge Crescimento e decrescimento exponencial  Há muitas situações práticas em que uma variável cresce ou decresce, segundo taxas percentuais fixas, na unidade de tempo. Nesses casos, usamos raciocínio semelhante ao dos juros compostos. V = V0 . (1 + i)t Suponhamos que uma variável V, de valor inicial V0, seja função do tempo t. V = V0 . (1 – i)t  Se V cresce segundo uma taxa fixa i, temos:  Se V decresce segundo uma taxa fixa i, temos:
  54. 54. Prof. Jorge Exemplos  O valor atual de um lote é de R$ 30 000,00. Estima-se que, nos próximos anos, ele valorize 8% ao ano. Quanto ele valerá daqui a 6 anos? V = V0 .(1 + i)t = 30 000 . (1,08)6 ⇒ V = 30 000 . 1,59 ⇒ V = 47 700 ⇒ O lote valerá R$ 47 700,00
  55. 55. Prof. Jorge Exemplos  O valor atual de uma máquina é de R$ 2 500,00, e ela se desvaloriza segundo uma taxa anual fixa. Obter essa taxa, sabendo-se que, daqui a 2 anos, a máquina valerá R$ 2 0 25,00. V = V0 .(1 – i)t Para t = 2, V = 2 0 25. ⇒ 2 025 = 2 500 . (1 – i)2 ⇒ (1 – i)2 = 0,81 = 2 500 .(1 – i)t ⇒ (1 – i)2 = √0,81 ⇒ 1 – i = 0,9 ⇒ i = 0,1 ⇒ i = 10 % a.a.
  56. 56. Prof. Jorge Veja os cálculos  1º dia (hoje): V1 = 10  2º dia: V2 = 10.(3)1 = 10.(3)  3º dia: V3 = 10.(3)2 = 10.(9) = 30 = 90  4º dia: V4 = 10.(3)3 = 10.(27) = 270  5º dia: V5 = 10.(3)4 = 10.(81) = 810  6º dia: V6 = 10.(3)5 = 10.(243) = 2 430  7º dia: V7 = 10.(3)6 = 10.(729) = 7 290  8º dia: V8 = 10.(3)7 = 10.(2 187) = 21 870  9º dia: V9 = 10.(3)8 = 10.(6 561) = 65 610  10º dia: V10 = 10.(3)9 = 10.(19 683) = 196 830 Total ................................................... = 295 230

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