Exercicios 8ª

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Exercicios 8ª

  1. 1. ( C ) Problemas e exercícios complementares Orientações Resolver problemas e fazer exercícios são atividades essenciais para aprender matemática. Nisso estamos de acordo, certo? No entanto, algumas pessoas perguntam: quantos problemas e exercícios preci- sam ser feitos? Não há resposta para essa questão. Em princípio, quem se dedica mais à resolução de problemas diferentes e criativos adquire mais conhecimentos de matemática. Os problemas, os exercícios e as demais atividades propostos neste livro são suficientes para um bom aprendizado básico de matemática. Ainda assim, considerando que nem todas as escolas brasileiras destinam o mesmo número de aulas a essa disciplina (e nada há de errado nisso) e que nem todos os estudantes possuem o mesmo interesse por matemática (também nada há de errado nisso), oferecemos, nesta seção, alguns problemas e exercícios de caráter complementar. Só se deve dar atenção a eles após garantir o fundamental e se restar tempo na programação. Esta seção é, portanto, optativa. capítulo 1 SEMELHANÇA Figuras semelhantes 86 mm e D’A’ = 70 mm. Note que os lados de A’B’C’D’ duplicaram em relação aos lados de 1. Responda sim ou não: ABCD. a) Dois retângulos são sempre semelhantes? 4. Estes quadriláteros são semelhantes: b) Dois hexágonos regulares são sempre seme- lhantes? c) Duas esferas são sempre semelhantes? I T d) Dois pentágonos são sempre semelhantes? e) Dois pentágonos regulares são sempre seme- R A lhantes? No problema 2, usando transferidor e fazendo tentativas, não é difícil 2. Usando régua e transferidor, construa: I’ T’ construir o quadrilátero. a) um quadrilátero ABCD com estes ângulos: ˆ ˆ ˆ ˆ A = 100° , B = 70° , C = 80° e D = 110°. b) outro quadrilátero, não-semelhante ao ante- rior, mas com esses mesmos ângulos. No problema 3, há al- R’ A’ gumas dificuldades na 3. Usando régua e compasso, desenhe: construção dos quadri- láteros. É preciso fazer a) um quadrilátero ABCD, com AB = 25 mm, tentativas. BC = 30 mm, CD = 43 mm e DA = 35 mm; a) Meça os lados correspondentes e diga qual é b) um quadrilátero A’B’C’D’, não-semelhante a a razão de semelhança. Responda assim: é 1 ABCD, com A’B’ = 50 mm, B’C’ = 60 mm, C’D’ = para 1,5 ou 1 para 3, etc. 272
  2. 2. 7. Problemas e exercícios complementares b) As diagonais RT e R’T’ estão nessa mesma ra- A 40 m da base da estátua, Márcia pode vê-la sob zão? um ângulo de 40°. Faça um desenho em escala e c) E os segmentos IA e I’A’? determine a altura real da estátua. d) Calcule o perímetro de cada quadrilátero. Os perímetros estão na mesma razão que os la- dos? ˆ ˆ e) Meça os ângulos ITA e I' T ' A' . Que relação existe entre eles? h ⋅ (B + b) 40° f) Usando a fórmula A = , calcule as 2 40 m áreas dos quadriláteros. A área do quadrilátero maior é quantas vezes a do menor? 5. Classifique cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F): 8. Com relação ao exercício anterior, Márcia quer fotografar a estátua. Entretanto, a estátua só a) Para dois polígonos serem semelhantes basta aparecerá inteira na foto se for avistada sob um que os ângulos que se correspondem sejam ângulo de 30°. Aproveite seu desenho em escala iguais. e determine a que distância da estátua Márcia b) Para dois polígonos serem semelhantes é ne- deve se posicionar. cessário que os ângulos que se correspondem sejam iguais. 9. Considere a figura seguinte: c) Para dois polígonos serem semelhantes é pre- A ciso que eles tenham lados correspondentes proporcionais. 25 d) Para dois polígonos serem semelhantes é su- ficiente que eles tenham lados corresponden- tes proporcionais. O 10 E B 16 Triângulos semelhantes x a) Prove que os triângulos D ABO e DEO são semelhan- 6. Observe a figura: tes. A b) Calcule a medida x. a 10. Em qual das situações pode-se ter certeza de que AB = 3 ⋅ EF? a) B A C 80° a D 100° B 130° 6 C E F BC = 8 cm AB = 7 cm AD = y 80° 100° AC = 4 cm DC = x 130° D 2 G a) Mostre que dois dos triângulos são semelhan- tes. H b) Separe os triângulos semelhantes desenhan- do-os, à mão livre, em posições semelhantes. b) A c) Copie e complete em seu caderno: 2 E AB BC CA 1 = = . G //// //// //// C P F d) Nessa igualdade que você escreveu, substitua AB, BC, etc. pelas medidas correspondentes e EF // AB B calcule x e y. ( problemas e exercícios complementares ) 273
  3. 3. 11. Na figura seguinte, suponha que MA = 60 mm, c) Em todo triângulo retângulo, a altura relati- AU = 75 mm e LA = x. va à hipotenusa divide-o em dois triângulos U retângulos semelhantes entre si e semelhan- tes ao triângulo original. 48° L 15. Há três triângulos retângulos na figura e cada um deles é semelhante aos outros dois: 48° M A m p l a) Copie e complete em seu caderno: 75 60 a x = . h //// //// b) Determine x. Tomando como base essas semelhanças, copie e complete em seu caderno: Semelhança no triângulo retângulo a) as igualdades: 12. Observe o triângulo da figura seguinte: h = //// = p m x //// d a x h m //// = = . //// l a t p b) as fórmulas: q p2 = h ⋅ //// p ⋅ //// = l ⋅ //// Às vezes, como no pro- a) Prove que p2 = a ⋅ x. O teorema de Pitágoras blema 16, é preciso re- lembrar que as diagonais b) O que diz essa fórmula? Responda textual- do losango, sendo eixos de simetria, são per- mente. 16. As diagonais de um losango medem 11 cm e 6 cm. pendiculares entre si e Qual é a medida aproximada do lado? cortam-se ao meio. 13. Use a régua e responda em seu caderno: L 17. ˆ No triângulo ABC, A = 90º. Copie e complete a tabela em seu caderno: AB (cm) AC (cm) BC (cm) 15 20 ///////// //////// 5 13 15 ///////// 17 U A Z 18. No triângulo retângulo SIM, SI = 30 cm e SM = 34 cm: a) Quanto mede a hipotenusa do triângulo LUZ? b) E os catetos, quanto medem? I c) Quanto mede o cateto maior do triângulo ZAL? S d) Quanto mede a altura perpendicular à hipo- tenusa do triângulo LUA? 14. Classifique cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F): E a) Em todo triângulo acutângulo, a altura rela- M tiva a qualquer lado divide o triângulo em a) Calcule MI. dois triângulos retângulos. b) Calcule EI, usando uma das fórmulas deduzidas b) Em todo triângulo acutângulo, a altura relati- no item anterior. va a qualquer lado divide o triângulo em dois c) Calcule SE e ME. triângulos retângulos semelhantes entre si. d) Calcule a área do triângulo. 274
  4. 4. Problemas e exercícios complementares 19. A escada tem 5,2 m de comprimento. Qual é a y altura aproximada do muro? O x 1,5 m a) Depois de uma hora, qual é a distância em linha reta entre elas? b) E depois de duas horas contadas a partir do início da viagem? 20. Flávia e Rita partem de O, no mesmo instante, cada uma em seu automóvel. Flávia segue pela c) Invente outra pergunta com os dados deste estrada x à velocidade de 60 km/h. Rita vai pela problema. Se desejar, você pode incluir ou- estrada y a 80 km/h. tros dados. capítulo 2 A QUINTA E A SEXTA OPERAÇÕES Potências e notação científica a) 2–4 c) 240 : 242 210 1. Copie e complete em seu caderno: b) 25 ⋅ 23 : 29 d) 213 a) 1 = 10 d) 104 ⋅ 103 = 10 5. Para medir comprimentos muito pequenos, como 104 o de uma bactéria, foi criada uma unidade de b) 1 : 103 = 10 e) 104 ⋅ 10–6 = 10 medida chamada micrômetro (ou mícron): 1 micrômetro = 10–6 m 1 c) = 10 f) 104 : 107 = 10 Usando notação científica, escreva em seu cader- 10−5 no a quantos metros correspondem: 2. Em seu caderno, passe para a notação científica: a) 5 micrômetros c) 0,2 micrômetros a) 6 500 000 c) 0,000 01 e) 0,000 038 b) 30 micrômetros d) 0,02 micrômetros b) 12 ⋅ 108 d) 0,000 03 f) 13 ⋅ 10–7 Cálculos com radicais 3. Em seu caderno, efetue e dê o resultado em nota- 6. O jardim retangular da figura vai ser cercado com ção científica: duas voltas de arame. a) (3,4 × 103) : (1,7 × 106) b) 2,8 × 104 ⋅ 5 × 103 4. As fórmulas do quadro referem-se às potências de 10. Para outras bases, valem fórmulas análogas. 10 m Calcule em seu caderno, dando as respostas na 5m forma de fração: 1 10–n = 10n 10a 10b = 10a + b a) Obtenha o perímetro aproximado do jardim, em metros e centímetros. 10a 10b = 10a – b b) Para cercar esse jardim com arame, quantos rolos de 10 m serão necessários? ( problemas e exercícios complementares ) 275
  5. 5. 7. Sabendo que os resultados são números inteiros 11. Efetue os cálculos em seu caderno: positivos, efetue em seu caderno: 125 162 a) + 6 45 a) d) 3 4 2 27 ⋅ 125 3 112 − 343 54 b) + 28 b) 3 e) 7 ⋅ 3 ⋅ 12 ⋅ 7 2 7 2 c) ( 8 + 18 ) ⋅ 2 − 3 ⋅ ( 75 − 3 ) c) 256 ⋅ 25 f) 5 ⋅ 2 ⋅ 8 ⋅ 5 12. Descubra o valor de x, que é um número positivo, 8. Calcule em seu caderno a área do triângulo sabendo que: eqüilátero cujo lado mede 2 7 centímetros. a) x =7 c) 3 x = 23 2 3 No exercício 9, os cál- 3 culos são difíceis. Suge- 9. Obtenha a área de um hexágono regular cujo lado b) x =5 2 d) x = 23 5 rimos que eles sejam refeitos no quadro-de- giz, durante uma aula mede 7 cm. Dica: há um exercício similar nos 13. Descubra o valor de x. Racionalize o denomina- 2 de correção de exercí- Problemas e exercícios para casa deste item. dor da fração. cios. Mais cálculos com radicais a) 2⋅x=1 b) 2 ⋅x = 5 10. Em seu caderno, simplifique os radicais: a) 112 c) 343 b) 150 d) 7 25 capítulo 3 EQUAÇÕES E FATORAÇÃO Equação de 1o grau 6. Resolva as equações em seu caderno: 3 a) 3z4 – 250 = –7 b) x + 2 = 5 1. Resolva as equações em seu caderno: 2 x x a) 5 − 2 = x − 13 7. Resolva as equações em seu caderno: a) (y + 1) (y + 5) = 6y + 41 x+2 2x − 5 x−1 b) = − b) (2m + 1) (m + 1) = 3 (m – 5) 3 2 6 c) (2u + 1) (u + 1) = 3 (u + 65) 2. Resolva as equações em seu caderno: d) (y + 3)(y + 2) = 5 (y + 2) a) (x + 3) (x + 1) = x2 + 23 b) 3(x2 + 1) = x(3x + 1) + 1 8. As equações literais aparecem nas deduções de fórmulas. Por exemplo, nos triângulos retângulos como o da figura, vale a fórmula a2 = b2 + c2. 3. Resolva em seu caderno: (2x + 1)(5x + 2) = 5x2 − 11 2 a b 4. O que significa isolar a incógnita na resolução de uma equação? c Vários tipos de equações Resolva a equação a2 = b2 + c2 na incógnita b 5. Resolva as equações em seu caderno: (isto é, isole b). Você terá uma fórmula que dá a medida do cateto b em função das medidas dos a) x + 12 = 5 b) 3 x − 10 = 5 outros lados. 276
  6. 6. Problemas e exercícios complementares Equações resolvidas por fatoração Siga esse modelo e calcule em seu caderno: a) (x + 7)2 d) (3a – 2b)2 9. Descubra qual é o número representado por : b) (x – 7) 2 e) (y2 + 5x)2 2 a) ( – 7)2 = 0 c) 3 ⋅ ( – 2) = 0 c) (2a + 1)2 ⎛ a⎞ f) 5ab – ⎝ 3⎠ 5⋅( – 2) b) (y2 + 1) ( – 5) = 0 d) 3 = 0 15. Em seu caderno, copie e complete as expressões para que sejam trinômios quadrados perfeitos: 10. Usando fatoração, simplifique as expressões em a) y2 – 14y + d) 36y2 + +1 2 2 seu caderno: b) 9x + 6x + e) x + + 81 c) + 6y + 1 f) a2x2 + abx + /// a4 + a3 + a2 a) 5a3 – 7a2 16. Resolva as equações em seu caderno: 4a3 + 10a2 a) x2 – 14x + 49 = 0 c) r2 – 18r + 81 = 0 b) 4a2 + 20a + 25 b) 9x2 + 6x + 1 = 0 d) 16y2 – 8y + 1 = 0 11. Resolva as equações em seu caderno: 17. Resolva as equações em seu caderno: a) 3t2 + t = 0 c) (x + 3) (x – 5) = 0 a) (p + 3) (p + 7) = 21 b) x3 + 2x2 = 0 d) (r – 5)2 = 0 x x b) − = 2x + 1 4 6 12. Resolva as equações em seu caderno: c) (h + 3,5) ⋅ (h – 1,2)2 = 0 a) (2s + 5) (3s – 1) = 13s + 31 (x – 3)(x + 2)(x – 5) b) (x + 3) (x + 7) = 21 d) =0 2 13. Procuramos um número cujo quadrado seja igual 18. Descubra o valor de x, sabendo que a área do a seu quíntuplo. quadrado ABCD é 169. a) Escreva a equação correspondente a essa sen- A 2x B tença. b) Resolva a equação e determine o(s) número(s). 2x Fatorando o trinômio quadrado perfeito 3 3 14. Recordando: para calcular (2x + 3) você pode 2 D C efetuar o produto de (2x + 3) por (2x + 3). Mas também pode obter o resultado diretamente: 19. Em seu caderno, resolva as equações na incógni- ta x: (2x + 3)2 = a) x2 – 2ax + a2 = 0. 2ax 5a b) + 3ax − + 7a = 0 . Supor a ≠ 0. quadrado de 2x = 4x2 + 12x + 9 quadrado de 3 3 6 2 2 c) 4x + 4ax + a = 0 2 vezes 2x vezes 3 d) 3bx2 – 5bx = bx2 – 2bx. Supor b ≠ 0. capítulo 4 MEDIDAS Sistemas decimais e não-decimais b 1. Quantos hectares há em 1 km2? 2. Calcule: 35° 47’18” + 72° 2’45”. a a a a a a a 3. Calcule: 135° 45’12” – 70° 48’5”. a a 4. ˆ Na figura, â = 14° 32’15”. Calcule a medida de b . ( problemas e exercícios complementares ) 277
  7. 7. 5. Copie e complete em seu caderno: 10. As diagonais de um losango medem 10 cm e 12 cm. 2 2 Calcule seu perímetro aproximado. a) 3,78 m = cm e) 148 mm = cm b) 72 mm = cm f) 12,83 L = mL 11. Você já deduziu a fórmula da área dos trapézios. c) 3,5 kg = g g) 35 t = kg Vai agora deduzi-la de uma outra maneira. Veja: • Imagine o trapézio decomposto assim: 2 2 d) 13,8 m = cm h) 5 mL = L m 6. Imagine um cubo de aresta igual a 1 km. Calcule o volume desse cubo em quilômetros cúbicos e p p em metros cúbicos. Depois, copie e complete em seu caderno: 1 km3 = 10 m3. n 7. ˆ Calcule AOD , sabendo que O O pé da altura do triângulo de base n é externo à base. ˆ ˆ = 38° 15’40”, BOC = AOB D ˆ 16° 48’52” e COD = 23° 50’12”. A • Obtenha a área de cada triângulo e some-as. B C • “Arrume” a expressão obtida para chegar à fórmula que você já conhece. Calculando áreas e volumes 12. Uma aluna deduziu a fórmula da área desta figura: 8. Qual é a área de um quadrado circunscrito a um a A=a⋅b+d⋅e círculo de raio 7,5 cm? Veja o que é polígono b circunscrito no dicionário. c f 9. Veja esta decomposição seguida de uma recom- d posição: e a) Qual foi o raciocínio feito pela aluna? Res- h y ponda com uma figura. b) Deduza outra fórmula para a área da figura. x 13. Na figura, a medida do lado do quadrado menor é . x O lado do quadrado externo é 30 % maior. Qual é o aumento porcentual da área do quadrado menor em relação à do maior? T h h y y h x Copie e complete em seu caderno: a) No paralelogramo, a altura mede h, a base mede e o outro lado mede . b) Fazendo a translação do triângulo T, como mostra a figura, obtemos um cujos lados medem e . c) A área desse retângulo é . d) Como o retângulo e o têm áreas , con- cluímos que a área do paralelogramo é . 278
  8. 8. capítulo Problemas e exercícios complementares 5 ESTATÍSTICA Contando possibilidades a) Em seu caderno, copie e complete a tabela. Ela contém os 36 casos possíveis no lança- 1. Responda em seu caderno: mento de dois dados. a) Carla tem cinco blusas e três saias. De quantas b) Quantas vezes o número 12 aparece na tabela? maneiras diferentes ela pode combinar essas c) Qual é a chance de se obter o produto 12? peças? d) Quais são os produtos com maiores chances b) Além de cinco blusas e três saias, Maria tem de serem obtidos? ainda dois pares de sapato. Considerando sai- e) Qual é a chance de o produto ser um número as, blusas e pares de sapato, quantas são as ímpar? possibilidades? f) Qual é a chance de ele ser par? 2. Com os algarismos 1, 2, 3 e 4 quantos números g) Qual é a chance de o produto ser um número naturais diferentes, de quatro algarismos, exis- maior que 18? tem, podendo repetir os algarismos? 6. Vou jogar um dado três vezes e multiplicar os pontos obtidos. Se o resultado for par, eu ganho. 3. Serão sorteadas quatro bo- a) Em seu caderno, copie e complete a árvore las, uma de cada vez, para que dá todos os resultados possíveis: formar um número de qua- tro algarismos. As bolas sorteadas não serão repos- 2 4 1 tas na urna. 3 a) Quais destes números poderiam ser obtidos no sorteio: 4 231, 4 332, 1 243, 1 321. b) Se o primeiro algarismo sorteado é 2, quantas b) Qual é a chance de eu ganhar esse jogo de possibilidades há para o segundo número sor- par ou ímpar? teado? c) Escreva todos os números começados com o 7. Roberto comprou três bilhetes de uma rifa, que algarismo 2 que podem ser formados no sor- só correrá depois que todos os 100 bilhetes fo- teio. rem vendidos. d) Nesse sorteio, quantos números diferentes a) Qual é a chance de Roberto ser o primeiro podem ser formados? sorteado? b) Esta é mais difícil: qual é a chance de Roberto 4. Com tecidos de cor branca, preta, amarela e azul, ser o primeiro sorteado e também o segundo quantas bandeiras de três faixas de cores diferen- sorteado? tes podem ser criadas? 8. Maria Rita tira da estante uma coleção de cinco livros numerados (volume 1, volume 2, etc.) e, depois de Chance e estatística consultá-los, guarda-os na estante ao acaso. Qual é a probabilidade de que ela tenha colocado os livros 5. Foram lançados dois dados e os pontos sorteados na ordem certa (primeiro o 1, depois o 2, etc.)? foram multiplicados: Dica: calcule de quantas maneiras os livros podem dado 2 ser ordenados; para a 1a posição, há 5 possibilidades; dado 1 1 2 3 4 5 6 para a 2a posição, há só 4, porque um deles já foi colocado; e assim por diante. 1 1 2 3 4 2 2 4 6 Amostras 3 4 9. Neste exercício, você vai realizar um experimento para estudar o conceito de amostra. Separe 200 5 grãos de feijão preto e 100 grãos de feijão roxinho. 6 Não tendo feijões, use papeizinhos: 100 com marca e 200 sem marca. ( problemas e exercícios complementares ) 279
  9. 9. a) Retire uma amostra de 15 feijões, escolhidos 11. Aproximadamente, quantos pontinhos há neste ao acaso. Em seu caderno, copie e preencha retângulo? uma tabela como esta: Número de grãos de feijão preto //// Número de grãos de roxinho //// Total 15 b) Recoloque a amostra no saquinho, misture os feijões e retire uma amostra de 36 feijões. Em seu caderno, copie e preencha uma tabela a) Obtenha o total de pontinhos estatisticamente: como a anterior. • conte o número de pontinhos da amostra, c) De acordo com a amostra de 15 feijões, quan- que é o quadradinho de 1 cm2; tos feijões de cada tipo deveria haver na po- • meça os lados e calcule a área do retângulo; pulação de 300 feijões? • o restante é com você. d) Responda a mesma pergunta para a amostra de 36 feijões. b) Multiplique o número de pontos de uma linha pelo número de linhas para obter o total de e) Qual das duas amostras reflete melhor a reali- pontinhos. O resultado obtido na amostra é pró- dade da população? ximo do resultado obtido pela multiplicação? f) Neste caso, a amostragem funcionou? 12. Um biólogo capturou 50 gaivotas de uma ilha, 10. Na situação do exercício anterior, seria possível marcou-as e soltou-as. Tempos depois, o biólogo haver 15 feijões roxinhos na primeira amostra? A capturou 80 gaivotas, das quais 23 estavam chance de que isso ocorra é grande ou pequena? marcadas. Estime a população de gaivotas da ilha. capítulo 6 EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 2o GRAU A fórmula de Bhaskara Sistemas de equações 1. Resolva as equações em seu caderno, sem usar a 5. Faça o que se pede: fórmula de Bhaskara: a) Considere estes pares de números: (1; 2), a) 2x2 – 14 = 0 c) 9x2 – 24x + 16 = 0 ⎛ 1 2⎞ (2; 1), (2; 4), (4; 2), (3; 6), (6; 3), ⎝ ; ⎠ b) 3x2 + 8x = 0 d) 9x2 – 24x + 16 = 4 3 3 ⎛ 2 ; 1⎞ e ⎝ 3 3⎠ . Supondo que o primeiro número 2. Usando a fórmula de Bhaskara, resolva as equa- do par é um valor de x e que o segundo número ções em seu caderno: é um valor de y, quais pares são solução da a) 2x2 + 11x + 5 = 0 c) 2x2 + x – 3 = 0 equação x = 2y? Dica: uma solução é o par (2; 1). b) 2x2 + 9x –5 = 0 d) 5x2 + 4x – 1 = 0 b) Considere agora os pares de números: (2; 4), (4; 2), (3; 6), (6; 3), (1; 5) e (5; 1). Quais 3. Faça os cálculos necessários para poder aplicar a deles são solução da equação x2 + y2 = 45? fórmula de Bhaskara e resolva as equações: c) Escreva um par ordenado que é solução do 2 x +8 –x + 5 ⎧x = 2y a) –2 = sistema de equações ⎨ 2 2 . 4 2 ⎩x + y = 45 2 x – 13 b) 4 –1 = x–5 6. Resolva em seu caderno o sistema de equações ⎧x + y ⎪ 5 x–y = – 4. Encontre as medidas dos lados ⎨ 12 3 4 . do triângulo: ⎪3x = 22 – 2y ⎩ x+2 x–2 7. Resolva em seu caderno os sistemas de equações: ⎧x – y = 3 ⎧2x + y = 5 a) ⎨ 2 b) ⎨ x ⎩ x + y2 = 17 ⎩4 xy = 12 280
  10. 10. No item b, pode-se representar por x o número de qualquer uma das três bolas. 8. Problemas e exercícios complementares Existe um retângulo cujo perímetro é 40 m e cuja a) 3 b) 8 área é 44 m2? Justifique sua resposta. 2 –1 : 15 2 +4 –2 Problemas 9. Qual é o número cujo quadrado somado com 4 resulta no seu quádruplo? . –2 :2 ( ) 5 10. Observe o circuito: 12 – 4 = 8 e, depois, 8 : 2 = 4 e, por fim, 4 . 3 = 12. c) 12 :2 .x 3 –4 –3 11. Se Luís der R$ 10,00 a João, ambos ficarão com a 4 8 mesma quantia de dinheiro. Entretanto, se João :2 der R$ 10,00 a Luís, Luís ficará com o dobro de João. Quanto tem cada um? 12. Num terreiro criam-se apenas porcos e galinhas. Começando pelo No total, há 40 animais e 100 patas. Quantos 12 e efetuando as porcos são criados? operações indicadas, você volta ao 12. 13. Com os números x e y, inteiros, fiz estas contas: x y x + 2 7 y 170 Nos próximos circuitos, vale a mesma regra. O desafio é descobrir os números dentro das bolas. No último, há duas soluções. Que números são esses? capítulo 7 GEOMETRIA DEDUTIVA Matemática, detetives e dedução 1. Quatro pessoas vão a uma reunião. A secretária anota a hora de chegada de cada uma delas, mas não seus nomes. Depois, descobre-se que a segunda pessoa a chegar (quem será?) cometeu um crime. As quatro pessoas são interrogadas. Apenas a primeira pessoa a chegar diz a verdade. A segunda a chegar mente para atrapalhar as investigações. A terceira e a quarta também mentem por medo de serem acusadas. Não se sabe quem diz a verdade e quem mente. A partir das declarações das pessoas, deduza quem cometeu o crime. ( problemas e exercícios complementares ) 281
  11. 11. 2. Uma bancária, uma comerciária, uma dentista e C uma professora torcem para o Palmeiras. Sobre essas amigas, sabe-se que: • Ana e Bela são vizinhas e revezam-se na caro- x na de automóvel. • O salário de Bela é maior do que o de Clara. 70° • Freqüentemente, Ana vence Dália no xadrez. A Q P 30° • A bancária vai sempre a pé para o trabalho. • A professora não mora perto da comerciária. B • A única vez em que a dentista encontrou-se com a professora foi no consultório, para o trata- Ângulos na circunferência mento de uma cárie. • O salário da professora é maior do que o da 10. Na figura, AB é diâmetro do círculo: comerciária ou da dentista. P Descubra as profissões das torcedoras do Pal- meiras. A B O 3. Na figura, AÔB é um ângulo raso: C a) Qual é a medida do ângulo AÔB? ˆ b) Qual é a medida do ângulo P do triângulo A APB? Explique sua resposta. O B 11. ˆ O círculo da figura tem centro em P. Se LKM = Prove que as bissetrizes dos ângulos AÔC e CÔB ˆ ? 35°, qual é a medida de LMK são perpendiculares. K 4. Demonstre o seguinte fato: Dados dois números naturais consecutivos, a diferen- ça entre o quadrado do maior e o quadrado do menor P é sempre uma unidade a mais que o dobro do L menor. Por exemplo, dados 5 e 6, 62 – 52 = 2 × 5 + 1. Sugestão: use álgebra para demonstrar esse fato. M 5. Considere três números naturais consecutivos. 12. Na figura, se a = 31°, quanto medem b e c? Prove que a soma deles é sempre um número múltiplo de 3. Ângulos nos polígonos a c 6. A medida do ângulo interno de um polígono regu- b lar é igual a cinco vezes a medida de seu ângulo externo. Qual é o número de lados desse polígono? 13. O círculo da figura tem centro em O. 7. Um polígono regular ABCDE... tem n lados. Os prolongamentos dos lados AB e CD encontram-se no ponto O. Sabendo que o ângulo BÔC mede 132°, a descubra o valor de n. b O 8. Considere um hexágono regular ABCDEF. As 130° bissetrizes dos ângulos internos de vértices A e C c cortam-se no ponto M. Descubra a medida do ângulo AMC . ˆ a) Qual é o valor de a? 9. ˆ Na figura, CP é bissetriz do ângulo ACB . Descu- b) Determine b. bra a medida x. c) Calcule c. 282
  12. 12. Problemas e exercícios complementares Paralelismo r 14. Você sabe que duas retas paralelas cortadas por 5 6 uma transversal formam ângulos corresponden- s tes iguais. x+2 x t x b r // s 17. Copie a figura em seu caderno. Depois, transcre- a va apenas as igualdades que são verdadeiras: y s a x Com base nesse fato, explique por que, na figura, m valem as seguintes igualdades: p b a) x = y b) a + b = 180° z y 15. Na figura, M é ponto médio do lado AB e r // BC. n c B C a // b // c M N r m x x y y z A a) = d) = g) = n y m n n p Que relação existe entre as medidas de: m y n x b) = e) = a) AN e NC? b) MN e BC? p z m y z m 16. Na figura, r // s // t. Use o teorema de Tales e c) p = z f) = calcule x. n y p x capítulo 8 MATEMÁTICA, COMÉRCIO E INDÚSTRIA Produção e proporcionalidade a (m) b (m) c (m) P (R$) 1 2 0,5 2 000 1. Um mestre-de-obras foi até uma loja de ferragens 2 2 0,5 //////// comprar 2 000 parafusos iguais. Em vez de contar 2 2 2 //////// um a um, o balconista colocou 10 parafusos em //////// 2 4 16 000 uma balança e verificou que pesavam 120 g. Fez 1 //////// 1 16 000 os cálculos necessários e entregou ao mestre-de- obras 12 pacotes de mesmo peso. Quanto pesava cada pacote? 4. Em determinada situação-problema, há três variá- veis: x, y e z. Sabe-se que x é diretamente propor- cional a y quando z é constante. Sabe-se, também, 2. Oito costureiras produzem 320 agasalhos em seis que y é inversa- x y z dias de trabalho. Quantas costureiras seriam ne- mente proporcional cessárias para produzir 480 agasalhos em apenas 10 20 100 a z, quando x é cons- 20 //////// 100 quatro dias? tante. Em seu ca- //////// 30 100 derno, copie e com- //////// 3. 1 m3 de certa madeira custa R$ 2 000,00. Uma plete a tabela, calcu- 15 15 prancha dessa madeira, com dimensões a, b e c, 15 //////// 50 lando mentalmente: 30 //////// 50 custa P. Em seu caderno, copie e complete a tabela: ( problemas e exercícios complementares ) 283
  13. 13. Juros 12. Em meu colégio há 160 alunos de 8a série. Todos responderam a uma pesquisa em que deveriam 5. Qual é a taxa de juros simples mensal que faz um citar dois astros da música. Veja o resultado: Jor- capital de R$ 30 000,00 render R$ 3 600,00 em ge Benjor foi citado por 40 % dos alunos, Madonna um ano? por 35 %, Caetano Veloso por 25 %, Michael Jackson por 20 %, etc. 6. Um eletrodoméstico custa R$ 84,90 à vista. A a) Quantos alunos citaram Jorge Benjor? loja oferece outra opção de pagamento: pagar b) em 30 dias com um cheque pré-datado no valor de R$ 90,00. Nesse caso, que juro a loja estará cobrando? 7. Qual é o capital que produz o montante de R$ 22 320,00 a uma taxa de 4 % a.m. durante seis meses? 8. Dorinha quer comprar um aparelho de som que custa Você viu o que disse seu colega? Há algo er- R$ 322,00 à vista ou R$ 330,00 em duas parcelas rado na pesquisa? iguais de R$ 165,00, a primeira a ser paga no ato da compra e a segunda a ser paga 30 dias depois. c) O compositor Beethoven (1770-1827) foi ci- Embora tenha R$ 450,00 depositados na poupança, tado por 2,5 % dos alunos. Quantos são esses ela optou pelo parcelamento, porque a remuneração alunos? da poupança seria de 0,98 % naqueles 30 dias. Feita essa opção, Dorinha ganhou ou perdeu di- 13. Ao cobrar a energia elétrica fornecida aos consu- midores, as companhias de eletricidade acrescen- nheiro? Quanto? tam o imposto sobre a circulação de mercadorias. Em certos locais do país, o imposto corresponde Problemas variados a 25 % do total a pagar, o que não é 25 % do valor da energia fornecida, como seria de se es- 9. Comprei uma mercadoria no valor de R$ 558,00, perar. Veja por quê: que deverei pagar em três prestações iguais, sen- do a primeira delas no ato da compra. O frete de valor da energia + imposto = total a pagar x R$ 40,00 é cobrado à parte e deve ser pago à Como o imposto incide sobre o total a pagar, temos: vista no ato da compra. Qual é o valor de cada valor da energia + 25 % de x = x um dos três pagamentos que devo fazer? Nessas condições: 10. Copie e complete em seu caderno, calculando men- a) O valor da energia corresponde a que porcen- talmente: tagem do total a pagar? a) 10 % de 480 dá . b) O imposto corresponde a que porcentagem do 5 % de 480 dá . valor da energia? 15 % de 480 dá . Dica: considere x = 100. b) 25 % de 800 dá . 75 % de 800 dá . c) 22 em 50 é o mesmo que em 100. 22 correspondem a % de 50. d) 1 em 5 é o mesmo que em 100. 1 corresponde a % de 5. 11. Escreva na forma de porcentagem: 35 a) e) 0,10 100 355 b) f) 0,01 1 000 c) 17, 5 g) 1 100 d) 0,1 h) 1,15 284
  14. 14. Problemas e exercícios complementares capítulo 9 TRIGONOMETRIA Medindo o que não se alcança 6. Responda em seu caderno: a) Num triângulo retângulo em que um ângulo 1. Qual é a altura aproximada da torre? mede 5°, o cateto oposto a ele corresponde a qual porcentagem do cateto adjacente a esse ângulo? b) Qual é essa porcentagem quando o ângulo mede 45°? 35° c) E quando o ângulo mede 65°, qual é essa por- 1,7 m centagem? 18,3 m Razões trigonométricas 2. No triângulo retângulo ALI, a hipotenusa AL mede 7. Consulte as tabelas e encontre o valor aproxima- 10 cm e o cateto LI mede 5 cm. do da medida x. a) Calcule a medida do outro cateto, usando o a) teorema de Pitágoras. x b) Calcule tgÂ. 25° c) Qual é a medida de Â? 7 cm 3. Qual é a altura aproximada do mastro da bandeira? 10 cm 5,7 cm b) x 8. Na figura, vale a fórmula a ⋅ h = b ⋅ c, que você já 25° conhece. Vamos deduzi-la novamente usando ago- 1,6 m ra a trigonometria. Se quiser explorar mais o raciocínio dedutivo, pro- A ponha que se demonstre 35,5 m que h2 = mn ou, ainda, sen Bˆ 4. Num certo instante, um muro de 1,82 m de altura b ˆ que tgB = cos Bˆ . projeta uma sombra de 6,80 m de largura. c h n m B H C a 1,82 m Em seu caderno, faça o seguinte: ˆ • dê o valor de sen B no triângulo ABC; ê 6,80 ˆ • dê o valor de sen B no triângulo ABH; • a partir do que você obteve, tire a conclusão Qual é, nesse instante, a medida aproximada do pedida. ângulo ê de elevação do Sol? b = c 5. ˆ No triângulo retângulo REI, E = 90° , RE = 10 cm a b a e EI = 21,4 cm. a= a c ˆ a) Calcule tg R . c c ˆ b c= a c b) Qual é a medida aproximada do ângulo R ? c ˆ c) Qual é a medida aproximada de I ? b c= a ( problemas e exercícios complementares ) 285
  15. 15. 9. Nesta figura, são conhecidos dois lados do triân- a) Desenhe o polígono regular inscrito de 10 la- gulo e o ângulo formado por eles. dos. A b) Desenhe o polígono regular circunscrito de 5 lados. 9 cm 13. Um hexágono regular está inscrito numa circun- ferência com diâmetro de 18 cm. 30° B C a) Quanto mede o lado do hexágono? 12 cm b) Quanto mede cada uma das diagonais maio- a) Copie a figura em seu caderno e desenhe a res desse hexágono? altura perpendicular ao lado BC. No problema 14, o ob- b) Use razões trigonométricas e calcule a medi- 14. Em seu caderno, desenhe o triângulo eqüilátero jetivo é, mais uma vez, desenvolver métodos. da dessa altura. XIS, inscrito numa circunferência de centro O. Por isso, nesse caso, o Calcule diretamente a medida do lado do triân- aluno não deve apenas c) Calcule a área do triângulo. gulo, supondo que o raio da circunferência é de aplicar as fórmulas já 5 cm. Escrevemos “diretamente” para que você conhecidas. 10. Para vencer o desnível de 3,15 m, vai ser construí- não use resultados de problemas anteriores. da uma rampa com inclinação de 15°. Com que comprimento a rampa ficará? 15. Um quadrado está inscrito num círculo de raio r. Calcule a área do quadrado em função de r. 16. Um hexágono regular está circunscrito a um cír- culo de raio r. Calcule, em função de r: 3,15 m O 15° r 11. ˆ Num triângulo ABC, Â = 30°, B = 90° e AB = 6 cm. A B Calcule BC e AC. Para responder, use os valores exatos das razões trigonométricas. Dê as respostas a) o lado do triângulo eqüilátero OAB; após racionalizar os denominadores. b) a área do triângulo OAB; c) a área do hexágono. Polígonos inscritos e circunscritos 17. Invente um problema sobre polígonos inscritos 12. Em seu caderno, trace uma circunferência com em um círculo ou circunscritos a ele. Depois, re- raio de 5 cm. Divida-a em 10 partes iguais. solva-o. capítulo 10 FUNÇÕES Funções, suas tabelas e suas fórmulas 2. A primeira fila de um auditório tem 10 poltronas. Cada fila subseqüente tem duas poltronas a mais. 1. Um taxímetro foi aferido de acordo com esta fór- a) Quantas poltronas tem a décima fileira? mula: b) Se f representa o número da fileira e p é o y = 1,10 · x + 2,15 número de poltronas na fileira, p é função de f. Qual é a fórmula dessa função? preço em número de valor fixo da c) Se a última fileira tem 100 poltronas, quantas reais quilômetros bandeirada fileiras tem o auditório? rodados a) O preço da corrida é função de que grandeza? b) De acordo com a fórmula, uma corrida de 0 km não é gratuita. Por que não? c) Se uma corrida custar R$ 22,50, quantos qui- lômetros o táxi rodará? 286
  16. 16. Problemas e exercícios complementares 3. Este é um desafio! Observe a seqüência de figuras: 10. Um reservatório cilíndrico de al- tura a (em cm), com capacidade figura 2 máxima de 100 L, vai ser usado figura 1 pela primeira vez. Para enchê-lo, a abriu-se uma torneira que despe- x ja 10 L de água por minuto. 4 10 Qual dos gráficos seguintes expressa corretamen- te a variação da altura x da coluna de água em função do tempo t? figura 4 (I) x (cm) figura 3 a O 10 t (min) (II) x (cm) 18 28 a a) A figura 2 é formada por 10 palitos de fósfo- ro. Quantos palitos há na figura 5? O 10 t (min) b) Quantos palitos há na figura 10? (III) x (cm) c) Encontre a fórmula que dá o número P de pali- a tos de cada figura em função de seu número n. 4. Somente uma das fórmulas corresponde aos valo- res da tabela. Descubra qual delas. O 10 t (min) x y a) y = x3 – 3x 0 0 b) y = x2 – 3x 11. Um reservatório cônico de altura a (em cm), com capacidade má- 1 –2 c) y = –2x xima de 100 L, vai ser usado pela –1 2 primeira vez. Para enchê-lo, abriu- a d) y = x3 – 3x2 2 2 se uma torneira que despeja 10 L x –2 –2 de água por minuto. Funções e seus gráficos Qual dos gráficos seguintes expressa corretamente a variação da altura x da coluna de água em fun- 5. Esboce em seu caderno o gráfico da função dada pela ção do tempo t? fórmula y = 3x + 1, sendo x um número qualquer. x (cm) (I) a 6. Esboce em seu caderno o gráfico da função dada por y = x2 – 4x + 3, sendo x um número qualquer. 7. Quais são as coordenadas do ponto mais “baixo” O 10 t (min) atingido pela parábola que representa a função x (cm) (II) da questão anterior? a 8. O gráfico da função dada pela fórmula y = x2 – 8x é uma parábola. Determine as coordenadas dos pontos em que essa parábola corta o eixo hori- O 10 t (min) zontal. x (cm) (III) a Usando funções 9. Determine o valor máximo de y na função dada O 10 t (min) por y = –x2 + 6x. ( problemas e exercícios complementares ) 287
  17. 17. 12. Os recipientes cilíndricos A, B e C, que têm altura a e raios da base respectivamente iguais a r, 2r e 3r, estão vazios. As torneiras que os abastecem estão igualmente reguladas para despejar o mesmo número de litros de água por minuto. a a A B C Os gráficos mostram a variação da altura x da coluna de água em função do tempo t. Associe cada recipiente ao gráfico correspondente a ele: x (I) x (II) (III) x a a a O b t O 9b t O 4b t capítulo 11 CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS Simetrias 3. Veja como se constrói a imagem do triângulo ABC por uma simetria central de centro O. Repare que 1. Observe a figura e sua ficha: não é preciso traçar ângulos de 180o. C e1 e2 A Tem simetria axial (três eixos). Não tem simetria central. Tem simetria 120° rotacional. B e3 O Faça a ficha destas figuras em seu caderno: a) c) B' A' C' b) d) Com base no exemplo, construa a imagem do qua- drilátero ABCD pela simetria de centro O. As me- didas ficam por sua conta. B 2. Faça em seu caderno um desenho à mão livre e, depois, a ficha da figura, como no exercício ante- D rior: A a) retângulo c) losango O b) quadrado d) pentágono regular C 288
  18. 18. 4. Problemas e exercícios complementares Tendo metade da figura e seu eixo de simetria, 6. Este trabalho de arte óptica é 72° rotacional, ou obtém-se a outra metade traçando perpendicula- seja, tem simetria de rotação de 72°. Faça em res e medindo distâncias iguais. seu caderno um desenho desse tipo que seja 60° rotacional. e 7. Observe a barra decorativa: e Nesta barra há: simetria axial translação a) Crie uma barra decorativa com translação e Use esse processo para criar uma figura com um simetria axial. só eixo de simetria. b) Crie outra com translação e simetria central. 5. Tendo metade da figura e um centro de simetria, c) Agora um desafio: crie uma barra com trans- faz-se a outra metade marcando distâncias iguais. lação, simetria axial e simetria central. O símbolo seguinte, que identifica uma certa empresa, foi criado segundo esses métodos: Dá para construir? 8. Em seu caderno, desenhe: a) um quadrilátero ABCD, com AB = 35 mm, BC = 40 mm, CD = 32 mm e DA = 31 mm. b) outro quadrilátero, diferente do anterior, com as mesmas medidas para os lados. 9. Um triângulo está determinado quando os dados conhecidos permitem construir um único triân- gulo. Aqui, não estamos levando em considera- ção a posição do triângulo. Quais destes triângu- los estão determinados? a) AB = 7 cm, BC = 5 cm e CA = 6 cm. b) AB = 50 mm e BC = 65 mm. ˆ c) AB = 50 mm, B = 55° e BC = 65 mm. Crie um símbolo com simetria central para uma d) AB = 6,5 cm, BC = 3,8 cm e CA = 1,4 cm. empresa de transportes aéreos. ˆ e) B = 35°, BC = 6 cm e CA = 4 cm. ( problemas e exercícios complementares ) 289
  19. 19. 10. Em cada caso, responda sim se os elementos for- em que a peça esteja à direita e acima dos olhos necidos determinam a figura (sem levar em con- do observador. Desenhe também as arestas “es- sideração sua posição). Em caso contrário, res- condidas”. ponda não e apresente um argumento para justi- ficar sua resposta. a) Quadrado cujos lados medem 40 mm. b) Losango cujos lados medem 30 mm. c) Pentágono regular de lados iguais a 6 cm. d) Pentágono eqüilátero de lados iguais a 34 mm. e) Triângulo eqüilátero cujos lados medem 25 cm. f) Triângulo isósceles cuja base mede 5 cm. 14. Imagine uma pilha com nove caixas iguais, com a forma do bloco retangular. Desenhe em seu caderno: 11. Observe esta logomarca, construída a partir de a) uma perspectiva da pilha usando dois pontos um quadrado: de fuga; b) as três vistas simplificadas da pilha. 15. Observe a peça formada pela justaposição de um cubo com a metade de outro cubo: B A C D F G Quais medidas devem ser definidas para que essa E figura fique determinada? H Desenhando em 3D Classifique cada afirmação como verdadeira ou falsa: 12. Desenhe em seu caderno a perspectiva de um bloco a) O plano da face ABCD é perpendicular ao pla- retangular, usando apenas um ponto de fuga. no da face ADHE. Imagine o bloco acima dos olhos e à esquerda do observador. b) A reta BC é paralela à reta EH. c) O plano DCGH é perpendicular ao plano EFGH. 13. Nessa perspectiva, a peça está à esquerda e abaixo d) A reta AE é perpendicular à reta EF. dos olhos do observador. Faça outra perspectiva e) A reta AE é perpendicular à reta AD. capítulo 12 CÍRCULO E CILINDRO Perímetro e área do círculo 3. Faça o que se pede: a) Usando os instrumentos de desenho, cons- 1. O raio de um círculo mede 5 cm. Calcule o valor trua uma figura como esta, formada por um aproximado: quadrado e quatro semicírculos. Não vale usar a) de seu perímetro; papel quadriculado. b) de sua área. b) Calcule a área aproximada da figura. Conside- re π ≈ 3,14. 2. O diâmetro da Lua é de 3 476 km. Calcule o com- c) Construa uma figura criada por você, mas que primento aproximado do equador lunar. não tenha apenas linhas retas. 290

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