Este documento apresenta os conceitos fundamentais sobre equações do segundo grau, incluindo sua definição, classificação, fórmula de Bháskara para resolução, propriedades, relações entre coeficientes e raízes, resolução de equações fracionárias e literais, biquadradas e irracionais. Exemplos resolvidos ilustram cada tópico.

1. Equação do 2º grau
Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com
coeficientes numéricos a.b e c com .
Exemplos:
Equação a b c
x²+2x+1 1 2 1
5x-2x²-1 -2 5 -1
Classificação:
- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do
2º grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9=0 » x²=9 » x= » x=
2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0 » x=0,9
3º caso: b=c=0
2x²=0 » x=0
Resolução de equações do 2º grau:
A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos
agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com
a, b e c diferentes de zero.
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas
pela fórmula de Bháskara.
Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º
grau?
Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de
Bháskara:
Multiplicamos os dois membros por 4a:

2. 4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx=-4ac
Somamos b² aos dois membros:
4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
Fatoramos o lado esquedo e chamamos de (delta)
b²-4ac:
(2ax+b)²=
2ax+b=
2ax=-b
Logo:
ou
Fórmula de Bháskara:
Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:
1) 3x²-7x+2=0
a=3, b=-7 e c=2
= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25
Substituindo na fórmula:
=
e
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

3. 2) -x²+4x-4=0
a=-1, b=4 e c=-4
= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0
Sustituindo na fórmual de Bháskara:
» x=2
- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. (
)
3) 5x²-6x+5=0
a=5 b=-6 c=5
= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64
Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a
equação não possui nenhuma raiz real.
Logo: » vazio
Propriedades:
Duas raízes reais e diferentes
Duas raízes reais e iguais
Nenhuma raiz real
Relações entre coeficientes e raízes
Vamos provar as relações descritas acima:
Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são:

4. e
A soma das raízes será:
Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
O produto das raízes será:
Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.
Obtendo:
Substituindo por e :
Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:
x² - Sx + P = 0
Exemplos:
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:
a) x² - 4x + 3=0
[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:

5. b) 2x² - 6x -8 =0
Sendo a=2, b=-6 e c=-8
c) 4-x² = 0
Sendo a=-1, b=0 e c=4:
Resolução de equações fracionárias do 2º grau:
Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o
processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.
Exemplos resolvidos:
a) Onde , pois senão anularia o denominador
[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x
Então:
Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:
»
Aplicando a fórmula de Bháskara:
Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4}
b) e
[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)
Então:

6. Eliminando os denominadores:
» » »
* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o
denominador, logo a solução da equação será somente:
x=-1 » S={-1}
Resolução de equações literais do 2º grau:
Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.
Equação a b c
x² - (m+n)x + p = 0 1 -(m+n) p
Exemplo: Determine o valor da incógnita x.
1) x²-3ax+2a²=0
[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:
a=1, b=-3a, c=2a²
, Logo:
x = 2a e x = a » S={a,2a}
Resolução de equações biquadradas
Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão
elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:
onde
Exemplo resolvido:
1)
Fazendo x² = y , temos
Substituindo os valores na equação, temos:

7. y² - 5y + 4 = 0
Aplicando Bháskara:
Logo, y = 4 e y`= 1
Voltando a variável x:
Como y=x², temos:
x²=4 » e x²=1 »
Então a solução será » S={-2,-1,1,2}
ou simplesmente
Equação do 2º grau
1) Complete o quadro conforme o exemplo:
Coeficientes
Equação
a b c
6x²-3x+1=0 6 -3 1
-3x²=5/2+4x
y²=5y
6x²=0
2) Determine as raízes das seguintes equações:
a) x²-3x+2=0
b) 2y²-14y+12=0
c) -x²+7x-10=0
d) 5x²-x+7=0
e) y²-25=0
f) x²-1/4=0
g) 5x²-10x=0
h) 5+x²=9
i) 7x²-3x=4x+x²
j) z²-8z+12 = 0

8. 2) Determine o valor de k nas equaçoes, de modo que:
a) x² - 12x + k = 0 , tenha duas raízes reais e iguais
b) 2x² - 6x +3k = 0, não tenha raízes reais
c) x² + kx + 4 = 0, tenha raízes reais e iguais
d) kx² - 2(k+1)x + (k+5) = 0, tenha duas raízes reais e diferentes
3) Complete o quadro:
Lembre-se: Soma das raízes de uma equação do 2º grau = -b/a
Produto das raízes de uma equação do 2º grau = c/a
Equação Soma das raízes Produto das raízes
x² - 6x + 9 = 0 6 9
x² - 2x + 3 = 0
2x² + 5x - 8 = 0
x² + 5x -24=0 -5 24
5 -6
-6 -3
4) Dê o conjunto solução das seguintes equações fracionárias:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
5) Dê o conjunto solução das seguintes equações literais:
a) x² - (a+1) + x = 0
b) x² - (a+m) + am = 0
c) y² - by - 2b³ = 0
d) ax² - (a²+1) + a = 0

9. e) x² - 3rx + 2r² = 0
6) Dê o conjunto solução das seguintes equações biquadradas:
a)
b)
c)
d)
e)
7) Resolução de equações irracionais:
Primeiramente devemos eliminar o radical
Eleve ambos os membros ao quadrado para eliminar o radical
Exemplo:
x - 1 = x² - 6x + 9
x² - 7x +10 = 0
Aplicando a fórmula de Bháskara, encontramos as raízes x=5, x`=2
Verificacão: Substitua os valores das raízes em ambos os membros e verifiquem se
a igualdade é satisfeita
Para x=5
1º membro:
2º membro: x-3 = 5-3 = 2
Como o 1º membro é igual ao 2º membro, x=5 é solução da equação
Para x`=2
1º membro:

10. 2º membro: x-3 = 2-3 = -1
Como o 1º membro é diferente do 2º membro, x`=2 não é solução da equação
Portanto, V={5}
Nunca esqueçam de fazer a verificação...
a)
b)
c)
d)
e)
8) (UFSC) A soma das raízes da equação x²-28/6 = 7x/2 - x/2 é?
Resposta: 8) 11
Autor professor Antonio Carlos Carneiro Barroso