Determinantes

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Determinantes

  1. 1. Colégio Estadual Dinah Gonçalves Professor Antonio Carlos Barroso http://ensinodematemtica.blogspot.com Determinantes Salvador-Bahia
  2. 2. DETERMINANTES Definição : Determinante é um número associado a uma matriz quadrada de ordem n x n. Matriz quadrada de ordem 1 Se A é uma matriz quadrada de ordem 1, isto é A = ( a 11 ), o seu determinante será o próprio elemento a 11 . det A = a 11 = a 11 Exemplo.: A = ( 120 )  det A = 120 B = (– 29 )  det A = – 29
  3. 3. Matriz quadrada de ordem 2  det A = = a 11  a 22 – a 12  a 21  Produto dos elementos da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária. det A = = (–3)  (–5) – (2)  (1) ‏ det A = 15 – 2 = 13 det A = 13 A = a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 A = – 3 2 1 –5 – 3 2 1 –5
  4. 4. Matriz quadrada de ordem 3 Regra de Sarrus : Repete-se as duas primeiras linhas abaixo da terceira linha ou repete-se as duas primeiras colunas após a terceira coluna. Em seguida, calcula-se a soma do produto da diagonal principal com o produto das diagonais paralelas a ela (SDP). Faz-se o mesmo com a diagonal secundária e suas paralelas (SDS). Em seguida, faz-se a diferença desses valores obtidos com as diagonais. (det A = SDP – SDS)
  5. 5. det A = SDP – SDI a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 SDP = ( a 11  a 22  a 33 + a 12  a 23  a 31 + a 13  a 21  a 32 ) ‏ SDS = a 13  a 22  a 31 ) a 11  a 23  a 32 + (a 12  a 21  a 33 ‏ +
  6. 6. D = ( 3.4.-9 + 2.7.8+6.5.1) - ( 2.5.-9+3.7.1+6.4.8) 3 2 6 3 2 5 4 7 5 4 8 1 -9 8 1 3 2 6 5 4 7 8 1 -9 =(12.-9+14.8+30.1)-(10.-9+21.1+24.8) =(-108+112+30)-(-90+21+192) =(34)-(123) = 89 Exemplo
  7. 7. Propriedades dos determinantes 1. Um determinante será nulo quando possuir uma fila formada só por zeros ou duas filas paralelas iguais ou proporcionais det A = = (0)  (5) – (0)  (3) ‏ 0 – 0 = = 0 det A = – det A = 0  0 0 3 5 1 3 5 3 0 –5 1 3 5 det A = ( 0 + 45 – 15 ) ‏ ( 0 + 45 – 15 ) ‏
  8. 8. 2. Se trocarmos entre si a posição de duas filas paralelas, o determinante mudará o sinal. det A = – det A = –28  det A = – = – det A = 28  – 1 3 5 3 0 –5 2 1 2 det A = ( 0 + 15 – 30 ) ‏ ( 0 – 5 + 18 ) ‏ (– 15 ) ‏ ( 13 ) ‏ 2 1 2 3 0 –5 1 3 5 det A = ( 0 + 18 – 5 ) ‏ ( 0 – 30 + 15 ) ‏ ( 13 ) ‏ ( –15 ) ‏
  9. 9. 3. Se multiplicarmos umas das filas de uma matriz quadrada por um número k , o seu determinante ficará multiplicado por k . det A = = (10) – (12) = –2 det B = = (30) – (36) = –6 k = 3 det B = k  det A det B = 3  (–2) = –6 2 4 3 5 6 12 3 5
  10. 10. 4. Da propriedade 3, decorre que: det ( k  A n ) = k n  det A n .  3  A 2 = det ( 3  A 2 ) = = (90) – (108) = –18 det ( 3  A 2 ) = 3 2  det A 2 = 9  (–2) = –18 k = 3 A 2 = 2 4 3 5 6 12 9 15 6 12 9 15
  11. 11. 5. det A = det A T . det A = – det A = –28  det A = – det A T = – det A T = –28  det A T = – 1 3 5 3 0 –5 2 1 2 det A = ( 0 + 15 – 30 ) ‏ ( 0 – 5 + 18 ) ‏ (– 15 ) ‏ ( 13 ) ‏ 1 3 2 3 0 1 5 –5 2 det A T = ( 0 – 30 + 15 ) ‏ ( 0 – 5 + 18 ) ‏ (– 15 ) ‏ ( 13 ) ‏
  12. 12. 6. det ( A n  B n ) = det A  det B B 2 = ; = det ( A n  B n ) = 400 – 392 = 8 det A  det B = (–2)  (–4) = 8 A 2 = 2 4 3 5 3 10 1 2 A 2  B 2 = 2 4 3 5 3 10 1 2  10 28 14 40
  13. 13. 7. det I n = 1 det I 3 = 1  8. O determinante de matrizes triangulares e de matrizes diagonais se resume ao produto dos elementos da diagonal principal. det A = 5  (–2)  3 = –30 1 0 0 0 1 0 0 0 1 det I 3 = 5 3 2 0 –2 1 0 0 3 det A =
  14. 14. Matriz inversa Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Essa matriz possuirá inversa (A –1 ) se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. A –1  A = A  A –1 = I  det A  0. 3. Se A possuir inversa, essa será única. 1. Se A 2x2 = a b c d , então : A –1 = d –b – c a det A det A det A det A 2. det A –1 = 1 det A , det A  0
  15. 15. 01. (Fuvest – SP) Se a é uma matriz 2x2 iversível que satisfaz A 2 = 2A, então o determinante de A será: <ul><li>0. </li></ul><ul><li>1. </li></ul><ul><li>2. </li></ul><ul><li>3. </li></ul><ul><li>4. </li></ul>det A  det A = 2 2  det A det A = 4 det A 2 = det (2A) E
  16. 16. x x 1 2 x –x 1 x 1 P(x) = x x 1 2 x –x P(x) = x 2 + 2x – x 2 – x + x 3 – 2x P(x) = x 3 – x Grau 3 <ul><li>3. </li></ul><ul><li>2. </li></ul><ul><li>1. </li></ul><ul><li>0. </li></ul><ul><li>4. </li></ul>02. (Udesc) O grau do polinômio que expressa o determinante da matriz A = x x 1 2 x –x 1 x 1 A
  17. 17. 03. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s) . (01) Se K = (k ij ) é uma matriz quadrada de ordem 2 dada por k ij = 2 2i + j para i < j e k ij = i 2 + 1 para i > j, então k é uma matriz inversível. k 11 = 1 2 + 1 = 2 k 12 = 2 2(1) + 2 = 2 4 = 16 k 21 = 2 2 + 1 = 5 k 22 = 2 2 + 1 = 5 Det K = 10 – 80 = –70  0  é inversível (01) - correta K = k 11 k 12 k 21 k 22 K = 2 16 5 5
  18. 18. (02) Se A e B são matrizes tais que A  B é uma matriz nula, então A é uma matriz nula ou B é uma matriz nula. A  B = 0 não implica em A = 0 ou B = 0. (02) - incorreta (04) Sejam as matrizes M e P, respectivamente de tipos 5x7 e 7x5. Se R = MP, então a matriz R 2 tem 625 elementos. M 5x7  P 7x5 = R 5x5 (A matriz R possui 25 elementos) ‏ Logo, a matriz R 2 tem 25 elementos. c.e.p Ordem n (04) - incorreta
  19. 19. (08) Chamamos de “traço de L” e anotamos Tr(L) a soma do elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então Tr(L) = Tr(L T ). A transposta de uma matriz não altera sua diagonal principal. (08) - correta GABARITO QUESTÃO 03 : 01 + 08 = 09

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