Bq2009 Final

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Bq2009 Final

  1. 1. 5 Uma palavra aos alunos e professores 9 Uma palavra aos alunos e professores O Banco de Quest˜es (BQ) foi concebido para divulgar nas escolas da rede p´blica material o u de competi¸˜es de Matem´tica, nacionais ou internacionais. Por isso grande parte do conte´do co a u n˜o ´ original, s˜o quest˜es dessas competi¸˜es ou de prepara¸˜o para elas encontradas em a e a o co ca diversos sites e apostilas. Aproveitamos para agradecer a todos que mantˆm esses sites com e livre acesso pela grande contribui¸˜o que d˜o a tantos alunos e professores. ca a Como temos feito desde 2 005, n˜o nos preocupamos com uniformidade. A cada ano o a BQ apresenta formato, quantidade e n´ de dificuldade diferentes dos anos anteriores. A ıvel linguagem usada nas solu¸˜es ´ bastante informal mas sem comprometer o rigor matem´tico. co e a O BQ n˜o ´ um livro did´tico e por isso continuamos a produzi-lo de forma bastante artesanal. a e a Incentivamos alunos e professores a procurar solu¸˜es diferentes das aqui apresentadas, co com certeza elas existem e podem ser mais interessantes. Por solicita¸˜o de muitos alunos, retomamos esse ano a sess˜o Desafios aonde os problemas ca a requerem mais paciˆncia, mais tempo e mais aten¸˜o. Aproveitamos para informar que temos e ca agora no site da OBMEP (www.obmep.org.br ) a sess˜o “Problemas da 15na” com material a muito instigante e desafiador para aqueles que gostam de “quebrar a cabe¸a” com problemas c de Matem´tica. a Os problemas est˜o agrupados em trˆs n´ a e ıveis conforme ´ feito nas provas da OBMEP, mas e muitos s˜o interessantes para todos os alunos. a Sugest˜es quaisquer (por exemplo, de solu¸˜es diferentes) ou cr´ o co ıticas ser˜o bem recebidas a no email: contato@obmep.org.br Desejamos que esse Banco de Quest˜es proporcione a todos bons momentos de reflex˜o e o a descobertas. Dire¸˜o Acadˆmica da OBMEP ca e OBMEP 2009 i
  2. 2. 5 Uma palavra aos alunos e professores 9 Organizado por: • Suely Druck (UFF) • Maria Elasir Seabra Gomes (UFMG) Com a colabora¸˜o de: ca • Ana Catarina P. Hellmeister (USP/SP) • F´bio Brochero (UFMG) a • Francisco Dutenhefner (UFMG) Texto j´ revisado pela nova ortografia. a ii OBMEP 2009
  3. 3. Conte´do u Uma palavra aos alunos e professores i N´ 1 ıvel 1 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Lista 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Lista 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Lista 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Lista 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 N´ 2 ıvel 11 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Lista 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Lista 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Lista 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Lista 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 N´ 3 ıvel 21 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Lista 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Lista 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Lista 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 iii
  4. 4. 5 Uma palavra aos alunos e professores 9 Lista 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Desafios 32 Solu¸˜es do N´ 1 co ıvel 35 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Lista 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Lista 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Lista 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Lista 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Solu¸˜es do N´ 2 co ıvel 61 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Lista 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Lista 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Lista 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Lista 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Solu¸˜es do N´ 3 co ıvel 88 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Lista 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Lista 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Lista 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Lista 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Solu¸˜es dos Desafios co 120 iv OBMEP 2009
  5. 5. 5 Lista 1 N´ 1 ıvel 9 N´ 1 ıvel Lista 1 1. Encontro de amigos – Embora eu esteja certo de que meu rel´gio est´ adiantado 5 o a minutos, ele est´, na realidade, com 10 minutos de atraso. Por outro lado, o rel´gio do a o meu amigo est´ realmente 5 minutos adiantado, embora ele pense que est´ correto. N´s a a o marcamos um encontro `s 10 horas e planejamos chegar pontualmente. Quem chegar´ a a em primeiro lugar? Depois de quanto tempo chegar´ o outro? a 2. Trabalho comunit´rio – Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as f´rias, 60% a e dos alunos dessa classe foram prestar trabalho comunit´rio. No m´ a ınimo, quantas alunas participaram desse trabalho? (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8 ´ 3. Area de trap´zios – Unindo quatro trap´zios e e iguais de bases 30 cm e 50 cm e lados n˜o pa- a ralelos iguais, como o da figura, podemos formar um quadrado de ´rea 2 500 cm2 , com um “buraco” a quadrado no meio. Qual ´ a ´rea de cada trap´zio, e a e em cm2 ? (A) 200 (B) 250 (C) 300 (D) 350 (E) 400 4. Adivinha¸˜o – Pensei em 2 n´meros de dois algarismos, que n˜o possuem algarismos ca u a em comum, sendo um o dobro do outro. Al´m disso, os algarismos do menor n´mero e u s˜o a soma e a diferen¸a dos algarismos do maior n´mero. Quais s˜o os n´meros? a c u a u 5. 18 n´meros consecutivos – Escreva 18 n´meros consecutivos de 3 algarismos e veri- u u fique que um deles ´ divis´ pela soma de seus algarismos. e ıvel Isso ´ sempre verdade. Ou seja: se vocˆ escrever 18 n´meros consecutivos de 3 algaris- e e u mos, ent˜o um deles ´ divis´ pela soma de seus algarismos. Mostre este fato. a e ıvel OBMEP 2009 1
  6. 6. 5 N´ 1 ıvel Lista 2 9 Lista 2 1. Completar uma tabela – Descubra a regra utilizada para as casas j´ preenchidas e a complete a tabela. Qual ´ o valor de A? e 0 1 2 3 4 1 2 5 10 2 3 4 A 2. Procurando m´ltiplos de 9 – Consideremos um conjunto formado por 10 n´meros u u naturais diferentes. Se calculamos todas as diferen¸as entre esses n´meros, pelo menos c u uma dessas diferen¸as ´ um m´ltiplo de 9? c e u 3. Correndo numa pra¸a – Um atleta costuma correr c 15, 5 km ao redor de uma pra¸a retangular de dimens˜es c o 900 m × 600 m. Ele inicia a corrida sempre do ponto P situado a 550 m de um dos v´rtices correndo no sentido e hor´rio, como mostra a figura. Em que ponto da pra¸a a c ele para? 4. Ovos para um bolo – Uma doceira foi ao mercado comprar ovos para fazer 43 bolos, todos com a mesma receita, que gasta menos de 9 ovos. O vendedor repara que se tentar embrulhar os ovos que a doceira comprou em grupos de 2 ou de 3 ou de 4 ou de 5 ou de 6 ovos, sempre sobra 1 ovo. Quantos ovos ela usa em cada bolo? Qual o menor n´mero de ovos que a doceira vai gastar para fazer os 43 bolos? u 5. C´lculos H e V – Vocˆ consegue colocar os n´meros de 1 a 8 a e u m÷ m m = dentro dos c´ ırculos, sem repeti-los, de modo que os c´lculos na a − × horizontal e na vertical sejam corretos? m m .................................... .................................... Dica: Quais as possibilidades para a multiplica¸˜o? Quais os ca m+ m m = poss´ıveis lugares para o n´mero 1? u 2 OBMEP 2009
  7. 7. 5 Lista 3 N´ 1 ıvel 9 Lista 3 1. Cortando uma cartolina – Uma folha retangular de cartolina foi cortada ao longo de sua diagonal. Num dos peda¸os obtidos, foram feitos 2 cortes paralelos aos 2 lados c menores e pelos pontos m´dios desses lados. Ao final sobrou um retˆngulo de per´ e a ımetro 129 cm. O desenho abaixo indica a sequˆncia de cortes. e ...................................................................................................................... . . . . ........ . . . . . . . ........ . . . . . . . . ........ . . . . . . . . ........ . . . . . . . ........ . . . ............................................................ . . . . . . . . . . ............ . . . . . . . . . . . . . . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . - .... .... ........ . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ . . . . ............................................................ . . . . . . . . ........ ... . . . . . . . . ...................................................................................................................... . . .. ............. ................................................................................................................... . . . Qual era o per´ ımetro da folha antes do corte? 2. A soma errada – A soma ao lado est´ incorreta. Para corrigi-la basta a 742586 substituir um certo algarismo em todos os lugares que ele aparece na conta +829430 por um outro algarismo. Quais s˜o esses dois algarismos? a 1212016 3. N´mero de 5 algarismos – Os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 foram usados, cada um uma u unica vez, para escrever um n´mero de 5 algarismos a b c d e, tal que: a b c ´ divis´ ´ u e ıvel por 4, b c d por 5, e c d e por 3. Encontre esse n´mero. u 4. Tabela misteriosa – Complete a tabela 6 × 6 de modo 32 40 que em cada linha e cada coluna apare¸am apenas c 49 m´ltiplos de um dos n´meros: u u 22 15 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 . 24 42 Vocˆ pode repetir apenas um n´mero na tabela. e u 5. Habitantes e esporte – Numa cidade com quase 30 mil habitantes, dois nonos dos homens e dois quinze avos das mulheres pratica esporte somente nos finais de semana, e o n´mero de habitantes que n˜o pratica esporte ´ o qu´ u a e ıntuplo dos que praticam esporte regularmente. Com esses dados, complete a tabela. N˜o praticam esporte a Praticam esporte somente Praticam esporte Popula¸˜o ca nos finais de semana regularmente fem. masc. fem. masc. fem. masc. total 8 563 8 322 1 252 OBMEP 2009 3
  8. 8. 5 N´ 1 ıvel Lista 4 9 Lista 4 PSfrag replacements 1. Bot˜es luminosos – No mecanismo luminoso da figura, o 1 1 cada um dos oito bot˜es pode acender as cores verde ou o 2 8 2 azul. O mecanismo funciona do seguinte modo: ao ser 3 ligado, todos os bot˜es acendem a luz azul, e se aperta- o 4 3 mos um bot˜o, esse bot˜o e seus vizinhos trocam de cor. a a 7 5 Se ligarmos o mecanismo e apertarmos sucessivamente os 6 bot˜es 1, 3 e 5, qual ser´ o n´mero de luzes verdes que o a u 6 4 7 estar˜o acesas no final? a 5 8 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 2. Qual ´ o n´mero? – Um n´mero de 6 algarismos come¸a por 1. Se deslocamos esse e u u c algarismo 1 da primeira posi¸˜o para a ultima ` direita, obtemos um novo n´mero de 6 ca ´ a u algarismos que ´ o triplo do n´mero de partida. Qual ´ esse n´mero? e u e u 3. Jardim variado – Um jardim retangular de 120 m por 80 m foi dividido em 6 regi˜es o como na figura, onde N, M e P s˜o pontos m´dios dos lados, e R divide o comprimento a e na raz˜o 1/3. Em cada regi˜o ser´ plantado um dos seguintes tipos de flor: rosa, a a a margarida, cravo, bem-me-quer, violeta e brom´lia, cujos pre¸os, por m2 est˜o indicados e c a na tabela. Quais as poss´ ıveis escolhas das flores em cada regi˜o, de modo a gastar o a m´ınimo poss´ ıvel? Tipo Pre¸o por m2 c rosa 3,50 margarida 1,20 cravo 2,20 bem-me-quer 0,80 violeta 1,70 brom´lia e 3,00 4. O algarismo 3 – Luis escreveu a sequˆncia de n´meros naturais a partir de 1: e u 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, · · · . Quando ele escreveu o algarismo 3 pela 25a vez? 5. Soma de potˆncias – O n´mero 3444 + 4333 ´ divis´ por 5? e u e ıvel 4 OBMEP 2009
  9. 9. 5 Lista 5 N´ 1 ıvel 9 Lista 5 1. Telefonemas – Jo˜o mora em Salvador e seus pais em Recife. Para matar a saudade, a ele telefona para seus pais a cada trˆs dias. O primeiro telefonema foi feito no domingo, e o segundo telefonema na 4a feira, o terceiro telefonema no s´bado, e assim por diante. a Em qual dia da semana Jo˜o telefonou para seus pais pela cent´sima vez? a e 2. O maior produto – Com os algarismos de 1 a 5 e um sinal X 1 2 de multiplica¸˜o × Clara forma o produto de 2 n´meros, com ca u o sinal × entre eles. Como Clara deve colocar os cart˜es para o 3 4 5 obter o maior produto poss´ıvel? P 3. O caminho da Joaninha – Dona Joaninha quer atraves- sar um p´tio com azulejos quadrados numerados como a mostra a figura. Ela vai partir do ponto P e quer chegar ao ponto C andando somente sobre os lados dos azule- jos. Dona Joaninha n˜o quer ter n´meros primos ` sua a u a direita ao longo de todo o percurso. Qual ´ o menor e percurso que ela pode fazer? C ................................ ........ ..... ..... 4. O lugar dos amigos – Sete amigos tra¸aram um triˆngulo, um c a .. . .... . . . ... ................................................... ... .. .. . . . quadrado e um c´ ırculo. Cada um marcou seu lugar com um n´mero: u .. . . . 1 . . . . ... . . . . .... ..... 2 . . . . . . . . . . . . .. .. ..... . ... .... . . . .... .. . . . . 7 . . . . . . ... .... ...... . . . . . . 3 ........ . . . . . . . . . 4 ..... ... . . . . .......... . .......... . . .. ................... 6 ..... ...... .... . . . . . . . Ana: “Eu n˜o falarei nada.” a .... . .... 5 . . .... . . .................................................... .... ............................................................................ .. Bento: “Eu estou dentro de uma unica figura.” ´ Celina: “Eu estou dentro das trˆs figuras.” e Diana: “Eu estou dentro do triˆngulo mas n˜o do quadrado.” a a Elisa: “Eu estou dentro do triˆngulo e do c´ a ırculo.” F´bio: a “Eu n˜o estou dentro de um pol´ a ıgono.” Guilherme: “Eu estou dentro do c´ırculo.” Encontre o lugar de cada um. 5. Quadrado perfeito? – Cada um dos cinco n´meros abaixo tem 100 algarismos, e ´ u e formado pela repeti¸˜o de um ou dois algarismos: ca N1 = 333333 . . . 3 N2 = 666666 . . . 6 N3 = 151515 . . . 15 N4 = 212121 . . . 21 N5 = 272727 . . . 27 Algum destes n´meros ´ um quadrado perfeito? u e OBMEP 2009 5
  10. 10. 5 N´ 1 ıvel Lista 6 9 Lista 6 1. Preenchendo quadradinhos – Complete os quadradinhos com os n´meros 1, 2, 3, 5, 6. u + − × ÷ = 4 2. Os 3 n´meros – Sofia brinca de escrever todos os n´meros de 4 algarismos diferentes u u que se pode escrever com os algarismos 1, 2, 4 e 7. Ela soma 3 desses n´meros – todos u diferentes – e obt´m 13 983. Quais s˜o esses 3 n´meros? e a u 3. Preencher uma tabela – Jandira deve preencher uma tabela 4 × 4 que j´ vem com duas casas preenchidas com os n´meros a u 1 e 2 - veja ao lado. Duas casas s˜o consideradas vizinhas se a 1 2 tˆm um v´rtice ou um lado em comum. e e As regras que ela tem que obedecer s˜o: a • uma casa s´ pode ser preenchida se alguma de suas casas vizinhas j´ cont´m um o a e n´mero; u • ao preencher uma casa, deve-se colocar a soma de todos os n´meros que j´ constam u a em suas casas vizinhas. Qual ´ o maior n´mero que ´ poss´ escrever na tabela? e u e ıvel 4. Olimp´ ıada de Pequim – Na Olimp´ ıada de Pequim sentaram-se, em uma mesa quadrada, as mulheres, Maria e Tˆnia, e os homens, Juan e David, todos atletas. Cada um deles a pratica um esporte diferente: nata¸˜o, vˆlei, gin´stica e atletismo. Eles estavam sentados ca o a da seguinte maneira: (a) Quem pratica a nata¸˜o estava ` esquerda de Maria. ca a (b) Quem pratica gin´stica estava em frente a Juan. a (c) Tˆnia e David sentaram-se lado a lado. a (d) Uma mulher sentou-se ao lado de quem pratica volei. Qual dos atletas pratica atletismo? 5. Culturas diferentes – Jorge, que mora em Recife, se corresponde com seu amigo inglˆs e Ralph que mora na Inglaterra. Os dois se compreendem muito bem nas duas l´ ınguas, mas tˆm um problema com as datas: a data 08/10 no Brasil significa 8 de outubro, e na e Inglaterra 10 de agosto. Por causa disso, os dois combinaram n˜o se escrever nos dias a em que a data for amb´ ıgua. Eles preferem datas como 25/03 que s´ pode significar 25 o de mar¸o. c (a) Em quais das datas a seguir Jorge e Ralph n˜o podem se escrever? a (i) 3 de dezembro (ii) 18 de agosto (iii) 5 de maio (b) Quando ocorre o maior per´ ıodo em que os dois amigos n˜o podem se escrever? a 6 OBMEP 2009
  11. 11. 5 Lista 7 N´ 1 ıvel 9 Lista 7 1. Uma liquida¸˜o – Na liquida¸˜o da loja SUPER-SUPER todos os produtos est˜o 50% ca ca a mais baratos, e aos s´bados existe ainda um desconto adicional de 20%. Carla com- a prou uma cal¸a antes da liquida¸˜o, e agora ela se lamenta: Nesse s´bado eu teria c ca a economizado R$ 50,40 na cal¸a. Qual era o pre¸o da cal¸a antes da liquida¸˜o? c c c ca 2. N´mero com muitos zeros – Se a ´ o n´mero 0, 000 . . . 000 1, ent˜o qual das express˜es u e u a o 2009 zeros a seguir representa o maior n´mero? u (A) 3+a (B) 3−a (C) 3a (D) 3/a (E) a/3 3. Corrida das tartarugas – Cinco tartarugas apostaram uma corrida em linha reta e na chegada a situa¸˜o foi a seguinte: Sininha est´ 10 m atr´s de Olguinha e 25 m ` frente ca a a a de Rosinha que est´ 5 m atr´s de Elzinha que est´ 25 m atr´s de Pulinha. Qual foi a a a a a ordem de chegada? 4. Que mem´ria... – Esquecinaldo tem p´ssima mem´ria para guardar n´meros, mas o e o u o ´tima para lembrar sequˆncias de opera¸˜es. Por isso, para lembrar do seu c´digo e co o banc´rio de 5 algarismos, ele consegue se lembrar que nenhum dos algarismos ´ zero, a e os dois primeiros algarismos formam uma potˆncia de 5, os dois ultimos formam uma e ´ potˆncia de 2, o do meio ´ um m´ltiplo de 3 e a soma de todos os algarismos ´ um e e u e n´mero ´ u ımpar. Agora ele n˜o precisa mais decorar o n´mero porque ele sabe que ´ o a u e maior n´mero que satisfaz essas condi¸˜es e que n˜o tem algarismos repetidos. Qual ´ u co a e esse c´digo? o 5. Uma fra¸˜o irredut´ ca ıvel – Encontre uma fra¸˜o irredut´ tal que o produto de seu ca ıvel numerador pelo denominador seja 2 × 3 × 4 × 5 × . . . × 10. Quantas dessas fra¸˜es co irredut´ ıveis existem? OBMEP 2009 7
  12. 12. 5 N´ 1 ıvel Lista 8 9 Lista 8 1. Transformar em decimal – Escreva o resultado das seguintes express˜es na forma o decimal: 2 5 5 2 (a) 7× + 16 × (b) 5− 2÷ (c) 1+ 3 3 12 3 1+ 1+4 2. Uma sequˆncia especial – Escrevendo sucessivamente os n´meros naturais, obtemos e u a sequˆncia: e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 . . . Qual algarismo est´ na 2 009a posi¸˜o dessa sequˆncia? a ca e 3. Cortar um retˆngulo – Como cortar um retˆngulo de 13 cm por 7 cm em 13 retˆngulos a a a diferentes? 4. Medida de ˆngulo – Na figura, AOD e B OY s˜o ˆngulos retos e a medida de DOY a a a est´ entre 40◦ e 50◦ . Al´m disso, os pontos C e Y est˜o sobre a reta r, enquanto a e a D e E est˜o sobre a reta s. Os poss´ a ıveis valores para a medida de AOC variam de: (A) 30◦ a 40◦ (B) 40◦ a 50◦ (C) 50◦ a 60◦ (D) 40◦ a 60◦ (E) n˜o podem ser determinados a √ 5. Per´ımetros e ´reas – Um quadrado tem 3 √ 3 cm de lado, e as dimens˜es de um a √ √ + o ımetros, s˜o 72 + 3 6 e 2. Qual dos dois tem maior ´rea? E retˆngulo, em cent´ a a a maior per´ ımetro? 6. C´lculo de ˆngulo – Encontre B AD, sabendo a a que DAC = 39◦ , AB = AC e AD = BD. 8 OBMEP 2009
  13. 13. 5 Lista 9 N´ 1 ıvel 9 Lista 9 1. O caminho da formiga – Uma formiga sai de um ponto A, anda 7 cm para a esquerda, 5 cm para cima, 3 cm para a direita, 2 cm para baixo, 9 cm para a direita, 2 cm para baixo, 1 cm para a esquerda e 1 cm para baixo, chegando no ponto B. Qual ´ a distˆncia e a d entre A e B? (A) 0 cm (B) 1 cm (C) 4 cm (D) 5 cm (E) 7 cm 2. Menino mentiroso – Jo˜ozinho mente nas ter¸as-feiras, quintas-feiras e s´bados e o a c a resto dos dias fala a verdade. Um dia Pedrinho encontra com Jo˜ozinho e tˆm o seguinte a e di´logo: a • Pedrinho pergunta: Que dia ´ hoje? e • Jo˜ozinho responde: S´bado. a a • Pedrinho pergunta: E que dia ser´ amanh˜? a a • Jo˜ozinho responde: Quarta-feira. a Que dia da semana o Pedrinho encontrou com o Jo˜ozinho? a 3. Encontre os 4 n´meros – Encontre quatro n´meros distintos de 3 algarismos, tais que u u a soma de trˆs quaisquer deles ´ divis´ pelo quarto n´mero. e e ıvel u 4. Colando 6 triˆngulos – Construa 6 triˆngulos a a equil´teros, o primeiro com lado de comprimento 1 cm e a os triˆngulos seguintes com lado igual a metade do lado a do triˆngulo anterior, como indicado na figura ao lado. a Qual ´ o per´ e ımetro desta figura? 5. Os livros da Elisa – Elisa tem 24 livros de ciˆncias e outros de matem´tica e litera- e a 1 tura. Se Elisa tivesse um livro a mais de matem´tica, ent˜o de seus livros seria de a a 9 matem´tica e um quarto de literatura. Se Elisa tem menos que 100 livros, quantos livros a de matem´tica ela possui? a OBMEP 2009 9
  14. 14. 5 N´ 1 ıvel Lista 10 9 Lista 10 1. Divis˜o por 9 – a (a) Listemos os primeiros 20 092 009 n´meros naturais. Em seguida, substitu´ u ımos, sucessivamente, cada n´mero pela soma dos seus algarismos, at´ obtermos uma u e lista de n´meros com apenas um algarismo. A lista tem mais algarismos 4 ou 5? u Quantos 9 tem a lista? (b) Aplicando o mesmo processo ao n´mero 32 009 , isto ´, substituindo o n´mero pela u e u soma dos seus algarismos, qual ´ o n´mero de apenas um algarismo obtido? e u (c) E para o n´mero 172 009 ? u 2. Uma brincadeira na sala de aula – A professora Raquel inventou a seguinte brincadeira: escreva um n´mero no quadro, se ele for ´ u ımpar acrescente 3 unidades ao n´mero, e se u ele for par divida o n´mero por 2. u Esta opera¸˜o pode ser feita diversas vezes. A professora est´ interessada em obter no ca a final o n´mero 1 e perguntou para a classe: Como obter o n´mero 1 ap´s 3 opera¸˜es? u u o co E ap´s 4 opera¸˜es? E ap´s 5 opera¸˜es? o co o co 3. Calcule a idade – Laura e sua av´ Ana acabaram de descobrir que, no ano passado, o suas idades eram divis´ ıveis por 8 e, no pr´ximo ano, ser˜o divis´ o a ıveis por 7. Vov´ Ana o ainda n˜o ´ centen´ria. Qual ´ a idade de Laura? a e a e 4. Divis˜es e restos – O dobro de um n´mero dividido por 5 deixa resto 1. Qual o resto o u da divis˜o desse n´mero por 5? a u 5. Preenchendo o c´ ırculo – Cada um dos sinais , , , e representa um n´mero u de 1 algarismo. Descubra quem s˜o eles e complete o n´mero que falta no c´ a u ırculo em branco. × × / × + 47 − − 423 − − − 282 − − −→ − −→ −→ − − → 1448 −− 10 OBMEP 2009

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