Maths Holy Grail will not bring disaster to the Internet

Em como fiz batota
Os primos: de Erasthotenes a Gauss
Riemann, o aluno de Gauss

O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre
a a a
para a Internet

Paula Cristina Valen¸a
c

14 de Mar¸o de 2007
c

c O Santo Graal da Matem´tica nõ trar´ o desastre para a Inter
a a a

Em como ﬁz batota

Em como ﬁz batota

mas o π ´ transcendente. . .
e

a a a

Em como ﬁz batota

Em como ﬁz batota

e
π? probabilidade de dois n´meros aleat´rios serem co-primos:
u o
6/π 2 . . .

a a a

Em como ﬁz batota

Em como ﬁz batota

e
u o
6/π 2 . . .
π? probabilidade de um n´mero ser “square-free”: 6/π 2 . . .
u

a a a

Em como fiz batota

Em como fiz batota

e
u o
6/π 2 . . .
π? probabilidade de um n´mero ser “square-free”: 6/π 2 . . .
u
ou podia falar da hip´tese de Riemann e da distribui¸õ dos
o ca
n´meros primos. A fun¸õ chama-se π(x). . .
u ca

a a a

Em como ﬁz batota

Os primos: de Eratosthenes a Gauss
Os primos, a tabela peri´dica
o

Primos. . . ? sim, n´meros divisiv´is s´ por 1 e eles pr´prios.
u e o o
Ok, e depois?
Theorem
Teorema Fundamental da Aritm´tica Todo o n´mero inteiro
e u
positivo pode ser escrito de uma forma unica como o produto de
´
primos.

Ah, alicerces!

a a a

Em como ﬁz batota

O “corte” de Eratosthenes

a a a

Em como ﬁz batota

A f´rmula m´gica
o a

h´ padr˜es?
a o

a a a

Em como ﬁz batota

A f´rmula m´gica
o a

h´ padr˜es?
a o
h´ alguma f´rmula m´gica que me dˆ todos os primos?
a o a e

a a a

Em como ﬁz batota

A f´rmula m´gica
o a

h´ padr˜es?
a o
h´ alguma f´rmula m´gica que me dˆ todos os primos?
a o a e
n
. . . e s´ alguns? Eu ouvi falar dos primos de Fermat (22 + 1)
o
e de Mersenne. . .

a a a

Em como ﬁz batota

Mudando de estrat´gia
e

Gauss e as suas tabelas de logaritmos e primos

a a a

Em como ﬁz batota

e

e se eu contar o n´mero de primos at´ x?
u e

a a a

Em como ﬁz batota

e

u e
vou chamar “o n´mero de primos at´ x” de π(x)!
u e

a a a

Em como ﬁz batota

e

u e
u e
x
...∼ log x ?

a a a

Em como ﬁz batota

e

u e
u e
x
...∼ log x ?
π(x)
x/ log x →1!

a a a

Em como ﬁz batota

e

u e
u e
x
...∼ log x ?
π(x)
x/ log x →1!
. . . mas o erro ainda ´ grande. . .
e

a a a

Em como ﬁz batota

e

u e
u e
x
...∼ log x ?
π(x)
x/ log x →1!
. . . mas o erro ainda ´ grande. . .
e
x dt
. . . ∼ Li(x) = 2 log t ?

a a a

Em como ﬁz batota

testemos. . .

a a a

Em como ﬁz batota

A misteriosa fun¸˜o Zeta de Riemann. . .
ca

∞
1
ζ(s) = , Re(s) > 1 (1)
ns
n=1

a a a

Em como ﬁz batota

ca

∞
1
ζ(s) = , Re(s) > 1 (1)
ns
n=1

1
ζ(1) = n - s´ries harmonianas, → ∞
e

a a a

Em como ﬁz batota

ca

∞
1
ζ(s) = , Re(s) > 1 (1)
ns
n=1

1
ζ(1) = n - s´ries
e harmonianas, → ∞
1
ζ(2) = n2
- s´rie
e de Basel , converge. . . para π 2 /6 (disse o
Euler!)

a a a

Em como ﬁz batota

ca

∞
1
ζ(s) = , Re(s) > 1 (1)
ns
n=1

1
ζ(1) = n - s´ries
1
ζ(2) = n2
- s´rie
Euler!)
ζ(s) converge!

a a a

Em como ﬁz batota

ca

∞
1
ζ(s) = , Re(s) > 1 (1)
ns
n=1

1
ζ(1) = n - s´ries
1
ζ(2) = n2
- s´rie
Euler!)
ζ(s) converge!
1
. . . e ´ igual a
e p (1−p −s )

a a a

Em como ﬁz batota

ca

∞
1
ζ(s) = , Re(s) > 1 (1)
ns
n=1

1
ζ(1) = n - s´ries
1
ζ(2) = n2
- s´rie
Euler!)
ζ(s) converge!
1
. . . e ´ igual a
e p (1−p −s )
. . . e depois?

a a a

Em como ﬁz batota

Olha o π !

Probabilidade de dois n´meros aleat´rios serem co-primos?
u o
1/ζ(2)

a a a

Em como ﬁz batota

Olha o π !

u o
1/ζ(2)
Probabilidade de um n´mero aleat´rio ser square-free? 1/ζ(2)
u o

a a a

Em como ﬁz batota

Olha o π !

u o
1/ζ(2)
Probabilidade de um n´mero aleat´rio ser square-free? 1/ζ(2)
u o
. . . mas que tem isto a ver com o outro π, o π(x)?

a a a

Em como fiz batota

Riemann e as suas abstraç˜es
co

. . . se o gr´fico diz uma coisa, e a equa¸õ diz outra, em quem
a ca
acreditar?

a a a

Em como fiz batota

co

extender a defini¸õ para Re(s) < 1
ca

a a a

Em como ﬁz batota

co

ca

ζ(s) = 2s π s−1 Γ(1 − s)ζ(1 − s)sin(πs/2) (2)

a a a

Em como ﬁz batota

co

ca

ζ(s) = 2s π s−1 Γ(1 − s)ζ(1 − s)sin(πs/2) (2)
zeros triviais quando sin(πs/2) = 0: −2, −4, −6, . . .

a a a

Em como ﬁz batota

co

ca

ζ(s) = 2s π s−1 Γ(1 − s)ζ(1 − s)sin(πs/2) (2)
Re(s) < 0? simples!

a a a

Em como fiz batota

co

ca

ζ(s) = 2s π s−1 Γ(1 − s)ζ(1 − s)sin(πs/2) (2)
Re(s) < 0? simples!
0 ≤ Re(s) ≤ 1? a tira cr´
ıtica. . . onde todos os zeros nõ
a
triviais estõ
a

a a a

Em como fiz batota

co

ca

ζ(s) = 2s π s−1 Γ(1 − s)ζ(1 − s)sin(πs/2) (2)
Re(s) < 0? simples!
0 ≤ Re(s) ≤ 1? a tira cr´
ıtica. . . onde todos os zeros nõ
a
triviais estõ
a
Desafio para a audiˆncia: prove que todos os zeros tem
e
Re(s) = 1/2, isto ´, sõ da forma s = 1/2 + it, para um t
e a
qualquer. . .

a a a

Em como ﬁz batota

Imagens talvez ajudem. . .

a a a

Em como ﬁz batota

E depois?!

Riemann mostra que h´ uma express˜o que relaciona π(x) e
a a
ζ(s) precisamente!

a a a

Em como ﬁz batota

E depois?!

a a
ζ(s) precisamente!
da´ deﬁniu 2 fun¸˜es, R(x) e Rω (x). . .
ı, co

a a a

Em como ﬁz batota

E depois?!

a a
ζ(s) precisamente!
ı, co
R(x) ´ parecida com Li(x). . .
e

a a a

Em como ﬁz batota

E depois?!

a a
ζ(s) precisamente!
ı, co
R(x) ´ parecida com Li(x). . .
e
Rω (x) ´ o erro, calculado com base nos zeros ω de ζ(s)
e

a a a

Em como ﬁz batota

uma melhor aproxima¸˜o do erro
ca

sem a hip´tese de Riemann?
o
∼ O(x exp(−A log(x)3/5 /(log log(x)1/5 )))

a a a

Em como ﬁz batota

uma melhor aproxima¸˜o do erro
ca

sem a hip´tese de Riemann?
o
∼ O(x exp(−A log(x)3/5 /(log log(x)1/5 )))
√
com a hip´tese de Riemann? ≤ C x log x
o

a a a

Em como ﬁz batota

Mas falemos de coisas pr´ticas
a

RSA e a diﬁculdade de factorizar n = pq, p, q primos de 512
bits. . .

a a a

Em como ﬁz batota

a

bits. . .
testar se um n´mero ´ primo?
u e

a a a

Em como ﬁz batota

a

bits. . .
u e
a hip´tese generalisada. . . a diferen¸a entre procurar ao calha
o c
e procurar por ordem. . . um n´mero gerador
u

a a a

Em como ﬁz batota

a

bits. . .
u e
a hip´tese generalisada. . . a diferen¸a entre procurar ao calha
o c
e procurar por ordem. . . um n´mero gerador
u
matrizes aleat´rias e o GUE. . . mas n˜o me perguntem. . .
o a

a a a

Em como ﬁz batota

Perguntas

E uma boa noite de sono. . .

a a a

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