Principales leyes de lógica

1. PRINCIPALES LEYES LÓGICAS
Para la simplificación de fórmulas del cálculo proposicional, son de suma utilidad las equivalencias o
leyes lógicas. Su demostración se reduce a la confección de las correspondientes tablas de verdad (el
resultado final de las mismas, siempre muestra una tautología).
En la elaboración de las siguientes leyes, se ha supuesto que p, q y r son proposiciones que pueden
asumir cualquier valor de verdad; mientras que V es una proposición verdadera y F es una proposición falsa.
1. Involución o doble negación: ∼( ∼ p ) ⇔ p
2. Idempotencia:
• De la conjunción: p ∧ p ⇔ p
• De la disyunción: p ∨ p ⇔ p
3. Elemento neutro:
• De la conjunción: p ∧ V ⇔ p
• De la disyunción: p ∨ F⇔ p
4. Condición de tautología: p ∨ V ⇔ V
5. Condición de antitautología: p ∧ F ⇔ F
6. Negación de tautología: ∼V ⇔ F
7. Negación de antitautología: ∼F ⇔ V
8. Condiciones de negación:
• De la conjunción: ( p ∧ ∼ p ) ⇔ F
• De la disyunción: ( p ∨ ∼ p ) ⇔ V
9. Conmutatividad:
• De la conjunción: p ∧ q ⇔ q ∧ p
• De la disyunción: p ∨ q ⇔ q ∨ p
10. Asociatividad: • De la conjunción: ( p ∧ q ) ∧ r ⇔ p ∧ ( q ∧ r )
• De la disyunción: ( p ∨ q ) ∨ r ⇔ p ∨ ( q ∨ r )
11. Distributividad:
• De la conjunción respecto a la disyunción: ( p ∨ q ) ∧ r ⇔ ( p ∧ r ) ∨ ( q ∧ r )
• De la disyunción respecto a la conjunción: ( p ∧ q ) ∨ r ⇔ ( p ∨ r ) ∧ ( q ∨ r )
12. Leyes de absorción:
• De la conjunción respecto a la disyunción: p ∧ ( p ∨ q ) ⇔ p
• De la disyunción respecto a la conjunción: p ∨ ( p ∧ q ) ⇔ p
13. Definición de implicación: p → q ⇔ ∼ p ∨ q
14. Definición de equivalencia: p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p )
15. Leyes de De Morgan:
• Negación de la conjunción: ∼ ( p ∧ q ) ⇔ ∼ p ∨ ∼ q
• Negación de la disyunción: ∼ ( p ∨ q ) ⇔ ∼ p ∧ ∼ q

2. RAZONAMIENTO LÓGICO
RECORDEMOS:
Se llama "argumento" o razonamiento lógico, a una secuencia de proposiciones, en la que una de ellas
llamada "conclusión", se obtiene de otras llamadas "premisas". La Lógica tiene como principal objetivo, la
determinación de la validez o no de los razonamientos.
VALIDEZ DE UN ARGUMENTO.
Se dice que un razonamiento es "válido" si, al ser verdaderas sus premisas, lo es también su
conclusión; es decir, no puede darse el caso de que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa (sí se
diera este caso, se dice que el argumento es "no válido"); entonces, para comprobar si un esquema formal de
razonamiento es válido o no, podemos asociar a ese razonamiento, una implicación cuyo antecedente sea la
conjunción de las premisas, y el consecuente sea la conclusión. Es decir, un razonamiento deductivo puede
escribirse en la forma:
Conjunción de premisas → Conclusión
Es decir : ( p1 ∧ p2 ∧ ... ∧ pn ) → C ( α )
O en forma abreviada: P → C
Esquemáticamente:
p1
p2
...
pn
C
Donde p1, p2, ... , pn , son premisas verdaderas.
Así, un razonamiento deductivo es válido, si la implicación mostrada en ( α) es una TAUTOLOGÍA.
MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE UN ARGUMENTO.
Directo : Según este método, sabiendo que las premisas del antecedente de (α) son verdaderas, se debe
demostrar que la conclusión C también es verdadera; y para ello, se puede utilizar cualquiera de las reglas de
inferencias mostradas en la siguiente página.
Indirecto : En el método indirecto, se debe incluir ∼C entre las premisas originales de (α). Para que el
razonamiento sea válido, es necesario mostrar que, al utilizar las diversas reglas de inferencia, la implicación: (
p1 ∧ p2 ∧ ... ∧ pn ∧ ∼C ) → C, genera una antitautología; es decir, el valor de verdad de esta implicación
es falso ( F ).
Condicional : Si se pretende demostrar la implicación m → n, se deberá introducir m como nueva premisa; y
operando con las restantes, se deberá obtener n para que el razonamiento sea válido.
REGLA DE LAS PREMISAS: En la inferencia lógica, cualquier premisa puede reemplazarse por una
equivalente; es decir, se pueden utilizar sin problemas, las fórmulas de simplificación ya estudiadas.

3. REGLAS DE INFERENCIA
1. Adición (LA):
Forma esquemática Condicional asociada
p
p ∨ q p → ( p ∨ q )
2. simplificación (S):
Forma esquemática Condicional asociada
p ∧ q
p ( p ∧ q ) → p
3. Adjunción (A):
Forma esquemática Condicional asociada
p
q
p ∧ q ( p ∧ q ) → ( p ∧ q )
4. Modus ponendo ponens (MP):
Forma esquemática Condicional asociada
p → q
p
q [ ( p → q ) ∧ p ] → q
5. Modus tollendo tollens (MT):
Forma esquemática Condicional asociada
p → q
∼q
∼p [ ( p → q ) ∧ ∼q ] → ∼p
6. Modus tollendo ponens o silogismo disyuntivo (MTP):
Forma esquemática Condicional asociada
p ∨ q
∼p
q [ ( p ∨ q ) ∧ ∼p ] → q
7. Silogismo hipotético (SH):
Forma esquemática Condicional asociada
p → q
q → r
p → r [ ( p → q ) ∧ ( q → r ) ] → ( p → r )
8. Silogismo disyuntivo o Dilema constructivo (SD):
Forma esquemática Condicional asociada
p → q
r → s
p v r
q ∨ s [ ( p → q ) ∧ ( r → s ) ∧ ( p ∨ r ) ] → ( q ∨ s )
9. Dilema destructivo (DD):
Forma esquemática Condicional asociada
p → q [ ( p → q ) ∧ ( r → s ) ∧ ( ∼q ∨ ∼s ) ] → ( ∼p ∨ ∼r )
r → s
∼q ∨ ∼s
∼p ∨ ∼r
Importante: Se comprueba la validez de estas reglas de inferencia, demostrando que la correspondiente condicional
asociada es una tautología.