LCCC2010:Learning on Cores, Clusters and Cloudsの解説
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T-PRIMALの公開勉強会での発表資料
![LCCC2010について
• NIPS併催のワークショップ
• 毎年同じようでテーマで開催されている
– Organizer達で今年本を出すらしい [挨拶より]
• J. Langford, O. Dekel, J. Duchi, A. Agrawal, L. Cayton
• Google, MS, Yahoo!をはじめ主要な企業と
大学、研究所が３等分ぐらいずつ
– 実用化は04年頃から進み身近なところで利用
– 例：gmailの優先トレイはメールでPA+転移学習
• 理論と実践の両方が進展](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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- 1. NIPS2010を読む会＠東工大 2011/2/14 LCCC2010:Learning on Cores, Clusters and Cloudsの解説 岡野原 大輔 （株）Preferred Infrastructure
- 2. LCCC2010について • NIPS併催のワークショップ • 毎年同じようでテーマで開催されている – Organizer達で今年本を出すらしい [挨拶より] • J. Langford, O. Dekel, J. Duchi, A. Agrawal, L. Cayton • Google, MS, Yahoo!をはじめ主要な企業と 大学、研究所が３等分ぐらいずつ – 実用化は04年頃から進み身近なところで利用 – 例：gmailの優先トレイはメールでPA+転移学習 • 理論と実践の両方が進展
- 3. 今日の発表について • Distributed MAP Inference for Undirected Graphical Models • Machine Learning in the Cloud with Graph Lab • MapReduce/Bigtable for Distributed Optimization • 選んだ基準 – 実用的 – 単に並列化しただけじゃないものを選んだ
- 4. 背景 • 解析対象データの急激な増加 – アルゴリズムは最低でも線形の計算量が必要 だがそれでも不十分．潰しても捨てても無理 – 世界で作成されたデータ量は 2009年 8億テラバイト（前年比62%増) 2020年 35億テラバイトと予想 [Digital Universe 2010] – 例: ニューヨーク株式市場 毎日1TB Facebook 毎日20TBの圧縮データ • 分散/並列化しないと、そもそもデータの読み 込み/書き込みすら無理 – HDDは現在100MB/s
- 5. 素朴な疑問 並列分散化の機械学習は面白いの？ Q. たくさんマシンを用意できたなら、データを適当 に分けて、それぞれのマシンで処理して結果を合 わせるだけじゃないの？ A. 部分的にYES, 残りはNO – 各マシン間の情報のやりとりが制限された環境で学 習の収束保障は？収束速度は？ – 単純なアプローチはうまく行かない．が、ちょっと だけ工夫するとうまくいく – 分散並列システムを一から作るのはすごく大変 MapReduceなどの分散並列を実現するフレームワー ク上で実現可能な機械学習を考える
- 6. 分散並列環境下の問題 • 通信コストは非常に大きい – データのマシン間移動は計算コストと同じか それ以上に大変 – スループット、レイテンシの両方で制限 • マシン間同期をとるのはコストがかかる – 計算時間はバラバラで一番遅いマシンに依存 – そもそも同期をとれない場合も • それぞれが独立にタスクをこなしつつ、 いかに全体の最適化を達成するか
- 7. Distributed MAP Inference for Undirected Graphical Models Sammer Singh Amarnag Subramanya Fernando Pereira Andrew McCallum
- 8. 目標 • グラフィカルモデルの推論は一般に困難 – 近年利用されるモデルはより巨大で密に • 共参照推定、関係抽出、同時推論など • 文書集合をまたがるグラフ – 100万変数の問題を数百台で解きたい • 様々な近似推論手法が提案されている – LP-Relaxations – Dual Decomposition – MCMC-Based • これらの手法の並列化は難しい
- 9. 問題設定 • 変数Yの確率分布を因子ψで表す • 例： • MAP推定をしたい y*=argmaxy p(Y=y) – ループなどがあり動的計画法は使えない
- 10. 既存手法 MCMCによるMAP推定 1. yを適当に決める 2. yの中身を少し変更したy’を提案 3. [0,1]の乱数が より大きいならy’を採択し、y=y’と更新 – 確率が上がるなら常に採用、下がる場合は確 率的に採用．tは温度 – p(y’)/p(y)は変数が変わったところだけ見れ ば計算できるので高速に計算できる
- 11. 相互排他的な提案を利用した 並列化 • yからの提案 yaとybについて yaとybの影響箇所が重ならないとする • この時、y⇒yaとy⇒ybは並列に評価でき、 採択することができる • グラフィカルモデルの特徴を利用し、相 互排他的な提案を作ることができる – 汎用的な方法もできつつある c.f. Residual Splash Belief Propagation
- 13. 文書間共参照解析での並列数に 対する精度 共参照解析： 二つの表現が現実世界で同一実体を指すかどうかを求める
- 14. 実験結果 (2) マシン台数におけるスケーラビリティ • NY Times Corpus 20年分の記事中に含 まれる100万回の人名言及の共参照解析 正解データが無いので 精度で評価できないが・・
- 15. Machine Learning in the Cloud with Graph Lab Yucheng Low Joey Gonzalez Aapo Kyrola Danny Bickson Carlos Guestrin Joe Hellerstein David O’Hallaron
- 16. 背景 • 分散並列向けにSplash Belief Propagation を提案 [UAI 09] • MapReduce(MR)はバッチ処理が得意だが 反復的な処理、部分的な更新は苦手 ⇒ GraphLabを提案 [UAI 10] – MRが苦手なML向けの処理を行うフレームワーク – データの疎な依存関係を表せる – 部分更新、反復処理が得意 – マルチコア、分散、クラウド、GPUに対応
- 17. GraphLabの特徴 Sequential Consistency Thm. 全ての並列更新処理については、それと同じ結 果を生成する、逐次更新処理が必ず存在 – 並列処理の正しさを証明
- 18. 実験結果 • Gibbs sampling – 相互排他的な変数を毎に色分けし並列更新 – プロセッサ数にほぼ線形で性能向上 – 他の様々な並列化もサポート • LASSO – Shooting Algorithmの並列化 • 変数とサンプルで二部グラフ作り相互排他的な変数集 合を作る – 相互排他的な変数の更新を自動で並列化 • その他いくつかのタスクで並列化を評価
- 19. MapReduce / Bigtable for Distributed Optimization Keith Hall Scott Gilpin Gideon Mann Slav Petrov
- 20. 最適化の分散並列化は簡単？ • MapReduceフレームワークを使えば簡単 • データ分散し、それぞれ独立にパラメー タを計算して(Map)、集める(Reduce) • 分散の仕方でいろいろ方法がある – パラメータを分割して求めて平均とるか – 勾配を分割して求めて勾配をとるか など • どれも同じ様に見えるが実は精度に大き な違いがあり、理論的に解析可能 ここでの最適化は教師付き学習を含む最適化
- 21. 方法１：Parameter Mixture 1. データを分割しK個のshardに配る 2. shard毎にパラメータθを最適化 3. 最後に各最適化した結果の平均をとる – θ’ = (∑iθi)/K • 実はうまくいかない – 性能も悪いし、失敗する例も作れる（次項） – 理論的保障もできない
- 22. Parameter Mixtureが失敗する例 • f(x)=wTx のwを学習．訓練例は次の通り y1=0 x1 =(1 1 0) y2=1 x2 =(0 0 1) y3=0 x3 =(0 1 1) y4=1 x4 =(1 0 0) • 1と2で学習して w1=(-1 -1 0) • 3と4で学習して w2=(0 -1 -1) • w’=w1+w2は全ての訓練例をy=0に分類 • 全例を正しく分けるのは w =(1 -2 1) ⇒全訓練例を正しく分類するwがあっても、 それをPMは必ずしも求めることはできない
- 23. 方法2 Distributed Gradient • 勾配の計算部分を並列に行う • 求まった勾配を利用して更新は一台で行 う • 長所 – 勾配の計算に時間がかかる場合に高速化可能 • 短所 – 毎回パラメータを全てのshard間でやりとり しないといけない． – 収束は遅く，バッチ学習と同じ
- 24. 方法3 Asynchronous Update • 全shardで共通のパラメータθを利用 • 各ワーカーは、現在のθを取得し、分割さ れたデータでθを更新 • 欠点：θにlockをとらないため、古いθを 元に更新を計算してしまう可能性．実は それでも収束保障はできるが遅い
- 25. 方法4 Iterative Parameter Mixture • Parameter Mixtureを少しだけ改造 1. データを分割しshardに配る 2. shard毎に最適化 3. 全部のθの平均をとる 4. θを再度各shardに配り1から繰り返す これは収束証明ができ、実際に高性能 – 重要：各epoch毎にパラメーターを通信するのみ． データの通信は発生しない • 以降ではStructured Perceptronの場合を議論
- 26. Structured Perceptron(SP) [Collins 2002] 1台での学習の場合 更新時に、正解の特徴ベクトルを足し、不正解で最も スコアが高かった特徴ベクトルを引く
- 27. Structured Perceptron • 1台での学習の場合 • 訓練例の直径がRであり、マージンγで分 離可能の時、SPによる学習アルゴリズム の更新回数は高々(R/γ)2 [Novikoff 62][Collins 02] • これを分散させるとどうなるか ..
- 28. Structured Perceptorn + Iterative Paramter Mixture μi,nは混ぜる割合 ∑iμi,n =1
- 29. データ データをK個に分割に分割 θ(0) = 0 θ(0) θ(0) θ(0) θ(0) それぞれで独立に学習 θ1 θ2 θ3 θ4 θ(1)=(θ1+θ2+θ3+θ4)/4 パラメータを集めて、平均をとり θ(1) θ(1) θ(1) θ(1) 再度分配する(データはそのまま） θ(1)を初期値に再度学習 θ1 θ2 θ3 θ4 これを収束するまで繰り返す
- 30. Iterative Paramter Mixture + Structured Perceptron • 訓練例の直径がRであり、マージンγで分 離可能の時、IPM+SPによる学習アルゴリ ズムの合計の更新回数は高々(R/γ)2 [R. McDonald NAACL 10] – 一台で動かした場合と全く同じなので K台で分割したらK倍の高速化が可能 – データの移動を全くしなくても全部のデータ を正しく分類可能な学習ができる！
- 31. 略証 (1/3) • wi,n : i番目のshardのn週目の学習結果 • w([i,n]-k): wi,nのk回の更新前 • ki,n : shard i でのn epoch目の更新回数 • wi,nを下から抑える
- 32. 略証 (2/3) • wi,nを上から抑える • これより各shardのエラー回数ki,nと w(avg,n-1)の対応付けができた
- 33. 略証 (3/3) • 次にw(avg,N)を上と下から抑える • これらは数学的帰納法で証明する – 先程の(A1) (A2)とJensenの不等式を組み合わせ て抑えることができる • |u|=1より、|wavg,N|≧uw(avg,N) • (IH2)と組み合わせて最初のバウンドを得る
- 34. 実験1 • クリックデータでクリックするかどうかを予測 • 訓練例数 3億7000万 • 200個のグループに分割し 240台のworkerでMapReduce • Iterative Parameter Mixtureが70倍の高速化と高性能を達成
- 35. 実験2 • 先ほどと同じデータ（Single-coreではもう不可能） •訓練例数 16億 • 900個のグループに分割し 600台のworkerでMapReduce • Iterative Parameter Mixtureが同じく高速で高性能
- 36. 彼らの結論 • 非同期更新は現在のデータセンター環境 では非常に厳しい – 遅い、収束しない – ネットワークが混み合う • Iterative Parameter Mixtureが良い – 実装もすごく簡単 – Perceptron以外にも Passive Aggressiveなどでも証明可能
- 37. 結論 • 機械学習の分散並列化の理論/実践が揃い つつある – オンライン学習のRegret最小化解析の適用 – 分散最適化の理論 – MapReduceで可能なものがまだ中心 • 現状、線形識別器の分散並列化は Iterative Parameter Mixtureが最強 – ほぼ線形の高速化が可能で収束する – Iteration毎にパラメータを混ぜるだけ
- 38. コメント • やり残し – 個別の手法についての収束証明はあるが、一般の 分散最適化問題も証明できるか – 最適な混ぜ具合を決められるか Active Learningとの関係？ • パラメータを圧縮した最適化は伸びシロあり – センサネットワークやCompressed Sensing の 話がそのまま使えそう • 数台程度ならMapReduce使わずとも 実現できそう
- 39. 質問に対する回答 • 問：Shard間でデータがものすごく偏って いる場合でもIterative Parameter Mixtureは収束する？例えば片方が全部正 例、もう片方が全部負例でも？ • 答：必ず収束する +1 (1, 1, 0) 一周目 w=(1,1,0) w=(0,0,0) +1 (1, 0, 0) 平均をとって w=(1/2, 1/2, 0) -1 (0, 1, 1) 二週目 w=(1/2, 1/2, 0), w=(1/2, -1/2, -1) -1 (0, 0, 1) 平均をとって w=(1/2, 0, -1/2) 終了