Agrupamento de Escolas Finisterra

Escola Secundária de Cantanhede
Trabalho realizado no âmbito da disciplina de Matemátic...
Ano Letivo: 2013 / 2014

Índice
Introdução ..................................................................................
Introdução
Secções cónicas são as curvas que resultam da intersecção de um plano
com uma superfície cónica.
As secções cón...
Breve referência histórica sobre a
elipse
Apolónio de Perga, foi um matemático que se dedicou principalmente ao
estudo de ...
Definição
elipse

de

Uma elipse é um conjunto de pontos
do plano cuja soma das distâncias a
dois pontos fixos (focos) é c...
Uma elipse pode ser imaginada como uma circunferência que foi “alongada” ou
“achatada”.
Será possível, a partir da equação...
Assim,
Elipse de centro na origem
Semieixo maior:
Semieixo menor:
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Equação:

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x

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y

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A equação da elipse é

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1.

Aplicações da elipse
Suponhamos
que
temos
uma
lanterna
direcionada para...
Conclusão
Neste trabalho concluímos que Apolónio de Perga teve uma grande
influência no conhecimento mais aprofundado das ...
Bibliografia
Gomes, F., Viegas, C., & Lima, Y. (2013). xeqmat. In F. Gomes, C. Viegas, & Y.
Lima, xeqmat. Lisboa: O livro....
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Trabalho sobre a Elipse - ESCantanhede

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Trabalho sobre a Elipse - ESCantanhede

  1. 1. Agrupamento de Escolas Finisterra Escola Secundária de Cantanhede Trabalho realizado no âmbito da disciplina de Matemática Secções cónicas: a ELIPSE A matemática é a mais alta das ciências, o dom mais alto que os deuses deram aos homens. Ela é mais poesia que a própria poesia. Arquimedes Turma: 10CT4 Docente: Profª Marília Zorrinho Trabalho realizado por: Luís André P. Alves de Oliveira | Nº 15720 Pedro Miguel N. Oliveira | Nº 15737
  2. 2. Ano Letivo: 2013 / 2014 Índice Introdução ....................................................................................................................................... 3 Breve referência histórica sobre a elipse .............................................................................. 4 Definição de elipse ....................................................................................................................... 5 Métodos de construção da elipse ........................................................................................... 5 Equação da elipse e os seus elementos ................................................................................ 5 Aplicações da elipse ..................................................................................................................... 8 Conclusão......................................................................................................................................... 9 Bibliografia ..................................................................................................................................... 10 JANEIRO DE 2014 2
  3. 3. Introdução Secções cónicas são as curvas que resultam da intersecção de um plano com uma superfície cónica. As secções cónicas representam uma parte muito importante no estudo da Matemática. As suas equações e os seus gráficos são muitoutilizados em vários ramos da Matemática, como por exemplo o Cálculo Integral, para além de serem muitas as aplicações das cónicas na história da sociedade. Desde que o matemático grego Apolónio de Perga escreveu o primeiro trabalho sobre as secções cónicas, diversos matemáticos de renome contribuíram, de maneira significativa, para o conhecimento desta curvas e suas aplicações nos diversos assuntos. Das várias cónicas destacam-se duas: a circunferência e a elipse. JANEIRO DE 2014 3
  4. 4. Breve referência histórica sobre a elipse Apolónio de Perga, foi um matemático que se dedicou principalmente ao estudo de curvas, denominadas por cónicas. As civilizações antigas dedicaram-se ao estudo da astronomia principalmente com fins práticos. Utilizavam-na, por exemplo, para realizar previsões acerca de acontecimentos importantes, ou para determinar as estações do ano a fim de procederem às atividades agrícolas nas alturas corretas. Mais tarde, as razões vieram a alterar-se, mas o interesse pela astronomia manteve-se sempre. Os primeiros modelos de que há registo consideravam que as órbitas planetárias eram circulares. Assim mesmo começou por considerar Johannes Kepler, chegando à discordância entre os resultados teóricos e as observações do astrónomo dinamarquês TychoBrahe, em que se apoiou. Essa discordância veio a ser resolvida quando deduziu que as órbitas planetárias eram elípticas e publica em 1609 a sua descoberta de que a órbita de Marte em torno do Sol é uma elipse. A partir daí as cónicas revelaram a sua restrita ligação com a Natureza, em particular com as trajetórias dos planetas no Sistema Solar. Esta descoberta, associada aos estudos de Galileu, levou posteriormente (em 1680) Isaac Newton a formular a sua lei gravitacional. O matemático Apolónio nasceu em Perga, Pamphylia. Na época de Apolónio, Perga era um centro de cultura e o local de devoção da deusa Artemis. Apolónio de Perga ficou conhecido como "O Grande Geómetra", tendo deixado uma vasta obra, que em muito contribuiu para o desenvolvimento da Matemática, apesar de se terem perdido vários dos seus trabalhos ao longo dos anos. JANEIRO DE 2014 4
  5. 5. Definição elipse de Uma elipse é um conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante e maior que a distância entre eles. Métodos de construção da elipse Existem vários métodos de construção da elipse entre os quais se destaca o método do jardineiro e o método do alongamento da circunferência. O método do jardineiro consiste em espetar duas hastes verticais no chão, atar as extremidades de uma corda a cada uma das hastes e com um pau encostado à corda ir traçando a elipse no chão, mantendo sempre a corda esticada. O comprimento da corda deve, obviamente, ser superior à distância entre as hastes. O método do alongamento da circunferência consiste em, partindo de uma circunferência de um determinado diâmetro, com centro na origem de referencial, multiplicar as abcissas de todos os pontos da circunferência por um fator de alongamento. O diâmetro deve ser igual ao eixo menor da elipse que se pretende traçar. O fator de alongamento deve ser escolhido por forma a que quando multiplicado pelo diâmetro da circunferência dê a medida do eixo maior da elipse. Equação da elipse e os seus elementos Da equação da circunferência para a equação da elipse JANEIRO DE 2014 5
  6. 6. Uma elipse pode ser imaginada como uma circunferência que foi “alongada” ou “achatada”. Será possível, a partir da equação de uma circunferência obter a equação de uma elipse? Considere-se a circunferência de centro (0,0) e raio 4. A equação desta circunferência é: Ou, dividindo ambos os membros por , A equação da elipse aparece, normalmente, sob a forma de: Na circunferência tem-se a = b = raio. Na elipse tem-se a>b ou a<b. Através de um alongamento da circunferência de equação , obtémse uma elipse em que o eixo menor é igual ao diâmetro da circunferência: Cada ponto A (x,y) da circunferência é transformado no ponto X 2x Y A’ (X,Y) da elipse, sendo: y X x 2 y Y Substituindo, na equação da circunferência, por e por Y, obtém-se: X 2 Y 2 2 JANEIRO DE 2014 4 2 X 4 2 Y 2 16 X 2 64 Y 2 16 1 X 8 2 2 Y 1 4 6
  7. 7. Assim, Elipse de centro na origem Semieixo maior: Semieixo menor: 2 y 2 8 Equação: x 2 4 2 1 Se uma vez de um alongamento se tivesse procedido a um achatamento da circunferência de equação x 2 y 2 4 2 , a elipse obtida teria o eixo maior igual ao diâmetro da circunferência. Cada ponto A (x,y) da circunferência é transformado no ponto A’ (X,Y) da elipse, sendo: x X x Y y , y) 2X Y 2 y) y x Substituindo, na equação da circunferência, x por 2X e y por Y, obtém-se: 2 (2 X ) Y 2 4 2 2 4X 2 Y 16 4X 16 Assim, a equação X 2 2 2 Y 2 4 2 1 define 2 Y 2 16 1 X 2 2 2 Y 2 4 2 1 uma elipse de centro na origem, sendo: Semieixo menor: Semieixo maior: Assim tem-se: Considere-se uma elipse de centro na origem e vértices ( JANEIRO DE 2014 ); ( ;( e 7
  8. 8. x 2 y 2 a A equação da elipse é 2 b 2 1. Aplicações da elipse Suponhamos que temos uma lanterna direcionada para uma parede, o feixe de luz emitido desenhará nessa parede uma curva cónica. Este facto acontece porque o feixe de luz emitido pela lanterna forma um cone, e também porque a parede funciona como um plano que corta o cone formado. Dependendo da inclinação da lanterna relativamente à parede, assim se obtém uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole. O som emitido por um avião a jacto supersónico tem a forma de um cone, pelo que, ao chocar com a Terra vai formar uma curva cónica. Assim, dependendo da inclinação do avião relativamente à Terra, vamos obter elipses, parábolas ou hipérboles. A audiometria usa este facto, entre outros, para saber a que distância da Terra o avião pode ultrapassar a velocidade do som. Certos candeeiros de cabeceira, cujo abat-jour é aberto segundo uma circunferência, desenham na parede uma hipérbole e no tecto uma elipse. Os Engenheiros da área da iluminação usam este facto, entre outros, para construírem candeeiros, lanternas, etc... As extremidades das asas do famoso avião britânico Spitfire, usado com grande sucesso na II Guerra Mundial, eram arcos de elipses. Embora a razão da sua escolha se prenda com o facto de se obter mais espaço para transportar munições, pois este tipo de asa diminuía a resistência do ar, favorecendo melhores performances ao avião em voo. JANEIRO DE 2014 8
  9. 9. Conclusão Neste trabalho concluímos que Apolónio de Perga teve uma grande influência no conhecimento mais aprofundado das cónicas (elipse, parábola, hipérbole). Aprendemos que a elipse tem váriosmétodos de construção, que pode ser formada, por exemplo, pelo alargamento ou por achatar uma circunferência. Passamos ainda a conhecer a equação da elipse, que é formada a partir da equação da circunferência e ainda seus elementos. Aprendemos ainda que a elipse tem várias aplicações no nosso dia a dia, e são em coisas que nós nunca reparamos, como por exemplo quando a luz de uma lanterna bate na parede, foi utilizada numas asas de um dos aviões mais famosos, entre outras coisas. JANEIRO DE 2014 9
  10. 10. Bibliografia Gomes, F., Viegas, C., & Lima, Y. (2013). xeqmat. In F. Gomes, C. Viegas, & Y. Lima, xeqmat. Lisboa: O livro. Neves, M., & Guerreiro, L. (s.d.). Matemática A - 10º ano - Geometris. Ovigli, D., de Jesus e Silva, L., Valéria da Silva, S., & Ribeiro Garcia Malheiros, C. (21 de 12 de 2013). Elipse. Obtido de Elipse: http://estatisticandoelipse.blogspot.pt/ Varandas, J. M. (21 de 12 de 2013). Elipse. Obtido de Website de U.Lisboa: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/elipse.htm JANEIRO DE 2014 10

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