Teoria Matemática                           da Comunicação    CCISEL 99                    Teoria Matemática da Comunicaçã...
Bibliografia• Douglas Stinson, Cryptography - Theory and Practice,                     CRC Press,   1995.• T. Cover and J....
Tipos de sistemas criptográficos• Existem 3 tipos de sistemas criptográficos,  segundo Shannon :   – Concealment systems  ...
Definição de sistema criptográfico                             quintupleto (P,C,K,E,D)• P - Conjunto finito de possíveis d...
Sistemas criptográficos seguros• Como desenvolver a teoria dos sistema  criptográficos que são incondicionalmente  seguros...
Conjuntos• Conceitos básicos   –   objectos   –   conjuntos   –   elementos   –   diagramas de Venn• Operações sobre conju...
Probabilidades Conjunta e Condicional                Probabilidade Conjunta                                  N A, B    P(A...
Teorema de Bayes• A probabilidade conjunta relaciona-se com a  probabilidade condicionada da seguinte forma:   – P(A,B) = ...
Variáveis aleatórias•   v.a. X: conjunto de textos em claro ∈ P•   v.a. K: conjunto de chaves ∈ K•   v.a. Y: conjunto de c...
Análise do sistema A                                            Dados:          k1                                     1  ...
Sequência de variáveis aleatórias• Sequência de variáveis aleatórias i.i.d.• X = [ X1 X2 X3 ... Xn]                       ...
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Cripto - Introdução, probabilidades e Conceito de Segurança

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Introdução a conceitos importantes da área de criptografia. Conceitos adjacentes à teoria das Probabilidades e segurança.
Créditos reservados ao Centro de investigação do instituto Superior de Engenharia de Lisboa.

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Cripto - Introdução, probabilidades e Conceito de Segurança

  1. 1. Teoria Matemática da Comunicação CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1-1 Criptografia ComputacionalTópicos1) Conceitos básicos Teoria das Probabilidades2) Conceitos básicos Teoria da Informação a) Quantidade de informação b) Capacidade de informação c) Codificação i) Codificação de fonte ii) Codificação de canal3) Papel da Teoria da Informação na Criptografia CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1-2 Criptografia Computacional 1
  2. 2. Bibliografia• Douglas Stinson, Cryptography - Theory and Practice, CRC Press, 1995.• T. Cover and J. Thomas, Elements of Information Theory, John Wiley & Sons, 1991.• A. Papoulis, Probability & Statistics, Prentice-Hall, 1990.• M. Nelson, The Data Compression Book, M&T Publishing Inc., 1991.• Stephen B. Wicker, Error Control Systems for Digital Communications and Storage, Prentice-Hall, 1995• Robert Lucky, Silicon Dreams - Information, Man and Machine, St. Martins Press 1991. CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1-3 Criptografia ComputacionalTeoria da Informação: o início• Trabalhos de C. E. Shannon com grande influência no estudo da Criptografia – 1948, A mathematical theory of communication – 1949, Communication theory of secrecy systems*• objectivo: estudar a estrutura matemática e propriedades dos sistemas criptográficos* trabalho realizado em 1945 CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1-4 Criptografia Computacional 2
  3. 3. Tipos de sistemas criptográficos• Existem 3 tipos de sistemas criptográficos, segundo Shannon : – Concealment systems • Ex.: tinta invisível – Privacy systems • Ex.: equipamentos que implementam a inversão espectral dum sinal de fala – “True” secrecy systems • o significado da mensagem é escondido por via da cifra CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1-5 Criptografia ComputacionalSistemas criptográficos discretos• Shannon no seu estudo considerou apenas os sistemas criptográficos discretos, onde as mensagens são, por exemplo: – letras/palavras duma linguagem – níveis de amplitude quantizados dum sinal de fala ou de vídeo CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1-6 Criptografia Computacional 3
  4. 4. Definição de sistema criptográfico quintupleto (P,C,K,E,D)• P - Conjunto finito de possíveis de textos em claro• C - Conjunto finito de possíveis textos cifrados• K - Espaço de chaves; Conjunto finito de chaves possíveis• E - Conjunto de regras de cifra• D - Conjunto de regras de decifra CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1-7 Criptografia ComputacionalSegurança nos sistemas criptográficos• Existem 2 abordagens para discutir a segurança dum sistema criptográfico: – Segurança computacional: define-se • em termos do nº de operações ou do tempo • relativamente a um problema conhecido como difícil – Ex.: factorização de números inteiros muito grandes – Segurança incondicional • o sistema não pode ser “quebrado”, mesmo com recursos infinitos CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1-8 Criptografia Computacional 4
  5. 5. Sistemas criptográficos seguros• Como desenvolver a teoria dos sistema criptográficos que são incondicionalmente seguros ? Usando a Teoria das Probabilidades como ferramenta formula-se então o conceito de Segurança Perfeita. CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1-9 Criptografia ComputacionalTeoria das probabilidades: tópicos para revisão• Probabilidade – conjuntos – probabilidade e frequência de ocorrência – probabilidade conjunta e probabilidade condicional – independência• Variáveis aleatórias – função de frequência de ocorrência de X – valor médio de X – probabilidade conjunta de X e Y – probabilidade condicional de X dado Y – independência de variáveis aleatórias – sequência de variáveis aleatórias CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1 - 10 Criptografia Computacional 5
  6. 6. Conjuntos• Conceitos básicos – objectos – conjuntos – elementos – diagramas de Venn• Operações sobre conjuntos – subconjuntos – igualdade – união e intersecção – complementar CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1 - 11 Criptografia ComputacionalProbabilidade e Frequência de Ocorrência• Experiências, resultados (outcomes) e acontecimentos (events) Freq. Ocorrência de A NA Probabilidade P(A) = com N → ∞ de acontecer A N 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(S) = 1 Espaço de acontecimentos possíveis CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1 - 12 Criptografia Computacional 6
  7. 7. Probabilidades Conjunta e Condicional Probabilidade Conjunta N A, B P(A, B) = com N → ∞ N Probabilidade Condicional P(A, B) N N N P(A | B) = = A, B = A, B com N → ∞ P(B) NB N NB CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1 - 13 Criptografia ComputacionalIndependência P(A | B) = P(A) com A e B acontecimentos independentes P(A, B) por definição P(A | B) = P(B) P(A, B) P(A) = ⇔ P(A, B) = P(A) × P(B) P(B) Se A e B forem independentes CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1 - 14 Criptografia Computacional 7
  8. 8. Teorema de Bayes• A probabilidade conjunta relaciona-se com a probabilidade condicionada da seguinte forma: – P(A,B) = P(A|B) . P(B) – P(A,B) = P(B|A) . P(A)• Teorema de Bayes – P(A|B) = P(B|A) . P(A) / P(B) se P(B) > 0• Corolário – A e B são independentes sse P(A|B) = P(A) CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1 - 15 Criptografia ComputacionalModelo de sistema criptográfico ^ criptoanálise X X=Dk[Y] Gerador X Destino de cifrador decifrador das mensagens Y=Ek[X] mensagens Canal seguro K Gerador de chaves CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1 - 16 Criptografia Computacional 8
  9. 9. Variáveis aleatórias• v.a. X: conjunto de textos em claro ∈ P• v.a. K: conjunto de chaves ∈ K• v.a. Y: conjunto de criptogramas ∈ C• Assume-se que: – a chave k é escolhida antes dos textos de acordo com P(K=k) ≡ p(k), logo X e K são independentes. – 1 chave é usada apenas para 1 texto CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1 - 17 Criptografia ComputacionalProbabilidades de variáveis aleatórias• Probabilidades a priori: • p(x) ≡ P(X=x): Probabilidade de X tomar o valor x • p(k) ≡ P(K=k): Probabilidade de K tomar o valor k• p(x) e p(k) induzem a distribuição de probabilidades de y • p(y): probabilidade do criptograma y ter sido transmitido• Probabilidades a posteriori: • p(x|y) ≡ P(X=x|Y=y): Prob. condicionada de X tomar o valor x dado que Y toma o valor y CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1 - 18 Criptografia Computacional 9
  10. 10. Análise do sistema A Dados: k1 1 a k2 p(a) = 1/4, p(b) = 1-1/4 = 3/4 k1 2 b 3 p(k1) = 1/2, p( k2 ) = 1-1/2 = 1/2 k2 Pretende-se determinar: p(y), p(k|y), p(y|x), p(x|y). CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1 - 19 Criptografia ComputacionalDefinição de segurança perfeita• Um sistema tem segurança perfeita se, para todo o x ∈ P e para todo o y ∈ C p(x|y) = p(x) – ou seja, não se “ganha” informação acerca do texto em claro por observação do criptograma CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1 - 20 Criptografia Computacional 10
  11. 11. Sequência de variáveis aleatórias• Sequência de variáveis aleatórias i.i.d.• X = [ X1 X2 X3 ... Xn] Concretização de X1• x = [ x1 x2 x3 ... xn] Concretização de X• p(x): Probabilidade da sequência x – p(x) = p(x1) × p(x2) × p(x3) × ... × p(xn) Indep. CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 1 - 21 Criptografia Computacional 11

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