Este documento presenta conceptos sobre razones, proporciones, proporcionalidad directa e inversa. Define razón como el cociente entre dos números. Proporción es cuando dos razones son iguales. La propiedad fundamental de las proporciones es que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Luego explica proporcionalidad directa, donde los valores varían en la misma dirección, e inversa, donde varían en direcciones opuestas. Finalmente presenta ejercicios para resolver usando estas nociones.

1. Trabajo
Práctico
#
7
Razones
y
Proporciones.
Proporcionalidad
directa
e
inversa
2do.
Año
Definición
de
razón.
Proporción.
Propiedad
fundamental
de
la
proporciones.
Resolver
ecuaciones
usando
dicha
propiedad.
Resolver
problemas
usando
dicha
propiedad.
Proporcionalidad
directa:
constante,
fórmula
y
gráfica.
Proporcionalidad
inversa:
constante,
fórmula
y
gráfica.
Analiza
las
siguientes
expresiones:
a) “En
esta
ciudad
hay
un
automóvil
cada
5
personas”.
Decimos
que
la
razón
entre
el
número
de
autos
y
de
1
personas
es
5
b) “En
las
últimas
elecciones,
votaron
6
mujeres
cada
7
hombres”.
Decimos
que
la
razón
entre
el
número
de
6
mujeres
y
de
varones
es
7
c) “Este
automóvil
gasta
15
litros
de
nafta
por
cada
100
km”.
Decimos
que
la
razón
entre
el
número
de
litros
de
15
combustible
y
el
número
de
km.
recorridos
es
.
100
Definición:
Se
llama
razón
entre
dos
números
a
y
b
( b ≠ 0 ),
al
cociente
de
la
división
de
a
por
b
Decir
que
votaron
6
mujeres
por
cada
7
hombres
es
lo
mismo
que
decir
que
votaron
12
mujeres
por
cada
14
hombres.
6 12
=
7 14
Decir
que
se
gastan
15
litros
por
cada
100
km.
Equivale
a
decir
que
se
gastan
3
litros
por
cada
20
km.
15 3
=
100 20
Definición:
La
igualdad
de
dos
razones
se
llama
proporción
a c
=
b d
Se
lee:
“a
es
a
b
como
c
es
a
d”.
a
y
d
reciben
el
nombre
de
extremos,
mientras
que
b
y
c
reciben
el
nombre
de
medios.
Definición:
las
proporciones
cuyos
medios
son
iguales
se
llaman
proporciones
continuas
a b
=
b c
1 5 4 12
Ejemplos:
=
o
=
5 25 12 36
Propiedad
Fundamental
de
las
Proporciones:
En
toda
proporción,
el
producto
de
los
extremos
es
igual
al
producto
de
los
medios.
a c
= ⇒ a.d = b.c
b d
Vale
la
recíproca
1

2. Trabajo
Práctico
#
7
Razones
y
Proporciones.
Proporcionalidad
directa
e
inversa
2do.
Año
Definición
de
razón.
Proporción.
Propiedad
fundamental
de
la
proporciones.
Resolver
ecuaciones
usando
dicha
propiedad.
Resolver
problemas
usando
dicha
propiedad.
Proporcionalidad
directa:
constante,
fórmula
y
gráfica.
Proporcionalidad
inversa:
constante,
fórmula
y
gráfica.
1 3
Ejemplo:
= ⇒ 1.15 = 5.3
5 15
Ejercicios:
2 3 1 3
x 9 + 0, 2
x
1) =
2)
= 2
3)
9 = 2
3 2 1 0,75 1 2
+ x
3 3 3 9
2
16 1 1 ⎛ 1 ⎞ 1 1
1− + ⎜ 2 + ⎟ 3,5
2+ 3+
25 = 10 2
5)
⎝ 3 ⎠ 2= 3
4)
=
6)
⎛ 2 ⎞
2
x 4 x x ⎛ 1 ⎞
−1
⎜1 − ⎟ + 0, 2 ⎜ 4 − ⎟
⎝ 3 ⎠ 5 ⎝ 4 ⎠
2
3 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ + 2,5 ⎟ 3 ⎜ + 0,1 ⎟
x 2 ⎠ = x
9)
⎝ 5 x
7)
2 =
8)
⎝ ⎠ =
x 3 x 2 4
x ⎛ 3 ⎞
4 ⎜ 0,1 + ⎟
8 ⎝ 10 ⎠
) ) 3 1
51. 1, 2 + 2, 3 .
4 =
25.
3
( )
10)
−1 −2
⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 3 2x + 1
⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ +
⎝ 3 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 4
Problemas:
1) Un
número
disminuido
en
dos
es
a
su
triple
como
3
es
a
7.
¿De
qué
número
de
trata?
2) El
doble
de
un
número
es
a
9
como
el
número,
disminuido
en
3,
es
a
8.
¿Qué
número
es?
3) Un
número
aumentado
en
5
es
a
7
como
su
mitad
es
a
9.
¿De
qué
número
se
trata?
4) Marta
tiene
15
años
y
Julia
23,
¿dentro
de
cuántos
años
sus
edades
serán
proporcionales
a
2
y
a
3?
5) ¿Cuál
es
la
medida
del
lado
de
un
cuadrado,
si
la
razón
entre
la
medida
del
lado
y
la
superficie,
es
igual
a
la
razón
entre
la
medida
del
lado
y
el
perímetro?
6) ¿Cuánto
mide
la
altura
de
un
rectángulo
cuya
base
es
a
su
superficie
como
3
es
a
5?
7) Las
edades
de
Juan
y
Pedro
son
proporcionales
al
número
de
letras
de
sus
nombres,
y
Juan
tiene
6
años
menos
que
Pedro.
¿cuántos
años
tiene
cada
uno?
3
8) En
un
rectángulo
la
razón
entre
las
medidas
de
la
base
y
la
altura
es
,
y
el
perímetro
es
128
cm,
¿cuáles
son,
7
en
cm,
las
longitudes
de
la
base
y
la
altura?
9) Dos
números
están
a
razón
¾.
Si
el
menor
de
ellos
es
189.
¿Cuál
es
el
otro?
10) Dos
obrero
trabajan
en
una
fábrica
armando
cajas,
pero
mientras
que
uno
arma
3
cajas,
el
otro
arma
7
cajas.
Si
el
más
hábil
ha
armado
91
cajas,
¿cuántas
habrá
armado
el
otro?
11) L
a
suma
de
dos
números
es
2920
y
se
encuentran
en
razón
5/3.
¿Cuáles
son
los
números?
2

3. Trabajo
Práctico
#
7
Razones
y
Proporciones.
Proporcionalidad
directa
e
inversa
2do.
Año
Definición
de
razón.
Proporción.
Propiedad
fundamental
de
la
proporciones.
Resolver
ecuaciones
usando
dicha
propiedad.
Resolver
problemas
usando
dicha
propiedad.
Proporcionalidad
directa:
constante,
fórmula
y
gráfica.
Proporcionalidad
inversa:
constante,
fórmula
y
gráfica.
12) Dos
números
están
en
razón
¼.
Se
sabe
que
uno
es
3
unidades
mayor
que
el
otro.
¿Cuáles
son
los
números?
13) En
un
mapa,
la
distancia
entre
dos
ciudades
es
de
36
cm
y
la
distancia
real
es
de
288
km,
¿A
qué
escala
fue
diseñado
el
mapa?
Aclaración:
1:100000
significa
que
cada
centímetro
del
mapa
representa
100000
centímetros,
o
sea
1000
metros;
o
que
un
metro
en
el
mapa
representa
100000
metros,
o
sea,
100
kilómetros
A)
1
:
800
B)
1
:
8.000
C)
1
:
80.000
D)
1
:
800.000
E)
1
:
8.000.000
Proporcionalidad
directa
e
inversa
Definición:
Cuando
decimos
que
y
es
directamente
proporcional
a
x,
significa
que
y=kx
;
donde
k
es
un
número
distinto
de
cero,
y
lo
llamamos
constante
de
proporcionalidad.
14) RECUERDA
REVISAR
TANTO
EN
TU
CARPETA
LA
TEORÍA
DE
PROPORCIONALIDAD
DIRECTA
EN
LA
PARTE
DE
FUNCIONES
COMO
EN
EL
BLOG.
Ejercicio:
Las
tablas
siguientes
relacionan,
en
un
caso,
la
medida
de
la
arista
y
el
volumen
del
cubo
y,
en
el
otro,
el
volumen
y
el
peso
del
corcho.
Luego
de
analizar
cada
tabla
contesta:
a. ¿Cuál
de
las
tablas
corresponde
a
magnitudes
directamente
proporcionales?
b. ¿Cuál
es
la
constante
de
proporcionalidad?
Escriban
la
fórmula
de
la
función
de
proporcionalidad
y
grafiquen
dicha
función.
Cubo
Medida
de
la
arista
(en
cm)
2
5
9
Volumen
(en
cm3)
8
125
729
Corcho
Volumen
(en
cm3)
500
975
2150
Peso
(en
g)
120
234
516
k
Definición:
Cuando
decimos
que
y
es
inversamente
proporcional
a
x,
significa
que
y=
;
donde
k
es
un
número
x
distinto
de
cero,
y
lo
llamamos
constante
o
coefeiciente
de
proporcionalidad.
3

4. Trabajo
Práctico
#
7
Razones
y
Proporciones.
Proporcionalidad
directa
e
inversa
2do.
Año
Definición
de
razón.
Proporción.
Propiedad
fundamental
de
la
proporciones.
Resolver
ecuaciones
usando
dicha
propiedad.
Resolver
problemas
usando
dicha
propiedad.
Proporcionalidad
directa:
constante,
fórmula
y
gráfica.
Proporcionalidad
inversa:
constante,
fórmula
y
gráfica.
15) Si
un
tren
se
desplaza
900
km
en
línea
recta,
¿cómo
calculamos
el
tiempo
(y)
que
tarda
en
recorrer
el
trayecto
a
una
velocidad
constante
(x)?
Cómo
recordarán,
cuando
un
móvil
se
desplaza
en
línea
recta
a
velocidad
constante,
se
cumple
que
el
espacio
o
trayecto
recorrido
es
igual
al
producto
entre
la
velocidad
y
el
tiempo
empleados
para
realizarlo.
Entonces,
para
calcular
(y),
podemos
utilizar
la
siguiente
fórmula
900
y . x = 900, o sea y =
x
Podemos
también
hacer
una
tabla
de
valores
y
ubicar
estos
puntos
en
un
sistema
cartesiano
Velocidad
(
en
Tiempo
(en
horas)
km/h)
x
y
50
100
150
3
4,5
Ejercicios
Varios:
4

5. Trabajo
Práctico
#
7
Razones
y
Proporciones.
Proporcionalidad
directa
e
inversa
2do.
Año
Definición
de
razón.
Proporción.
Propiedad
fundamental
de
la
proporciones.
Resolver
ecuaciones
usando
dicha
propiedad.
Resolver
problemas
usando
dicha
propiedad.
Proporcionalidad
directa:
constante,
fórmula
y
gráfica.
Proporcionalidad
inversa:
constante,
fórmula
y
gráfica.
5