Una forma geométrica de medir irracionalidad

Una forma geométrica de medir irracionalidad
Pedro Morales-Almazán
Department of Mathematics
The University of Texas at Austin
pmorales@math.utexas.edu
Universidad del Valle de Guatemala
Guatemala, 6 de enero de 2016
Pedro Morales-Almazán Math Department
Irracionalidad

“Los problemas no pueden ser resueltos al mismo nivel de
pensamiento en el que fueron generados.”
Albert Einstein
Irracionalidad

Historia
Irracionalidad

Historia
¿Qu´e tan irracional puede ser un n´umero?
Irracionalidad

Historia
¿Qu´e tan irracional puede ser un n´umero?
α ∈ Q, α /∈ Q
Irracionalidad

Historia
• La irracionalidad es una propiedad, no una medida.
Irracionalidad

Historia
• La irracionalidad es una propiedad, no una medida.
• Todo real es aproximable por racionales.
Irracionalidad

Historia
Medir irracionalidad
Sea α ∈ R. La irracionalidad de α se puede estudiar por medio de
analizar el conjunto de racionales p/q tales que
α −
p
q
<
1
qµ
,
para distintos valores de µ.
Irracionalidad

Historia
lim
n→∞
pn
qn
= α
Irracionalidad

Historia
lim
n→∞
pn
qn
= α
1 Raz´on de crecimiento de qn
Irracionalidad

Historia
lim
n→∞
pn
qn
= α
1 Razón de crecimiento de qn
2 La sucesión pn
qn
más eficiente (qn creciente)
Irracionalidad

Interpretaci´on geom´etrica
Irracionalidad

1 α es la pendiente de la recta L
Irracionalidad

2 El sector circular Sr es sim´etrico al rededor de L.
Irracionalidad

3 Sr no contiene ning´un punto entero.
Irracionalidad

4 Medir el ´area A(r) de Sr .
Irracionalidad

Problema
Irracionalidad

Problema
Analizar el comportamiento de A(r) cuando r → ∞.
Irracionalidad

Gr´aﬁcas de A(r)
Irracionalidad

Gr´aﬁcas de A(r)
(e) α = e (f) α = π
(g) α =
√
2 (h) α =
√
3
Irracionalidad

Deﬁniciones
Irracionalidad

Deﬁniciones
θ(r) = 2 arctan(α) − arctan
p
q
,
p
q
∈ Q y p2
+ q2
< r2
.
Irracionalidad

Deﬁniciones
A(r) =
r2
2
θ(r)
Irracionalidad

Fracciones Continuas
h0 = a0
Irracionalidad

h1 = a0 +
1
a1
Irracionalidad

h2 = a0 +
1
a1 +
1
a2
Irracionalidad

h3 = a0 +
1
a1 +
1
a2 +
1
a3
Irracionalidad

h = a0 +
1
a1 +
1
a2 +
1
a3 +
1
...
Irracionalidad

h = a0 +
1
a1 +
1
a2 +
1
a3 +
1
...
h = [a0; a1, a2, a3, . . . ]
Irracionalidad

Fracciones continuas: Ejemplos
Irracionalidad

1
10
7
= [1; 2, 3] = 1 +
1
2 +
1
3
Irracionalidad

1
10
7
= [1; 2, 3] = 1 +
1
2 +
1
3
2 φ = [1; 1]
Irracionalidad

1
10
7
= [1; 2, 3] = 1 +
1
2 +
1
3
2 φ = [1; 1]
3
√
2 = [1; 2]
Irracionalidad

1
10
7
= [1; 2, 3] = 1 +
1
2 +
1
3
2 φ = [1; 1]
3
√
2 = [1; 2]
4
√
3 = [1; 1, 2]
Irracionalidad

1
10
7
= [1; 2, 3] = 1 +
1
2 +
1
3
2 φ = [1; 1]
3
√
2 = [1; 2]
4
√
3 = [1; 1, 2]
5 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, . . . ]
Irracionalidad

Propiedades
Irracionalidad

Propiedades
• Todo real tiene representaci´on en fracci´on continua.
Irracionalidad

Propiedades
• Las convergentes producen la aproximación más eficiente de
un número.
Irracionalidad

Propiedades
un n´umero.
eg. π ∼ [3] = 3
Irracionalidad

Propiedades
un n´umero.
eg. π ∼ [3] = 3
π ∼ [3; 7] =
22
7
= 3.142857...
Irracionalidad

Propiedades
un n´umero.
eg. π ∼ [3] = 3
π ∼ [3; 7] =
22
7
= 3.142857...
π ∼ [3; 7, 15] =
333
106
= 3.141509...
Irracionalidad

Propiedades
un n´umero.
eg. π ∼ [3] = 3
π ∼ [3; 7] =
22
7
= 3.142857...
π ∼ [3; 7, 15] =
333
106
= 3.141509...
π ∼ [3; 7, 15, 1] =
355
113
= 3.141592...
Irracionalidad

Propiedades
Aproximación geométrica
Los puntos enteros más cercanos a la recta y = αx están dados
por las convergentes de α.
Irracionalidad

Sucesi´on de ´areas
Irracionalidad

h0 < h2 < h4 < · · · < α < · · · < h3 < h1
Irracionalidad

h0 < h2 < h4 < · · · < α < · · · < h3 < h1
mn = (p2
n + q2
n) arctan(α) − arctan(hn)
Irracionalidad

h0 < h2 < h4 < · · · < α < · · · < h3 < h1
mn = (p2
n + q2
Mn = (p2
n+1 + q2
n+1) arctan(α) − arctan(hn)
Irracionalidad

Irracionalidad

mn = (p2
n + q2
Mn = (p2
n+1 + q2
n+1) arctan(α) − arctan(hn)
Irracionalidad

Cotas
Irracionalidad

Cotas
Teorema sobre cotas inferiores
mk <
h2
k + 1
α2 + 1
qk
qk+1
1 +
3
√
3
16
(α2
+ 1) k ,
h2
k + 1
α2 + 1
qk
qk+1

 1
1 + 1
ak+2
qk
qk +1
−
3
√
3
16
(α2
+ 1) k

 < mk .
Irracionalidad

Cotas
Teorema sobre cotas superiores
Mk <
h2
k+1 + 1
α2 + 1
qk+1
qk
1 +
3
√
3
16
(α2
+ 1) k ,
h2
k+1 + 1
α2 + 1
qk+1
qk

 1
1 + 1
ak+2
qk
qk+1
−
3
√
3
16
(α2
+ 1) k

 < Mk .
Irracionalidad

Fracciones continuas eventualmente peri´odicas
Irracionalidad

α = [a0; a1, . . . , ak, b1, b2, . . . , bn]
Irracionalidad

α = [a0; a1, . . . , ak, b1, b2, . . . , bn]
Teorema
1
Ci + 1
bi+1
≤ lim inf
k→∞
ml+kn+i−1 ≤
1
Ci
.
Irracionalidad

Teorema
lim sup
k→∞
Ml+kn+i−1 ≤ Ci ,
C2
i
Ci + 1
bi+1
≤ lim inf
k→∞
Ml+kn+i−1 .
Irracionalidad

√
3 = [1; 1, 2]
Irracionalidad

√
2 = [1; 1]
Irracionalidad

Preguntas
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Irracionalidad

Una forma geométrica de medir irracionalidad

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