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Técnicas matemáticas para análise de funções da economia

  1. 1. Técnicas matemáticas para análise de funções da economia Técnicas matemáticas para Análise de funções da economia (Prof. Rogério Orlandeli)A viabilidade econômica de qualquer empreendimento deve passaranteriormente por uma análise de investimentos e pela determinação dacapacidade produtiva ideal na busca de maximizar os lucros, dentre outrosobjetivos. A determinação de tais níveis de produção não depende somentede viabilidade técnica, já que estamos inseridos num mercado de livreconcorrência e fatores externos, como: • Sazonalidade dos produtos; • Períodos de safras e entressafras; • Qualidade e custos dos concorrentes; • Ciclo de vida dos produtos.Esses elementos externos indicam a necessidade de análise de ofertas edemandas do mercado, juntamente com fatores internos de produção nabusca pelo melhor aproveitamento das condições vigorantes, visando asobrevivência da empresa no mercado. Este texto abordará a necessidade deidentificar a quantidade de produtos, a serem produzidos, com relação a suarespectiva demanda em função do seu preço de venda, dentre outros fatores.DETERMINAÇÃO DA CAPACIDADE DE PRODUÇÃO IDEAL (maior lucro)Métodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com
  2. 2. Técnicas matemáticas para análise de funções da economiaA capacidade produtiva ideal pode ser determinada pela maximização do lucro, quepodem ocorrer em duas situações diferentes, as chamadas demanda inelástica e elástica,onde na inelástica o preço é constante e não varia em função da oferta e procura, já opreço na demanda elástica possui variações. Saber que tipo de demanda possui cadaproduto é essencial para a maximização do lucro em função da produtividade.Demanda inelástica: o maior lucro corresponde ao total aproveitamento da capacidadeinstalada, ou seja, produzir em capacidade total. Existe, porém, algumas limitações pelalei de rendimentos decrescente que prega que além de um determinado nível de produçãoos custos de produção podem aumentar inviabilizando a alta produção.CAPACIDADE IDEAL COM PREÇOS FIXOS (Demanda inelástica)Caso os preços e custos praticados sejam fixos a formação das funções matemáticas daeconomia se torna fáceis, pois independem de fatores externo e, são dadas por:Função Custos C(X)C(X) = Cf +Cv(X); Onde: Cf - Custo fixo ou custo independente da produção; Cv- custo variável ou custo unitário por produto; Nota: Cv(X) dependa da quantidade produzida.Exemplo: Uma empresa possui um custo fixo de R$12,00 por dia e um custo unitário porproduto de R$3,00, sendo que a capacidade produtiva máxima é de 100 unidades diárias.(Obs:- lembre-se que o custo total é formado pela soma do custo fixo e do custovariável.) Produção X Custo 350 C(X) = 12 + 3X 300C(X) = Cf +Cv(X) 250 200 Custo 150Métodos de Gestão – Matemática Aplicada 100 50Prof. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com 0 0 50 100 150 Produção
  3. 3. Técnicas matemáticas para análise de funções da economiaC(X) = 12 + 3X X C(X) = 12 + 3X 0 12 10 42 20 72 50 162 100 312Ou seja, dada uma quantidade produzida pode-se obter seu custo relacionado.Função receita R(X)R(X) = P(X)*X; Onde: P(X) – Preço de venda unitário X - A respectiva quantidade vendida.Supondo, no exemplo anterior, P(X)= $ 10,00 e, uma quantidade vendida X=100 tem-se:R(X) = 10*X; Receita 1200R(100) = 10*100 = 1000; R(X)= 10*X 1000 800Vendas R(X)= 10*X Receita 600 0 0 400 10 100 200 0 50 500 0 20 40 60 80 100 120 Produção 100 1000Ou seja, dada uma quantidade vendida pode-se obter a arrecadação correspondente.Função Lucro L(X)L(X) = R(X) - C(X).L(X) = 10X – (12 + 3X)L(X) = 10X – 12 - 3XL(X) = 7X – 12Métodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com
  4. 4. Técnicas matemáticas para análise de funções da economiaSupondo a função do exemplo anterior, para uma produção e venda de 100 unidades deprodutos, tem-se:L(100) = R(100) - C(100) 800 Lucro L(X) = 7X – 12L(100) = 1000 – 312 = 688 700 600Produção L(X) = 7X – 12 500 Lucro 400 0 -12 300 10 58 200 50 338 100 0 100 688 -100 0 50 100 150 ProduçãoOu seja, dada uma quantidade produzida e vendida pode-se obter o lucro correspondente.Análise gráfica das funções em conjunto. X Cf = 12 C(X) = 12 + 3X R(X)= 10X L(X)= 7X – 12 0 12 12 0 -12 10 12 42 100 58 20 12 72 200 128 50 12 162 500 338 100 12 312 1000 688 Cf = 12 1200 Custo X Receita x Lucro C(X) = 12 + 3X C(X) = 12 + 3X R(X)= 10X R(X)= 10X 1200 1000 L(X)= R(X) - C(X) 1000 800 800 600 600 $ valores 400 400 200 200 0 0 20 40 60 80 100 120 -200 0 Quantidade de produtos 0 20 40 60 80 100 120A idéia de maior produção com maior lucro, no entanto, é limitada por diversas razoescomo comentado no exemplo abaixo.Métodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com
  5. 5. Técnicas matemáticas para análise de funções da economiaExemplo: observado na industria têxtil.A implementação de um terceiro turno se torna inviável em função do custo, em virtudede algumas causas: • Leis trabalhistas (impedindo trabalhos de menores); • Mão de obra noturna, além de mais cara, é menos produtiva com menor qualidade; • Funcionamento dos departamentos auxiliares é precário.Exemplo: Análise de um conjunto de funções custo/receita/lucro na determinação da produçãoideal para maximizar o lucro de um produto com demanda inelástica.Aqui temos uma empresa averiguando seus custos e lucros entre os turnos de produção, buscandoadicionar um Turno Extra. Onde se consegue uma produção de 60 unidades em dois turnos a umcusto variável de $ 0.70 por unidade e um custo fixo de $ 10,00 para qualquer quantidadeproduzida; Um terceiro turno apresenta um custo unitário variável de $ 0.9 e uma produção de 27unidades do produto, com um custo fixo de $14,00.Se tivermos um preço de venda de $ 1,1 por unidade, é viável implementarmos o terceiro turno?A resposta é encontrada na análise de custos e rendimentos da tabela abaixo, mais o gráficoseguinte. Prod(X) Cf= 10 Cv(X)=0.7*X C(X)= 10 + 0.7X R(X)= 1.1 * X L(X)=R - C Cm(X)= C(X)/X. 0 10 0 10 0 -10 10 10 7 17 11 -6 1,7 20 10 14 24 22 -2Turno 1 1,2 30 10 21 31 33 2 1,033333 40 10 28 38 44 6 0,95 50 10 35 45 55 10Turno 2 0,9 60 10 42 52 66 14 0,866667 9 14 50,1 64,1 75,9 11,8 7,122222 18 14 58,2 72,2 85,8 13,6Turno 3 4,011111 27 14 66,3 80,3 95,7 15,4 2,974074nAnálise Conjunta dos custos e rendimentos do turno 3 Cv(X)=42+0.9*X C(X)= 14 + 0.9X R(X)= 66+1.1 * XMétodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com
  6. 6. Técnicas matemáticas para análise de funções da economia Análise Independente dos custos e rendimentos do turno 3 9 14 8,1 22,1 9,9 -12,2 2,455556 18 14 16,2 30,2 19,8 -10,4 1,677778 27 14 24,3 38,3 29,7 -8,6 1,418519O gráfico mostra o comportamento de cada função econômica Custos e rendimentos de produção Cf= 10 C(X)= 10 + 0.7X R(X)= 1.1 * X $120,00 L(X)=R - C $100,00 Receita $80,00 Custos totais Custo $60,00 $40,00 $20,00 Lucro Cf $0,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -$20,00 Quantidades produzidas (em 10 unidades) entre os turnos.Analisando o gráfico, tem-se:Existe um decréscimo na lucratividade em função do aumento de custos variáveis e fixos,provocado pela operação de terceiro turno na fábrica. Logo a implementação de um terceiro turnonão representaria vantagem monetária para a empresa, já que existiu um aumento de apenas 1,4unidades monetárias no lucro..Determinação das faixas de lucro e custoMétodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com
  7. 7. Técnicas matemáticas para análise de funções da economiaPode-se averiguar que as funções custo e receita cruzam-se em dois pontos representandoque nestas quantidades produtivas o lucro é nulo, nota-se também que nestes mesmosquantidades produtivas a função lucro intercepta a função custo fixo. Com estasinformações podemos notar que a faixa de lucro positivo encontra-se entre a interseçãodestas duas funções, local onde a receita é maior que os custos. Funções da economia C(X)= 10 + 0.7X R(x) R(X)= 1.1 * X 70 L(X)=R - C 60 50 C(x) 40 30 $ 20 L(x) 10 0 -10 0 20 40 60 80 -20 Quantidade ProduzidaOBS:1- Pela tabela e pelo gráfico pode-se averiguar que quando R(X) = C(X), tem-se Xentre 20 e 30, unidades produzida aproximadamente. Indicando que lucro só existe após afabricação de pelo menos 30 unidades do produto.OBS:2- Para encontrar o número exato basta igualarmos as duas funções:C(X)= 10 +0.7 * X eR(X)= 1.1 * X e, isolarmos x.(10 + 0.7 * X = 1.1 * X) ou (10 = 1.1 * X - 0.7 * X) ou (10 = 0.4 * X), logo X= 25unidades. 70 C(X)= Cf + CV R(X)= 0.7 * X 60 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60 70Na conclusão, identifica-se que:Métodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com
  8. 8. Técnicas matemáticas para análise de funções da economia • Qualquer produção e venda abaixo de 25 unidades do produto representará prejuízo para a empresa. • Nestas condições haverá lucro após 25 unidades produzidas.CAPACIDADE IDEAL COM PREÇOS VARIÁVEIS (demanda elástica)Por vezes, as empresas podem diminuir seus preços de venda para induzir um aumento nademanda e, também a sua necessidade de produção. Isto quando existe capacidade ociosade produção, a questão é definir até quanto se pode reduzir o preço e aumentar aprodução mantendo um lucro aceitável.A implementação da diminuição do preço de venda torna-se viável até certo ponto, emvirtude de algumas causas: • Utilização da capacidade plena de produção, diminuindo o custo médio por unidade produzida; • Busca de maior parcela de mercado (Market share) frente aos concorrentes; • Pode Aumentar o lucro máximo das empresas.Exemplo 1:Um analista quer identificar a sensibilidade do mercado em relação à variação ao preçode venda de cerveja e constatou que as vendas semanais aumentaram de 100 para 150garrafas quando o preço caiu 25%.Se o preço de venda antigo era 4 reais, determine:a- A equação da demanda de cerveja.b- O preço a ser praticado para se vender 200 garrafas, segundo esta análise de mercado.c- Quantas garrafas serão entregues a um preço zero? Preço X vendasResolução: a- Montando a tabela representativa das vendas x preço; 4.5 4 3.5 Preço 3 Unidades Vendidas Preço (R$) Preços 2.5 2Métodos de Gestão – Matemática Aplicada 1.5 1Prof. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com 0.5 0 0 50 100 150 200 Vendas
  9. 9. Técnicas matemáticas para análise de funções da economia “X” “P” 100 4 150 3Calculando a taxa de variação TV ou b (mais conhecido como coeficiente angular) ∆y Variação Pr eço 3 −4 −1b= = = = = −0.02 ∆x VariaçãoVendas 150 −100 50Encontrando a equação da reta: y(x)= ax + bY – Y0 = b(X – X0); Definindo (X0,Y0) = (Vendas, Preço) = (100, 4), tem-se:Y – 4 = -0.02 (X – 100)Y(X) = -0.02X + 6 -(Equação representativa da demanda em função do preço) Preço X Demanda x y(x)= -0.02X + 6 7 0 6 6 10 5.8 5 50 5 4 Preço 100 4 3 150 3 2 200 2 y(x)= -0.02X + 6 1 250 1 0 0 100 200 300 DemandaMétodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com
  10. 10. Técnicas matemáticas para análise de funções da economiaDe posse da equação da demanda pode-se a partir da quantidade que se queira vender,determinar o preço a ser praticado, que por sua vez é limitado pelos custos de produção.Tais custos entre outros fatores, ajuda a formação da opinião do produtor na quantidadeque ele irá ofertar no mercado na busca por maximizar seus lucros.Função OfertaA função oferta demonstra a relação da quantidade oferecida pelo fabricante de umdeterminado produto em função do preço de mercado praticado.Exemplo: A tabela abaixo representa a opinião do produtor na quantidade que ele iráofertar no mercado em função do preço. Oferta X Preço Preço 120 100 X-Oferta P-Oferta 80 Preço 8 80 60 40 10 100 20 0 0 2 4 6 Oferta 8 10 12Que neste caso gera a seguinte equação.Calculando a taxa de variação TV ou b (mais conhecido como coeficiente angular) ∆y Variação Pr eço 100 − 80 20b= = = = = 10 ∆x VariaçãoOferta 10 − 8 2Encontrando a equação da reta: y(x)= ax + bY – Y0 = b(X – X0); Definindo (X0,Y0) = (Oferta, Preço) = (8, 80), tem-se:Y – 80 = 10 (X – 8) ou Y(X) = 10X -80 + 80 =10XY(X) = 10X -(Equação representativa da oferta em função do preço)Repetindo os procedimentos para tabela representativa da demanda deste produto, tem- Demanda X Preçose: 120 P-Demanda 100 X-Demanda P-Demanda 80 10 100 Preço 60 100 10 40 20 0 0 50 100 150 De mandaMétodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com
  11. 11. Técnicas matemáticas para análise de funções da economiaCalculando a taxa de variação TV ou b (mais conhecido como coeficiente angular) ∆y Variação Pr eço 100 −10 90b= = = = = −1 ∆x VariaçãoVendas 10 −100 − 90Encontrando a equação da reta: y(x)= ax + bY – Y0 = b(X – X0); Definindo (X0,Y0) = (Vendas, Preço) = (10, 100), tem-se:Y – 100 = -1 (X – 10)Y(X) = -1X + 110 -(Equação representativa da demanda em função do preço)Os gráficos Abaixo representam as duas funções. Oferta X Preço Demanda X Preço P-Demanda P-oferta 600 120 500 100 400 80 Preço Preço 300 60 200 40 100 20 0 0 0 10 20 30 40 50 60 0 20 40 60 80 100 120 Oferta Dem anda Y(x)=10XY(x)=-1X + 110X-ofertaP- Oferta X Demanda P-oferta ofertaP- P-Demanda Demanda00110101001002020090505 600 0060 500 400 $ Preços 300 200 100 0 0 10 20 30 40 50 60 Quant. de produtoO cruzamento da oferta com a demanda gera o ponto de equilíbrio E=(XE,YE), onde:XE :- Quantidade ideal aceita pelo mercado a um Preço YE, para que não sobre nem falteproduto no mercado, chamado de equilíbrio de mercado entre consumidores efornecedores.Exemplo: Análise de um conjunto de funções custo/receita/lucro na determinação daprodução ideal para maximizar o lucro de um produto com demanda elástica.Métodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com
  12. 12. Técnicas matemáticas para análise de funções da economiaAqui temos uma empresa averiguando seus custos e lucros entre os volumes de produção,buscando aumentar sua produção abaixando o preço de venda. Atualmente tem-se umaprodução de 60 unidades para suprir a demanda, a um custo unitário de $ 0.70 porunidade e um preço de venda de $ 1,1 por unidade. Sabe-se que a cada $ 0.10, dediminuição no preço, corresponde a um aumento de 10 unidades de produtosdemandados. Conhecendo esta realidade compensa a empresa aumentar sua produção queé limitada em 100 unidades?A resposta é encontrada na análise de custos e rendimentos da tabela abaixo, mais osgráficos seguintes.Tabela da demanda Grafico da demanda Preço Preç 1.2 Demanda o 1 60 1.1 70 1 0.8 Preço 80 0.9 0.6 90 0.8 0.4 100 0.7 0.2 0 0 50 100 150 Quan. ProduzidasUsando a Regressão linear pelo Excel pode-se encontra a equação da reta da demanda,onde:Preço (P(x)) = ponto onde a reta intercepta o eixo do preço (interseção) + (coeficiente deinclinação da reta ou variação individual do preço (Coeficiente X)) x (Quantidade deprodutos analisada (X)).Resumindo: P(x) = (interseção) + (Coeficiente X) * X, chegando-se a uma equação dareta P(X) = a + bX;Do exemplo a equação da demanda será: P(X) = 1.7 - 0.01XAnálise de custos e rendimentos a partir de diminuição do preço de vendaDo exemplo: diminuindo o preço, em $ 0.10, teremos uma nova planilha de custos.Métodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com
  13. 13. Técnicas matemáticas para análise de funções da economiaQuantP.(X) Cf Cv(X)=0.7*X C(X)= Cf + CV R(X)= 1.0 * X L(X)=R - C 10 10 7 17 10 -7 20 10 14 24 20 -4 30 10 21 31 30 -1 40 10 28 38 40 2 50 10 35 45 50 5 60 10 42 52 60 8 70 10 49 59 70 11 80 70 60 50 Cf= 10 40 C(X)= Cf + CV 30 R(X)= 1.0 * X 20 L(X)=R - C 10 0 -10 0 20 40 60 80 -20Do exemplo: diminuindo o preço, em $ 0.20, teremos uma nova planilha de custos.QuantP.(X) Cf Cv(X)=0.7*X C(X)= Cf + CV R(X)= 0.9 * X L(X)=R - C 10 10 7 17 9 -8 20 10 14 24 18 -6 30 10 21 31 27 -4 40 10 28 38 36 -2 50 10 35 45 45 0 60 10 42 52 54 2 70 10 49 59 63 4 80 10 56 66 72 6Do exemplo: diminuindo o preço, em $ 0.30, teremos uma nova planilha de custos.QuantP.(X) Cf Cv(X)=0.7*X C(X)= Cf + CV R(X)= 0.8 * X L(X)=R - C 10 10 7 17 8 -9 20 10 14 24 16 -8 30 10 21 31 24 -7 40 10 28 38 32 -6 50 10 35 45 40 -5 60 10 42 52 48 -4Métodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com
  14. 14. Técnicas matemáticas para análise de funções da economia 70 10 49 59 56 -3 80 10 56 66 64 -2 90 10 63 73 72 -1Do exemplo: diminuindo o preço, em $ 0.40, teremos uma nova planilha de custos.QuantP.(X) Cf Cv(X)=0.7*X C(X)= Cf + CV R(X)= 0.7 * X L(X)=R - C 10 10 7 17 7 -10 20 10 14 24 14 -10 30 10 21 31 21 -10 40 10 28 38 28 -10 50 10 35 45 35 -10 60 10 42 52 42 -10 70 10 49 59 49 -10 80 10 56 66 56 -10 90 10 63 73 63 -10 100 10 70 80 70 -10Analisando as planilhas de custos pode-se observar que qualquer aumento de produçãonecessário para suprir uma demanda acrescida por diminuição de preços é inviável,diminuindo seu lucro total.Todo esta trabalho de cálculos em planilhas para buscar a quantidade ideal a serproduzida para maximizar a receita e o lucro pode ser suavizado usando técnicasmatemáticas, basta obtermos as funções:C(X) = Cf +Cv(X) (a equação que representa o custo total de produção)P(X) = a + bX; (a equação que representa o preço da demanda)R(X) = P(X)*X; (a equação que representa a receita em função do preço da demanda)L(X) = R(X) - C(X); (a equação que representa o lucro total da produção)A partir do exemplo podemos definir todas:C(X) = 10 +0.7X (a equação que representa o custo total de produção)P(X) = 1.7 + 0.01X; (a equação que representa o preço da demanda)R(X) = P(X)*X = (1.7 + 0.01X) * X = 1.7X + 0.01X2;L(X) = R(X) - C(X) = 1.7X + 0.01X2 – (10 +0.7X) = 0.01X2 + X – 10Métodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com
  15. 15. Técnicas matemáticas para análise de funções da economiaMontando a tabela para análise de custos e rendimentos, utilizando as funções obtidas doexemplo com preço de venda em $ 1,10, tem-se:QuantP. Cf= Cv(X)= C(X)= R(X)= L(X)=(X) 10 0.7 * X 10 + 0.7X 1.7X+ 0.01X2 0.01X2 + X - 1010 10 7 17 16 -120 10 14 24 30 630 10 21 31 42 1140 10 28 38 52 1450 10 35 45 60 1560 10 42 52 66 1470 10 49 59 70 1180 10 56 66 72 690 10 63 73 72 -1100 10 70 80 70 -10170 10 119 129 0 -129 Cf= 10 C(X)= 10+0.7*X Lucro X Receita X Custo 90 R(X) L=R - C C(X) 80 70 R(X) 60 50 Rendimentos 40 30 20 Cf 10 0 -10 0 20 40 60 80 L(X) 100 120 -20 QuantidadeAo analisar o gráfico em conjunto das funções podemos verificar que nos pontos (X=10 eX=90) em que a curva de R(X) interceptar a curva de C(X) o lucro correspondente é zero,ou seja, a curva de L(X) cruza o eixo x, significando que o lucro nestes níveis deprodução é nulo.Métodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com
  16. 16. Técnicas matemáticas para análise de funções da economiaAo analisar visualmente as curvas de R(X) e L(X), percebemos que elas atingem ummáximo valor em “X=80 e X=50” respectivamente, ou seja, nestes pontos as duasfunções obtém seus maiores resultados. Estes valores podem ser encontrados pelaanalogia de suas equações, que são equações de segundo grau com concavidade voltadapara baixo. Como tais funções apresentam gráficos simétricos, pode-se encontras asraízes da equação "X1 e X2" (Pontos que interceptam o eixo x) e encontram um pontomédio "X m = (X1 + X2)/2" no qual a função alcançará seu máximo.Encontrando “X1 e X2 e Xm” das funções do exemplo, onde:R(X) = 1.7X - 0.01X2, sendo a = -0.01, b = 1.7 e c = 0L(X) = -0.01X2 + X – 10 sendo a = -0.01, b = 1 e c = -10Substituindo nas equações abaixo tem-se: 2 2X1= −b+ b − 4ac X2= −b− b − 4ac 2a 2aPara receita R(X), X1= 0 e X2= 170 (Pode-se verificar na planilha) X1 + X 2 0 +170Logo Xm = = = 85 é ponto de máximo de R(X), ou seja, para se 2 2conseguir a receita máxima é necessário produzir 85 unidades de produto, mas nemsempre receita máxima significa lucro máximo.Para Lucro L(X), X1= 11.5 e X2= 100 (Pode-se verificar na planilha e pelo gráfico) X 1 + X 2 11.5 +100Logo Xm = = = 55.25 é ponto de máximo de L(X), ou seja, para 2 2se conseguir a lucro máximo é necessário produzir 55.25 unidades de produto.Tal estudo se justifica porque os níveis de produção para alcançar a receita máxima nemsempre podem significar lucro máximo.Métodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com
  17. 17. Técnicas matemáticas para análise de funções da economiaPara fins de comparação montou-se a tabela abaixo que representa os cálculos sem autilização das funções da economia do exemplo, com um preço de venda de $ 1.10 e umcusto unitário de 0.7.QuantP.(X) Cf= 10 Cv(X)=0.7*X C(X)= Cf + CV R(X)= 1.1 * X L(X)=R - C10 10 7 17 11 -620 10 14 24 22 -230 10 21 31 33 240 10 28 38 44 650 10 35 45 55 1060 10 42 52 66 14 70 60 50 40 C(X)= Cf + CV 30 R(X)= 0.7 * X 20 10 0 0 20 40 60 80Pode-se observar que existe grande semelhança nos valores encontrados nas duas formasde análise, cada uma com suas vantagens e desvantagens.Exercícios de técnicas matemáticas para Análise de funções da economiaMétodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com
  18. 18. Técnicas matemáticas para análise de funções da economia(Prof. Rogério Orlandeli)Exercício 1 :- Capacidade ideal de produção com preços fixos (Demanda inelástica)Uma empresa esta averiguando seus custos e lucros entre os turnos de produção,buscando adicionar um Turno Extra. Atualmente consegue-se uma produção de 60unidades em dois turnos a um custo variável de $ 0.80 por unidade e um custo fixo de $11.00, por turno. Verificou-se que um terceiro turno apresenta um custo unitário variávelde $ 1.00 e uma produção de 29 unidades.A um preço de venda de $ 1,10 por unidade, é viável implementarmos o terceiro turno?Comente sua resposta.Para tal análise, Preencha a tabela;QuantP.(X) Cf= 110 Cv(X)=0.8*X C(X)= Cf + Cv R(X)= 1.1*X L(X)=R - C10 11 820 11 16 Turno 130 11 2440 11 3250 11 40 Turno 260 11 4870 11 70 Cv(X)=1.0*X80 11 80 Turno 389 11 89A partir dos valores da tabela montou-se o gráfico, 120 100 80 Cf= 10 60 C(X) R(X)= 1.1*X 40 20 0 0 20 40 60 80 100Onde você deve: 1. Descrever o que são seus eixos; 2. Demarcar as funções nele representado;Métodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com
  19. 19. Técnicas matemáticas para análise de funções da economia 3. Demarcar no gráfico o ponto onde o lucro é nulo; 4. Demarcar, a faixa de lucro; 5. Com que produção obtém-se o lucro máximo;Exercício 2 :- Um analista quer identificar a sensibilidade do mercado em relação àvariação ao preço de venda de sorvete em casquinha e, constatou que as vendas semanaisaumentaram de 500 para 750 casquinhas quando o preço caiu 25%.Se o preço de venda antigo era 2 reais, determine:a- A equação da demanda de cerveja.b- O preço a ser praticado para se vender 200 garrafas, segundo esta análise de mercado.c- Quantas garrafas serão entregues a um preço zero?Exercício 3 :- Capacidade ideal de produção com preços variáveis (Demanda elástica)Uma empresa esta averiguando seus custos e lucros entre os volumes de produção, buscandoaumentar sua produção abaixando o preço de venda. Atualmente tem-se uma produção de 80unidades para suprir a demanda a um custo unitário de $ 0.70 por unidade, o custo fixo é de $50,00 e o preço de venda de $ 1,30 por unidade. Sabe-se que cada $ 0.10, de diminuição no preço,corresponde a um aumento de 10 unidades de produtos demandados.Conhecendo esta realidade, compensa a empresa aumentar sua produção que é limitada em 120unidades? Comente sua resposta, onde: • A relação do preço e demanda é expresso pela tabela abaixo (completar a tabela). Que da origem a equação da demanda P(X) = 2.1 – 0.01X. Preço x demanda Preço Demanda Preço 1.4 80 1.3 1.2 90 1 100 0.8 110 0.6 120 0.4 0.2a- Descobrir as funções: 0 0 20 40 60 80 100 120 140 1. C(X) = Cf +Cv(X); 2. R(X) = P(X)*X; 3. L(X) = R(X) - C(X).Métodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com
  20. 20. Técnicas matemáticas para análise de funções da economiaDada a função da demanda P(X) = 2.1 – 0.01X.b- Montar a tabela de análise abaixo, montar o gráfico da função receita e da função lucro edeterminar as quantidades ideais de produtos para maximizá-las. Quant.(X) C(X)= R(X)= L(X)= 50 60 70 80 90 100 110 1204- Encontre o ponto de equilíbrio entre a oferta (O) e a demanda (D) e esboce o pontograficamente. a- O: p= x + 2 Onde: p – preço praticado pelo mercado, é a variável dependente. D: p= -3x +10 x – quantidade de produtos ofertados ou demandados b- O: p= x + 1 Onde: p – preço praticado pelo mercado, é a variável dependente. D: p= -2x +8 x – quantidade de produtos ofertados ou demandadosReferências BibliográficasFOINA, Paulo R. Planejamento e Gestão, Atlas 2001.Métodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com
  21. 21. Técnicas matemáticas para análise de funções da economiaMOTTA, Sá. et al. Manual da administração da produção, Getulio Vargas.CHASE, Richard B. Administração da Produção para vantagem competitiva, McGraw Hill 2006.PALADINI, Edson P. Gestão da Qualidade Teoria e Casos, Campus.WEBSTER, Allen L. Estatística Aplicada à administração e Economia, Mc Graw Hill2006.COELHO, Flávio U. Curso Básico de Cálculo, Saraiva 2005.MEDEIROS, Matemática para os cursos de Administração, Economia e CiênciasContábeis, Atlas.BRUNI, Adriano L. Estatística Aplicada À Gestão Empresarial, Atlas.Métodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com
  22. 22. Técnicas matemáticas para análise de funções da economiaMOTTA, Sá. et al. Manual da administração da produção, Getulio Vargas.CHASE, Richard B. Administração da Produção para vantagem competitiva, McGraw Hill 2006.PALADINI, Edson P. Gestão da Qualidade Teoria e Casos, Campus.WEBSTER, Allen L. Estatística Aplicada à administração e Economia, Mc Graw Hill2006.COELHO, Flávio U. Curso Básico de Cálculo, Saraiva 2005.MEDEIROS, Matemática para os cursos de Administração, Economia e CiênciasContábeis, Atlas.BRUNI, Adriano L. Estatística Aplicada À Gestão Empresarial, Atlas.Métodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com

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