1. Connect your Facebook account to check out what your friends are sharing on SlideShare
Connect ×
SlideShare
Upload
Browse
Go Pro
Login
Signup
Email
Favorite
Download
Embed

3. ‹›

4. 1
/19
Related
More
20 effective ways to use digital comics in the classroom 345 views
Getting behind the Perfect Pitch - Harvard Innovation Lab Workshop
3775 views
10 Trends on Mobile 384 views
20120124 Europe Asia Event Forum 554 views
HR Outsourcing From A to Z 287 views
10 Amazing Mobile Figures 763 views
How to Publish a Book 1391 views
Promoting peace 2013 867 views

5. New Teacher Evaluation System. Admin Retreat 1-14-13. Shepard
977 views
Carat: 10 trends for 2013 1503 views
Streamlining Nonprofit Organizations - It's all About the Cloud!
3538 views
10 creativity tips from the world's greatest scientists 1851 views
Climate Change in the American West 879 views
Tips on how to pitch 963 views
All Hands Support - Talk to your Customers 2714 views
When it all goes wrong (because it will) 1207 views
Taking the hippie bus to the enterprise 503 views

6. Big Data in Healthcare: Case Study on Brigham & Women's Hospital
1138 views
The Power of a Lawyer's Online Presence 1380 views
No one uses smart TV because its sucks (Prisa Digital R&D connected TV
and 2nd … 806 views
Important Quotes from the 2013 Presidential Inauguration 900 views
Enterprise Customer Experience - DRI 1553 views
12+1 Business Tactics to Steal - edition 2013 - by @boardofinno
4045 views
The story of snapchat. 1573 views
why agile? 2967 views
Social Justice and Equity through Information 1173 views

7. How to set up a Global Strategy on Social Media? 1650 views
Dr. Judy Garber on Cancer Genetics 968 views
Instagram in the philippines 2013 1000 views
Pubcon Blog Planning Strategies 1228 views
Social Media & International Justice 927 views
Design (for developers) 1145 views
The Shocking State of SEO in 2013 4586 views
ROI of Blogger Press Trips and How to do it right! 1373 views
The Starter League - How to become RubyOnRails hero from
programming zero 823 views

8. Conversion Content Marketing by Scott Brinker 1657 views
M2 Research: CES Presentation - Game Trends in 2013 1097 views
10 Things for an Online Portfolio 1475 views
How to become your design co-founder 23284 views
How To Promote Your Business on LinkedIn 12145 views
0
inShare
Pin It
Wordpress
+ Follow
Cara cepat menyelesaikan graf
by Oka Ambalie on Dec 26, 2012
144 views
No comments yet
Subscribe to comments Post Comment
1 Favorite
Oka Ambalie, teacher at SMP Negeri 1 Mengwi 3 weeks ago

9. Cara cepat menyelesaikan graf Document
Transcript
1. 1 BAB I PENDAHULUAN1.1 Latar Belakang Masalah Dalam suatu model matematika,
berbagai masalah atau situasi kehidupan sehari-hari biasanya didefinisikan kemudian
dinyatakan dalam suatu sistem yang bersifat matematis. Salah satu contoh representasi
keadaan nyata (riil) yag banyak diketahui dapat kita jumpai dalam geometri datar, program
linier maupun trigonometri. Graf merupakan contoh lain dari representasi keadaan nyata yang
banyak sekali manfaatnya. Graf secara kasar dapat diartikan sebagai suatu diagram yang
memuat informasi tertentu jika di interpretasikan secara tepat. Dalam kehidupan sehari-hari
graf diguakann untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya adalah
sebagai visualisasi objek- objek agar lebih mudah dimengerti. Beberapa contoh graf yang
dijumpai dalam kehidupan nyata, antara lain struktur organisasi, bagan alir pengambilan mata
kuliah, peta, rangkaian listrik dll. Tiap diagram memuat sekumpulan objek (kotak,titik dll.)
dan garis yang menghubungkan objek-objek tersebut. Garis bisa berarah atau tidak berarah.
Garis berarah biasanya digunakan untuk menyatakan hubungan yang mementingkan urutan
diantara objek-objek. Urutan objek-objek akan berarti lain jika arah garis diubah. Sebaliknya,
garis
2. 2 tidak berarah digunakan untuk menyatakan hubungan antara objek yang tidak
mementingkan urutan. Karena begitu pentingnya aplikasi graf dalam kehidupan sehari-hari
dan pada perkembangan komputer maka pemahaman teori graf mutlak untuk dipahami
dewasa ini supaya kita tidak hanya terjebak dalam penguasaan kulit tanpa pengertian akan
isinya. Terkadang dalam menggambar graf sederhana biasanya kita akan mengalami
kesulitan dalam menentukan urutan gambar yang belum digambar. Oleh karena itu, dalam
seminar matematika ini penulis akan khusus mengkaji dasar teori graf hingga penyelesaian
graf sederhana menggunakan cara yang lebih efektif yang ditemukan penulis sendiri sehingga
gambar graf akan tersusun secara sistematis dan jauh dari kesulitan dalam menentukan
gambar graf yang belum digambar pada banyak graf-graf sederhana yang terbentuk dari
beberapa titik dan beberapa garis.1.2 Rumusan Masalah 1.2.1 Apakah yang dimaksud dengan
graf ? 1.2.2 Apakah dasar-dasar teori graf ? 1.2.3 Bagaimana cara efektif untuk
menyelesaikan graf sederhana dalam mata kuliah matematika diskrit ?
3. 31.3 Tujuan Dari latar belakang dan rumusan masalah yang telah terurai, maka tujuan yang
ingin dicapai dalam seminar makalah ini adalah: 1.3.1 Anggota seminar dapat memahami
pengertian graf. 1.3.2 Anggota seminar dapat memahami dasar-dasar teori graf. 1.3.3
Anggota seminar dapat memahami dan menggunakan cara efektif untuk menyelesaikan graf
sederhana dalam mata kuliah matematika diskrit.1.4 Manfaat 1.4.1 Manfaat Praktis Hasil
seminar ini diharapkan dapat bermanfaat bagi mahasiswa, guru dan pemerhati pendidikan
khususnya di bidang matematika. a. Bagi mahasiswa Hasil penelitian ini diharapkan dapat
meningkatkan kemampuan berpikir mahasiswa dan penentuan sikap ataupun karakter yang
tepat dalam upaya meningkatkan prestasi belajar mahasiswa. b. Bagi guru dan pemerhati
pendidikan Menambah masukan tentang alternatif dalam menyelesaikan graf sederhana
sehingga dapat memberikan sumbangan nyata bagi peningkatan prestasi belajar matematika
mahasiswa selanjutnya.
4. 41.4.2 Manfaat Teoretis Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi
dalam bidang pendidikan dan memperkaya teori pendidikan khususnya dalam bidang
matematika.
5. 5 BAB II PEMBAHASAN2.1 Landasan Teori2.1.1 Pengertian Graf Graf secara kasar
dapat diartikan sebagai suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika di interpretasikan
secara tepat. Dalam kehidupan sehari-hari graf diguakann untuk menggambarkan berbagai

10. macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek- objek agar lebih
mudah dimengerti. Beberapa contoh graf yang dijumpai dalam kehidupan nyata, antara lain
struktur organisasi, bagan alir pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian listrik dll. Tiap
diagram memuat sekumpulan objek (kotak,titik dll.) dan garis yang menghubungkan objek-
objek tersebut. Garis bisa berarah atau tidak berarah. Garis berarah biasanya digunakan untuk
menyatakan hubungan yang mementingkan urutan diantara objek-objek. Urutan objek-objek
akan berarti lain jika arah garis diubah. Sebaliknya, garis tidak berarah digunakan untuk
menyatakan hubungan antara objek yang tidak mementingkan urutan.
6. 62.1.2 Dasar-dasar teori Graf Definisi 2.1.2 Sebuah graf adalah suatu himpunan V yang
tidak kosong, yang memenuhi sifat tidak refleksi dan simetris dari suatu relasi pada V. Suatu
graf G terdiri dari dua himpunan yang berhingga, yaitu himpunan titik-titik yang tak kosong
dan himpunan garis-garis. Oleh karena relasi R pada V simetris, maka untuk setiap pasangan
terurut (u,v) ϵ R dinotasikan dengan E. Sebagai contoh, sebuah graf G dapat didefinisikan
dengan himpunan V = {v1 ,v2 ,v3,v4 } dan relasi R = {( v1,v3), (v2,v3), ( v2,v4), ( v3,v4), (
v3,v1) ( v3,v2), ( v4,v2) ,( v4,v3) } Dalam hal ini E = {( v1,v3), (v2,v3), ( v2,v4), ( v3,v4) }
= (e1, e2 ,e3 ,e4 ) Dalam sebuah graf G, V merupakan himpunan titik dan setiap elemen V
disebut titik (vertex) yang disimbolkan dengan V(G). banyaknya titik dalam G disebut orde
dari G. sedangkan E disebut sisi (Edge) yang
7. 7disimbolkan dengan E(G). Banyaknya sisi dalam G disebut dengan ukurandari G.Dengan
demikian |V| = orde dari G dan |E| = ukuran dari G.Setiap garis berhubungan dengan satu
atau dua titik. Titik-titik tersebutdisebut dengan titik ujung.Garis yang hanya berhubungan
dengan satu titik disebut dengan loop.Dua garis berbeda yang menghubungkan titik yang
sama disebut degangaris pararel. Dua titik dikatakan berhubungan (adjecent) jika ada
garisyang menghubungkan keduanya. Titik yang tidak mempunyai garis yangberhubungan
dengannya disebut titik terasing (isolating point).Jika graf G didefinisikan dalam bentuk
sebuah himpunan titik V dan suaturelasi R pada V, maka (u,v) ϵ R dan (v,u) juga elemen
R.Dengan demikian {(u,v),(v,u)} adalah sebuah sisi dari G.Untuk memudahkan penulisan,
sebuah sisi cukup dinyatakan dalam notasiuv atau vu saja. Dengan demikian graf G dalam
contoh diatas dapatdijadikan sebagai himpunan V= {v1 ,v2 ,v3,v4 } dan E = {( v1,v3),
(v2,v3),( v2,v4), ( v3,v4) } sehingga orde dan ukurannya adalah 4. Himpunan V x V
dimungkinkan berupa himpunan kosong, karenarelasi R pada V memenuhi sifat tidak
refleksif dan antisimetris.
8. 8 Hal ini berakibat bahwa himpunan sisi dari suatu graf bisa berupa himpuan kosong atau
dengan kata lain sebuah graf mungkin tidak mempunyai sisi. Graf yang tidak memiliki titik
(sehingga tidak memiliki garis) disebut dengan graf kosong. Dalam graf tak berarah
(undirected graph) yaitu graf yang semua garisnya tidak berarah, garis e dengan titik ujung (
u,v) menyatakan suatu garis dari titik u ke titik v. Dengan diketahuinya graf, maka himpunan
garis, titik, serta titik-titik ujungnya adalah tunggal. Akan tetapi tidak berlaku sebaliknya.
Dengan diketahui himpunan garis, titik serta titik-titik ujungnya, maka dapat dibentuk graf
yang berbeda. Perbedaan graf tersebut terletak pada panjang garis, kelengkungan dan posisi
titik yang berbeda antara graf yang satu dengan yang lainnya. Akan tetapi, visualisasi
perbedaan panjang garis, kelengkungan dan posisi titik tidak berpengaruh, maka graf-graf
tersebut merupakan graf yang sama meskipun secara visual tampak berbeda.2.1.3 Derajat
(Degree)
9. 9 Sebelumnya sudah diperkenalkan dua bilangan yang berkenaandengan orde dan ukuran
sebuah graf. Selanjutnya kita akan membicarakansejumlah bilangan yang berkaitan dengan
suatu graf G. Misalkan v adalahsebuah titik dari G. banyaknya sisi dari G yang berujung di v
disebutdengan derajat dari v yang disimbolkan dengan deg Gv atau deg v ataud(v).Definisi
2.1.3 : Misalkan v adalah titik dalam suatu graf G. Derajattitik v (deg v) adalah jumlah garis
yag berhubunngan dengan titik v dangaris suatu loop dihitung dua kali. Derajat total G adalah

11. jumlah derajatsemua titik dari G.Teorema 2.1.3.1 : Misalkan G adalah sebuah graf. Jumlah
derajat total psuatu graf adalah genap atau ∑ deg v i =1 i = 2qTeorema 2.1.3.2 : Jika k adalah
banyaknya titik ganjil dari suatu graf,maka k genap atau jumlah titik yang berderajat ganjil
dalam suatu grafadalah genap. Misalkan R adalah jumlah derajat semua titik yang
berderajatgenap, S adalah jumlah derajat semua titik yang berderajat ganjil dan Tadalah
derajat total graf G.
10. 10 Jika R=deg v1 + deg v2 + ... + deg vk S= deg u1 + deg u2 + ... + deg un Maka T = R +
S, dimana T adalah bilangan genap. Dari relasi T = R + S berarti S = T - R. Oleh karena T
dan R bilangan –bilangan genap, maka S = deg u1 + deg u2 + ... + deg uk merupakan
bilangan genap. Padahal menurut asumsi deg u1 + deg u2 + ... + deg uk masing-masing
adalah bilangan ganjil. Jadi S berupa bilangan genap jika merupakan jumlahan uk buah
bilangan ganjil. Hal ini bisa terjadi apabila banyaknya uk atau k adalah genap.2.1.4 Graf
Sederhana ( Simple Graph ) Definisi 2.1.4 : graf sederhana adalah graf yang tidak memiliki
loop atau pun garis pararel. Contoh 2.1.4.1 : Gambarlah semua graf yang dapat dibentuk dari
3 titik {a,b,c} dan 2 garis. Penyelesaian :
11. 11Dalam graf sederhana sebuah garis selalu berhubungan dengan dua buah 3!titik. Oleh
karena ada 3 buah titik, maka 3 C 2 = = 3 buah garis (3 − 2)!2!yang mungkin dibuat, yaitu
garis-garis yang titik ujungnya (a,b) , (a,c) dan(b,c). Selanjutnya dari tiga garis yang mungkin
akan dipilih 2 diantaranya. 3!Jadi ada 3 C 2 = = 3 buah graf yang mungkin dibentuk. (3 −
2)!2!Graf –graf tersebut dapat dilihat pada gambar 2.1 berikut ini. a a a b c b c b c Gambar
2.1Jika tiap titik dari suatu graf G memiliki derajat yang sama misalnya n,maka graf G adalah
graf regular denngan derajat n (graf lengkap) atausering disebut dengan n-reguler. Sebuah
graf lengkap orde p adalah(p-1) – regular dan dinotasikan dengan Kp.
12. 122.1.5 Cara Efektif Menyelesaikan Graf Sederhana Contoh 2.1.5 : Gambarlah graf yang
dapat dibentuk dari 5 buah titik dan 3 buah garis. Penyelesaian : Langkah 1 ; Dalam graf
sederhana sebuah garis selalu berhubungan dengan dua buah 5! titik. Oleh karena ada 5 buah
titik, maka 5 C 2 = = 10 buah garis (5 − 2)!2! yang mungkin dibuat. Selanjutnya dari tiga
garis yang mungkin akan dipilih 2 diantaranya. 10! Jadi ada 10 C3 = =120 buah graf yang
mungkin dibentuk. (10 − 3)!3! Langkah 2 ; Kita misalkan titik-titik yang ada dinamakan titik
{a,b,c,d,e}. Sehingga didapat 10 garis yang titik ujungnya {ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce,
de} Misalkan, {ab=1, ac=2, ad=3, ae=4, bc=5, bd=6, be=7, cd=8, ce=9, de=10} Sehingga
dapat dibuat tabel atau diagram sebagai berikut :
13. 13
14. 14Sehingga gambar graf yang terbentuk dari tabel adalah sebagai berikut : a 1. Graf 123 :
b e c d a 2. Graf 124 : b e c d a 3. Graf 125 : b e c dDan seterusnya hingga 120 gambar
graf.Soal Latihan : 1. Buatlah semua graf yang terbentuk dari 4 buah titik dan 3 buah garis !
15. 15 BAB III PENUTUP3.1. Kesimpulan Dengan penyelesaian graf menggunakan cara
efektif seperti diatas, maka diharapkan pembaca akan lebih mudah dalam menggambar graf
yang terbentuk. Terutama dalam pembuatan graf dalam jumlah besar seperti pada contoh
2.1.5 dengan jumlah graf sebanyak 120 buah.3.2. Saran Diharapkan kepada pembaca agar
mempelajari materi di berbagai sumber atau referensi mengingat cakupan materi yang
disajikan dalam makalah ini masih sangat terbatas. Diharapkan kepada pembaca agar
memperhatikan seminar sebaik mungkin, karena jika hanya berdasarkan makalah,
pemahaman mengenai isi materi belum optimal.
16. 16 DAFTAR PUSTAKAJong Jek Siang. 2006. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada
Ilmu Komputer .Yogyakarta:AndiEka Mahendra I Wayan.2010 .Diktat Mata Kuliah
Matematika Diskrit. Denpasar
17. 17
18. 17
19. 17

12. Connect on LinkedIn
Follow us on Twitter
Find us on Facebook
Find us on Google+
Learn About Us
About
Careers
Our Blog
Press
Contact us
Help & Support
Using SlideShare
SlideShare 101
Terms of Use
Privacy Policy
Copyright & DMCA
Community Guidelines
SlideShare on mobile
Pro & more
Go PRO New
Business Solutions
Advertise on SlideShare
Developers & API
Developers Section
Developers Group
Engineering Blog
Blog Widgets
© 2013 SlideShare Inc. All rights reserved.
RSS Feed
ENGLISH

31. ‹›

32. 1
/19