el icosaedro

1. Un icosaedro es un poliedro de veinte caras, convexo o cóncavo. Si las veinte
caras del icosaedro son triángulos equiláteros y congruentes, iguales entre sí,
el icosaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los
llamados sólidos platónicos. El poliedro conjugado del icosaedro es el
dodecaedro.Cálculo de dimensiones fundamentales
Radio externo
Radio interno
Ángulo
El ángulo que forman los vectores que van del centro a dos vértices adyacentes
es constante y vale:
Volumen, área y desarrollo
Animación de uno de los desarrollos del Icosaedro.
Dado un Icosaedro regular de arista a, se puede calcular su volumen V mediante
la siguiente fórmula:
(Aproximadamente 2,18·a³)
Y el área total de sus caras A (que es 20 veces el área de una de ellas, Ac),
mediante:
(Aproximadamente 8,66·a²)
Desarrollo del icosaedro: Las siguientes coordenadas cartesianas definen los
vértices de un icosaedro centrado en el origen:
(0, ±1, ±f)
(±1, ±f, 0)
(±f, 0, ±1)
Donde f = (1+v5)/2 es la razón áurea (también escrito como t). Nótese que los
vértices de un icosaedro forman grupos de tres rectángulos áureos ortogonales
entre sí. El icosaedro contiene en su interior 15 rectángulos áureos: cada
rectángulo contiene a dos aristas opuestas. Esto se debe a que dos lados del
rectángulo es la arista del icosaedro y los otros dos son las diagonales de dos
pentágonos regulares paralelos girados 180 grados. La diagonal del pentágono
regular está en proporción áurea con el lado del pentágono, que en este caso es
la arista del icosaedro.
El icosaedro, a pesar de estar formados por 20 triángulos equiláteros, puede
considerarse como la unión de 12 pentágonos regulares internos. La intersección
de los pentágonos entre sí origina las 30 aristas que conforman el icosaedro.
Los 12 pentágonos regulares mencionados determinan las caras del gran
dodecaedro, uno de los sólidos de Kepler-Poinsot.
Proporciones áureas en el icosaedro
En el icosaedro podemos encontrar varias veces el número áureo. En la imagen de
la izquierda se pueden apreciar algunas proporciones áureas presentes en el
icosaedro:
CD/AB = f; EG/FG = f
AD/GD = f; KH/IK = f
GD/AG = f; BN/MN = f
CL/CI = f; AH/GN = f
MN/BM = f; BM/BF = f
FG/EF = f; BF/FM = f
IK/HI = f; GD/MD = f
CI/LI = f; MD/GM = f
BC/CG = f; CG/GB = f
Relaciones geométricas
El icosaedro como tetraedro romo.
Hay distorsiones del icosaedro que, aunque no son regulares, son, sin embargo,
de vértices uniformes. Éstas son invariantes en las mismas rotaciones que el

2. tetraedro, y son un tanto análogas al cubo romo y al icosidodecaedro romo,
incluyendo algunas formas que son quirales y otras con simetría piritoédrica, y
que tienen diferentes planos de simetría que el tetraedro. El icosaedro tiene 58
estrellaciones (59, si se incluye al icosaedro), incluyendo uno de los sólidos
de Kepler-Poinsot (el gran icosaedro) y algunas estrellaciones compuestas
regulares.
Las 12 aristas de un octaedro pueden ser divididas en la razón áurea por lo que
los vértices resultantes definen un icosaedro. Si el icosaedro está inscrito en
un cubo, las aristas del icosaedro inscrito están en proporción áurea con las
aristas del cubo.
El icosaedro es único entre los sólidos platónicos en poseer un ángulo diedro
mayor que 120°. En consecuencia, lo mismo que los hexágonos tienen ángulos
iguales a 120° y no se pueden usar como caras para un poliedro regular convexo
porque tal construcción no cumpliría el requisito de que por lo menos tres caras
se reúnen en un vértice y dejan un defecto positivo para plegarse en tres
dimensiones, el icosaedro no puede usarse como celda para un polícoro convexo
regular porque, por la misma razón, por lo menos tres celdas deben encontrarse
en una arista y dejar un defecto positivo para el plegado en cuatro dimensiones
(en general para un politopo convexo en n dimensiones, por lo menos tres caras
deben encontrarse en una arista y dejar un defecto positivo para el plegado en
un espacio de n dimensiones). Sin embargo, cuando se combina con celdas
apropiadas que tienen ángulos diedros menores, el icosaedro se puede usar como
celda en polícoros semirregulares (por ejemplo 24-cell redondeado), lo mismo que
se pueden usar hexágonos como caras de poliedros semirregulares (por ejemplo el
icosaedro truncado). Por último, los politopos no convexos (cóncavos) no
necesitan los mismos requisitos estrictos como los politopos convexos, y los
icosaedros son, en efecto, las celdas del 120-cell icosaédrico, uno de los diez
polícoros regulares no convexos.
Un icosaedro puede ser considerado como una bipirámide pentagonal giroelongada.
Se puede descomponer en una pirámide pentagonal giroelongada y una pirámide
pentagonal o en un antiprisma pentagonal y dos pirámides pentagonales iguales.
El icosaedro puede ser llamado también tetraedro romo, el redondeo de un
tetraedro regular produce un icosaedro regular. Alternativamente, usando la
nomenclatura para poliedros redondeados refiriéndose al cubo romo como
cuboctaedro romo (cuboctaedro = cubo rectificado) y al dodecaedro romo como
icosidodecaedro romo (icosidodecaedro = dodecaedro rectificado), puede llamarse
al icosaedro octaedro romo (octaedro = tetraedro rectificado).
Icosaedro frente a dodecaedro
A pesar de las apariencias, cuando un icosaedro es inscrito en una esfera ocupa
menos volumen de la esfera (60.54%) que un dodecaedro inscrito en la misma
esfera (66.49%).
Simetría
Un icosaedro regular tiene seis ejes de simetría de orden cinco, las rectas que
unen los vértices opuestos; quince ejes de simetría de orden dos, las rectas que
unen los centros de aristas opuestas; quince planos de simetría, que contienen
cada pareja de aristas opuestas coplanares; y un centro de simetría. Esto hace
que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 120: 2x(6x5+15x2).
Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría
icosaédricos, el denominado Ih según la notación de Schöenflies.
El icosaedro tiene también diez ejes de simetría de orden tres: las rectas que
unen los baricentros de cada par de caras opuestas.
Subdividiendo cada cara del icosaedro en triángulos se pueden construir domos
geodésicos.
Aplicaciones, ejemplos y formas naturales
Los sólidos platónicos son conocidos desde la antigüedad y se sabe que al menos
las sectas pitagóricas de los siglos V y IV antes de Cristo les atribuían
propiedades metafísicas, numerológicas o simplemente religiosas. En lo que se
refiere al icosaedro regular había sido utilizado durante la Antigua Roma para
la fabricación de dados, como lo demuestran dos dados de veinte caras de la
Antigua Roma conservados en el Museo Británico.1 No se sabe sin embargo para qué
actividad fueron fabricados estos dados, si para un juego o para toda otra

3. actividad.
El dado de veinte caras (cuya notación escrita abreviada es «D20») se hizo
popular en los años 60 y 70 al ser usado con cada vez más frecuencia por los
llamados juegos de guerra, que en esos años empezaban a conocer un gran éxito.
Pocos años más tarde, en 1974, el primer juego de rol en ser comercializado,
Dungeons & Dragons, basó su sistema de juego en el uso de un dado de veinte
caras. Desde entonces el dado de veinte ha tenido y sigue teniendo un papel
importante en numerosos juegos de rol. Los dados de veinte pueden ser numerados
de «0» a «9» dos veces (con el fin de ser usados como dado de cien) pero en 1980
se inventaron los dados de diez caras2 para ser usados de este modo así que hoy
en día la mayoría de las versiones de dado de veinte se numeran de «1» a «20».
Circogonia icosahedra, una especie perteneciente al taxón radiolaria.
Muchos virus, por ejemplo el virus del herpes, tienen la forma de un icosaedro.
Las estructuras virales se construyen en base a unidades proteicas idénticas
repetivas varias veces y el icosaedro es la forma más sencilla para ensamblar
usando estas subunidades. Se usa un poliedro regular porque puede ser construido
por una unidad proteica única usándola una y otra vez; esto ahorra espacio para
el genoma vírico. También algunos protistas, en especial algunos radiolarios,
tienen forma icosaédrica, como Circogonia icosahedra.
El dado interno de una bola del 8 mágica que tiene 20 respuestas impresas para
preguntas de tipo sí/no es un icosaedro regular.
Si cada arista de un icosaedro se reemplaza por una resistencia de un ohmio, la
resistencia entre vértices opuestos es de 0.5 ohmios, y entre vértices
adyacentes es de 11/30 ohmios.
La proyección de Fuller (o mapa Dymaxion, creado por Richard Buckminster Fuller)
es una proyección gnomónica basada en el icosaedro.
El icosaedro es la forma que tiene el Dogic, un juguete parecido al cubo de
Rubik.
Un icosaedro aparece como enemigo en el videojuego Kirby 64, se le conoce como
Miracle Matter. También en el videojuego Pokemon Platinum hay un objeto con
forma de icosaedro llamado Griseous Orb.