OIM 2012 - Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012                                                                  ...
Soluções dos problemas                                                                                              ଵ     ...
Matemática - Física - Português                                     Física - Matemática - Português                       ...
ଶ7) Alternativa (B): Por definição, sabemos que um cubo tem um total de 6 faces. Como Emília pintou                       ...
10) Alternativa (C): De acordo com a segunda afirmação, Daniel não gosta de suco de pêssego. Já queCarlos e Eduarda gostam...
13) Alternativa (B): Todo múltiplo de 14 é múltiplo de 2 e de 7, mas 684 não é múltiplo de 7, já quepode ser escrito como ...
Logo, todos os números que procuramos são da forma ݊ = ሺ8 ∙ 7ሻ݇ + ሺ8 + 7ሻ = 56݇ + 15, sendo݇ ∈ ℕ arbitrário. Mas 1 < ݊ < 1...
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Gabarito 1ª Fase - Nível 1 - 2012

  1. 1. OIM 2012 - Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012 201 ível 1 Gabarito Questão A B C D E 1 2 3 4 5 6 7 8 D 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 AnuladaObs.: • Cada questão da 1ª Fase vale 1 ponto (o total é de 20 pontos) pontos). • a questão A ULADA, todos os alunos devem receber 1 ponto.
  2. 2. Soluções dos problemas ଵ ଵ1) Alternativa (C): Vamos considerar o número que procuramos por x. Como de x é ܽ e de x é igual a ସ ଶ ௫ ௫ܾ, podemos afirmar que + = 6, já que o enunciado nos fornece a informação de que ܽ + ܾ = 6. ସ ଶResolvendo a equação, temos que ‫ .8 = ݔ‬Portanto, o quadrado desse número é 8² = 64, correspondente àAlternativa (C).2) Alternativa (D): O enunciado nos fornece a informação de que a área do triângulo escaleno é 40% daárea do triângulo isósceles e que juntos eles formam um quadrilátero de área 98 cm². Partindo disso,podemos afirmar que a área do quadrilátero é a soma da área do triângulo isósceles com a área dotriângulo escaleno. Considerando como ‫ ݔ‬a área do triângulo isósceles, podemos afirmar que a área do ସ଴௫ ସ଴௫triângulo escaleno é . Logo, temos que ‫+ ݔ‬ = 98. Resolvendo a equação, temos que ‫ 07 = ݔ‬cm². ଵ଴଴ ଵ଴଴Como ‫ ݔ‬representa a área do triângulo isósceles, a área do triângulo escaleno é de 98 − 70 = 28 cm².3) Alternativa (D): Podemos perceber que Miguel realizou o procedimento de dividir por 2 os númerospares e subtrair 1 dos números ímpares num total de 7 + 1 = 8 vezes. Analisando o problema, podemosperceber que para maximizarmos os números a cada vez que Miguel repete o procedimento, devemossubtrair 1, que faz com que o número seja o maior possível. Mas para isso o número deve ser ímpar e, aosubtrairmos 1 de um número ímpar, obtemos um número par. Logo, o número final deve ser resultado deuma sucessão de operações de subtrair 1 e dividir por 2. Considerando por x, o número inicial, temos: ‫1−ݔ‬ ‫3−ݔ‬ ‫3−ݔ‬ ‫7−ݔ‬ ‫7−ݔ‬ ‫51 − ݔ‬ ‫51 − ݔ‬ ‫→ 1−ݔ→ ݔ‬ → → → → → → 2 2 4 4 8 8 16 ௫ ି ଵହO maior número da lista de Miguel estará expresso na forma . O maior número entre 1 e 2012 que ଵ଺faz com que a expressão tenha um resultado inteiro é 1999. Substituindo esse número na expressão, ଵଽଽଽିଵହ ଵଽ଼ସtemos = = 124. Logo, o maior número na lista de Miguel após ele realizar esse ଵ଺ ଵ଺procedimento mais 7 vezes será 124.4) Alternativa (E): Como o time Bom de Bola FC ganhou 68 pontos e perdeu 12 pontos no torneio defutebol, foram disputados 68 + 12 = 80 pontos nesse campeonato. Logo, 80 é 100% dos pontos.Utilizando uma regra de três simples, temos: 80 68 = → 80‫%58 = ݔ → 0086 = ݔ‬ 100 ‫ݔ‬Logo, o aproveitamento do Bom de Bola FC foi de 85% dos pontos disputados.5) Alternativa (C): Para organizarmos os 4 + 3 + 2 = 9 livros na prateleira, devemos obedecer à condiçãode que os livros de mesmo assunto devem ficar juntos. Portanto, devemos calcular as posições em que asmatérias deverão ser colocadas. Temos 6 possibilidades para a ordem de assunto que os livros serãoorganizados: Matemática - Português - Física 2
  3. 3. Matemática - Física - Português Física - Matemática - Português Física - Português - Matemática Português - Matemática - Física Português - Física - MatemáticaPara os 4 livros de Matemática, podemos organizá-los de 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 formas diferentes. Para os 3livros de Física, podemos organizá-los de 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 formas diferentes. Para os 2 livros de Português,podemos organizá-los de 2 ∙ 1 = 2 formas diferentes. Como podemos organizar os livros por assunto de 6formas diferentes, temos um total de 6 ∙ 24 ∙ 6 ∙ 2 = 144 ∙ 12 = 1728 formas de arrumar os 9 livros naprateleira de modo que livros de mesmo assunto fiquem juntos.6) Alternativa (B): Observe que a maior soma possível para os algarismos de um número de 2 algarismosé 18 (equivalente a 9 + 9) e portanto, a maior identidade possível para o número A é 18. Como osnúmeros primos menores que 18 são 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17, devemos procurar todos os números de 2algarismos cuja identidade seja um desses números. Analisemos cada caso:• A identidade de A é 2:As únicas possibilidades para este caso são 11 e 20 (já que não existem números de 2 algarismos quecomeçam com 0). Logo, temos 2 números cuja identidade é 2.• A identidade de A é 3:Nesse caso, as possibilidades são 12, 21 e 30. Logo, temos 3 números cuja identidade é 3.• A identidade de A é 5:As possibilidades nesse caso são 14, 23, 32, 41 e 50, totalizando 5 números cuja identidade é 5.• A identidade de A é 7:As possibilidades para este caso são 16, 25, 34, 43, 52, 61 e 70. Portanto, temos 7 números cujaidentidade é 7.• A identidade de A é 11:Neste caso, as possibilidades são 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 e 92. Logo, temos 8 números cuja identidade é11.• A identidade de A é 13:Temos as seguintes possibilidades: 49, 58, 67, 76, 85 e 9. Portanto, temos 6 números cuja identidade é 13.• A identidade de A é 17:As únicas possibilidades para este caso são 89 e 98. Logo, temos 2 números cuja identidade é 17.Após analisar todos os casos, concluímos que existem 2 + 3 + 5 + 7 + 8 + 6 + 2 = 33 números de 2algarismos cuja identidade é um número primo. 3
  4. 4. ଶ7) Alternativa (B): Por definição, sabemos que um cubo tem um total de 6 faces. Como Emília pintou Como ହ ସ ଶ ସ ଵ଴ ଶdas faces de azul e das faces de verde, ela pintou no total + = = das faces do cubo, o que ଵହ ହ ଵହ ଵହ ଷ ଶcorresponde a ൈ 6 = 4 faces do cubo. Logo, Emília deixou de pintar 6 − 4 = 2 faces do cubo. ଷ8) Alternativa (D): Como 1 ponto é a menor pontuação possível que se pode obter no lançamento de umdado, quanto mais vezes obtivermos a pontuação mínima, mais vezes teremos que utilizar uma pontuaçãomáxima. Como forma realizados 20 lançamentos, a soma máxima dos pontos é 6 ∙ 20 = 120 e portanto . ଵଶ଴ି଼ଽem no máximo = 5 lançamentos obtivemos um número mínimo. Mas nesse caso, estamos ଺considerando que os pontos que foram sorteados no dado de Rubia eram apenas 6 e 1. Como devemosmaximizar a quantidade de pontos unitários, podemos supor que em um dos lançamentos foram sorteados lançamentos5 pontos, o que faz com que em 13 lançamentos sejam sorteados 6 pontos, 1 lançamento sejam sorteados ሺ ሻ5 pontos e em 6 lançamentos seja sorteado 1 ponto, totalizando 13ሺ6ሻ + 1ሺ5ሻ + 6ሺ1ሻ = 89 pontos.Assim, em no máximo seis lançamentos o número obtido é 1.9) Alternativa (A): A figura abaixo ilustra o eneágono regular ABCDEFGHI com o ponto Q, tal que ABCDEFGHIAQ = BQ.1ª Solução: Podemos descobrir de que tipo é o triângulo ABQ sabendo a medida de seus ângulos. Como o odemoseneágono é regular, sabemos que seus ângulos são congruentes. A soma de seus ângulos internos é , ଵଶ଺଴°ሺ9 − 2ሻ ∙ 180° = 7 ∙ 180° = 1260 Então, cada ângulo mede 1260°. = 140°. ଽVemos que o segmento AE divide o eneágono em um pentágono ABCDE e em um hexágono AIHGFE.Podemos constatar que ABC = B ෠ D = CDE = 140º e BAE = AEB. ෡ BC ෡ ෡ ෡Temos que num pentágono a soma dos ângulos internos é ሺ5 − 2ሻ ∙ 180° = 3 ∙ 180° = 540°. Logo,temos que ABC + BCD + CDE + B ෡ E + AEB = 540°, de onde tiramos que BAE + AEB = 120° e ෡ ෠ ෡ BA ෡ ෡ ෡ E ଵଶ଴° ෡consequentemente, que BAE = A෡B = AE B෡ ෡ = 60°. Já que AQ = BQ, então temos que BAQ = ABQ = 60°, ଶ ෡o que nos leva a afirmar que AQB = 60° e que o triângulo ABQ é equilátero.2ª Solução: Perceba que BDEQ é um paralelogramo e, portanto, DE = BQ. Como BQ = AQ e BQ = AB,isto implica que AQ = AB e que AQ=AB=BQ, o que nos mostra que ABQ é equilátero. 4
  5. 5. 10) Alternativa (C): De acordo com a segunda afirmação, Daniel não gosta de suco de pêssego. Já queCarlos e Eduarda gostam de sucos de mamão e laranja, respectivamente, Daniel também não tempreferência por esses sabores. Como Bernardo não gosta de suco de uva e Daniel tem a mesma opiniãoque ele, Daniel também não gosta de suco de uva. Logo, o único sabor de suco que não foi citado é o sucoque Daniel gosta, ou seja, suco de abacaxi.11) Alternativa (B): De acordo com a conta, temos duas possibilidades para o valor de B: 3 ou 8. Vamosanalisar o que aconteceria com os valores de A e de C em cada possibilidade:• 1ª Possibilidade: B = 3Neste caso, como 6 é menor que 7, percebemos que houve empréstimo de uma dezena para o A, o queimplica que A só pode ser 3. 7 3 6 C 6 3 C 7 3Como houve empréstimo de uma dezena para A, 7 passa a valer 6 e C só pode ser 3. 7 3 6 3 6 3 3 7 3Logo, neste caso, os valores de A, B e C seriam 3, 3 e 3, respectivamente.• 2ª Possibilidade: B = 8Neste caso, como 6 é menor que 7, percebemos que houve empréstimo de uma dezena para o A, o queimplica que A só pode ser 3. Mas como 6 é menor que 8, concluímos que A emprestou uma dezena para o6, o que faz com que o valor de A seja 3 + 1 = 4. 7 4 6 C 6 8 C 7 8Como houve empréstimo de uma dezena para A, 7 passa a valer 6 e C só pode representar o algarismo 3. 7 4 6 3 6 8 3 7 8Logo, neste caso, os valores de A, B e C seriam 4, 8 e 3, respectivamente.Mas o enunciado nos diz que A, B e C são algarismos distintos, e como na 1ª Possibilidade A = B = C,podemos descartá-la. Portanto, A + B + C = 4 + 8 + 3 = 15.12) Alternativa (A): A soma total dos números do Quadrado Mágico é 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +8 + 9 = 45. Como eles são divididos em três colunas e linhas e a soma dos números nas linhas e colunas ସହ(além das diagonais) é sempre a mesma, então essa soma é = 15. Partindo disso, temos que 6 + 1 + ଷ‫ 8 = ݔ → 51 = ݔ‬e 1 + 5 + ‫ .9 = ݕ 51 = ݕ‬Portanto, ‫.71 = 9 + 8 = ݕ + ݔ‬ 5
  6. 6. 13) Alternativa (B): Todo múltiplo de 14 é múltiplo de 2 e de 7, mas 684 não é múltiplo de 7, já quepode ser escrito como 7ሺ97ሻ + 5. Assim, 684 não é múltiplo de 14.14) Alternativa (A): Pela análise da figura, podemos ver que cada faixa sombreada pode ser transpostaem cima de uma faixa branca, o que nos faz perceber que a área sombreada é metade da área total da ଶ଴ଵଶfigura. Logo, essa área é de = 1006 cm². ଶ15) Alternativa (E): 1ª Solução: Vamos dividir a figura em 5 triângulos: A E d B C DPodemos ver que 4 dos 5 triângulos são equiláteros e um deles é isósceles, mas eles têm áreasequivalentes. Se traçarmos um segmento FG perpendicular à AD ligando os vértices dos dois triângulosequiláteros centrais, como mostra a figura abaixo, perceberemos que AFG é igual a ECB, já que elespossuem seus ângulos congruentes e seus lados iguais. A E F G d B C DLogo, AE = EG = GB = 5 e AE = EG + GB = 10 cm.2ª Solução: Baseando-se na figura mostrada acima, podemos mostrar que como os triângulos AEF, EFC eFDC são iguais, AF = FD = 5, e AD = 10 cm. Pelos triângulos AFE, EFC e FDC serem semelhantes aotriângulo AGD, então AD = AG = GD =10 cm e como o triângulo GCB é isósceles, então AB mede 10 +5 = 15 cm. Logo, EB = AB - AE = 15 - 5 = 10 cm.16) Alternativa (C): Consideremos o número ݊ tal que ele satisfaça as condições do problema, ou seja,seu antecessor é divisível por 7 e seu sucessor é divisível por 8. Dessas afirmações, podemos concluir que݊ deixa resto 1 ao ser dividido por 7 e ݊ deixa resto 7 ao ser dividido por 8. De outra forma, podemosafirmar que ݊ − 1 é divisível por 7 e que ݊ + 1 é divisível por 8 e, equivalentemente, que ݊ deixa resto 1ao ser dividido por 7 e resto 7 ao ser dividido por 8. Utilizando módulo, podemos afirmar que: ݊ − 1 ≡ 0 ሺmod 7ሻ ݊ ≡ 1 ሺ݉‫7 ݀݋‬ሻ ൜ ⇒ ൜ ݊ + 1 ≡ 0 ሺmod 8ሻ ݊ ≡ 7 ሺ݉‫8 ݀݋‬ሻ 6
  7. 7. Logo, todos os números que procuramos são da forma ݊ = ሺ8 ∙ 7ሻ݇ + ሺ8 + 7ሻ = 56݇ + 15, sendo݇ ∈ ℕ arbitrário. Mas 1 < ݊ < 100 apenas quando ݇ = 0 ሺ ሺ56ሻ0 + 15 = 15 ሻ e ݇ = 1 ሺ ሺ56ሻ1 +15 = 71 ሻ. Logo, existem 2 números que satisfazem as condições do enunciado.17) Alternativa (B): Como 1 hora tem 3600 segundos, utilizando uma regra de três considerando ‫ݔ‬segundos equivalentes a 3 horas, temos: 1 10,2 = → ‫02763 = ݔ → 2,01 ∙ 0063 = ݔ‬ 3600 ‫ݔ‬Portanto o tempo de rotação de Saturno é de 36720 segundos.18) Alternativa (A): Analisando o enunciado, podemos perceber que ele diz que o número queprocuramos deixa resto 8 quando dividido por 7. Como o resto deve ser sempre menor que o divisor,podemos dizer que dizer isso é equivalente a dizer que o número deixa resto 1 quando dividido por 7.Logo, estamos procurando o menor número que deixa resto 7 ao ser dividido por 8 e resto 1 ao serdividido por 7. O menor número que cumpre essas condições é 15, cuja soma dos algarismos é 1 + 5 =6. ଷ ଵ଻19) Alternativa (C): Como João gastou da quantia que possuía, ele ficou com ൈ 10 = R$8,50. ଶ଴ ଶ଴Logo, cada pão de queijo custa 10 − 8,50 = R$1,50. Como Maria comprou 6 pães de queijo, ela teve depagar 1,50 ∙ 6 = R$9,00 a Seu Manuel.20) Questão Anulada. 7

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