1. Modul ke:
Fakultas
Program Studi
Pengolahan Sinyal Digital
Transformasi Fourier Sinyal Waktu Diskrit
Beny Nugraha, MT, M.Sc
04FAKULTAS
TEKNIK
TEKNIK
ELEKTRO

2. Definisi
• Deret Fourier adalah salah satu cara
merepresentasikan bentuk sinyal ke domain
frekuensi. Deret Fourier hanya berlaku untuk sinyal
periodik.
• Transformasi Fourier Diskrit (TFD) adalah cara untuk
merepresentasikan sinyal periodik dan non-periodik
ke domain frekuensi.

3. Analisa Domain Frekuensi Sinyal & Sistem
• Analisis Fourier ada dua macam, yaitu untuk fungsi periodik
menggunakan Deret Fourier, sedangkan untuk fungsi non
periodik menggunakan Transformasi Fourier.
• Pada prinsipnya analisis Fourier untuk sinyal waktu-diskrit
dapat dianalogikan dengan sinyal waktu-kontinyu sebab fungsi
diskrit dan kontinyu perbedaannya hanya pada pendefinisian
pada waktunya saja, fungsi kontinyu terdefinisi untuk semua
waktu, sedangkan fungsi diskrit hanya terdefinisi untukwaktu
tertentu saja, sehingga notasinya pun diubah, seperti t
menjadi n dan bentuk integral ( ∫ ) menjadi sigma ( Σ ).

4. Deret Fourier Untuk Waktu Kontinyu
• Menurut teori Fourier setiap fungsi periodik
dengan frekuensi ω0 dapat di ekspresikan
sebagai perjumlahan dari fungsi sinus ataupun
kosinus.
• Fungsi Periodik:
• Deret Fourier:

5. Deret Fourier Untuk Waktu Kontinyu
• Koefisien Fourier:

6. Deret Fourier Untuk Waktu Kontinyu
• Contoh: Tentukan deret Fourier dari sinyal di
bawah ini:
Dengan T = 2 dan Bentuk persamaan
gelombang:

7. Deret Fourier Untuk Waktu Kontinyu
• Jawab:
Dengan menggunakan rumus deret Fourier!

8. Deret Fourier Untuk Waktu Diskrit
• Deret Fourier untuk sinyal diskrit dengan
perioda N dapat ditulis:
• Dengan Ck adalah:

9. Deret Fourier Untuk Waktu Diskrit
• Contoh: Tentukan konstanta Fourier ck dari
sinyal waktu-diskrit periodik dengan perioda N
= 4 dan x(n) = {1, 1, 0, 0)
• Jawab:
Dengan rumus:

10. Transformasi Fourier Untuk Waktu Diskrit
• Transformasi Fourier dari x(n) didefinisikan
sebagai :
• Secara fisis, X(ω) menyajikan isi frekuensi
sinyal x(n). Dengan kata lain, X(ω) adalah
dekomposisi x(n) menjadi komponen-
komponen frekuensinya.
• Invers dari transformasi Fourier diskrit dapat
dinyatakan dengan :

11. Transformasi Fourier Untuk Waktu Diskrit
• Perbedaan antara transformasi Fourier waktu
kontinyu dengan transformasi Fourier waktu
diskrit:
1. Transformasi Fourier sinyal waktu-kontinyu
kisaran frekuensinya (-∞,∞), sedangkan
kisaran frekuensi transformasi Fourier sinyal
waktu-diskrit kisaran frekuensinya(-π, π) atau
ekivalennya adalah (0, 2π).

12. Transformasi Fourier Untuk Waktu Diskrit
• Perbedaan antara transformasi Fourier waktu
kontinyu dengan transformasi Fourier waktu diskrit:
2. Karena sinyal adalah diskrit dalam waktu, maka
transformasi Fouriernya adalah penjumlahan
(sigma) sebagai ganti dari integral. Karena X(ω)
adalah fungsi periodik dengan variabel frekuensi ω,
ia mempunyai espansi deret Fourier, yang
diekspresikan sebelumnya memenuhi. Dari definisi
X(ω) terlihat X(ω) mempunyai bentuk deret Fourier
dengan koefisien/konstanta Fourier adalah x(n).

13. Transformasi Fourier Untuk Waktu Diskrit
• Karena bentuk transformasi Fourier adalah deret tak
berhingga, maka akan ada persoalan konvergensi.
Suatu deret tak berhingga dikatakan konvergen jika
dan hanya jika deret tersebut nilainya tidak tak
berhingga ( < ∞ ).
• Maka dapat dikatakan suatu transformasi Fourier dari
suatu sinyal waktu-diskrit ada (dapat ditentukan) jika
dan hanya jika deret tak berhingganya konvergen,
atau secara matematis ditulis :

14. Transformasi Fourier Untuk Waktu Diskrit
• Maka:
• Sehingga seharusnya setiap kita akan
mencari/menghitung suatu transformasi Fourier dari
sebuah sinyal waktu-diskrit, pertama-tama harus
diselidiki terlebih dahulu kekonvergenan dari sinyal
tersebut.

15. Transformasi Fourier Untuk Waktu Diskrit
Contoh:
1. Tentukan transformasi Fourier dari :
Jawab:
Karena |a| < 1, barisan x(n) dapat dijumlahkan secara
absolut (konvergen):

16. Transformasi Fourier Untuk Waktu Diskrit
Karena itu transformasi Fourier dari x(n) dapat dihitung
dan diperoleh dengan definisi transformasi Fourier :

17. Transformasi Fourier Untuk Waktu Diskrit
Contoh:
2. Tentukan transformasi Fourier dari :
Jawab:
Selidiki dulu konvergensi barisannya.

18. Transformasi Fourier Untuk Waktu Diskrit
Karena itu x(n) dapat dijumlahkan secara absolut
(konvergen), maka transformasi Fouriernya ada.
Selanjutnya kita hitung transformasi Fourier sinyal
tersebut :
Untuk menyederhanakan deret tersebut, terlebih
dahulu deret tersebut kita perpanjang sampai n = ∞,
seperti dibawah ini :

19. Transformasi Fourier Untuk Waktu Diskrit
Jumlah keseluruhan untuk deret tersebut dengan
menggunakan formula penjumlahan geometri adalah:
dan jumlah untuk deret mulai sampai
adalah:

20. Transformasi Fourier Untuk Waktu Diskrit
maka jumlah deret pada persamaan transformasi
Fourier diatas adalah:

21. Transformasi Fourier Untuk Waktu Diskrit
Tabel Transformasi Fourier:

22. PR!!!
Diketahui terdapat sinyal seperti berikut:
Periode sinyal = T0 = 2π.
Tentukan a0, an, bn, dan deret Fourier-nya!

23. Terima Kasih
Beny Nugraha, MT, M.Sc