SOAL dan PEMBAHASAN GEOMETRI ANALITIK

1. SOAL dan PEMBAHASAN
1. Persamaan hiperbola dengan jarak dua fokus = 20, sumbu utama adalah sumbu X
dengan pusat O dan asimtot membentuk sudut 30° dengan sumbu X positip adalah ….
Pembahasan :
2𝑐 = 20 𝑐 = 10
tan30° =
1
√3
tan30° =
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
=
1
√3
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
100 = 3𝑏2
+ 𝑏2
𝑏2
= 25
𝑏 = 5
𝑎 = 𝑏 √3
𝑎 = 5 √3 ; sumbu utama adalah sumbu X
Persamaan hiperbola adalah :
𝑥2
75
−
𝑦2
25
= 1
2. Salah satu persamaan asimtot hiperbola 9 𝑥2
− 16 𝑦2
− 72𝑥 + 32𝑦 = 16 adalah ….
Pembahasan :
9(𝑥2
− 8𝑥 + 16)− 16( 𝑦2
− 2𝑦 + 1) = 16 + 144 –16
(𝑥 − 4)2
16
−
(𝑦 − 1)2
9
= 1
𝑎 = 4
𝑏 = 3
Asimtot : 𝑦 − 1 = ±
3
4
(𝑥 − 4)
𝑦1 =
3
4
𝑥 − 3 + 1
4𝑦 − 3𝑥 + 8 = 0
𝑦2 = −
3
4
𝑥 + 3 + 1
4𝑦 + 3𝑥 − 16 = 0

2. 3. Salah satu persamaan garis singgung pada hiperbola
(𝑥−1)2
8
−
(𝑦−2)2
4
= 1 yang tegak
lurus garis 𝑥 − 𝑦 + 7 = 0 adalah ….
Pembahasan :
Gradien garis 𝑥 − 𝑦 + 7 = 0 adalah 𝑚1 = 1
Gradien garis singgung yang tegak lurus garis tersebut adalah 𝑚2 = −1
Jadi persamaan garis singgungnya adalah :
𝑦 − 2 = −1( 𝑥 − 1) ± √8. (−1)
2
− 4
𝑦 − 2 = −𝑥 + 1 ± 2
𝑦 = −𝑥 + 5 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦 = −𝑥 + 1
4. Tentukan persamaan garis singgung di titik (− 1, 1) pada hiperbola 4𝑥2
− 8𝑦2
= 32
Pembahasan :
Hiperbola 4𝑥2
− 8𝑦2
= 32 
x2
8
−
y2
4
= 1
Persamaan garis dengan gradien m melalui titik (− 1, 1) adalah:
𝑦 − 1 = 𝑚(𝑥 + 1) atau 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑚 + 1
Persamaan garis singgung dengan gradien m pada hiperbola
x2
8
−
y2
4
= 1
Adalah
𝑦 = 𝑚𝑥 ± √8𝑚2 − 4
𝑚𝑥 + 𝑚 + 1 = 𝑚𝑥 ± √8𝑚2 − 4
𝑚2
+ 2𝑚 + 1 = 8𝑚2
– 4
7𝑚2
− 2𝑚 − 5 = 0
(7𝑚 + 5)( 𝑚 − 1) = 0
𝑚1 = −
5
7
, 𝑚2 = 1
Persamaan garis singgungnya :
𝑦 = −
5
7
𝑥 +
2
7
Dan
𝑦 = 𝑥 + 2
SUMBER:
http://siswijaya.tripod.com/Matematika.pdf