1. 8
VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS
GRADOS DE LIBERTAD
8.1 INTRODUCCIÓN
Cuando se trata con sistemas estructurales reales es necesario, en general,
considerar varios grados de libertad, cada uno correspondiente a una coordenada
independiente. En general podría pensarse que una estructura real tiene infinitos
grados de libertad, sin embargo es posible reducir su número a uno finito
considerando el hecho que los desplazamientos intermedios de los elementos
pueden ser expresados en función de los desplazamientos de los nudos extremos.
El número de grados de libertad debería ser igual al número de componentes de
desplazamiento necesario para definir adecuadamente la deformada del sistema
bajo el tipo de excitación de interés, y como consecuencia poder determinar las
fuerzas internas de manera suficientemente aproximada.
En el caso de los edificios sometidos a cargas sísmicas, la excitación principal
son aceleraciones horizontales (y una vertical que es poco importante en general o
que en caso de serlo puede ser tratada independientemente). Esto se traduce en
fuerzas de inercia horizontales que imprimen a la estructura una deformación
lateral y cuyos grados de libertad independientes importantes son los
desplazamientos horizontales de los nudos.
Existen otras consideraciones aplicables a este caso, como el hecho que la masa
está principalmente concentrada en el nivel de cada entrepiso y por consiguiente las
fuerzas de inercia son fuerzas horizontales aplicadas al nivel de cada entrepiso.
Esto sugiere que los grados de libertad dinámicos independientes son aquellos
asociados con la dirección de las fuerzas. Lo cierto es que un edificio sometido a
la acción de un sismo es un sistema de varios grados de libertad por lo que es
importante analizar teóricamente el tratamiento de dichos sistemas.

2. 2 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD SECC. 8.3: GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS 3
En las secciones iniciales del presente capítulo se fundamentará, basados en los masas se encuentran todas interconectadas dando origen a lo que se denomina modelo
conceptos básicos del análisis dinámico de edificios, las simplificaciones hechas a de acoplamiento lejano. Este modelo se representa en la Fig. 8.2.
ciertos sistemas. Dichas simplificaciones son aceptadas por muchos reglamentos
modernos de construcción cuando hacen uso de métodos dinámicos de diseño. En P3
la Secc. 8.2 se verá la diferencia entre un modelo de acoplamiento cercano y lejano,
usando para esto un pórtico de 3 niveles. Después en la Secc. 8.3 y 8.4 con la
finalidad de que los conceptos fundamentales y procedimientos numéricos sean P2
asimilados con facilidad haremos uso de una estructura sencilla ( pórtico de 2
niveles mostrado en la Fig. 8.3 ). Ello significa que para sistemas más complejos
los conceptos también son válidos, tal como se verá en la Secc 8.4., con la única
P1
diferencia de que en la mayoría de los casos se tendrá que recurrir a programas de
computo avanzados para realizar el análisis, sin embargo, la última palabra la tiene
el Ingeniero a cargo del análisis y no la computadora que no es mas que una
herramienta [ Ref. 11 ]. Finalmente, en la Secc. 8.5 se tocará el tema acerca de los
sistemas continuos que son los que en realidad nos permiten representar a los
sistemas estructurales con su masa y rigidez a lo largo de los elementos que los
componen.
m3
8.2 MODELOS
El modelo más simple de un sistema de varios grados de libertad corresponde a una m2
serie de masas interconectadas por resortes sin peso, como se muestra en la Fig. 8.1.
Este modelo se denomina un sistema de acoplamiento cercano. Estrictamente sólo es
aplicable a las vibraciones laterales de un pórtico con vigas infinitamente rígidas y m1
despreciando la deformación axial de las columnas, o también a algún sistema
vibratorio cuyas deformaciones sean principalmente desplazamientos laterales. Por
esa razón también se lo denomina modelo tipo cortante.
P3 m3
Fig. 8.2 Modelo de acoplamiento lejano
k3 (u3 − u2 )
k3
8.3 GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS
P2 m2 m2u2
&& m2 P2
Los grados de libertad dinámicos son aquellos en los cuales se generan las fuerzas
k2 inerciales ( masa por aceleración o momento de inercia por aceleración angular). Por
k2 (u2 − u1 ) ende, dichos grados son los que interesarán para realizar el análisis.
P1 m1
En la Fig. 8.3.a se muestra se muestra el modelo de una edificación de 2
niveles, conformada por vigas y columnas. Su planta esta esquematizado en la
k1
Fig. 8.3.b, en ella se resalta las columnas cuyos ejes fuertes son paralelos al eje “ y
”. En la Fig. 8.3.c se muestra un pórtico secundario típico. Finalmente en la Fig.
8.3.d se puede apreciar un pórtico principal típico, el cual será usado, de aquí en
Fig. 8.1 Modelo de acoplamiento cercano adelante, para poder explicar los conceptos.
En una estructura real, sin embargo, las masas están conectadas por elementos
flexibles y el modelo anterior no es aplicable. El modelo real sería uno en que las
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3. 4 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD SECC. 8.3: GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS 5
Si se quisiera analizar el pórtico plano principal ( ver la Fig. 8.3.d ) considerando
todos sus grados de libertad (GDL) , vemos que este tendría 24 GDL estáticos tal como
se muestra en la Fig. 8.4.
14 17 20 23
13 16 19 22
15 18 21 24
2 5 8 11
1 4 7 10
3 6 9 12
z
y
x
( a ) Modelo de una edificación de 2 niveles.
Fig. 8.4 Pórtico plano principal con sus 24 GDL estáticos.
[Figura obtenida del programa SAP 2000 versión educacional]
L1 L1 L1 Sin embargo, al ocurrir movimiento lateral, solo serían importantes las fuerzas de
inercias generadas por el peso de cada piso (ver Fig. 8.5 ) en los que además las
L2 z deformaciones en su plano son despreciables. Lo cual indicaría que ahora tenemos un
sistema de 2 GDL dinámicos, que son precisamente los desplazamientos laterales 1 y
y 2.
y L2
L2 L2
x 2
( b ) Planta de la edificación. ( c ) Pórtico secundario m2
típico. Elevación “ y ”.
1
m1
z
x
L1 L1 L1 Fig. 8.5 Pórtico plano principal con 2 GDL dinámicos.
( d ) Pórtico Principal
Típico. Elevación “ x ”. Lo dicho en el párrafo anterior no implica que los restantes giros y desplazamientos
se anulen, sino que, aunque asuman valores distintos a cero, las fuerzas de inercia son
tan pequeñas que pueden despreciarse.
Fig. 8.3 Edificación de 2 niveles: ( a ) Modelo. ( b ) Planta. ( c ) Pórtico Secundario.
( d ) Pórtico Principal.
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4. 6 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD SECC. 8.4: VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO 7
Es común que cuando se analicen edificaciones se suponga que los pisos son 8.4 VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS
diafragmas rígidos en su plano ( Fig. 8.5 ), lo que permitiría expresar el movimiento de DE LIBERTAD (GDL). AMORTIGUAMIENTO
cualquier punto del piso en términos de tres grados de libertad: un giro alrededor de
En esta sección nuestro estudio estará basado en el sistema simplificado de 2 GDL
un eje vertical y dos desplazamientos horizontales. Cuando un pórtico, en este caso el
Dinámicos visto en la Fig. 8.6, en el que además de las fuerzas inerciales también
de la Fig. 8.5, esta ligado a un piso rígido, los valores que tomen los tres GDL
se considerarán fuerzas actuantes en cada GDL tal como se puede observar en la
mencionados son los que definirán el desplazamiento lateral en cada nivel. Por otro
Fig..8.7. Primeramente obtendremos una expresión general para la vibración
lado, debido a que mayor parte de las masas están directamente soportada por los
forzada del sistema no amortiguado. Luego haremos algunas simplificaciones para
pisos, es aceptable suponer que las masas están concentradas en los mismos, de
poder obtener la vibración libre (en la Secc. 8.4.2 presentaremos la expresión
manera que las fuerzas de inercia generadas por desplazamientos laterales se pueda
general que considera el amortiguamiento). Para poder estudiar las propiedades
expresar como productos de la masa en cada piso por sus aceleraciones lineales ( en
básicas de un sistema como el que se muestra en la Fig. 8.7 se hará uso del modelo
dos direcciones horizontales perpendiculares, para nuestro caso ejes “ x e y ” ) y del
tipo cortante (ver Secc. 8.2).
momento de inercia de dicha masa por la aceleración angular alrededor del eje vertical
que pasa por el centro de masas.
m2 P2 f (t )
Según lo anterior, realizar el análisis dinámico de un edificio con modelos que
tiene tres grados de libertad por piso(un giro en planta y un desplazamiento en x e y)
es aceptable. Pero se debe tener presente que la hipótesis de que los pisos se k2
comportan como diafragmas rígidos implica que las vigas no tienen deformaciones
axiales. m1 P f (t )
1
Cuando por simetría los pisos no rotan alrededor de ejes verticales, el edificio o sus
componentes se puede modelar como un sistema de 1 GDL (desplazamiento lateral ) k1
por piso ( u1 y u2 ) como se puede ver en la Fig. 8.6, que es una simplificación del
pórtico plano principal con 2 GDL dinámicos mostrado en la Fig. 8.3. En la Fig. 8.4
se puede observar además que “ k1 y k2 ” son las rigideces laterales de cada piso (el
cálculo aproximado de dichas rigideces fue enseñado en el Cap. 7).
Fig.8.7 Sistema no amortiguado simplificado mas fuerzas actuantes.
m2 u2 El desplazamiento relativo es esquematizado en la Fig. 8.8 debido a su
k2 importancia mencionada en el Cap..5. Puesto que para poder obtener las fuerzas
del resorte, en el diagrama de cuerpo libre del sistema que se muestra en la Fig.
u1 8.9 se emplea el desplazamiento relativo.
m1
k1 ∆
V
Fig. 8.6 Simplificación del pórtico plano principal con 2 GDL dinámicos V = k∆
k
Se ha podido apreciar como se redujo un sistema de 24 GDL, lo cual implicaba
una matriz de rigidez de 24x24, a uno de 2 GDL que implica el trabajar con una
matriz de rigidez de 2x2. En resumen lo hecho fue una “ condensación estática ”,
quedando así matrices de rigideces y de masas que corresponden a los mismos
grados de libertad.
Fig.8.8 Desplazamiento relativo generado en un sistema de 1 GDL
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5. 8 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD SECC. 8.4: VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO 9
⎡m 0⎤ ⎡k + k − k2 ⎤
M =⎢ 1 y K =⎢ 1 2
u2
⎣0 m2 ⎥
⎦ ⎣ − k2 k2 ⎥⎦
u1
son la matriz masa y de rigidez respectivamente.
∆1 ∆2 Antes de proseguir con la simplificación de la Ec. (8.3) es necesario enfatizar
que de manera análoga, a lo que hemos hecho con 2 GDL, se procede cuando se
m2 u 2
&&
m2 tiene un sistema de n GDL (ver Fig. 8.10), el cual tendrá por consiguiente n
P2 f (t )
k2 ∆2 = k2 (u2 − u1 ) frecuencias naturales y n formas modales o modos asociados.
k2
k2 ∆2 = k2 (u2 − u1 ) mn
m1u1
&& m1 P1 f (t ) Pn f (t )
k1∆1 = k1u1 k3 (u3 − u2 )
k3
k1 m2
P2 f (t ) m2u2
&& m2 P2 f (t )
k2
k2 (u2 − u1 )
Fig.8.9 Diagrama de cuerpo libre ( DCL ) del Sistema Simplificado. P f (t )
1 m1
De la Fig.8.9 aplicando equilibrio dinámico para el primer y segundo nivel, k1
resulta:
m1u1 + k1u1 − k 2 (u 2 − u1 ) = P1 f (t )
&& → m1u1 + (k1 + k 2 )u1 − k 2 u 2 = P1 f (t )
&& (8.1)
Fig. 8.10 Modelo de acoplamiento cercano para un sistema forzado de “ n ” GDL sin
m2 u 2 + k 2 (u 2 − u1 ) = P2 f (t )
&& → m2 u 2 − k 2 u1 + k 2 u 2 = P2 f (t )
&& (8.2) amortiguamiento
Ordenando matricialmente las Ecs. (8.1) y (8.2) se tiene: Haciendo el diagrama de cuerpo libre de cada masa (solo se muestra para m2), la
0 ⎤ ⎧u1 ⎫ ⎡k1 + k 2 − k 2 ⎤ ⎧ u1 ⎫ ⎧ P1 ⎫ correspondiente ecuación de equilibrio dinámico puede escribirse como:
⎡m1 &&
⎢ ⎥ ⎨u ⎬ + ⎢ − k
m2 ⎦ ⎩&&2 ⎭ ⎣
⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ f (t )
k 2 ⎥ ⎩u 2 ⎭ ⎩ P2 ⎭ mi u i + k i (u i − u i −1 ) − k i +1 ( u i +1 − u i ) = P i f (t )
&&
⎣0 2 ⎦
O lo que es lo mismo escribir: ordenando: mi u i - k i u i −1 + ( k i + k i +1 ) u i - k i +1 u i +1 = P i f ( t )
&& para 1 < i < n
&&
MU + KU = F f (t ) (8.3) Para i = 1 m1 u1 + ( k 1 + k 2 ) u1 - k 2 u 2 = P1 f (t )
&& (8.4)
donde: Para i = 2 m 2 u 2 - k 2 u 1 + ( k 2 + k 3 ) u 2 - k 3 u 3 = P 2 f (t )
&&
:
&& ⎧ u ⎫ ⎧u ⎫ ⎧P ⎫
&& :
U = ⎨ 1⎬ , U = ⎨ 1⎬ y F = ⎨ 1⎬ Para i = n m n u n - k n u n -1 + k n u n = P n f (t )
&&
⎩u 2 ⎭
&& ⎩u 2 ⎭ ⎩ P2 ⎭
Hay tantas ecuaciones de movimiento como grados de libertad. Luego, expresando
son el vector aceleración, desplazamiento y fuerza (P1 y P2 son constantes) en las ecuaciones anteriores en forma matricial se tiene:
ese orden; y
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6. 10 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD SECC. 8.4: VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO 11
&&
MU + KU = F f (t ) (8.5) &&
⇒ MU + KU = F f (t ) = 0
(8.8)
&&
∴ MU + KU = 0
que es la misma Ec. (8.3) pero aplicado a sistemas de n GDL. Para el modelo
simple considerado, o en general cuando se trata con masas concentradas y usando sus
desplazamientos como grados de libertad, la matriz de masas M es una matriz
diagonal con la masa i ésima , mi , como el elemento diagonal i ésimo .
⎛ m1 0 0 ... 0 0 ⎞
⎜ ⎟
⎜0 m2 0 ... 0 0 ⎟
⎜0 0 m3 .. 0 0 ⎟
M =⎜ ⎟ (8.6)
⎜ : : : : : : ⎟
⎜ ⎟
⎜0 0 0 ... mn −1 0 ⎟
⎜0 mn ⎟
⎝ 0 0 ... 0 ⎠
K es la matriz de rigidez del sistema que relaciona los grados de libertad dinámicos
escogidos a las fuerzas correspondientes. Para el sistema de acoplamiento cercano en
estudio tiene la siguiente forma:
⎛ k1 + k 2 − k2 0 ... 0 0 ⎞
⎜ ⎟
⎜ − k2 k 2 + k3 − k3 ... 0 0 ⎟
⎜ 0 − k3 k3 + k4 .. 0 0 ⎟
K =⎜ ⎟ (8.7)
⎜ : : : : : : ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0 0 0 ... k n −1 + k n − kn ⎟
⎜ 0 − kn kn ⎟
⎝ 0 0 ... ⎠
Nótese que en este tipo de modelo el acoplamiento de las n ecuaciones
diferenciales es proporcionado solamente por la matriz de rigidez.
8.4.1 Vibración Libre de Sistemas de Varios Grados de Libertad
Como en el caso de los sistemas de 1 GDL, es útil estudiar el comportamiento de un
sistema sin amortiguamiento cuando está sometido a una perturbación inicial. Se sabe
además que la vibración libre se da cuando no hay fuerzas actuando sobre los GDL
dinámicos del sistema. Prosiguiendo con el estudio de nuestro modelo de 2 GDL y
haciendo el vector fuerza de la Ec. (8.3) igual a un vector nulo se tiene:
⎧ P ⎫ ⎧0⎫
F = ⎨ 1⎬ = ⎨ ⎬
⎩ P2 ⎭ ⎩0⎭
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7. SECC. 8.4.1.1: ECUACIÓN CARACTERÍSTICA 11 12 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
donde 0 representa un vector con n componentes, todas ellas cero. Las condiciones La Ec. (8.12) también es válida para sistemas de n GDL. Observándose que dicha
iniciales son: ecuación representa un sistema de n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas
U (0) = U &
y U (0) = U & (las componentes del vector X ). Como el segundo miembro es igual a cero, éste es un
0 0
sistema homogéneo. No tendrá una solución única (la solución trivial X = 0 ) si el
( )
determinante de la matriz de coeficientes K − ω 2 M se hace cero (matriz singular).
Recordemos que en el Cap. 5 se observó que un sistema de 1 GDL sometido a una La expansión del determinante:
perturbación inicial desde su posición de equilibrio estaría forzado a vibrar con un
movimiento periódico de período T o frecuencia circular ω = 2π/T , que es una ⇒ K −ω 2M = 0 (8.13)
característica del sistema ( ω2 = k/M) . Por analogía es interesante averiguar si un
sistema de varios grados de libertad, al que se le imponen un juego inicial de resultará en una ecuación algebraica de grado n en ω 2 , llamada la ecuación
desplazamientos (o velocidades) vibrará armónicamente, manteniendo la forma característica. Las raíces de esta ecuación serán los valores deseados de ω 2 que
relativa de estos desplazamientos y variando solamente sus amplitudes por un factor de hacen cero el determinante.
proporcionalidad. Basado en esto, para nuestro sistema de 2 GDL el vector de
desplazamientos vendría a ser: Si ω i2 es la raíz iésima de la ecuación característica, y es una raíz simple, el rango de
la matriz ( K − ωi M ) será n - 1 , indicando que el sistema de ecuaciones:
2
⎧ u ⎫ ⎧ x Sen( ω t + φ ) ⎫ ⎧ x1 ⎫
U = ⎨ 1⎬= ⎨ 1 ⎬ = ⎨ ⎬Sen( ω t + φ ) → U = X Sen( ω t + φ ) (8.9)
⎩u 2 ⎭ ⎩ x 2 Sen( ω t + φ )⎭ ⎩ x 2 ⎭ ( K − ωi M ) X = 0
2
(8.14)
donde “ x1 y x2 ” son los máximos desplazamientos de los pisos 1 y 2 tiene una ecuación que es una combinación lineal de las otras. Esto implica que uno
respectivamente (los cuales obviamente no son función del tiempo). puede eliminar esta ecuación, dar un valor arbitrario a una de las componentes del
Derivando la Ec. (8.9) dos veces, obtenemos: vector X y resolver un sistema de n - 1 ecuaciones con n - 1 ingógnitas (las
componentes restantes de X ) cuyo segundo miembro ya no es cero. Este se obtiene
&&
U = − X ω 2 Sen( ω t + φ ) (8.10) pasando al segundo miembro los términos que contienen las componentes
seleccionadas de X . Así es posible encontrar las otras n - 1 componentes y definir un
Reemplazando las Ecs. (8.9) y (8.10) en la Ec. (8.8) se tiene: vector Xi tal que:
( )
M − X ω 2 Sen( ω t + φ ) + K ( X Sen( ω t + φ )) = 0 K X i = ωi M X i
2
(8.15)
Al simplificar la última expresión se obtiene: Es importante resaltar que si a la componente de X escogida arbitrariamente (el
desplazamiento de la última o la primera masa, por ejemplo) se le hubiera dado un
K X −ω 2M X = 0 valor doble que el supuesto, todas las otras componentes del vector hubieran sido
(8.11)
multiplicadas por dos. Por consiguiente el vector X i se define en función de un factor
8.4.1.1 Ecuación Característica
multiplicador constante y todas sus componentes pueden ser escaladas arbitrariamente
El problema, en la Ec. (8.11), es determinar si es que hay valores de ω y
2 para arriba o para abajo (Es claro que para cualquier vector Y i = a X i ,
K Yi = a K X i = a ω i M X i = ω i M Yi , y entonces Yi también es una solución).
2 2
vectores correspondientes X que satisfacen esta ecuación matricial, además de la
solución trivial ω = 0 , X = 0 . Este es un problema matemático llamado de Para nuestro sistema de 2 GDL, al hallar la solución de la Ecuación
valores característicos o de valores propios [ Ref. 9 ]. Característica , Ec. (8.13), obtendríamos los siguientes valores característicos:
Al factorizar el vector de máximos desplazamientos en la Ec. (8.11), el λ1 = ω12
. y λ2 = ω 2 2
problema a considerar resulta de la forma:
los cuales son valores positivos (por ser términos cuadráticos) cuyos subíndices
(K − ω 2 M ) X = 0 se designan luego de haberlos ordenado de menor a mayor, adquiriendo de esta
(8.12)
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8. SECC. 8.4.1.2: FRECUENCIAS Y PERIODOS NATURALES 13 14 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
manera dichas frecuencias un significado físico. En general para un sistema de “ n Debido a que el sistema presenta un grado de dependencia sólo se puede usar una
” GDL se tiene: ecuación. En general para un sistema de “ n ” GDL se despejan (n-1) valores de “ x ”
en función del restante. Para nuestro caso en particular, usando la primera fila tenemos:
λi = ω i 2 donde i = 1,..., n
donde
(k + k
1 2
2
)
− ωi m1 x1i − (k2 ) x2i = 0 (8.17)
además:
Despejando la Ec. (8.17) para:
ω 1 < ω 2 < ... < ω n −1 < ω n y
(8.16)
T1 > T2 > ... > Tn −1 > Tn i =1 → x11 / x21 = cte
Siendo llamado T1 “ Periodo Fundamental ” por ser el mayor periodo x21 =
(k + k
1 2− ω1 m1
2
x11
)
correspondiente a la menor frecuencia angular. k2
⎧x ⎫
8.4.1.2 Frecuencias y Periodos Naturales X 1 = ⎨ 11 ⎬
⎩ x21 ⎭
Para ilustrar estos conceptos nos basaremos en nuestro sistema de 2 GDL.
Reemplazando las matrices en la Ec. (8.13) se tiene: i=2 → x12 / x22 = cte
⎡k1 + k 2 − k2 ⎤ x22 =
(k + k
1 2 − ω 2 m1
2
)
x12
⎡m 0⎤ k1 + k 2 − ω m1
2
− k2
⎢ −ω 2 ⎢ 1 ⎥ =0 → =0 k2
⎣ − k2 k2 ⎥⎦ ⎣0 m2 ⎦ − k2 k 2 − ω 2 m2
⎧x ⎫
X 2 = ⎨ 12 ⎬
Al resolver y ordenar el determinante se tiene: ⎩ x22 ⎭
(k 1 )( )
+ k 2 − ω 2 m1 . k 2 − ω 2 m 2 − (− k 2 )(− k 2 ) = 0
. se ve además de la Ec. (8.17) que x1i / x 2i = constante para cualquier valor de la
frecuencia.
→ ω 4 m1 m 2 − ω 2 (m1 k 2 + m 2 (k1 + k 2 ) ) + k1 k 2 = 0
Finalmente, basados en la la Ec. (8.9), los modos ( ver Fig. 8.11 ) vendrían a
ser:
Cuyas soluciones de la ecuación cuadrática generada son:
x21 x22
⎛ 2 ⎞
1 ⎜ ⎛ k1 k 2 ⎛ m2 ⎞ ⎞ ⎛ k1 k 2 ⎛ m2 ⎞⎞ k k ⎟
λ1 = ω12 = ⎜ ⎜ + ⎜1 + ⎟⎟ − ⎜ + ⎜1 + ⎟⎟ − 4 1 2 ⎟
⎜2 ⎜ ⎝ m1 m2 ⎜ m1 ⎟ ⎟
⎝ ⎠⎠
⎜m m ⎜ m
⎝ 1 2 ⎝ 1
⎟⎟
⎠⎠ m1 m2 ⎟ x11 x12
⎝ ⎠
⎛ 2 ⎞
1 ⎜ ⎛ k1 k 2 ⎛ m2 ⎞ ⎞ ⎛ k1 k 2 ⎛ m2 ⎞ ⎞ k k ⎟ ⎧x ⎫ ⎧x ⎫
λ2 = ω 2 2 = ⎜⎜ + ⎜1 + ⎟⎟ + ⎜ + ⎜1 + ⎟⎟ − 4 1 2 ⎟ X 1 = ⎨ 11 ⎬ X 2 = ⎨ 12 ⎬
2 ⎜ ⎝ m1 m2 ⎜ m1 ⎟ ⎟
⎜
⎝ ⎠⎠
⎜ m m ⎜ m ⎟⎟
⎝ 1 2 ⎝ 1 ⎠⎠ m1 m2 ⎟ ⎩ x 21 ⎭
⎝ ⎠ ⎩ x22 ⎭
8.4.1.3 Formas de Modo
Haciendo uso de la Ec. (8.12) factorizada tenemos para ( i = 1 , 2 ): U1 = X 1 Sen(ω1 t + φ ) U 2 = X 2 Sen(ω2 t + φ )
⎛ k1 + k 2 − ω i 2 m1 − k2 ⎞⎧ x1i ⎫ ⎧0⎫ ( a ) Modo 1 ( b ) Modo 2
⎜ ⎟⎨ ⎬ = ⎨ ⎬
⎜ − k2 k 2 − ω i m 2 ⎟⎩ x 2i ⎭ ⎩0⎭
2
⎝ ⎠ Fig. 8.11 Modos de vibración de la sistema.
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9. SECC. 8.4.1.4: NORMALIZACIÓN DE LAS FORMAS DE MODO 15 16 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
“ Se debe resaltar que los modos se dan únicamente en el rango elástico, ya que ⎡ . . . ⎤
desaparecerán cuando se entre al rango inelástico ( para sismos severos )”. ⎢ . . . ⎥
⎢ ⎥
⎢ . . . ⎥
8.4.1.4 Normalización de las Formas de Modo Q= ⎢ ⎥
Debido a que las formas modales están siempre definidas en términos de un factor ⎢X1 X2 Xn⎥
⎢ . . . ⎥
constante, es posible escalarlas arbitrariamente. Se pueden usar diferentes criterios ⎢ ⎥
para lograr ello. ⎢ .
⎣ . . ⎥
⎦ (8.20)
1.-) A veces los vectores se escalan de manera que la máxima componente en
términos absolutos se iguala a la unidad. Usando la propiedad de la ortogonalidad de los modos, el producto QT M Q es
2.-) En otros casos una componente dada (por ejemplo el desplazamiento de la una matriz identidad (matriz diagonal con todos los términos de la diagonal iguales a la
masa del último piso) es seleccionada arbitrariamente e igualada a la unidad en unidad) y el producto QT K Q es una matriz diagonal cuyo término diagonal iésimo es
todos los modos. En general, esto se logra haciendo las componentes xri = 1 de
los respectivos modos X i , siendo dicha componente “ r ” arbitraria. Luego los
igual a ω i2 .
componentes restantes de cada modo “ i ” serán calculados en función de dicha
componente “ r ”. 8.4.1.5 Propiedades Matemáticas de los Modos de Vibración.
3.-) Desde el punto de vista del cálculo sin embargo, se prefiere escalar o Condición de Ortogonalidad
normalizar los vectores con respecto a la matriz de masas “ M ” de manera que Cuando las matrices K y M son simétricas, como en este caso, y una de ellas es
positivamente definida (K lo es cuando la estructura es estable) varias propiedades del
Φ iT M Φ i = 1 (8.18) problemas de valores característicos pueden ser automáticamente garantizadas:
para todos los i , en vista de que este producto se repite constantemente en el 1.-) Si el sistema tiene n grados de libertad, la ecuación característica tendrá n
raíces reales ω 1 a ω n . (Nótese que una raíz puede tener un orden de multiplicidad
2 2
denominador de muchas expresiones. Donde Φ i se obtiene al dividir las componentes
de X i obtenidas de la solución del problema de valores característicos entre la raíz -es decir repetirse- mayor que uno. Si el orden de multiplicidad es r, deberían contarse
T como r raíces. Este es el caso de un edificio simétrico con la misma rigidez en ambas
cuadrada de X i M X i . Cuando las formas modales se escalan de esta última forma direcciones principales). De los “ n ” periodos el mayor es el fundamental.
se dice que están normalizadas. Entonces:
2.-) Para cada valor propio o característico (frecuencia natural) ω i de multiplicidad
Xi 1 hay una forma modal X i definida en función de un factor. Lo que implica que
Φi =
T
X i M Xi imponiendo al sistema un juego de desplazamientos con la forma del vector X i , éste
Xi (8.19) vibrará con la frecuencia ω i .
ó Φi =
∑ (m jj ( x ji ) 2 )
n Para recordar con facilidad la relación entre las frecuencias y los modos, se
j =1 hace la siguiente analogía:
Se define su
Por ejemplo la Ec. (8.15) al premultiplicarla por X T ésta queda reducida a:
i Dada(o) un(a):
correspondiente
T :
X i K X i = ω i2
frecuencia Modo
↔
Asimismo, cabe mencionar que las formas modales normalizadas pueden Baile Forma del Baile
ensamblarse como las columnas de una matriz Q que es llamada la matriz modal.
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10. SECC. 8.4.1.5: PROPIEDADES MATEMÁTICAS DE LOS MODOS. CONDICIÓN DE ORTOGONALIDAD
18 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
17
n
3.-) Condición de Ortogonalidad; esta propiedad nos indica que las formas V = ∑ a1 X i
modales X i X j correspondientes a dos frecuencias naturales ω i ω j , son tales
, , i=1 (8.24)
que: Los coeficientes ai se obtienen usando las condiciones de ortogonalidad.
Siendo “ai(t)” una variable dependiente del tiempo que expresa la contribución ó
X i M X j = ∑ xki mk xkj = 0
T
para i ≠ j (8.21)
k participación dinámica (ello se verá en el Cap. 9).
Se dice que los vectores X i y X j son ortogonales con respecto a la matriz de Pre-multiplicando ambos lados de la ecuación por la matriz M y el vector X Tj :
masas M (La sumatoria sólo es válida cuando la matriz de masas es diagonal). Debe
n
X j M V = ∑ ai X j M X i
notarse que las formas modales también son ortogonales con respecto a la matriz de T T
(8.25)
rigidez K , de manera que: i =1
X i K X j = ∑ ∑ k ln x li x nj = 0
T
para i ≠ j (8.22) pero como X T M X j = 0 para i diferente de j :
i
l n
T
MV
en resumen la condición de ortogonalidad establece: ai = XTi (8.26)
M Xi
(8.22) X i
T
Xi M X j =0 para i ≠ j Esta propiedad es extremadamente importante porque permite expresar la solución
T
Xi CX j =0 para i ≠ j de cualquier problema dinámico como una sumatoria donde cada término representa la
(8.23) contribución de un modo. Permite reducir la solución de un sistema de n grados de
T
Xi K X j =0 para i ≠ j libertad a la solución de n sistemas independientes de 1 GDL, desacoplando así las
ecuaciones de movimiento.
siendo C la matriz de constantes de amortiguamiento. La construcción de dicha
8.4.1.6 Aplicación y Verificación de las Propiedades de las Formas de
matriz es análoga a la de K como se verá en la Secc. 8.4.2, claro esta, en su forma
Modo de Vibración Libre
mas simple.
Para el sistema mostrado calcule:
Nota: Se dice que dos vectores son perpendiculares y no ortogonales para un
a ) La ecuación característica.
sistema de 1, 2 ó 3 GDL.
b ) Las frecuencias y los periodos.
4.-) Una raíz de la ecuación característica de multiplicidad r tiene asociada
con ella r formas modales independientes que siempre pueden ser escogidas de c ) Formas de modo.
modo que satisfagan la condición de ortogonalidad entre ellas. También d ) Normalizar las formas de modo.
satisfarán esta condición con respecto a las formas modales correspondientes a
otras frecuencias. e ) Verificar las propiedades.
u2
5.-) El conjunto de n formas modales de X 1 a X n constituye un juego completo m2
de vectores que definen un espacio vectorial de orden n . Esto implica que cualquier Datos: k2
vector V con n componentes puede ser expresado como una combinación lineal de u1
t − s2 m1
las formas modales: m1 = m 2 = peso / g = 11,437
m
t t k1
k1 = 3 689,87 y k 2 = 3 279,88
m m
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11. SECC. 8.4.1.6: APLICACIÓN Y VERIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS DE MODO
20 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
19
Solución: Frecuencias angulares: ω i = + λi
a) Sabemos que para este tipo de sistema la ecuación característica, por ser de ω1 = 10,91 rad / s y ω 2 = 27,876 rad / s
vibración libre (ver Secc 8.4.1.1, Ec.(8.13)), viene dada por: Observe que : ω1 < ω 2 ( ordenamiento que se ha hecho para obtener T1>T2 )
K −ω 2M = 0 2π
Como el periodo natural se define como: Ti =
ó ωi
⎡k1 + k 2 − k2 ⎤ ⎡m 0⎤ k1 + k 2 − ω 2 m1 − k2 T1 = 0,576 s y T2 = 0,225 s
⎢ −ω 2 ⎢ 1 =0 → =0
⎣ − k2 k2 ⎥⎦ ⎣0 m2 ⎥
⎦ − k2 k 2 − ω m2
2
Observe que según la Ec. (8.16): T1 ( PeriodoFundamental ) > T2
1
Frecuencias naturales: f i =
Siendo las matrices K (de rigidez) y M (de masas) al reemplazar los datos: Ti
f1 = 1,74 Hz y f 2 = 4,44 Hz
⎡m 0⎤ ⎡11,437 0 ⎤
M =⎢ 1 → M =⎢ Observe que : f1 < f 2
⎣0 m2 ⎥
⎦ ⎣ 0 11,437 ⎥
⎦
c) Las Formas de modo se obtendrán a partir de las frecuencias angulares ya
⎡k + k 2 − k2 ⎤ ⎡ 6 969,75 − 3 279,9⎤ calculadas. De la siguiente igualdad (ver Secc 8.4.1.3) :
K =⎢ 1 → K =⎢
⎣ − k2 k2 ⎥⎦ ⎣− 3 279,9 3 279,9 ⎦
⎥
⎛ k 1 + k 2 − ω i 2 m1 − k2 ⎞⎧ x1i ⎫ ⎧0⎫
⎜ ⎟⎨ ⎬ = ⎨ ⎬
⎜ − k2 k 2 − ω i m 2 ⎟⎩ x 2i ⎭ ⎩0⎭
2
Luego el determinante de la ecuación característica vendría dado por: ⎝ ⎠
6 969,75 − 11,437ω 2 − 3 279,9 Al usar la primera fila, puesto que la segunda fila es dependiente de la primera
=0 o viceversa, tenemos:
− 3 279,9 3 279,9 − 11,437ω 2
b) Es la solución del determinante la que nos permitirá la obtención de las
(k + k
1 2
2
)
− ωi m1 x1i − (k2 ) x2i = 0
frecuencias y los periodos. Luego, operando el determinante: Reemplazando:
(6 969,75 − 11,437ω ) x i
2
1i − (3 279,9) x2i = 0
(6 969,75 − 11,437ω ).(3 279,9 − 11,437ω ) − (−3 279,9) = 0
2 2 2
Resolviendo esta última ecuación, sabiendo que λ =ω2 es el valor Notar que cada ω i producirá una forma de modo distinta X i , cuyas
característico, se tiene: componentes, al despejar la última ecuación, serían:
Cuyas raíces vienen dadas por :
λ 2 − 896,133λ + 92 516,988 = 0
(3 279,9) x2i
λ1 = 119,059 λ 2 = 777,077 x1i =
y
(6 969,75 − 11,437ω ) i
2
y x2i
Esta ultima ecuación es llamada el polinomio característico. Polinomio cuyas Se suele hacer x 2i = 1 , es decir la componente segunda en cada modo tomará
raíces nos proporcionarán las frecuencias y periodos, para ello es necesario que el valor de uno. En general para sistemas de “ n ” GDL se hace x = 1 siendo
las frecuencias angulares se ordenen de menor a mayor: dicho valor a elegir arbitrario.
n
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12. SECC. 8.4.1.6: APLICACIÓN Y VERIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS DE MODO
22 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
21
Recordar que en la Secc 8.4.1.3 se despejó en función de x1i . En este d) La Normalización de las formas de modo será hecha basada en la Secc 8.4.1.4 :
problema optaremos por despejar en función de x 2i , que es equivalente a lo d.1 ) Se deja como ejercicio para el lector.
hecho en la sección antes mencionada puesto que la única finalidad es obtener de
manera cualitativa las formas de modo X i correspondientes a ω i . Luego para: d.2 ) Haciendo las componentes xri = 1 de los correspondientes modos X i ,
siendo dicha componente “ r ” arbitraria. Luego los componentes restantes de
cada modo “ i ” serán calculados en función de dicha componente “ r ”.
x 21 = 1
i =1 : ω i = ω 1 = 10,91 rad / s y x 21 = 1 En la parte ( c ) se ha visto cuando x2i = 1. A continuación veremos el caso
cuando x1i = 1 , para lo cual es necesario dividir su valor actual (positivo o
k2
x11 = negativo) al modo correspondiente, obteniendo modos equivalentes “ e ”. Esto se
(k 1 + k 2 − m1ω 1
2
)x 21
verá a continuación:
3 279,9 x11 = 0,5848
x11 =
(6 969,75 − 11,437 x 10,91 ) 2
[i = 1] → Modo 1
→ x11 = 0,5848
equivalente ( e ) X 1 ⎧ x11 x11 ⎫ ⎧ 1 ⎫
⎧x ⎫ X1 = =⎨ ⎬=⎨ ⎬
luego X 1 = ⎨ 11 ⎬ x11 ⎩ x 21 x11 ⎭ ⎩1 0,5848⎭
⎩ x 21 ⎭
(e) ⎪x ⎫
⎧ (e) ⎪ ⎧ 1 ⎫
⎧0,5848⎫ [i = 1] → Modo 1 ⇒ X1 = ⎨ 11 ( e ) ⎬ = ⎨ ⎬
⇒ X1 = ⎨ ⎬ ⎪ x 21 ⎪ ⎩1,7097⎭
⎩ ⎭
⎩ 1 ⎭ ⎧0,5848⎫
⎯
⎯→ U1 = ⎨ ⎬Sen(10,91t + φ1 )
∴ U 1 = X 1 Sen(ω 1t + φ 1 )
⎩ 1 ⎭
[i = 2] → Modo 2
equivalente ( e ) X 2 ⎧ x12 x12 ⎫ ⎧ 1 ⎫
X2 = =⎨ ⎬=⎨ ⎬
x22 = 1 x12 ⎩ x 22 x12 ⎭ ⎩1 (−1,7097)⎭
i=2 : ωi = ω 2 = 27,876 rad / s y x22 = 1 ⎧ (e) ⎪ ⎧ 1⎫ ⎫
(e) ⎪x
k2 ⇒ X2 = ⎨ 12 ( e ) ⎬ = ⎨ ⎬
x12 = ⎪ x 22 ⎪ ⎩− 0,5848⎭
( k1 + k 2 − m1ω 2
2 x22
) ⎩ ⎭
3 279,9 x12 = −1,7104 d.3 ) Normalizando con respecto a la matriz de masas “ M ” :
x12 =
(6 969,75 − 11,437 x 27,876 2 )
Φ iT M Φ i = 1
→ x12 = −1,7104
de donde:
⎧x ⎫
luego X 2 = ⎨ 12 ⎬ Xi Xi
⎩ x22 ⎭ Φi = ó Φi =
∑ (m j ( xij ) 2 )
[i = 2] → Modo 2 T
X i M Xi
n
⎧− 1,7104 ⎫
⇒ X2 = ⎨ ⎬ ⎧− 1,7104⎫ - j =1
⎩ 1 ⎭ ⎯
⎯→ U2 = ⎨ ⎬Sen(27,876t + φ2 )
⎩ 1 ⎭ Observar que Φ i son los modos normalizados con respecto a la matriz de
∴ U 2 = X 2 Sen (ω 2t + φ2 ) masas. Trabajando con los vectores normalizados de la parte ( c ) del problema
tenemos para:
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13. SECC. 8.4.1.6: APLICACIÓN Y VERIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS DE MODO
24 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
23
e) La Verificación de las propiedades de las formas de modo será hecha basada en
la Secc 8.4.1.5. Luego, siendo las matrices de masas ( M ) y rigidez ( K )
⎧ x ⎫ ⎧0,5848⎫ simétricas y K corresponde a una estructura estable, podemos garantizar que:
[i = 1] → Modo 1: con X 1 = ⎨ 11 ⎬ = ⎨ ⎬
⎩ x 21 ⎭ ⎩ 1 ⎭
e.1 ) Existen tantas frecuencias angulares como grados de libertad se han
⎛11,437 0 ⎞ ⎧0,5848⎫
X 1 MX 1 = [0,5848 1]⎜ considerado. Es decir, si existen “ n = 2 ” GDL, entonces, existirán “ 2 ”
T
⎟⎨ ⎬
⎜ 0
⎝ 11,437 ⎟ ⎩ 1 ⎭
⎠ frecuencias naturales y por ende “ 2 ” periodos siendo el mayor el fundamental.
T
X 1 MX 1 = 11,437 x (0,5848) 2 + 11,437 x (1) 2
e.2 ) Para cada frecuencia existe una única forma de modo. Esto se ha podido
T
X 1 MX 1 = 15,3484 observar durante la solución del problema.
X1 1 ⎧0,5848⎫
luego Φ1 = = ⎨ ⎬ e.3 ) Condición de Ortogonalidad; las formas de modo que corresponden a dos
T
X 1 MX 1 15,3484 ⎩ 1 ⎭ frecuencias naturales son ortogonales (perpendiculares para un sistema uno, dos ó
⎧ϕ ⎫ ⎧ 0,1493 ⎫ e tres grados de libertad ).
⇒ Φ 1 = ⎨ 11 ⎬ = ⎨ ⎬
⎩ϕ 21 ⎭ ⎩0,2553⎭ Cumpliéndose:
verificando Φ 1 MΦ 1 = 1
T
T
2
Xi M X j =0 para j≠i
como Φ 1T MΦ 1 = ∑ m jj (ϕ j1 ) 2 =11,437 x (0,1493) 2 + 11,437 x (0,2553) 2 T
j =1 Xi CX j =0 para j≠i
Φ 1 MΦ 1 ≅ 1 (Ok! )
T T
Xi K X j =0 para j≠i
Siendo C la matriz de constantes
⎧ x ⎫ ⎧− 1,7097 ⎫ de amortiguamiento. La construcción de dicha matriz es análoga a la de K como se
[i = 2] → Modo 2 : con X 2 = ⎨ 12 ⎬ = ⎨ ⎬
⎩ x 22 ⎭ ⎩ 1 ⎭ verá en la siguiente sección. Verificando la condición de ortogonalidad por ejemplo
⎛11,437 0 ⎞ ⎧− 1,7097 ⎫ para:
X 2 MX 2 = [− 1,7097 1]⎜
T
⎜ 0 ⎟⎨ ⎬
⎝ 11,437 ⎟ ⎩ 1 ⎭
⎠ 0 ⎞ ⎧− 1,7097 ⎫
⎛11,437
X 1 MX 2 = [0,5848 1]⎜
T
⎜ 0 ⎟⎨ ⎬
11,437 ⎟ ⎩ 1 ⎭
T
X 2 MX 2 = 11,437 x (−1,7097) + 11,437 x (1) 2 2
⎝ ⎠
T
X 2 MX 2 = 44,8682 T
X 1 MX 2 = 11,437 x (0,5848 − 1,7097) + 11,437 x (1x1)
X2 1 ⎧− 1,7097⎫ T
→ X 1 MX 2 = 0
luego Φ2 = = ⎨ ⎬
T
X 2 MX 2 44,8682 ⎩ 1 ⎭
Los demás productos con M, C, K y combinaciones de formas modales, de 2 en 2,
⎧ϕ ⎫ ⎧− 0,2553⎫
⇒ Φ 2 = ⎨ 12 ⎬ = ⎨ ⎬
son análogos.
⎩ϕ 22 ⎭ ⎩ 0,1493 ⎭
e.4 ) Para nuestro caso, no se tienen multiplicidad en la raíces por tratarse de un
verificando Φ 2 T MΦ 2 = 1 sistema sencillo de 2 GDL.
2
como Φ 2 T MΦ 2 = ∑ m jj (ϕ j 2 ) 2 =11,437 x (−0,2553) 2 + 11,437 x (0,1493) 2 e.5 ) El conjunto de formas modales constituye un sistema de referencia (espacio
j =1
vectorial) con respecto al cual puede expresarse cualquier vector “ V ”. Siendo “ a i (t)
Φ 2 T MΦ 2 ≅ 1 (Ok! )
” una variable dependiente del tiempo que expresa la contribución ó participación
dinámica (ello se verá en el siguiente capítulo). Es decir:
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14. SECC. 8.4.2: VIBRACIÓN FORZADA DE SISTEMAS DE VARIOS GDL CON AMORTIGUAMIENTO 25 26 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
n Otra forma de determinar C es considerar:
V = ∑ ai (t ) X i
i =1 C = a0 M + a1 K (8.30)
Permitiéndonos ésta última propiedad expresar la solución de cualquier problema donde los parámetros ao y a1 se seleccionan de manera que la variación de β
dinámico como una sumatoria ( o combinación lineal ) donde cada término representa sobre el rango de frecuencias de interés sea pequeño (según la Norma Peruana de de
la contribución de cada modo. Diseño Sismorresistenteβ = 5% ).
Considerando amortiguamiento para nuestro sistema simplificado de 2 GDL
8.4.2 Vibración Forzada de Sistemas de Varios GDL Considerando Dinámicos visto en la Secc. 8.3, en el que además de las fuerzas inerciales también
Amortiguamiento posee fuerzas actuando en cada GDL (Fig. 8.12).
En toda la presentación anterior se supuso por simplicidad que el sistema no estaba
amortiguado. Sin embargo, las edificaciones en realidad tienen diferentes mecanismos
P2 f (t )
de disipación de energía mientras vibran bajo la acción de un sismo. Las pérdidas de m2
energía (y por consiguiente el amortiguamiento) ocurrirá debido a la fricción interna
en las uniones, o entre los muros y los pórticos y si las deformaciones son grandes
debido a deformaciones plásticas. c2 k2
Las ecuaciones de movimiento del sistema considerando el amortiguamiento bajo
P f (t )
una matriz C serán: 1
m1
&& &
MU + CU + KU = F f ( t ) (8.27)
ai ( t ) + 2 β ω i ai ( t ) + ω i ai ( t ) = X iT F f ( t )
2
&& & (8.28)
c1 k1
Si se va a usar análisis modal no es necesario contar con una matriz de
amortiguamiento. Todo lo que se requiere es introducir la fracción de
amortiguamiento crítico o porcentaje de amortiguamiento β en la iésima ecuación
modal.La determinación de la matriz C sólo es necesaria si no se va a usar análisis
modal y se va a integrar numéricamente todo el conjunto completo de ecuaciones. Fig.8.12 Sistema forzado con amortiguamiento.
Este es el caso si se va a realizar un análisis dinámico nolineal (inelástico) y se desea
agregar a la estructura una cantidad adicional de amortiguamiento además del que la ecuación para este sistema amortiguado forzado vendría a estar dado por la
resultará del comportamiento inelástico (lazos histeréticos). Ec..(8.27). Si en este sistema el amortiguamiento a considerar es en su forma más
simple entonces la construcción de la matriz de amortiguamiento será análoga a la
Hay varias técnicas para determinar esta matriz C . Si se conocen todas las formas
de modo y frecuencias naturales la forma más simple es definir: construcción de la matriz de rigidez, o sea:
C = M Q B QT M ⎛k + k2 − k2 ⎞
(8.29) Si K =⎜ 1
⎜ −k ⎟
⎝ 2 k2 ⎟⎠
donde M es la matriz de masas, Q la matriz modal (conteniendo todas las formas
modales como columnas, ver Secc. 8.4.1.4) y B es una matriz diagonal cuyo término
c c ⎛ c + c2 − c2 ⎞
iésimo es igual a 2 β i ω i (recordar que para 1 GDL se tiene β = ⇒ C =⎜ 1
⎜ −c ⎟
=
c crítico 2mω
).
⎝ 2 c2 ⎟⎠
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