Matemática                                                           Princípios    Capítulo 1                             ...
3    	 2.	a                                                                   		a)	 (F) A soma é ímpar.    		P = {6; 7; 8;...
1	 1.	Considerando que n(A) = n, temos que o número de subcon-       1                                                    ...
Daí:                                                            2                                                         ...
•	 Considerando b > a, somando a aos dois membros e, depois,      dividindo-os por 2, temos:                              ...
•	 Como – 4 < x < –1, os inversos terão relações inverti-             Capítulo 2                                          ...
3	 0.	b                                                                                        5 2 n   +   1 − 8 ⋅ 5 2 n 5...
1                   3                                                                                                  2  ...
27.	a                                                                   	 	•	 Se n dividido por 4 deixa resto 3, significa...
Capítulo 3                                                           Exercícios complementares     Equações polinomiais do...
Substituindo esses valores em y = ax + b, temos:                 	 5.	Tempo que o senhor e a senhora Kohn gastam hoje: t (...
1     	 0.	c                                                               1                                              ...
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  1. 1. Matemática Princípios Capítulo 1 Para x – y = 4, temos: 8 – y = 4 s y = 4 yNúmeros Assim: =2 2 Para x – y = 2, temos: 8 – y = 2 s y = 6Conexões = 3 (Não convém, pois: 3 # B) y Assim, Podemos imaginar um campo de futebol no qual desejamos 2 ir de uma trave à outra. Pode-se seguir este raciocínio: Na ∴ x = 8 e y = 4 caminhada, em determinado momento, estaremos na metade do campo; depois, chegaremos até a metade do que falta para 1 6. Construímos a seguinte tabela em função das informações chegar à outra trave; em seguida, estaremos na metade do que do enunciado. Os dados destacados(*) foram extraídos do ainda falta etc. Dessa forma, nunca chegaremos até a outra enunciado ou por suposição inicial. trave. Segundo esse raciocínio, não é possível ir de um ponto A para um ponto B, distinto de A. Homens Mulheres Total O paradoxo surge ao se supor intuitivamente que a soma de Menores 12% (*) 3% 15% infinitos intervalos de espaço é infinita. No entanto, os infinitos Maiores 60% 25% 85% (*) intervalos descritos formam uma sequência cuja soma converge Total 72% (*) 28% (*) 100% (*) para um valor finito. No caso do paradoxo de Aquiles, além de se estabelecer a Menores de idade: 15% tartaruga como referencial, é um erro separar a dupla espaço- Mulheres menores de idade: 3% tempo. Não se deve separar o espaço do tempo. 3 1 Considerando que velocidade é uma razão entre espaço e Percentual: = = 20% 15 5 tempo, temos: Entre os menores de idade, o percentual de mulheres é de 20%. s − 10 • Tartaruga: velocidade v = (subtraímos 10, pois ela t 2 9. c começou 10 m à frente). I. (F) O símbolo 3 não é usado para relacionar dois conjuntos. s • Aquiles: velocidade 10v = . II. (V) t III. (V) Para sabermos se Aquiles alcança a tartaruga, precisamos IV. (F) A intersecção entre dois conjuntos deve ser um conjunto, e encontrar o ponto em que s1 = s2. Isolando o espaço nas duas 5 não é representação de conjunto. equações e igualando-as, temos: 10 3 0. c vt + 10 = 10vt s vt =  1, 1 9 Distância numérica do intervalo: 84 – 32 = 52 unidades Aquiles encontra a tartaruga, após ela andar, aproximada- Como o intervalo foi dividido em 16 partes iguais: mente, 1,1 m. 52 : 16 = 3,25 unidades De 32 até X existem 11 unidades de 3,25. Assim, temos:Exercícios complementares 3,25 · 11 = 35,75 Daí: 32 + 35,75 = 67,75 3. {1; 2; 3} = {1; 2; x} s x = 31 {1; 2} = {1; 2; y} s y = 1 ou y = 2 3 1. d Podemos ter x + y = 4 ou x + y = 5. Sendo x = 2, 777..., temos: 4. A = {1; 2}, pois {1; 2} 1 A (todo conjunto é subconjunto dele1  10 x = 27, 777...  − mesmo) ou A = {1; 2; 3}, pois {1; 2} 1 A 1 {1; 2; 3; 4} ou  x = 2, 777... A = {1; 2; 4}, pois {1; 2} 1 A 1 {1; 2; 3; 4} ou A = {1; 2; 3; 4}, 9 x = 25 pois {1; 2} 1 A 1 {1; 2; 3; 4} ∴ x = 25 ∴ A = {1; 2} ou A = {1; 2; 3} ou {1; 2; 4} ou A = {1; 2; 3; 4} 9 Assim, teremos:1 5. Como A = B, devemos ter x = 8, pois este é o único elemento de B que não foi explicitado em A. 25 5 2, 777... = = = 1, 666... Ainda deveremos ter: x – y = 4 ou x – y = 2 9 3 1
  2. 2. 3 2. a a) (F) A soma é ímpar. P = {6; 7; 8; 9; 10; 11; …; 20} b) (F) O produto ab é par, portanto seu sucessor é ímpar. A = { 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20} c) (F) a + b é ímpar, que, somado com 2 (que é par), resulta B = {6; 8; 12; 16} em número ímpar. C = {10; 15; 20} d) (F) Nada podemos afirmar, pois não sabemos que é par, a ou b. A – B = {10; 14; 18; 20} e) (V) a + b é ímpar, portanto seu sucessor é par. (A – B) % C = {10; 20} 6. c n[(A – B) % C] = 2 Como x e y são números positivos e consecutivos, podemos concluir que um deles é par e o outro é ímpar. Tarefa proposta a) (F) Se x for ímpar, 2 x será par. Se y for par, 3y será par. 1. A soma de par com par é par. 1 b) (F) Ver anterior. 2 8 c) (V) O produto xy é par, portanto seu sucessor é ímpar. 3 4 d) (F) O dobro de xy é par, que, somado com um número par, resulta em par. 6 10 5 e) (F) x + y é ímpar, portanto seu sucessor é par. 7. c 2. Cada um dos conjuntos está definido por meio de uma pro- João percorreu 8 quilômetros, indo diretamente de Y para Z. priedade, e seus elementos devem ser explicitados. Pedro foi de Y para Z, mas com “escala” em X. Assim, percorreu: a) Sabemos que 0 = 02 e 1 = 12. Assim, A = {0; 1} e é um con- 5 quilômetros para ir até X e mais 6 quilômetros de X para Z. junto finito. Total: 5 + 6 = 11 b) Nesse caso, a diferença em relação ao item anterior é a Pedro percorreu 3 quilômetros a mais que João. condição de o número ser diferente de zero. Então, B = {1} 8. Vamos identificar cada uma das embalagens como um conjunto: e é um conjunto unitário. • Vazia: ∅ c) Nenhum número pode ser igual ao seu sucessor. Portanto, • Com 1 sabor: {caramelo}, {morango}, {uva} C = { }, ou seja, C é um conjunto vazio. • Com 2 sabores: {caramelo; morango}, {caramelo; uva}, d) Existem infinitos números, logo D é um conjunto infinito. {morango; uva} 3. a) Os números formados por 2 dígitos (algarismos) e que con- • Com 3 sabores: {caramelo; morango; uva} têm 1 e 4 são: 14 e 41. Assim: A = {14; 41} Esses 8 conjuntos correspondem a 8 tipos diferentes de em- balagens. b) Em ®, 4 = 2. Logo, B = {2}. c) Os múltiplos não negativos de 2 podem ser obtidos por meio Segundo modo: da multiplicação de 2 por todos os números naturais. Assim: Procuramos o número de elementos do conjunto de partes de A. C = {0; 2; 4; 6; …} Nesse caso, n[P(A)] = 23 = 8. d) O zero é múltiplo de qualquer número, mas não é divisível Concluímos que a empresa precisou fazer 8 tipos de embalagens. por ele mesmo. Assim, os divisores de zero são todos os reais 9. D = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} e M = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; não nulos. 27; …} 4. Considerando que x, y e z são números entre 0 e 9, deveremos ter: D % M = {3; 6; 12; 24} • = 6, pois 3 + 7 + 6 = 16. z O número de subconjuntos de F é dado por 2n(F ). • Pelo método simplificado da adição de números, anotamos a ∴ n[P(F )] = 2n(F ) = 24 = 16 unidade 6 e acrescentamos 1 na coluna das dezenas. Assim, 1 0. c 1 + x + 8 + 7 só poderá dar 19, por causa do algarismo 9 Para resolvermos esse tipo de problema, devemos procurar al- na soma resultante. Logo, x = 3. guma lei de formação, conveniente, na disposição dos números. • Anotamos a dezena 9 e acrescentamos 1 na coluna das Uma lei de formação pode ser a seguinte: centenas. Assim, 1 + 8 + y + 5 = 22. Logo, y = 8. Todos os últimos números de cada linha são um quadrado perfeito ∴ x + y + z = 17 (1 = 12; 4 = 22; 9 = 32; …), e esse número é a ordem da linha 5. e elevada ao quadrado. Assim, o último número da 12a linha será Se a e b são consecutivos e positivos, então um deles é par e 144 = 122. Acima de 144, não existe número da linha anterior. o outro é ímpar. A soma de um número par com um ímpar é O número que precede 144 é 143 e acima dele está o número ímpar e o produto é par. Assim: 121 = 112. Anterior a 143, está o 142 e, acima dele, estará 120.2
  3. 3. 1 1. Considerando que n(A) = n, temos que o número de subcon- 1 6. c juntos de A é dado por 2n. Vamos traduzir em diagramas as informações da tabela, com- Acrescentando 2 elementos ao conjunto A, teremos que o pletando as intersecções e os conjuntos com a quantidade número de subconjuntos passará a ser 2n + 2. Assim, podemos respectiva de elementos. escrever: Febre Dor no corpo 2n + 2 = 2n + 384 Como 2n + 2 = 2n · 22 = 4 · 2n, temos: 4 4 · 2n = 2n + 384 s 3· 2n = 384 s 2n = 128 s 2n = 27 10 2 ∴ n = 7 61 2. b 2 4 x e y são números positivos. 0 < y < 1 (pela representação geométrica) Multiplicando por x: 12 0 < xy < x Logo, xy está entre 0 e x. Náuseas Total de pacientes atendidos no posto:1 3. d 6 + 4 + 4 + 2 + 10 + 2 + 12 = 40 Representação dos dados, utilizando o diagrama de Venn: 1 7. F – V – V – V – F A B Com base nas informações do enunciado, vamos completar o diagrama de Venn, começando pelas intersecções. 12 6 16 C D 4 15 12 6 6 5 3 Assim, vemos que a quantidade de predadores que não têm preferência por A ou por B é 6. 4. a) A 5 B 5 C = {0; 1; 2; 3; 4; 5} 161 b) A % B % C = {1; 2} F c) (A – B) % C = {0} I. (F) Companhias que publicam em exatamente dois jornais: d) A 5 (B – C) = A 5 ∅ = A = {0; 1; 2} 4 + 5 + 3 = 12 e) C – (A – B) = {1; 2; 3; 4; 5} II. (V) Companhias que publicam em pelo menos dois dos jornais:1 5. b 4 + 5 + 3 + 6 = 18 diagrama a seguir, temos: No III. (V) Companhias que publicam em um único jornal: 15 + 12 + 16 = 43 S E IV. (V) Companhias que publicam em pelo menos um dos três jornais: 43 + 18 = 61 8 V. (F) Companhias que publicam apenas no jornal D: 12 180 200 1 8. c 6 Nas figuras, temos: 27 30 A B A B 113 H O número de alunos que gostam apenas de uma das três C C áreas é: A5C A5B 180 + 200 + 113 = 493 3
  4. 4. Daí: 2 4. b A B Cotas Bolsas 101 9 53 44 72 41 C Nenhuma política: 9 261 1 9. a) Enem Francês Inglês a) (F) Total de alunos pesquisados: 590 Alunos que responderam à pesquisa: 44 + 9 + 72 + 41 + x y 32 + 101 + 53 + 261 = 581 Alunos que não opinaram: 590 – 581 = 9 z b) (V) Alunos que aprovam apenas uma política: 101 + 53 + + 261 = 415 x + 32 = 45 s x = 13 c) (F ) Alunos que aprovam mais de uma política: 44 + 9 + 72 + x + y = 21 s y = 8 + 41 = 166 x + z = 20 s z = 7 d) (F) Alunos que aprovam as três políticas: 44 (dado no enunciado) O total de alunos da sala é: e) (F) Alunos que aprovam cotas: 101 + 9 + 72 + 44 = 226 x + y + z + 32 = 60 Alunos que aprovam somente o Enem: 261 b) Oito alunos falam os dois idiomas. 25. A = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27} 2 0. d B = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28} Se o número for racional, ele será real. a) A 5 B = {3; 4; 6; 8; 9; 12; 15; 16; 18; 20; 21; 24; 27; 28} Se o número for natural, ele será inteiro, racional e real. b) A % B = {12; 24} Se o número for inteiro, ele será racional e real. c) A – B = {3; 6; 9; 15; 18; 21; 27} Se o número for positivo, ele será real. d) B – A = {4; 8; 16; 20; 28} Entretanto, o número pode ser real sem ser natural, sem ser inteiro, sem ser racional e sem ser positivo. 2 6. b A = {0; 1; 2; 3; 4; …; 9} 2 1. c A 5 B = A g B 1 A A % B = {0; 2; 4; 6; 8} A B Se B 1 A, então: A % B = B = {0; 2; 4; 6; 8} 2 7. d a) (F) Basta um contraexemplo para tornar a afirmação falsa. B 1 A, ou seja, B é um subconjunto de A. Veja: 2 e 8 são números irracionais. No entanto, o 2 2. e produto 2 ⋅ 8 = 2 ⋅ 8 = 16 = 4 é racional. 2 5 b) (F) Veja o contraexemplo: ( 1 + 2 ) é irracional e ( 1 − 2 ) tam- A: B: 3 4 bém. No entanto, ( 1 + 2 ) + ( 1 − 2 ) = 2, que é racional. A – B: 2 3 4 5 c) (F) Os números π, 10 , 11, 12 , ... são números irracionais entre 3 e 4. B – A: d) (V) Demonstração: Considere a e b dois números racionais positivos tais que Com essa representação geométrica dos conjuntos, concluí- a < b. Pode-se escrever: mos que: • Considerando a < b, somando b aos dois membros e, depois, A – B = [2; 3) 5 (4; 5] e B – A = ∅ dividindo-os por 2, temos: 23. e a+b a < b s a + b < 2b s <b X % Y = {M; A; R; I} s n(X % Y ) = 4 24
  5. 5. • Considerando b > a, somando a aos dois membros e, depois, dividindo-os por 2, temos: a+b α δ β b > a s a + b > 2a s >a 2 a+b Portanto, podemos concluir que a < < b, o que indica 2 a+b que entre a e b existe, pelo menos, o número racional . 2 Se x # β, então x # δ. Assim, se a substância B não estiver e) (F) Basta um contraexemplo. Os números (–2) e (–5) são presente no sangue da pessoa, então ela certamente não estará inteiros negativos. No entanto, a subtração (–2) – (–5) = –2 + com a doença. + 5 = 3, que é um número inteiro positivo. 3 0. b ( 5 + 1) ⋅ ( 5 − 1) = ( 5 ) − 1 = 5 − 1 = 4  3 œ2 8. e 2 2 Dados do enunciado: 0,999… = 1 3 œ • Ataques de hackers no terceiro trimestre de 2009: 1.600 Aumento percentual no ano de 2010 (ano da notícia): 77% 3 1. a) Podemos encontrar o número de elementos fazendo a Total de vítimas no terceiro trimestre de 2010: seguinte conta: 1.600 · 1,77 = 2.832 n(A) = (10 – 2) + 1 = 9 • Vítimas de phishing no terceiro trimestre de 2009: 960 b) Da mesma forma que no item anterior, temos: Aumento percentual no ano de 2010 (ano da notícia): 150% n(B) = (105 – 21) + 1 = 85 Total de vítimas no terceiro trimestre de 2010: c) n(C ) = 10 – 2 = 8 960 · 2,50 = 2.400 d) n(D) = 10 – 2 = 8 • Vítimas de trojans no terceiro trimestre de 2009: 600 e) n(E ) = (105 – 21) – 1 = 83 Diminuição percentual no ano de 2010 (ano da notícia): 36% f) n(F ) = (b – a) + 1 Total de vítimas no terceiro trimestre de 2010: 600 · (1 – 0,36) = g) n(G) = b – a = 600 · 0,64 = 384 32. a) x • Vítimas de phishing e de trojans no terceiro trimestre de 2010: 60 [2; + [ x 2 • Vítimas de outros ataques: x – [2; + [ 2 x Fazendo a representação desses dados por diagrama, temos: ∞; 2[ ou {x 3 ® | x < 2} ]– b) x Phishing Trojans ]– ; 1[ 1 x 60 – ]– ; 1[ 1 x [1; + ∞[ ou {x 3 ® | x > 1} x n(phishing) + n(trojans) – n(phishing % trojans) + x = 2.832 s 3 3. A: x –1 3 s 2.400 + 384 – 60 + x = 2.832 s B: s 2.724 + x = 2.832 s 2 5 x s x = 2.832 – 2.724 A B: 2 3 x ∴ x = 108 A B: –1 5 x2 9. b A % B = {x 3 ® | 2 < x < 3} = ]2; 3] Vamos considerar os quatro conjuntos seguintes: A 5 B = {x 3 ® | –1 < x < 5} = ]–1; 5] α: é o conjunto formado pelas pessoas com a substância A no sangue. 3 4. d β: é o conjunto formado pelas pessoas com a substância B no Pelos dados do enunciado, temos que y > 0, pois 1 < y < 2. sangue. • Se y estiver “bem próximo” de 1, multiplicando – 4 < x < –1 γ: é o conjunto formado pelas pessoas com a substância C no por y, teremos mantidas as desigualdades – 4 < xy < –1. sangue. • Se y estiver “bem próximo” de 2, multiplicando – 4 < x < –1 δ: é o conjunto das pessoas com a doença. por y, teremos as desigualdades –8 < xy < –2. Com base no enunciado, podemos concluir que: Em qualquer situação, o produto xy pertencerá ao intervalo α 1 δ 1 β. ]–8; –1[. 5
  6. 6. • Como – 4 < x < –1, os inversos terão relações inverti- Capítulo 2 1 1 das, ou seja: −1 < < − . Multiplicando tudo por 2: Primeiras operações x 4 2 1 −2 < <− Conexões x 2  1 Como ]– 8; –1[ 1  −8; − , a resposta correta é a alternativa d. 1 1 2 2 1− 5 2(1− 5 ) 1− 5 2 = = = ⋅ = = =  ϕ 1+ 5 1+ 5 1+ 5 1− 5 1− 5 −2 3 5. a 2 De acordo com as informações do enunciado, temos: −1 + 5 1 − 2 + 5 1 + 5 2 1+ 5 • Sedentários 1 cardíacos = = = − = − 1= ϕ − 1 2 2 2 2 2 • Se sedentários = 2 x, cardíacos = x (c.q.d.) Observe o diagrama: Sedentários Exercícios complementares x 1 3. F – F – F – F – V Cardíacos I. F) a3 · b2 = a2 · b2 · a = (ab)2 · a ( x II. (F) a5 · b3 = a2 · a3· b3 = (ab)3 · a2 a9 III. (F) = a 9 − 3 = a6 a3 70 IV. (F) Seria verdadeiro se tivéssemos uma multiplicação de mesma base. x + x + 70 = 200 s 2 x + 70 = 200 s 2 x = 130 1 a2 + b3 b3 V. (V) (a3 + b2) · a–2 = ( a + b ) ⋅ 2 = = 1+ 2 2 3 Portanto, 130 entrevistados eram sedentários. 2 a a a 36. c 1 4. a Considere a figura: a) 818 = (34)8 = 332 b) 167 = (24)7 = 228 C c) 331 d) 2436 = (35)6 = 330 e) 810 = (23)10 = 230 I A de maior valor é 332 = 818, pois possui a maior base e o A maior expoente. B II 1 5. e • 1 petabyte equivale a 220 gigabytes D • 3 petabytes equivalem a 3 · 220 gigabytes III • 1 DVD armazena 4 gigabytes Número de DVDs necessários para armazenar 3 petabytes pode ser calculado por: 3 petabytes 3 ⋅ 220 3 ⋅ 220 = = = 3 ⋅ 218 1 DVD 4 22 Sabemos que: 2 · 218 < 3 · 218 < 4 · 218 As regiões I, II e III são definidas por: ∴ 219 < 3 · 218 < 220 • I = [(A – B) % C] – D 1 6. a • II = B % C % D • III = [(A – B) % D] – C 315 ⋅ 32 − 315 ⋅ 3 315 ⋅ ( 9 − 3 ) 5 15 5 = 5 = 3 = 33 = 27 Assim, temos: 6 6 • I: (A – B) = {1; 2; 4; 5; 9} s (A – B) % C = {4; 5} s s [(A – B) % C] – D = {4} 2 9. Sejam n o dividendo, d o divisor, q o quociente e r o resto. • II: B % C % D = {3} d = q e n = d · q + r, com 0 < r < d e r = 11 • III: (A – B) = {1; 2; 4; 5; 9} s (A – B) % D = {1; 2; 5} s Logo: d = q = 12 s [(A – B) % D] – C = {1; 2} Assim: n = 12 · 12 + 11 ∴ 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ∴ n = 1556
  7. 7. 3 0. b 5 2 n   +   1 − 8 ⋅ 5 2 n 5 2 n ⋅ 5 − 8 ⋅ 5 2 n 5 2 n ⋅ ( 5 − 8 ) −3 1 6. = = = =− 60 ⋅ 25 60 ⋅ ( 5 ) 60 ⋅ 5 n n 2n MDC(240; 320; 400) = 80 2 60 20 240 320 400 = 3; = 4; =5 7. e 80 80 80 I.  (V) 2 x + 3 = 2 x · 23 Portanto, o total de peças será a soma 3 + 4 + 5, ou seja, 12 peças. II.  (V) (25)x = (52)x = 52x 1. 12 = 22 · 33 III.  (F) Esta propriedade não é válida para a adição. 30 = 2 · 3 · 5 3x 3x 84 = 22 · 3 · 7 8. a) 3x + 3x – 1 + 3x – 2 = 117 s 3x + + = 117  s 3 9 MMC(12; 30; 84) = 22 · 3 · 5 · 7 = 420  1 1 13 Passarão 420 anos terrestres. s  3 x  1 + +  = 117   s  3 x ⋅ = 117   s  3 9 932. a) 200 = 23 · 52 s 3x = 81 = 34 s x = 4 120 = 23 · 3 · 5 b) 4x + 4x + 1 = 20 s b) MDC(120; 200)= 23 · 5 = 40 s 4x + 4x · 4 = 20 s O organizador conseguirá formar, no máximo, 40 caixas. s 5 · 4x = 20 s s 4x = 41 s x = 1Tarefa proposta 9. d 1. d 416 · 525 = (22)16 · 525 = 232 · 525 = 27 + 25 · 525 = 27 · 225 · 525 = 1 1 a = 2 = −3 = = 128 · (2 · 5)25 = 1,28 · 102 · 1025 = 1,28 · 1027 23 8 ∴ α = 1,28 e n = 27 b = (–2)3 = – 8 1 1 1 0. a) 121 = 112 = 11 c = 3 = 2 = −2 3 9 b) 576 = 242 = 24 1 1 d = ( −2 ) = −3 =− ( −2 )3 8 c) 4 81 = 4 34 = 3 1 1 1 > > − > −8 d) 3 27 = 3 33 = 3 8 9 8 a > c > d > b e) 5 0=0 222 f) 3 −125 = 3 ( −5 )3 = −5 2. = 222   −   1 = 221 2 g) 1, 44 = ( 1, 2 )2 = 1, 2 3. d 2 h) 3 0, 008 = 3 ( 0, 2 ) 3 = 0, 2  1  . (V) 3 + 2 – (–3) + (0,2) –   = I 0 –3 2  5 2 i) 5 32 = 5 25 = 2 3 2 2  1  1  1 1 63 = 1 +   − 9 +   −   = −8 + = − (5 − 7) = 5− 7 = 5− 7 2  2  5  5 8 8 1 1. a) 9 (2 − 7) = 2− 7 = 7 − 2 II. (F) 0,01 + = 0,01 + 2,25 = 2,26 2 4 b) (0,5 · 0,2) +3,25 = (0,1)2 + 3,25 = 0,01 + 3,25 = 3,26  2 3 2 3 2 III. (V) 34 – (–3)4 = 34 – 34 = 0  2. a) 4 2 − 8 3 = ( 22 ) 2 − ( 23 ) 3 = 23 − 22 = 4 1 1 1  4 0  1 −0 ,5  4 2 1 4 1 2 IV. (F)   + (3 : 0) (Não existe.)  b) 9 +  = 1 + = + = + =1  3  9  9  9 9 3 3 92 1 3. d ( 5 ⋅ 7 ) −1 ⋅ ( 2 3 ⋅ 5 ) ⋅ ( 2 ⋅ 5 ) 2 ⋅ 5 ⋅ ( 2 ⋅ 5 ) 2 −1 4. = 23 ( 2 ⋅ 7 ) ⋅ 5 ⋅ 5 2 −1 132 − 122 = n 125   s   169 − 144 = n 125   s 5 −1 ⋅ 7 −1 ⋅ 2 −3 ⋅ 5 −1 ⋅ 2 2 ⋅ 5 2 ⋅ 5 ⋅ 2 2 ⋅ 5 2 5 3 ⋅ 7 −1 ⋅ 2 1 s   25 = n 53   s  5 = n 53 = = 2 −1 3 = 2 ⋅ 2 ⋅7 ⋅5 ⋅5 3 −1 −1 2 2 ⋅7 ⋅5 2 ∴ n = 3 14. a) 72 + 3 18 − 7 2 = 6 2 ⋅ 2 + 3 32 ⋅ 2 − 7 2 = 5. a) n par: (–1)n + (–1)2n + (–1)3n = 1 + 1 + 1= 3 b) n ímpar: (–1)n + (–1)2n + (–1)3n = (–1) + 1 + (–1) = –1 =6 2+9 2−7 2 =8 2 7
  8. 8. 1 3 2 0. b b) − 44 + 2 1.331 − 176 = 2 4 360 = 23 · 32 · 5 1 2 3 2 147 = 3 · 72 =− 2 ⋅ 11 + 2 112 ⋅ 11 − 4 ⋅ 11 = 2 4 Os divisores de 360 que não possuem fatores primos comuns 1 3 com 147 são aqueles cujos fatores só poderão ser 2 ou 5. São =− ⋅ 2 11 + 2 ⋅ 11 11 − ⋅ 4 11 = 2 4 eles: {2; 4; 8; 5; 10; 20; 40} = − 11 + 22 11 − 3 11 = 18 11 2 1. d 1015 = (2 · 5)15 = 215 · 515 • 25 = 52 e, portanto, é divisor de 215 · 515. 20 20 20 1 5. n = n ( ) = n = • 50 = 2 · 52 e, portanto, é divisor de 215 · 515. 4n   +   2 + 22 n   +   2 4n ⋅ 42 + 22 n   +   1 4 n ⋅ 16 + 4 n ⋅ 4 • 64 = 26 e, portanto, é divisor de 215 · 515. 20 1 1 • 75 = 3 · 52 e, portanto, não é divisor de 215 · 515, pois 215 · 515 = n = n = 4n ⋅ ( 16 + 4 ) 4n 4 não tem o fator 3. • 250 = 2 · 53 e, portanto, é divisor de 215 · 515. 1 1⋅ 2 2 16. a) = = 2 2. b 2 2⋅ 2 2 De acordo com as figuras, temos um círculo completo a cada 2+ 3 ( 2 + 3) 2 2+ 6 6 etapas. Portanto, serão 15 círculos completos na figura de b) = = 2 2⋅ 2 2 número 15 · 6 = 90. 2 2 7 25 2 7 25 2 7 25 7 5 c) = = = = 2 23. d 7 4 7 2 ⋅ 2 2 7 5 7 2 7 2 De acordo com as figuras, temos que as letras “completam o 2 2 ( 7 + 1) ciclo” a cada quatro etapas (veja a 1ª e a 4ª figuras). Portanto, d) = = 7 −1 ( 7 − 1) ⋅ ( 7 + 1) toda figura de ordem múltipla de 4 será igual à 4a figura. Como 2 ( 7 + 1) 2 ( 7 + 1) 80 = 20 · 4, a alternativa correta é a d. 7 +1 = = = ( 7) 2 6 3 −1 2 24. e 6 6 ( 3 + 2) A cada quilômetro percorrido pelo carro B, a partir do e) = = 3− 2 ( 3 − 2)⋅( 3 + 2) primeiro, a distância entre os dois carros aumenta em 20 metros. 18 + 12 = =3 2+2 3 500 : 20 = 25 ( 3) − ( 2) 2 2 A distância entre os dois será de 500 metros, após o carro B andar 25 quilômetros. 1 7. c 60.000 ⋅ 0, 00009 2 ⋅ 3 ⋅ 10 4 ⋅ 32 ⋅ 10−5 33 ⋅ 10−1 2 5. Seja n a quantidade total de garrafas a serem divididas. 3 = 3 = 3 = 3 ⋅ 10 De acordo com a tabela, podemos concluir que (n – 2) é múltiplo 0, 0002 2 ⋅ 10− 4 10− 4 de 12, 20 e 30. 18. e Como MMC(12; 20; 30) = 60, os múltiplos de 12, 20 e 30 são 5 ⋅ 12 64 − 18 5 ⋅ 12 26 − 2 ⋅ 32 5⋅ 2 − 3 2 múltiplos de 60, ou seja, 60k. = = = ∴ n – 2 = 60k s n = 60k + 2 50 − 324 4 2 ⋅ 5 2 − 4 2 2 ⋅ 34 5 2 − 3 4 22 Portanto, a quantidade total de garrafas a serem divididas é igual a 60k + 2, com k 3 ˜*. 2 2 2 2 = = =1 5 2−3 2 2 2 2 6. c ( ) = (1+ 3 ) 2 2 19. 4+2 3 s Fatorando 2.310, temos: s 4 + 2 3 = ( 1 + 3 ) · ( 1 + 3 ) s 2.310 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 Fatorando 1.300, temos: s 4 + 2 3 = 1 + 3 + 3 + ( 3 ) s 2 1.300 = 2 · 2 · 5 · 5 · 13 O número procurado é x. s 4 + 2 3 = 1 + 3 + 3 + 3 s 2.310 ⋅ x 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ x 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ x = = 4 + 2 3 = 4 + 2 3 1.300 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 13 130 (c.q.d.) Portanto, o menor valor para x é 130.8
  9. 9. 27. a • Se n dividido por 4 deixa resto 3, significa que, tanto (n – 3) A primeira luz “pisca” a cada 4 segundos, e a segunda, a cada 6 como (n + 1) será um múltiplo de 4. Consideremos (n + 1) como segundos. Assim sendo, o tempo mínimo necessário para que múltiplo de 4. voltem a “piscar” juntas novamente será o mínimo múltiplo • Se n dividido por 5 deixa resto 4, significa que, tanto (n – 4) comum de 4 e 6. como (n + 1) será um múltiplo de 5. Consideremos (n + 1) como MMC(4; 6) = 12 múltiplo de 5. Desta forma, (n + 1) será múltiplo de 3, 4 e 5.2 8. d MMC(3; 4; 5) = 60 A manutenção na máquina A é feita a cada 3 dias; na máquina n + 1 = 60 s n = 59 B, a cada 4 dias e, na máquina C, a cada 6 dias. Assim, o número mínimo de dias entre manutenções simultâneas será o mínimo 3 5. e múltiplo comum dos números 3, 4 e 6. Qualquer porta k, com 1 < k < 50, será tocada por todos os MMC(3; 4; 6) = 12 estudantes cuja numeração seja um divisor positivo de k. Como 2 + 12 = 14 (dezembro) as portas estão todas inicialmente fechadas, temos: • A porta de número 4 será tocada pelos estudantes de posições2 9. c 1, 2 e 4, e somente por estes. Assim, ao final ela ficará aberta. As duas pessoas estarão novamente na posição mais baixa no • A porta de número 17 será tocada pelos estudantes de posições MMC(30; 35) = 210 segundos. 1 e 17, e somente por estes. Assim, ao final ela ficará fechada. 210 = 3 · 60 + 30 = 3 min 30 s • A porta de número 39 será tocada pelos estudantes de3 0. d posições 1, 3, 13 e 39, e somente por estes. Assim, ao final 1º farol: 10 segundos fechado + 40 segundos aberto. ela ficará fechada. Portanto, levará 50 segundos para fechar outra vez. 36. a) Carrinho A: dá 10 voltas em 1 min 40 s. Isso significa que ele 2º farol: 10 segundos fechado + 30 segundos aberto. dá 10 voltas em 100 s, ou seja, 1 volta a cada 10 segundos. Portanto, ele levará 40 segundos para fechar outra vez. Carrinho B: dá 15 voltas em 1 min 15 s. Isso significa que ele MMC(40; 50) = 200 dá 15 voltas em 75 s, ou seja, 1 volta a cada 5 segundos. Logo, a partir daquele instante, eles levarão 200 segundos para Como o MMC(10; 5) = 10, temos que eles irão estar juntos, fecharem juntos outra vez. novamente, no ponto de partida após 10 segundos (o car-31. MMC(35; 21) = 105 rinho A terá dado 1 volta e o carrinho B, 2 voltas). A engrenagem maior dará 105 : 35 = 3 voltas. b) 6 min 5 s = 365 s Carrinho A: 365 s = (36 · 10 + 5) s32. a) Podemos considerar que as dimensões da sala são: Isso significa que o carrinho A terá dado 36 voltas completas, 300 cm · 425 cm mais meia volta. 300 = 22 · 3 · 52 Carrinho B: 365 s = (73 · 5) s 425 = 52 · 17 Isso significa que o carrinho B terá dado 73 voltas completas Logo, MDC(300; 425) = 52 = 25. e estará no ponto de partida. Portanto, a dimensão máxima dos ladrilhos quadrados é de c) Pelo que foi descrito no item b, teremos as seguintes posições 25 cm. para os carrinhos. b) Para calcular a quantidade de ladrilhos, podemos dividir a área da sala pela área de cada ladrilho. Carrinho A 300 cm ⋅ 425 cm 127.500 = = 204 ladrilhos 25 cm ⋅ 25 cm 625 1,05 m3 3. Sendo n e m dois números não primos entre si, conclui-se que eles têm, pelo menos, um fator primo em comum e, conside- rando-se que 420 = 22 · 3 · 5 · 7, esse fator primo somente pode 1m ser o 2. Como esse é o único fator comum aos números n e m, chega-se à conclusão de que MDC(n; m) = 2.3 4. c Carrinho B Como n 3 ˜, temos: • Se n dividido por 3 deixa resto 2, significa que, tanto (n – 2) A distância entre os carrinhos será a medida do raio da como (n + 1) será um múltiplo de 3. Consideremos (n + 1) como pista menor mais a medida do raio da pista maior. Logo, a múltiplo de 3. distância será de 1,05 m + 1,0 m = 2,05 m. 9
  10. 10. Capítulo 3 Exercícios complementares Equações polinomiais do 1º e 1 D 3. e acordo com as instruções do boleto, devemos ter: do 2º grau M(x) = 500 + 10 + 0,4x s M(x) = 510 + 0,4x, com x > 0 Conexões 1 4. a) Comprimento do circuito: x Dividimos a equação por 2 e isolamos o termo independente: 2 3 x + x + 108 = x s (multiplicando por 35) 9 9 9 5 7 x 2 + x = 13  s   x 2 + x + x = 13 2 4 4 s 14x + 15x + 3.780 = 35x s Construímos um quadrado de área x 2 e dois retângulos de s 6x = 3.780 9 ∴ x = 630 área x : 4 O comprimento do circuito é de 630 km. x b) Trecho asfaltado: 25 2 10 3 ⋅ ⋅ 630 + ⋅ · 630 + 36 = 126 km 9 100 5 100 7 4 O percentual pedido pode ser dado por: 126 = 0,2 = 0,20 = 20% 630 O percentual da parte asfaltada é 20% do circuito. x x x2 x 2 1 5. − + = 0  x2 – 6x + 8 = 0 ×   12 → x 9 12 2 3 4 ∆ = (–6)2 – 4 · 1 · 8 = 4 s Completamos o quadrado e somamos, a ambos os membros, s ∆ =2 9 6±2 a área de um quadrado de lado . 2 – 6x + 8 = 0 s x = x s 4 2 s x1 = 2 e x2 = 4  ∴ S = {2; 4} 9 4 x 16. d > 0 ∆ [–(2m – 1)] – 4m(m –1) > 0 s 2 9 9 s  4m – 4m + 1 – 4m2 + 4m > 0 s 1 > 0 2 ∴ S = ® 4 4 29. e Observando a tabela dada, podemos concluir que as varia- x x ções do número de bolas e do nível da água são grandezas diretamente proporcionais. Ampliando a tabela dada, x 9 teremos: 4 Número de bolas (x) Nível da água (y) 9 9 81 81 Então, a área final é: x + x + x + = 13 + 2 . Proce­ 5 6,35 cm 4 4 16 16 10 6,70 cm dendo dessa forma, tem-se, agora, que a área de um quadrado 15 7,05 cm  9 289 de lado  x +  é igual a , ou seja, fatora-se o trinômio x y cm  4 16 quadrado perfeito no primeiro membro. Logo, podemos construir a seguinte proporção: 2  9 289 x − 15 5  x + 4  = 16   = s 0,35x – 5,25 = 5y – 35,25 s 5y = 0,35x + 30 y − 7, 05 0, 35 ∴ y = 0,07x + 6  9 17 x +  4 = 4 ∴x = 2 3 0. a) Para x = 10.000, temos y = 80.000  x + 9 17 13 Para x = 2 ⋅ 10.000 = 20.000 temos y = 1,50 ⋅ 80.000 = =− ∴x = −   4 4 2 = 120.00010
  11. 11. Substituindo esses valores em y = ax + b, temos: 5. Tempo que o senhor e a senhora Kohn gastam hoje: t (em horas)  a ⋅ 10.000 + b = 80.000  10.000a + b = 80.000 Tempo que o senhor e a senhora Kohn gastavam no início: t – 0,5     a ⋅ 20.000 + b = 120.000  20.000a + b = 120.000 Distância entre a cidade e a capital: 80(t – 0,5) ou 60t.  10.000a + b = 80.000 Daí:    s 80(t – 0,5) = 60t s 80t – 40 = 60t s 20t = 40  ∴ t = 2 horas 2L1 − L2  b = 40.000 Logo, a distância entre a cidade e a capital é de 60 · 2 = 120 km. s a = 4 Assim, teremos: y = 4x + 40.000 6. Considerando que o mês de março tem 31 dias, temos que os b) Fazendo x = 30.000, teremos: dias depois de x de março mais os 2 x de abril devem resultar y = 4 ⋅ 30.000 + 40.000 s y = 120.000 + 40.000 em um múltiplo de 7 (visto que esses dois dias caem no mesmo ∴ y = 160.000 dia da semana). receita mensal será de R$ 160.000,00. A Assim, podemos escrever: 31 – x + 2 x = 7k (múltiplo de 7, com k 3 ˜) 1. x 2 = m s m2 – m – 6 = 0 s m = –2 ou m = 33 ∴ x = 7k – 31 (com x > 0) m = –2 s x 2 = –2  ∴ ex 3 ® Dessa forma ou k = 5 s x = 4 ou k = 6 s x = 11. ou m = 3 s x2 = 3 s x = ± 3 ∴ S = − 3 ; 3 { } Note que k não poderia ser 7 porque daria 2 x maior do que os dias inteiros de abril. 2. x 2 – 4x = m s m2 + 4m = 0 s m = 0 ou m = – 43 ∴ x = 4 ou x = 11 m = 0 s x 2 – 4x = 0 s x(x – 4)  ∴ x = 0 ou x = 4 7. c ou Número de pessoas do grupo: k m = – 4 s x 2 – 4x = – 4 s x 2 – 4x + 4 = 0 s (x – 2)2 = 0  ∴ x = 2 150 S = {0; 2; 4} Valor da matrícula, por pessoa: k 150Tarefa proposta Valor da mensalidade, por pessoa (enunciado): + 10 k 1. a 600 Valor de cada mensalidade (enunciado): = 200 x − 2 3x + 1 1 × 12 3 + = x +  4(x – 2) + 3(3x + 1) = 12x + 6 s → 3 4 2 Daí, podemos escrever: s 4x – 8 + 9x + 3 = 12x + 6 s x = 11  150   + 10  · k = 200 s 150 + 10k = 200 s ∴ S = {11}  k  s 10k = 50 ∴k=5 5 (F − 32 ) 2. C = s 9C = 5(F – 32) s 9C = 5F – 160 s 9 8. b s 9C + 160 = 5F s 5F = 9C + 160 R1 = 1 · 2 R2 = 2 · 3 9C + 160 ∴ F = R3 = 3 · 4 5 R4 = 4 · 5 3. d  ∴ 18x = 12(x + 5) s 18x = 12x + 60 s 6x = 60 x = 10 Rn – 1 = (n – 1) · n Rn = n · (n + 1) 4. e Rn – Rn – 1 = 100 s n · (n + 1) – (n – 1) · n = 100 s Número inicial de alunos: x s n · (n + 1 – n + 1) = 100 s n · 2 = 100 Despesa: d ∴ n = 50 Situação inicial: 135,00 · x = d  ∴ d = 135x (I) O maior dos números retangulares é Rn = R50. Situação posterior: (135,00 + 27,00) · (x – 7) = d ∴ d = 162 x – 1.134 (II) 9. Chamemos de C o comprimento do Equador (comprimen- Comparando (I) e (II): to da corda, inicialmente) e de r o raio da Terra. Assim, 135x = 162x – 1.134 temos: ∴ x = 42 (total inicial de alunos) C = 2πr  (I) d = 135 · 42 = 5.670 Aumentando 1 metro no comprimento, temos: No entanto, como o diretor contribuiu com R$ 630,00, a despesa C + 1 = 2π(r + x) s C + 1 = 2πr + 2πx  (II) a ser dividida entre 35 alunos (pois 7 deixaram a escola) foi Substituindo (I) em (II): igual a 5.670 – 630 = 5.040. C + 1 = C + 2πx s x = 1 : 2π  ∴ x H 0,16 m = 16 cm 5.040 : 35 = 144 Sim, passaria. 11
  12. 12. 1 0. c 1 8. a) Considerando que uma das partes do fio é x, a outra será A pessoa nasceu no século XIX. Logo, o ano de seu nascimento 48 – x. pode ser indicado por: 1800 + 2x Como o fio de medida x deverá ser o perímetro de um qua- A pessoa morreu no século XX. Logo, o ano de seu falecimento 2 x  x pode ser indicado por: 1900 + x drado, o lado desse quadrado medirá e sua área   .  4 4 Como a pessoa viveu 64 anos, temos que: Como o fio de medida 48 – x deverá ser o perímetro de (1.900 + x) – (1.800 + 2x) = 64 s 100 – x = 64 48 − x ∴ x = 36 e 2x = 72 outro quadrado, o lado desse quadrado medirá e 4 Assim, a pessoa nasceu em 1872 e morreu em 1936. 2  48 − x  Como 1.900 – 1.872 = 28, concluímos que a pessoa tinha 28 sua área   4  .  anos em 1900. Considerando o 2º quadrado como sendo aquele de maior 11. a) S = 6 e P = 5 s x1 = 1 e x2 = 5  ∴ S = {1; 5} área, teremos: b) S = 98 e P = 97 s x1 = 1 e x2 = 97  ∴ S = {1; 97} (48 – x)2 = 4x2 s (48 – x)2 = (2x)2 s 48 – x = 2x ∴ x = 16 c) S = 6 e P = – 7 s x1 = –1 e x2 = 7   ∴ S = {–1; 7} ou 48 – x = –2 x 1 2. e ∴ x = – 48 (Não convém). 2 1 × ( x 2 −   1) As partes do fio devem medir 16 cm e 32 cm. + = −1  2 + (x – 1) = – (x2 – 1) s → x2 − 1 x + 1 b) Os lados dos quadrados medirão: 4 cm e 8 cm. Logo, suas  x 1 = −1 (Não convém.)  áreas terão medidas iguais a 16 cm2 e 64 cm2. s 2 + x – 1 = – x2 + 1 s x2 + x = 0   x2 = 0  1 9. b ∴ S = {0} Se b e c são raízes da equação x 2 + bx + c = 0, então, por soma 1 3. e e produto podemos escrever: a · 42 – 4 · 4 – 16 = 0 s 16a = 32 s a = 2 + c = –b  (I) b 2x 2 – 4x – 16 = 0 s x 2 – 2x – 8 = 0 s b · c = c  (II)  x = −2  De (II) podemos concluir que: c = 0 ou b = 1 s S = 2 e P = –8 s  1  x2 = 4  Se b = 1, então c = –2. Logo, c = 0 ou c = –2. Daí, a soma dos possíveis valores de c é 1 4. b igual a –2. Como, na equação, o coeficiente a > 0 e c < 0, temos que ∆ > 0. Portanto a equação terá duas raízes reais e distintas. 20. d 1 5. b Como a área de um retângulo é calculada multiplicando-se a  −33 base pela altura, podemos escrever:  x 1 + x 2 = 10  A área da reserva legal é dada por x 2 + ax + bx e a área total Do enunciado:  x ⋅ x = − 7 será dada por (x + a)(x + b).   1 2 10 Como a reserva legal é 20% da área total, temos que: Substituindo na expressão do enunciado, temos: x 2 + ax + bx = 0,20 ⋅ (x + a)(x + b) s 1  7  33  35 66 101 s x 2 + ax + bx = · (x + a)(x + b) s 5 ⋅  −  + 2 ⋅  −  = − − =− = −10, 1 5  10   10  10 10 10 s 5x 2 + 5ax + 5bx = x 2 + bx + ax + ab s Dentre as alternativas, o número mais próximo do valor da expressão é –10. s 4x 2 + 4(a + b)x – ab = 0 Nesta equação, temos: ∆ = 16(a + b)2 + 16ab e, portanto: 1 6. c −4 ( a + b ) ± 16 ( a + b ) + 16 ab 2 A quantidade de aves poderá ser dada por: n · (n + 2) + 1 = x= = 8 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 e que, portanto, é um quadrado −4 ( a + b ) ± 16  ( a + b ) + ab  2 perfeito.   = 8 = 1 7. e −4 ( a + b ) ± 4 ( a + b ) + ab − ( a + b ) ± ( a + b ) + ab 2 2 S = a + b = 3k e P = ab = k 2 s = 8 2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 s (3k)2 = 2k 2 + 1,75 s 1, 75 − (a + b) + ( a + b )2 + ab s 7k 2 = 1,75 s k 2 =   ∴ k 2 = 0,25 Como x > 0, teremos: x = 7 212

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