SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 9
Baixar para ler offline
1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en 2D
1.9. Círculo de Mohr para esfuerzos en 2D
Las dos formas del círculo de Mohr se muestran en la Fig. 1.30, la diferencia son el eje de las
ordenadas  y su correspondiente sentido positivo de los ángulos.
Figura 1.30: Tipos del trazo del círculo de Mohr.
Construcción del círculo de Mohr1:
1. Dibujo de un sistema de ejes coordenados con  como abscisa, positivo hacia la derecha, y
 como ordenada, positivo hacia abajo.
2. Localice el centro  del círculo en el punto con coordenadas  y  = 0.
 =
 + 
2
3. Localice el punto A que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara 1del elemento
mostrado en la Fig. (1.31), marcando sus coordenadas  =  y  = . Note que el punto
 corresponde a  = 0.
4. Localice el punto B que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara del elemento
mostrado en la fig. (1.31) , trazando sus coordenadas  =  y  = −. Observe que el
punto  sobre el círculo corresponde a  = 90.
5. Dibuje una línea del punto  al . Esta línea es un diámetro del círculo y pasa por el
centro . Los puntos  y , que representan los esfuerzos sobre planos a 90 uno del otro
están en extremos opuestos del diámetro (y, por lo tanto, están a 180 uno del otro sobre
el círculo).
6. Con el punto  como centro, trace el círculo de Mohr por los puntos  y . El círculo
dibujado de esta manera tiene radio .
1
Mohr O. (1887). Ueber die bestimmung und die graphische Darstellung von Trâgheitsmomenten ebener
Flâchen, Civilingenieur, columnas 43-68, pp.90
Mohr O. (1914). Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik (Ernst, Berlin, ed.2), pp. 109
c°Gelacio Juárez, UAM 43
1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en 2D
 =
sµ
 − 
2
¶2
+ 2

7. Cálculo de los esfuerzos principales y ubicación en la fig. (1.31)
σ12 =  ± 
8. Cálculo del ángulo  de la ec. (1.65)
2 = tan
µ
2
 − 
¶
9. Cálculo del esfuerzo cortante máximo,m´ax, y del ángulo .
m´ax = 
Figura 1.31: Trazo Mohr
c°Gelacio Juárez, UAM 44
1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en 2D
1.9.1. Ejemplo
Del estado de esfuerzos mostrado en la fig 1.32 determine: a) los esfuerzos, direcciones principales
y posibles planos de falla y b) el estado de esfuerzos a un ángulo  = 40◦ en dirección contraria
a las manecillas del reloj:
 =
"
40 10
√
3
10
√
3 20
#
MPa
Figura 1.32: Trazo Mohr
Solución
a) Cálculo del centro
 =
40 + 20
2
= 30 MPa
Cálculo del radio
 =
sµ
40 − 20
2
¶2
+
³
10
√
3
´2
= 20 MPa
Cálculo de los esfuerzos principales y ubicación en la fig. (1.32)
1 = 30 + 20 = 50 MPa
2 = 30 − 20 = 10 MPa
Cálculo del ángulo  de la ec. (1.65);
 =
1
2
tan−1
Ã
2(10
√
3)
40 − 20
!
= 30◦
c°Gelacio Juárez, UAM 45
1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en 2D
El esfuerzo cortante máximo ,m´ax, corresponde al radio del círculo:
m´ax =  = 20 MPa
y el ángulo  es:
 = −15◦
Los esfuerzos principales y cortante máximo se muestran en la fig. 1.33
Figura 1.33: Esfuerzos principales y cortante máximo.
b) El ángulo 2 se determina gráficamente de la fig. (1.34)
2 = 2 − 2 = 2(40◦
) − 2(30◦
) = 20◦
Los esfuerzos en el plano 0 y 0 se determinan como:
0 =  +  cos(2) = 30 MPa + 20 MPa cos(20◦
) = 48794 MPa
0 =  −  cos(2) = 30 MPa − 20 MPa cos(20◦
) = 11206 MPa
00 = − sin(2) = −20 MPa sin(20◦
) = −684 MPa
1.9.2. Ejemplo
Determine los esfuerzos y direcciones principales del estado de esfuerzos en cortante puro mostra-
do en la fig. 1.32:
 =
"
0 100
100 0
#
kg
cm2
Cálculo del centro
c°Gelacio Juárez, UAM 46
1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en 2D
Figura 1.34: Trazo Mohr para un ángulo 
Figura 1.35: Trazo Mohr
 =
0 + 0
2
= 0
Cálculo del radio
 =
sµ
0 − 0
2
¶2
+ (100)2
= 100
Cálculo de los esfuerzos principales y ubicación en la fig. (1.35)
σ1 = 0 + 100 = 100
σ2 = 0 − 100 = −100
El ángulo  se calcula de la ec. (1.65)
 =
1
2
tan−1
µ
2(100)
0
¶
; indeterminado
c°Gelacio Juárez, UAM 47
1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en 2D
aunque éste sea indeterminado numéricamente, de la Fig. 1.35 se determina que el ángulo es:
 =
1
2
(90◦
) = 45◦
El esfuerzo cortante máximo ,m´ax, corresponde al radio del círculo:
m´ax =  = 100
ángulo y del ángulo .
 = 0
Los esfuerzos principales y cortante máximo se muestra en la fig. 1.36
Figura 1.36: Esfuerzos principales y cortante máximo.
1.9.3. Ejemplo
Determine los esfuerzos y direcciones principales del estado de esfuerzos en compresión del cilindro
de concreto mostrado en la fig 1.32. El tensor de esfuerzos en está dado por.
 =
"
0 0
0 −250
#
Cálculo del centro
 =
0 − 250
2
= −125
Cálculo del radio
 =
sµ
0 − 250
2
¶2
+ (0)2
= 125
Cálculo de los esfuerzos principales y ubicación en la fig. (1.31)
c°Gelacio Juárez, UAM 48
1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en 2D
Figura 1.37: Cilíndro de concreto sometido a compresión.
σ1 = −125 + 125 = 0
σ2 = −125 − 125 = −250
Figura 1.38: Trazo Mohr
El ángulo  se calcula de la ec. (1.65)
 =
1
2
tan−1
µ
2(0)
0 + 250
¶
 = 0◦
El esfuerzo cortante máximo, m´ax, corresponde al radio del círculo:
c°Gelacio Juárez, UAM 49
1.10 Círculo de Mohr para esfuerzos en 3D
m´ax =  = 125
ángulo y del ángulo .
 = 45◦
Los esfuerzos principales y cortante máximo se muestra en la fig. 1.39
Figura 1.39: Esfuerzos principales y cortante máximo.
1.10. Círculo de Mohr para esfuerzos en 3D
Al calcularse los esfuerzos con las raíces de las ec. (1.24), éstos se localizan en el eje de las absisas
de la fig. (1.40).
Figura 1.40: Trazo Mohr en 3D.
c°Gelacio Juárez, UAM 50
1.10 Círculo de Mohr para esfuerzos en 3D
Los centros y los radios se calculan como:
1 = (2+3)
2 1 = (2−3)
2
2 = (1+3)
2 2 = (1−3)
2
3 = (1+2)
2 3 = (1−2)
2
Las ecuaciones que delimitan los estados de esfuerzos posibles, sombreado en la fig. (1.40) ,son:
2
+ ( − 1) ( − 3) ≤ 0
2
+ ( − 2) ( − 3) ≥ 0
2
+ ( − 1) ( − 2) ≥ 0
El cortante máximo se calcula como:
m´ax =
|1 − 3|
2
1.10.1. Tarea
De los estados de esfuerzos en un sistema coordenado cartesiano dado en los siguientes tensores:
σ =
"
1000 −100
−100 −800
#
; σ =
"
−800 80
80 500
#
; σ =
"
1000 50
50 500
#
(1.73)
1. Determine y grafique mediante el círculo de mohr los esfuerzos principales y las direcciones,
asociadas a éstos.
2. Determine y grafique los esfuerzos cortantes máximos.
3. Grafique los posibles planos de falla.
4. Grafique en una sola figura los tres círculos de la ec. (1.73).
5. Grafique el círculo de mohr en 3D del siguiente sistema estado de esfuerzos.
σ =
⎡
⎢
⎢
⎣
1009631 0 0
0 501123 0
0 0 −810754
⎤
⎥
⎥
⎦
c°Gelacio Juárez, UAM 51

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Esfuerzo y deformacion mediante circulo de Mohr
Esfuerzo y deformacion mediante circulo de MohrEsfuerzo y deformacion mediante circulo de Mohr
Esfuerzo y deformacion mediante circulo de MohrKevynVargas3
 
Cilindros de pared delgada y gruesa. Mecánica de materiales
Cilindros de pared delgada y gruesa. Mecánica de materialesCilindros de pared delgada y gruesa. Mecánica de materiales
Cilindros de pared delgada y gruesa. Mecánica de materialesPedro González
 
ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN RECIPIENTES A PRESIÓN DE PARED DELGADA, FORMA ES...
ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN RECIPIENTES A PRESIÓN DE PARED DELGADA, FORMA ES...ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN RECIPIENTES A PRESIÓN DE PARED DELGADA, FORMA ES...
ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN RECIPIENTES A PRESIÓN DE PARED DELGADA, FORMA ES...jose luis moreno campos
 
Tema 2.deformacion simple
Tema 2.deformacion simpleTema 2.deformacion simple
Tema 2.deformacion simpleJesus Reyes
 
289705670 resistencia-de-materiales
289705670 resistencia-de-materiales289705670 resistencia-de-materiales
289705670 resistencia-de-materialesEdgard1997250697
 
Problemas resueltos mecanica_de_fluidos
Problemas resueltos mecanica_de_fluidosProblemas resueltos mecanica_de_fluidos
Problemas resueltos mecanica_de_fluidosVictorHugoHernandez22
 
Ejemplo 11 Método de cross Viga con Rótula
Ejemplo 11 Método de cross Viga con RótulaEjemplo 11 Método de cross Viga con Rótula
Ejemplo 11 Método de cross Viga con RótulaJimmy De La Cruz
 
Productos de inercia ejes rotados
Productos de inercia ejes rotadosProductos de inercia ejes rotados
Productos de inercia ejes rotadosSegundo Espín
 
ESTUDIO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES MEDIANTE EL CIRCULO DE MOHR
ESTUDIO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES MEDIANTE EL CIRCULO DE MOHRESTUDIO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES MEDIANTE EL CIRCULO DE MOHR
ESTUDIO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES MEDIANTE EL CIRCULO DE MOHRLauraContreras115
 
Resistencia_de_materiales_Dr_Genner_Vill.pdf
Resistencia_de_materiales_Dr_Genner_Vill.pdfResistencia_de_materiales_Dr_Genner_Vill.pdf
Resistencia_de_materiales_Dr_Genner_Vill.pdfGonzalo Banzas
 

Mais procurados (20)

Momento polar de_inercia
Momento polar de_inerciaMomento polar de_inercia
Momento polar de_inercia
 
Esfuerzo y deformacion mediante circulo de Mohr
Esfuerzo y deformacion mediante circulo de MohrEsfuerzo y deformacion mediante circulo de Mohr
Esfuerzo y deformacion mediante circulo de Mohr
 
Cilindros de pared delgada y gruesa. Mecánica de materiales
Cilindros de pared delgada y gruesa. Mecánica de materialesCilindros de pared delgada y gruesa. Mecánica de materiales
Cilindros de pared delgada y gruesa. Mecánica de materiales
 
Problemas resueltos
Problemas resueltosProblemas resueltos
Problemas resueltos
 
Ejercicios resueltos de centro de presion
Ejercicios resueltos de centro de presionEjercicios resueltos de centro de presion
Ejercicios resueltos de centro de presion
 
ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN RECIPIENTES A PRESIÓN DE PARED DELGADA, FORMA ES...
ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN RECIPIENTES A PRESIÓN DE PARED DELGADA, FORMA ES...ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN RECIPIENTES A PRESIÓN DE PARED DELGADA, FORMA ES...
ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN RECIPIENTES A PRESIÓN DE PARED DELGADA, FORMA ES...
 
Cap10
Cap10Cap10
Cap10
 
Tema 2.deformacion simple
Tema 2.deformacion simpleTema 2.deformacion simple
Tema 2.deformacion simple
 
Elasticidad
ElasticidadElasticidad
Elasticidad
 
289705670 resistencia-de-materiales
289705670 resistencia-de-materiales289705670 resistencia-de-materiales
289705670 resistencia-de-materiales
 
Método de Trabajo Virtual
Método de Trabajo VirtualMétodo de Trabajo Virtual
Método de Trabajo Virtual
 
Centroides
CentroidesCentroides
Centroides
 
Ecuaciones de movimiento
Ecuaciones de movimientoEcuaciones de movimiento
Ecuaciones de movimiento
 
Estatica de fluidos opta 2011
Estatica de fluidos opta 2011Estatica de fluidos opta 2011
Estatica de fluidos opta 2011
 
Problemas resueltos mecanica_de_fluidos
Problemas resueltos mecanica_de_fluidosProblemas resueltos mecanica_de_fluidos
Problemas resueltos mecanica_de_fluidos
 
Ejemplo 11 Método de cross Viga con Rótula
Ejemplo 11 Método de cross Viga con RótulaEjemplo 11 Método de cross Viga con Rótula
Ejemplo 11 Método de cross Viga con Rótula
 
Productos de inercia ejes rotados
Productos de inercia ejes rotadosProductos de inercia ejes rotados
Productos de inercia ejes rotados
 
Columnas
ColumnasColumnas
Columnas
 
ESTUDIO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES MEDIANTE EL CIRCULO DE MOHR
ESTUDIO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES MEDIANTE EL CIRCULO DE MOHRESTUDIO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES MEDIANTE EL CIRCULO DE MOHR
ESTUDIO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES MEDIANTE EL CIRCULO DE MOHR
 
Resistencia_de_materiales_Dr_Genner_Vill.pdf
Resistencia_de_materiales_Dr_Genner_Vill.pdfResistencia_de_materiales_Dr_Genner_Vill.pdf
Resistencia_de_materiales_Dr_Genner_Vill.pdf
 

Semelhante a Circulo de mohr

Circunferencia de Mohr - Problemas de Aplicación
Circunferencia de Mohr - Problemas de AplicaciónCircunferencia de Mohr - Problemas de Aplicación
Circunferencia de Mohr - Problemas de AplicaciónGabriel Pujol
 
Estados triaxiales de tensión
Estados triaxiales de tensiónEstados triaxiales de tensión
Estados triaxiales de tensiónGabriel Pujol
 
6circulo de mohr.pdf
6circulo de mohr.pdf6circulo de mohr.pdf
6circulo de mohr.pdfPacheco Brian
 
Avendaño, C. Foro 1. Diagramas de cuerpo libre.docx
Avendaño, C. Foro 1. Diagramas de cuerpo libre.docxAvendaño, C. Foro 1. Diagramas de cuerpo libre.docx
Avendaño, C. Foro 1. Diagramas de cuerpo libre.docxLaurenceAVENDANOLOPE
 
Fase 5 presentacion del diseño - ejemplo.pptx
Fase 5 presentacion del diseño - ejemplo.pptxFase 5 presentacion del diseño - ejemplo.pptx
Fase 5 presentacion del diseño - ejemplo.pptxAndrsFelipeGarca4
 
Problemas geotecnia cimientos
Problemas geotecnia cimientosProblemas geotecnia cimientos
Problemas geotecnia cimientosJulian Socarras
 
Fuerza cortante y momento flector
Fuerza cortante y momento flectorFuerza cortante y momento flector
Fuerza cortante y momento flectorMarlon Torres
 
Calculo de giros_y_deflexiones
Calculo de giros_y_deflexionesCalculo de giros_y_deflexiones
Calculo de giros_y_deflexionesAndres Pinilla
 
EIIb-Guía de la Práctica - TP N° 2.pdf
EIIb-Guía de la Práctica - TP N° 2.pdfEIIb-Guía de la Práctica - TP N° 2.pdf
EIIb-Guía de la Práctica - TP N° 2.pdfgabrielpujol59
 
C ap15 circunferencia
C ap15 circunferenciaC ap15 circunferencia
C ap15 circunferencianivelacion008
 
N c ap15 circunferencia
N c ap15 circunferenciaN c ap15 circunferencia
N c ap15 circunferenciaStudent
 
EIIb-Guía de Problemas Propuestos (2da Edición).pdf
EIIb-Guía de Problemas Propuestos (2da Edición).pdfEIIb-Guía de Problemas Propuestos (2da Edición).pdf
EIIb-Guía de Problemas Propuestos (2da Edición).pdfgabrielpujol59
 
Resistencia transformacion de esfuerzos planos
Resistencia transformacion de esfuerzos planosResistencia transformacion de esfuerzos planos
Resistencia transformacion de esfuerzos planosgracia zavarce chirinos
 

Semelhante a Circulo de mohr (20)

Circunferencia de Mohr - Problemas de Aplicación
Circunferencia de Mohr - Problemas de AplicaciónCircunferencia de Mohr - Problemas de Aplicación
Circunferencia de Mohr - Problemas de Aplicación
 
Circulo de mohr_ucv
Circulo de mohr_ucvCirculo de mohr_ucv
Circulo de mohr_ucv
 
Problemas de tensiones
Problemas de tensionesProblemas de tensiones
Problemas de tensiones
 
CIRCULO DE MOHR (2).pptx
CIRCULO DE MOHR (2).pptxCIRCULO DE MOHR (2).pptx
CIRCULO DE MOHR (2).pptx
 
Estados triaxiales de tensión
Estados triaxiales de tensiónEstados triaxiales de tensión
Estados triaxiales de tensión
 
6circulo de mohr.pdf
6circulo de mohr.pdf6circulo de mohr.pdf
6circulo de mohr.pdf
 
Avendaño, C. Foro 1. Diagramas de cuerpo libre.docx
Avendaño, C. Foro 1. Diagramas de cuerpo libre.docxAvendaño, C. Foro 1. Diagramas de cuerpo libre.docx
Avendaño, C. Foro 1. Diagramas de cuerpo libre.docx
 
Problemas geotecnia cimientos 2
Problemas geotecnia cimientos 2Problemas geotecnia cimientos 2
Problemas geotecnia cimientos 2
 
Mei p6
Mei p6Mei p6
Mei p6
 
Fase 5 presentacion del diseño - ejemplo.pptx
Fase 5 presentacion del diseño - ejemplo.pptxFase 5 presentacion del diseño - ejemplo.pptx
Fase 5 presentacion del diseño - ejemplo.pptx
 
Problemas geotecnia cimientos
Problemas geotecnia cimientosProblemas geotecnia cimientos
Problemas geotecnia cimientos
 
Fuerza cortante y momento flector
Fuerza cortante y momento flectorFuerza cortante y momento flector
Fuerza cortante y momento flector
 
Jesus dd estatica
Jesus dd estaticaJesus dd estatica
Jesus dd estatica
 
Calculo de giros_y_deflexiones
Calculo de giros_y_deflexionesCalculo de giros_y_deflexiones
Calculo de giros_y_deflexiones
 
EIIb-Guía de la Práctica - TP N° 2.pdf
EIIb-Guía de la Práctica - TP N° 2.pdfEIIb-Guía de la Práctica - TP N° 2.pdf
EIIb-Guía de la Práctica - TP N° 2.pdf
 
C ap15 circunferencia
C ap15 circunferenciaC ap15 circunferencia
C ap15 circunferencia
 
N c ap15 circunferencia
N c ap15 circunferenciaN c ap15 circunferencia
N c ap15 circunferencia
 
EIIb-Guía de Problemas Propuestos (2da Edición).pdf
EIIb-Guía de Problemas Propuestos (2da Edición).pdfEIIb-Guía de Problemas Propuestos (2da Edición).pdf
EIIb-Guía de Problemas Propuestos (2da Edición).pdf
 
Resistencia transformacion de esfuerzos planos
Resistencia transformacion de esfuerzos planosResistencia transformacion de esfuerzos planos
Resistencia transformacion de esfuerzos planos
 
Ejercicios resueltos
Ejercicios resueltosEjercicios resueltos
Ejercicios resueltos
 

Circulo de mohr

  • 1. 1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en 2D 1.9. Círculo de Mohr para esfuerzos en 2D Las dos formas del círculo de Mohr se muestran en la Fig. 1.30, la diferencia son el eje de las ordenadas  y su correspondiente sentido positivo de los ángulos. Figura 1.30: Tipos del trazo del círculo de Mohr. Construcción del círculo de Mohr1: 1. Dibujo de un sistema de ejes coordenados con  como abscisa, positivo hacia la derecha, y  como ordenada, positivo hacia abajo. 2. Localice el centro  del círculo en el punto con coordenadas  y  = 0.  =  +  2 3. Localice el punto A que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara 1del elemento mostrado en la Fig. (1.31), marcando sus coordenadas  =  y  = . Note que el punto  corresponde a  = 0. 4. Localice el punto B que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara del elemento mostrado en la fig. (1.31) , trazando sus coordenadas  =  y  = −. Observe que el punto  sobre el círculo corresponde a  = 90. 5. Dibuje una línea del punto  al . Esta línea es un diámetro del círculo y pasa por el centro . Los puntos  y , que representan los esfuerzos sobre planos a 90 uno del otro están en extremos opuestos del diámetro (y, por lo tanto, están a 180 uno del otro sobre el círculo). 6. Con el punto  como centro, trace el círculo de Mohr por los puntos  y . El círculo dibujado de esta manera tiene radio . 1 Mohr O. (1887). Ueber die bestimmung und die graphische Darstellung von Trâgheitsmomenten ebener Flâchen, Civilingenieur, columnas 43-68, pp.90 Mohr O. (1914). Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik (Ernst, Berlin, ed.2), pp. 109 c°Gelacio Juárez, UAM 43
  • 2. 1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en 2D  = sµ  −  2 ¶2 + 2  7. Cálculo de los esfuerzos principales y ubicación en la fig. (1.31) σ12 =  ±  8. Cálculo del ángulo  de la ec. (1.65) 2 = tan µ 2  −  ¶ 9. Cálculo del esfuerzo cortante máximo,m´ax, y del ángulo . m´ax =  Figura 1.31: Trazo Mohr c°Gelacio Juárez, UAM 44
  • 3. 1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en 2D 1.9.1. Ejemplo Del estado de esfuerzos mostrado en la fig 1.32 determine: a) los esfuerzos, direcciones principales y posibles planos de falla y b) el estado de esfuerzos a un ángulo  = 40◦ en dirección contraria a las manecillas del reloj:  = " 40 10 √ 3 10 √ 3 20 # MPa Figura 1.32: Trazo Mohr Solución a) Cálculo del centro  = 40 + 20 2 = 30 MPa Cálculo del radio  = sµ 40 − 20 2 ¶2 + ³ 10 √ 3 ´2 = 20 MPa Cálculo de los esfuerzos principales y ubicación en la fig. (1.32) 1 = 30 + 20 = 50 MPa 2 = 30 − 20 = 10 MPa Cálculo del ángulo  de la ec. (1.65);  = 1 2 tan−1 Ã 2(10 √ 3) 40 − 20 ! = 30◦ c°Gelacio Juárez, UAM 45
  • 4. 1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en 2D El esfuerzo cortante máximo ,m´ax, corresponde al radio del círculo: m´ax =  = 20 MPa y el ángulo  es:  = −15◦ Los esfuerzos principales y cortante máximo se muestran en la fig. 1.33 Figura 1.33: Esfuerzos principales y cortante máximo. b) El ángulo 2 se determina gráficamente de la fig. (1.34) 2 = 2 − 2 = 2(40◦ ) − 2(30◦ ) = 20◦ Los esfuerzos en el plano 0 y 0 se determinan como: 0 =  +  cos(2) = 30 MPa + 20 MPa cos(20◦ ) = 48794 MPa 0 =  −  cos(2) = 30 MPa − 20 MPa cos(20◦ ) = 11206 MPa 00 = − sin(2) = −20 MPa sin(20◦ ) = −684 MPa 1.9.2. Ejemplo Determine los esfuerzos y direcciones principales del estado de esfuerzos en cortante puro mostra- do en la fig. 1.32:  = " 0 100 100 0 # kg cm2 Cálculo del centro c°Gelacio Juárez, UAM 46
  • 5. 1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en 2D Figura 1.34: Trazo Mohr para un ángulo  Figura 1.35: Trazo Mohr  = 0 + 0 2 = 0 Cálculo del radio  = sµ 0 − 0 2 ¶2 + (100)2 = 100 Cálculo de los esfuerzos principales y ubicación en la fig. (1.35) σ1 = 0 + 100 = 100 σ2 = 0 − 100 = −100 El ángulo  se calcula de la ec. (1.65)  = 1 2 tan−1 µ 2(100) 0 ¶ ; indeterminado c°Gelacio Juárez, UAM 47
  • 6. 1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en 2D aunque éste sea indeterminado numéricamente, de la Fig. 1.35 se determina que el ángulo es:  = 1 2 (90◦ ) = 45◦ El esfuerzo cortante máximo ,m´ax, corresponde al radio del círculo: m´ax =  = 100 ángulo y del ángulo .  = 0 Los esfuerzos principales y cortante máximo se muestra en la fig. 1.36 Figura 1.36: Esfuerzos principales y cortante máximo. 1.9.3. Ejemplo Determine los esfuerzos y direcciones principales del estado de esfuerzos en compresión del cilindro de concreto mostrado en la fig 1.32. El tensor de esfuerzos en está dado por.  = " 0 0 0 −250 # Cálculo del centro  = 0 − 250 2 = −125 Cálculo del radio  = sµ 0 − 250 2 ¶2 + (0)2 = 125 Cálculo de los esfuerzos principales y ubicación en la fig. (1.31) c°Gelacio Juárez, UAM 48
  • 7. 1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en 2D Figura 1.37: Cilíndro de concreto sometido a compresión. σ1 = −125 + 125 = 0 σ2 = −125 − 125 = −250 Figura 1.38: Trazo Mohr El ángulo  se calcula de la ec. (1.65)  = 1 2 tan−1 µ 2(0) 0 + 250 ¶  = 0◦ El esfuerzo cortante máximo, m´ax, corresponde al radio del círculo: c°Gelacio Juárez, UAM 49
  • 8. 1.10 Círculo de Mohr para esfuerzos en 3D m´ax =  = 125 ángulo y del ángulo .  = 45◦ Los esfuerzos principales y cortante máximo se muestra en la fig. 1.39 Figura 1.39: Esfuerzos principales y cortante máximo. 1.10. Círculo de Mohr para esfuerzos en 3D Al calcularse los esfuerzos con las raíces de las ec. (1.24), éstos se localizan en el eje de las absisas de la fig. (1.40). Figura 1.40: Trazo Mohr en 3D. c°Gelacio Juárez, UAM 50
  • 9. 1.10 Círculo de Mohr para esfuerzos en 3D Los centros y los radios se calculan como: 1 = (2+3) 2 1 = (2−3) 2 2 = (1+3) 2 2 = (1−3) 2 3 = (1+2) 2 3 = (1−2) 2 Las ecuaciones que delimitan los estados de esfuerzos posibles, sombreado en la fig. (1.40) ,son: 2 + ( − 1) ( − 3) ≤ 0 2 + ( − 2) ( − 3) ≥ 0 2 + ( − 1) ( − 2) ≥ 0 El cortante máximo se calcula como: m´ax = |1 − 3| 2 1.10.1. Tarea De los estados de esfuerzos en un sistema coordenado cartesiano dado en los siguientes tensores: σ = " 1000 −100 −100 −800 # ; σ = " −800 80 80 500 # ; σ = " 1000 50 50 500 # (1.73) 1. Determine y grafique mediante el círculo de mohr los esfuerzos principales y las direcciones, asociadas a éstos. 2. Determine y grafique los esfuerzos cortantes máximos. 3. Grafique los posibles planos de falla. 4. Grafique en una sola figura los tres círculos de la ec. (1.73). 5. Grafique el círculo de mohr en 3D del siguiente sistema estado de esfuerzos. σ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1009631 0 0 0 501123 0 0 0 −810754 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ c°Gelacio Juárez, UAM 51