1) O documento apresenta uma série de exercícios sobre medidas de posição, dispersão, assimetria e curtose.
2) Os exercícios são divididos em quatro séries e abordam cálculos de amplitude, desvio médio, variância e coeficiente de variação.
3) Além disso, os exercícios calculam medidas de assimetria e aplicam diferentes métodos para estimar variância amostral.
Livro Vibrações Mecânicas - Rao Singiresu - 4ª Ed.pdf
Medidas estatísticas de posição, dispersão, assimetria e curtose
1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO
CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL
EDNELSON OLIVEIRA SANTOS
FEDROS NURANI
NELSON POERSCHKE
SATURNO CÍCERO DE SOUZA
MEDIDAS DE POSIÇÃO, DISPERSÃO, ASSIMETRIA E CURTOSE
EXERCÍCIOS
Boa Vista
2011
2. 2
EDNELSON OLIVEIRA SANTOS
FEDROS NURANI
NELSON POERSCHKE
SATURNO CÍCERO DE SOUZA
MEDIDAS DE POSIÇÃO, DISPERSÃO, ASSIMETRIA E CURTOSE
EXERCÍCIOS
07 Out 2011
Trabalho apresentado como exigência da
disciplina de Introdução à Estatística do
Curso de Bacharelado em Engenharia Civil
da Universidade Federal de Roraima.
Prof.: Josué Gomes da Silva
Boa Vista
2011
3. 3
SUMÁRIO
I. EXERCÍCIOS – SÉRIE 01.................................................................................... 04
II. EXERCÍCIOS – SÉRIE 02.................................................................................... 21
II. EXERCÍCIOS – SÉRIE 03.................................................................................... 36
II. EXERCÍCIOS – SÉRIE 04.................................................................................... 45
15. 15
07. A distribuição abaixo possui desvio padrão igual a 3,02. Determine o valor do
coeficiente de variação.
Classes 0 4 4 8 8 12 Ʃ
xi(PM) 2 6 10
Fi 2 3 2 7
xiFi 4 18 20 42
ݔ̅ =
Σ ݔ݅ ܨ݅
݊
⇒
42
7
= 6
ܥ ∙ ܸ = ௌ
௫̅
ܥ ∙ ܸ = ଷ,ଶ
= 0,5033
ܥ ∙ ܸ = 50%
08. Um fabricante de caixas de cartolina fabrica três tipos de caixa. Testa-se a resistência
de cada caixa tomando-se uma amostra de 100 caixas e determinando-se a pressão necessária
para romper cada caixa. São os seguintes os resultados dos testes:
Tipos de caixa A B C
Pressão média de ruptura (bária) 150 200 300
Desvio padrão das pressões (bária) 40 50 60
a) Que tipo de caixa apresenta a menor variação absoluta na pressão de ruptura?
16. 16
09. Um pesquisador da Rádio XY aborda 30 transeuntes ao acaso e pergunta-lhes a
idade. O resultado é dado pela tabela.
35 26 39 25 39 22
42 40 39 22 21 40
16 32 39 21 28 39
18 37 23 14 27 44
30 32 21 15 26 43
a) Resuma as informações sob forma de uma distribuição de freqüência. Dado: log
30 = 1,48.
Classes xi Fi
14 19 16,5 4
19 24 21,5 6
24 29 26,5 5
29 34 31,5 3
34 39 36,5 2
39 44 41,5 10
Ʃ
a) Apresente os dados na forma de um histograma.
19. 19
ܭ = ொయିொభ
ଶ(వబିభబ) ⇒ ܭ = ଵ,ସିଽ଼,
ଶ(ଶଶଶଶ,ଶଶିଽଶ,ଷଵ) = ଽସ,
ଶ∙ଵହଶଽ,ଽଵ = ଽସ,
ଷହଽ,଼ଶ = 0,227
ܭ = 0,227
- Sim, a distribuição é leptocúrtica.
11. As notas finais de um aluno nas disciplinas “Apicultura experimental” e
“Cotonicultura aplicada” foram, respectivamente, 7,8 e 7,3. Sabe-se que na primeira
disciplina o desvio padrão foi 0,8, com média 8,0; e que na outra tivemos média 7,5, com
desvio padrão de 1,0. Em que disciplina ele obteve pior classificação relativa?
ݖ = ௫ି௫̅
௦
ݖ(௨௧௨) = ,଼ ି଼,
,଼ = ି,ଶ
,଼ ⇒ ݖ = −0,25
ݖ(௧௨௧௨) = ,ଷ ି,ହ
ଵ, = ି,ଶ
ଵ, ⇒ ݖ = −0,20
Em apicultura.
12. Uma mesmo teste de aptidão foi aplicado foi aplicado a dois grupos de funcionários,
A e B. A média do conjunto A foi 75, com desvio padrão de 16, e a média do grupo B foi 69,
com variância 64. Quem obteve melhor posição relativa: um empregado do grupo A, que
obteve 85 pontos, ou um funcionário do grupo B, que alcançou 80 pontos.
ܵ = √ܵଶ
ܵ = √64
ܵ = 8
ݖ = ௫ି௫̅
௦
ݖ(௨á ீ௨ ) = ଼ହ ିହ
ଵ = ି,ଶ
,଼ ⇒ ݖ = 0,625
ݖ(௨á ௨ ) = ଼ ିଽ
଼ = ଵଵ
଼ ⇒ ݖ = 1,375
O funcionário do grupo B.
20. 20
13. Qual será a nota de um aluno que obteve escore de -1,5 em Apicultura experimental,
considerando-se os dados do exercício 11.
−1,5 = ௫ ି ଼,
,଼
ݔ − 8,0 = 0,8 . −1,5 ⇒ ݔ = −1,2 + 8,0 ⇒ ݔ = 6,8
Nota do aluno = 6,8
35. 35
r) Prepare um relatório para a descrição das rendas dessas famílias.
O salário médio das famílias, que é de R$ 8200,00, está acima do centro da
distribuição, conforme mostra a mediana, que é de R$ 7550,00. Neste caso, isso foi causado
por alguns valores grandes que sensibilizam mais a média e menos a mediana. Isso demonstra
que a distribuição não é simétrica e mais tarde será abordado na análise da simetria.
O desvio médio mostra que a dispersão em torno da média é de R$ 3920,00.
A variância e o desvio padrão, valores sempre positivos, indicam que a distância
entre os valores medidos e a média foi de R$ 4611,00.
Os cálculos chegaram a um coeficiente de variação, desvio padrão dividido pela
média, de 56%.
A distribuição é assimétrica, pois os quartis não estão equidistantes, e positiva,
pois a moda encontra-se à esquerda da mediana.
O valor da curtose, 0,3185, mostra que há um achatamento na curva de
distribuição, tornando-a platicúrtica.
36. 36
III. EXERCÍCIOS – SÉRIE 03
Para cada uma das questões abaixo, assinale a alternativa correta.
1. A média aritmética é a razão entre:
a) ( ) o número de valores e o somatório deles.
b) ( X ) o somatório dos valores e o número deles.
c) ( ) os valores extremos.
d) ( ) os dois valores centrais.
2. Na série 60, 90, 80, 60, 50, a moda será:
a) ( ) 50.
b) ( X ) 60.
c) ( ) 66.
d) ( ) 90.
3. A medida que tem o mesmo número de valores abaixo e acima dela é:
a) ( ) a moda.
b) ( ) a média.
c) ( X ) a mediana.
d) ( ) o lugar mediano.
4. A soma dos desvios entre cada valor e a média é:
a) ( ) positiva.
b) ( ) negativa.
c) ( ) diferente de zero.
d) ( X ) zero.
5. Na série, 60, 50, 70, 80, 90 o valor 70 será a:
a) ( ) média e a moda.
b) ( X ) a média e a mediana.
c) ( ) a mediana e a moda.
d) ( ) a média, a mediana e a moda.
37. 37
6. Quando queremos verificar a questão de uma prova que apresentou maior número de
erros, utilizamos:
a) ( X ) moda.
b) ( ) média.
c) ( ) mediana.
d) ( ) qualquer uma das anteriores.
7. Dado o histograma abaixo, no interior de cujos retângulos foram anotadas as
freqüências absolutas, então a mediana é:
ݔ = 6 + (ହିଷହ).ଶ
ଷ ⇒ 6 + (ଵହ).ଶ
ଷ ⇒ 6 + ଷ
ଷ ⇒ 6 + 1,0 = 7,0
a) ( ) 6,5.
b) ( ) 8,0.
c) ( ) 7,5.
d) ( X ) 7,0.
8. Na série, 15, 20, 30, 40, 50, há abaixo da mediana:
a) ( ) 3 valores.
b) ( X ) 2 valores.
c) ( ) 3,5 valores.
d) ( ) 4 valores.
9. Dada a figura abaixo, podemos afirmar que:
38. 38
a) ( ) a moda é maior que a mediana e menor que a média.
b) ( ) a moda é menor que a mediana e maior que a média.
c) ( ) a moda é menor que a mediana e esta é maior que a média.
d) ( X ) a mediana é maior que a média e menor que a moda.
10. O coeficiente de variação é uma medida que expressa a razão entre:
a) ( X ) desvio padrão e média.
b) ( ) média e desvio padrão.
c) ( ) amplitude semi-interquartílica e mediana.
d) ( ) desvio padrão e moda.
11. O cálculo da variância supõe o conhecimento da:
a) ( X ) média.
b) ( ) mediana.
c) ( ) ponto médio.
d) ( ) moda.
12. Numa distribuição de valores iguais, o desvio padrão é:
a) ( ) negativo.
b) ( ) positivo.
c) ( ) a unidade.
d) ( X ) zero.
13. Na série, 10, 20, 40, 50, 70 80 a mediana será:
n = 06 (par)
ଶ ⇒
ଶ = º ⇒ e
ଶ + 1 ⇒
ଶ + 1 = º ⇒
ݔ = ସାହ
ଶ ⇒ ݔ = ଽ
ଶ ⇒ ݔ = 45
a) ( ) 30.
b) ( ) 35.
c) ( ) 40.
d) ( X ) 45.
39. 39
14. Examinando a figura abaixo, podemos dizer:
a) ( X ) O desvio padrão da distribuição A é maior que o da distribuição B, e as
médias são iguais.
b) ( ) O desvio padrão de A é menor que o de B e ás médias são diferentes.
c) ( ) O desvio padrão de A é igual ao de B, independentemente do valor da
média.
d) ( ) As distribuições possuem o mesmo coeficiente de variação.
15. Realizou-se uma prova de matemática para duas turmas, o resultado foi o seguinte:
Turma A: ݔ̅ = 5 e ߪ = 2,5
Turma B: ݔ̅ = 4 e ߪ = 2
Com esses resultados podemos afirmar que:
a) ( ) A turma B apresentou maior dispersão absoluta.
b) ( ) A dispersão relativa é igual à dispersão absoluta.
c) ( ) Tanto a dispersão absoluta quanto a relativa são maiores para a turma B.
d) ( X ) A dispersão absoluta de A é maior que a de B, mas em termos relativos as
duas turmas não diferem quanto ao grau de dispersão das notas.
16. O desvio padrão de um conjunto de dados é 9. A variância será:
a) ( ) 3.
b) ( ) 18.
c) ( ) 36.
d) ( X ) 81.
17. 50% dos dados da distribuição situam-se:
a) ( ) abaixo da média.
b) ( X ) acima da mediana.
c) ( ) abaixo da moda.
40. 40
d) ( ) acima da média.
18. Dada a figura abaixo, (polígono de freqüência), o primeiro quartil da distribuição
será:
ܳ = ݈ொ +
ቀ
ర ିΣ ቁ∙
ிೂ
⇒ ࡽ = 4 +
ቀమబ
ర ି ଷቁ∙ଶ
ସ ⇒ 4 + 1,0 ⇒ ࡽ = 5,0
a) ( X ) 5,0.
b) ( ) 5,5.
c) ( ) 4,8.
d) ( ) 3,0.
19. Os coeficientes de variação dos resultados abaixo são:
Estatística: ݔ̅ = 80 e ܵ = 16
História: ݔ̅ = 20 e ܵ = 5
ܥ. ܸா = ௌ
௫̅ ⇒ ܥ. ܸ = ଵ
଼ ⇒ ܥ. ܸ = 0,2 ⇒ ܥ. ܸ = 20%
ܥ. ܸு = ௌ
௫̅ ⇒ ܥ. ܸ = ହ
ଶ ⇒ ܥ. ܸ = 0,25 ⇒ ܥ. ܸ = 25%
a) ( ) 16% e 40%.
b) ( X ) 20% e 25%.
c) ( ) 50% e 40%.
d) ( ) 80% e 40%.
20. Média, mediana e moda, são medidas de:
a) ( ) dispersão.
b) ( X ) posição.
41. 41
c) ( ) assimetria.
d) ( ) curtose.
21. Uma empresa possui dois serventes recebendo salários de $ 2500,00 cada um, quatro
escriturários recebendo $ 6000,00 cada um, um chefe de escritório com salário de $ 10000,00
e três técnicos recebendo $22000,00 cada um.:
A média desses salários é:
ݔ̅= Σ ௫
⇒ ݔ̅= (ଶ,ହ.ଶ)ା(,.ସ)ାଵା(ଶଶ.ଷ)
ଵ ⇒ ݔ̅= ଵହ
ଵ ⇒ ݔ̅ =10500,00
a) ( ) 1050,00.
b) ( ) 5050,00.
c) ( ) 26250,00.
d) ( X ) n.r.a.
22. O valor dominante de uma distribuição de freqüência chama-se:
a) ( ) mediana.
b) ( ) média.
c) ( X ) moda.
d) ( ) 1º quartil.
23. Na distribuição abaixo:
A moda é:
ܯ = ݈ + భ
భାమ
∙ ℎ ⇒ ܯ = 50 + ଵହ
ଵହାଵ ∙ 10 ⇒ ܯ = 50 + 0,6 ∙ 10 ⇒ ܯ = 56
a) ( ) 50,6.
b) ( ) 55.
c) ( ) 50.
d) ( X ) 56
42. 42
24. Para a distribuição:
A média será:
ݔ̅ = Σ ௫
⇒ ݔ̅= (ହ.ଵହ)ା(ଵ.ଶଶହ)ା(ଶଵ.ଶହ)ା(ଶ଼.ଷଶହ)ା(ଵଽ.ଷହ)ା(଼.ସଶହ)ା(ଷ.ସହ)
ଵ
ݔ̅ = ଷଵଷ
ଵ ⇒ ݔ̅ 313
a) ( ) 350.
b) ( X ) 314.
c) ( ) 324,76.
d) ( ) 323,80
25. O valor da medida que deixa 45% dos elementos da distribuição:
ܲ = ݈ +
ቀ
భబబିΣ ቁ∙
ிು
⇒ ࡼ = 40 +
ቀరఱ .భబబబ
భబబ ିଷቁ∙ଵ
ଶହ ⇒ 40 + 6 ⇒ ࡼ = 46
a) ( X ) 46.
b) ( ) 50.
c) ( ) 49,6.
d) ( ) 63
26. O 5º decil da distribuição:
ܲ = ݈ +
ቀ
భబబିΣ ቁ∙
ிು
⇒ ࡰ = 6 +
ቀఱ .యబ
భబ ିଵଶቁ∙ଶ
ଵ ⇒ 6 + 0,60 ⇒ ࡰ = 6,60
43. 43
a) ( ) 7,20.
b) ( ) 5,50.
c) ( X ) 6,60.
d) ( ) 7,20.
27. A média da distribuição:
ݔ̅ = Σ ௫
⇒ ݔ̅= (ଵ.ଷ)ା(ଵ.ଽ)ା(ଷ.ଵହ)
ହ ⇒ ݔ̅= ହ
ହ ⇒ ݔ̅= 11,4
a) ( ) 12,0.
b) ( ) 8,50.
c) ( ) 10,83.
d) ( X ) 11,40.
28. O desvio médio da distribuição:
ݔ̅= Σ ௫ி
⇒
ହ = 120
ܦெ = ஊ|ௗ|∙ி
⇒ ܦெ = ଼
ହ ⇒ ܦெ = 16
a) ( ) 12.
b) ( ) 14.
c) ( X ) 16.
d) ( ) 18.
29. A variância da distribuição:
44. 44
Classes xi Fi xiFi xi
2Fi
1 3 2 0,2 0,4 0,8
3 5 4 0,4 1,6 6,4
5 7 6 0,4 2,4 14,4
1 4,4 21,6
ߪଶ = ଵ
ଶ ∙ ܨ − (ஊ୶∙)మ
∙ ቂΣݔ
ቃ ⇒ ߪଶ = ଵ
ଵ ∙ ቂ21,6 − (ସ,ସ)మ
ଵ ቃ
ߪଶ = ଵ
ଵ ∙ ቂ21,6 − ଵଽ,ଷ
ଵ ቃ ⇒ ߪଶ = ଵ
ଵ ∙ 2,24 ⇒ ߪଶ = 2,24
a) ( X ) 2,24.
b) ( ) 2,8.
c) ( ) 2,5.
d) ( ) 4.
30. A média de uma série de valores iguais a uma constante é:
a) ( ) zero.
b) ( X ) o valor da constante.
c) ( ) a unidade.
d) ( ) não é possível calcular o desvio padrão.
45. 45
IV. EXERCÍCIOS – SÉRIE 04
Teoria.
1. Explique qual a utilizada das medidas de dispersão. Dê três exemplos.
Possibilitam representar um conjunto de dados relativos à observação de
determinado fenômeno de forma resumida, e representam os fenômenos pelos seus valores
médios em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados.
Ex:
2. O que são medidas de dispersão?
São medidas que servem para verificar a representatividade das medidas de posição,
pois é comum encontrar-se séries que, apesar de terem a mesma média, são compostas de
maneira distinta.
3. Fale sobre as medidas de curtose.
Entende-se por curtose o grau de achatamento de uma distribuição. Com referência
ao grau de achatamento, podemos ter: curva leptocúrtica, curva mesocúrtica e curva
platicúrtica.
4. Se multiplicarmos todos os elementos de uma série por uma constante, que
acontecerá com a média? E com a variância da série?
A média também é multiplicada pela mesma constante.
A variância será multiplicada pelo quadrado dessa constante.
5. Quanto vale Ʃ(ݔ݅ − ݔ̅)?
Em estatística, Ʃ(ݔ݅ − ݔ̅) = 0.
6. Se somarmos a todos os elementos de uma série um número, o que acontecerá com a
média e a variância da série.
46. 46
A média é acrescida deste número e a variância permanecerá inalterada.
7. O primeiro decil é igual ao décimo percentil? Explique.
Sim. O 1º decil é ଵ
ଵ e o 10º percentil é ଵ
ଵ; e ଵ
ଵ = ଵ
ଵ.
8. Para analisar os dados de uma folha de pagamentos, quais as medidas que você
utilizaria para:
a) Descobrir o salário mais freqüente.
Moda
b) Descobrir o salário que divide o pagamento em partes iguais?
Mediana
c) Descobrir a dispersão absoluta em torno da média.
Desvio médio
d) Descobrir o grau de dispersão relativo.
Desvio padrão
9. Numa distribuição, teremos sempre a mediana como sendo a média aritmética entre o
1º e o 3º quartis?
Não. Vejamos o seguinte exemplo:
Foram calculadas as seguintes medidas para notas dos alunos em duas disciplinas:
Estatística: Q1 = 3,0; Q3 = 6,5; ݔ̅ = 5
Matemática: Q1 = 2,0; Q3 = 7,0; ݔ̅ = 5
Estat.: ொయାொభ
ଶ ⇒ ,ହାଷ
ଶ ⇒ ଽ,ହ
ଶ = 4,75
Mat.: ொయାொభ
ଶ ⇒ ାଶ
ଶ ⇒ ଽ
ଶ = 4,5
Observa-se que em nenhum dos casos a média aritmética entre os dois quartis é igual
à mediana.
47. 47
10. Quando é interessante o uso do processo abreviado para o cálculo da média e da
variância?
Quando a série for muito extensa, os valores de X forem muito grandes e a amplitude
entre tais valores for constante.