Trigonometria

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Trigonometria

  1. 1. E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino Médio Introdução à Trigonometria 3. Tangente de um ângulo agudo Trigonometria é o ramo da matemática que “Num triângulo retângulo, a tangente de umtem por objetivo a resolução completa de triângulos, ângulo agudo é a razão entre o cateto o posto e oou seja, a determinação da medida de seus lados e cateto adjacente”.seus ângulos internos, enriquecendo o estudo da c atetooposto a  tangente de   ougeometria plana. c atetoadj ac entea  A palavra trigonometria e seu significado b tg  original: c Trigono = triangular Exemplo: Considerando o triângulo ABC, retângulo em A, o seno, o cosseno e a tangente de Metria = medida . B Razões trigonométricas no triângulo 20retângulo 12 Num triângulo retângulo, podemos estabelecer razões entre os ângulos e as medidas C 16 Ados catetos e da hipotenusa. Consideremos um triângulo retângulo ABC e Observações preliminares:um ângulo agudo  onde a, b e c são as medidasdos lados: i) As razões seno, cosseno e tangente são C razões entre grandezas da mesma a espécie e, portanto, constituem um b número puro;  ii) Em um triângulo retângulo sempre B c A ocorrerá que o seno de um ângulo agudo seja igual ao cosseno do seu Podemos estabelecer as seguintes razões: complemento (Proposição 1) 1. Seno de um ângulo agudo Proposição 1. “Num triângulo retângulo, o seno de um Em todo triângulo retângulo o seno de umângulo agudo é a razão entre o cateto oposto a ângulo agudo é igual ao cosseno do seuesse ângulo e a hipotenusa”. complemento. c atetooposto a  seno de   ou Proposição 2. h ipotenusa Em todo triângulo retângulo a tangente de um b s en   ângulo agudo é igual ao inverso da tangente do seu a complemento. 2. Cosseno de um ângulo agudo Proposição 3. “Num triângulo retângulo, o cosseno pediu um A tangente de um ângulo (agudo, neste caso)ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente a é igual à razão entre o seno e o cosseno do mesmoesse ângulo e a hipotenusa”. ângulo. c atetoadj ac entea  cos s eno de   ou, Proposição 4. (Relação Fundamental) h ipotenus a No triângulo ABC (pág. 1) vale a relação: c c os   a sen2   c os2   1 Matemática – 2º ano – 1
  2. 2. E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino Médio Valores das razões seno, cosseno e compararmos o arco AB o com o arco u, isto é, aotangente de 45o, 30o e 60o determinamos quantas vezes o arco AB contém o arco u, e estamos medindo o comprimento do arco Na tabela abaixo são dados os valores do o o o AB.seno, do cosseno e da tangente de 45 , 30 e 60 : A o o o u 30 45 60 1 2 3 seno 2 2 2 3 2 1 B cosseno 2 2 2 Na figura temos: AB = 5 arcos u. 3 Unidades de medida de arco tangente 1 3 3 o 1. Grau ( ) Observação: Note que os valores do seno e Dividimos a circunferência em 360 partesdo cosseno de um ângulo agudo são sempre iguais e, a cada arco unitário que corresponde amenores que 1 (Por quê?) 1 da circunferência, chamamos de grau. 36 0 o Então, a circunferência mede 360 e as Trigonometria no circulo subunidades do grau são o minuto („) e o segundo Definição. Arco de circunferência é um (“).segmento qualquer da circunferência, limitado por 1 o  60 e 1  60dois de seus pontos distintos. 2. Grado (gr) A B Dividimos a ser oferecem 400 partes iguais e 1 a cada arco unitário que corresponde a da 4 00 circunferência, chamamos de grado. Os pontos A e B determinam dois arcos e são extremidades Então, a circunferência e mede 400 grados. dos dois 3. Radiano (rad) .A Radiano é um arco unitário cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência, na qual está contido. Os pontos A e B coincidem, temos então dois arcos determinados: r um nulo e outro de uma volta. 1 rad rMedida de um arco Consideremos o arco de AB e um arco Observação: Uma circunferência de raio r =unitário u (não nulo e de mesmo raio). Ao 1 possui como medida 2  radianos ( 2  rad). Matemática – 2º ano – 2
  3. 3. E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino Médio Relação entre as unidades Na Fig. 2, temos AB  BA . Arco Arcos côngruos grau 90o 180o 270o 360o grado 100 gr 200 gr 300 gr 400 gr Seja uma circunferência orientada de centro O e um sistema cartesiano ortogonal de mesma  3 radiano rad  r ad rad 2 r ad origem (ver figura abaixo). Convencionemos que a 2 2 orientação positiva da circunferência é a anti-horária Para fazer a conversão entre as unidades, e que o ponto A é a origem de contagem dos arcos.podemos utilizar a relação: y 180o   rad B + sentido positivo Exemplos: M o 1) Converter 120 em radianos:  C x 5 O A 2) Converter rad em graus: 4 D Arcos orientados Definição 1. (Circunferência orientada) Seja, ainda, AM um arco de medida  no Dizemos que uma circunferência está sentido positivo (anti-horário), ( 0    2  ). Noteorientada quando se fixa nela um dos sentidos que, no sentido negativo (horário), a medida decomo positivo (o outro, naturalmente, será o AM será 2    .negativo). É habitual fixar-se o sentido anti-horário Representamos a medida de todos os arcos xcomo positivo (Fig. 1). de mesma origem A e mesma extremidade M que diferem entre si por um número inteiro de voltas, no sentido horário ou no sentido anti-horário, como . + sentido positivo segue: x  2K   , com K  Z A tais arcos chamamos côngruos. Fig. 1 As Funções trigonométricas Definição 2. (Arco orientado) O Ciclo Trigonométrico Arco orientado é todo arco contido em umacircunferência orientada (Fig. 2). Chamamos ciclo trigométrico toda circunferência orientada, em que: i) o raio (r) é unitário (r = 1); B ii) o sentido positivo é o anti-horário (sentido . + contrário ao dos ponteiros de um relógio); A iii) o sentido negativo é o horário (sentido dos ponteiros de um relógio). Fig. 2 Matemática – 2º ano – 3
  4. 4. E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino Médio 90o eixo dos senos B + sentido positivo B sen x 2º Q 1º Q A E x180o C 0o 360o 0 A 3º Q 4º Q D  sentido negativo 270o O ponto A é a origem do ciclo trigonométrico. Exemplos: 1) O seno do arco de 30 é igual a 1 2 . Veja o Quadrantes no ciclo trigonométrico: Os eixos cartesianos dividem o ciclotrigonométrico em quatro ângulos, denominadosquadrantes. 1 B Exemplos: 2 30o 1) Determinar o quadrante a que pertence o 0 A arco de: o a) 36 o b) 135 o c) 220 d) 300 o Sinais da função seno e) 480 o Como os valores do seno são marcados no eixo das ordenadas (Oy), então o seno será positivo 2) Determinar em que quadrante situam-se no 1º e 2º quadrantes e negativo no 3º e 4º as extremidades sos seguintes arcos: quadrantes. o a) -300 eixo dos senos o b) 1280 3 c) rad + + 4 2º Q 1º Q 11 d) rad 3º Q 4º Q 3   A Função Seno ( y  sen x ) Definição. Considerando um arco AB, cuja Sinaismedida é o número real x, chamamos seno do arco Quadrantes 1º 2º 3º 4ºAB o valor da ordenada do ponto B (Ver figura). seno + + - - Matemática – 2º ano – 4
  5. 5. E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino Médio Seno dos arcos notáveis função seno assume como valor mínimo 1 e como valor máximo 1: Arco (x) sen x Im(f) = { y  IR ; 1 y 1} 0o 0 iii) O período da função seno é o número 90o ou  2 1 2  pois, a partir de 2  , a função seno 180o ou  0 repete os valores iniciais: 270o ou 3 2 1 P  2 360o ou 2 0 A Função Cosseno ( y  cos x ) Definição. Considerando um arco AB, cuja Gráfico da função seno ( y  sen x ) medida é o número real x, chamamos cosseno do arco AB o valor da abscissa do ponto B (Ver figura). Para construir o gráfico da função seno,vamos fazer uso da tabela: x sen x eixo dos cossenos B 0 0 x  1 2  0 0 cos x A 3 1 2 2 0 y 1 Exemplos: o 3 1) O cosseno do arco de 30 é igual a . 3 2 2 2 0   x Veja no ciclo trigonométrico: 2 1 B 30oObservações: 0 A i) O domínio da função seno é o conjunto dos números reais, portanto, a curva 3 continua à direita de 2  e à esquerda de 2 0: ID(f) = IR Sinais da função cosseno ii) O conjunto imagem da função seno é o Como os valores do cosseno são marcados intervalo [1 , 1 ] , isto é, no eixo das abscissas (Ox), então o cosseno será 1  sen x  1 ,  x  IR , portanto, a Matemática – 2º ano – 5
  6. 6. E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino Médiopositivo no 1º e 4º quadrantes e negativo no 2º e 3º yquadrantes. 1 eixo dos cossenos 3 2 2  + 0   x 2º Q 1º Q 2 3º Q 4º Q 1  +  Observações: i) O domínio da função cosseno é o Sinais conjunto dos números reais, portanto, a Quadrantes 1º 2º 3º 4º curva continua à direita de 2  e à cosseno + - - + esquerda de 0: ID(f) = IR ii) O conjunto imagem da função cosseno é Cosseno dos arcos notáveis o intervalo [1 , 1 ] , isto é, 1  cos x  1 ,  x  IR , portanto, a Arco (x) cos x função cosseno assume como valor 0o 1 mínimo 1 e como valor máximo 1: 90o ou  2 0 Im(f) = { y  IR ; 1 y 1} 180o ou  1 iii) O período da função cosseno é, também, 270oou 3 2 0 o número 2  pois, a partir de 2  , a função cosseno repete os valores iniciais: 360o ou 2 1 P  2 A Função Tangente ( y  tg x ) Gráfico da função cosseno( y  cos x ) Considere a circunferência trigonométrica e Para construir o gráfico da função cosseno, uma reta t paralela ao eixo dos y traçada pelo pontovamos fazer uso da tabela: A. eixo das tangentes x cos x t 0 1 y  0 2 T B  1 x tg x 3 0 + 2 2 1 0 A  Matemática – 2º ano – 6
  7. 7. E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino Médio Definição. Considerando um arco AB, cuja Tangente dos arcos notáveismedida é o número real x, chamamos tangente doarco AB ao segmento orientado AT , sobre a reta t, Arco (x) tg xcujo ponto T é determinado pela intersecção da reta 0o 0OB com a reta t (Ver figura). 90o ou  2   tg x  AT 180o ou  0 Exemplos: 270o ou 3 2   3 o 1) A tangente do arco de 30 é igual a . 360o ou 2 0 3 Veja no ciclo trigonométrico: Gráfico da função tangente ( y  tg x ) 3 Para construir o gráfico da função tangente, T 3 B vamos fazer uso da tabela: 30o 0 x tg x A 0 0    2  0 3   3 2 tg x  AT  3 2 0 Sinais da função tangente Assíntota Como os valores da tangente são marcados yno eixo das tangentes (reta t), então a tangenteserá positiva no 1º e 3º quadrantes e negativo no 2ºe 4º quadrantes. t eixo das tangentes 3  2 2 0  x 2  + 2º Q 1º Q 3º Q 4º Q +   Observações: Sinais i) O domínio da função tangente é o Quadrantes 1º 2º 3º 4º conjunto: tangente + - + -  ID( f )  { x  IR ; x   K, K  Z} 2 Matemática – 2º ano – 7
  8. 8. E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino Médio ii) O conjunto imagem da função tangente é Observação: Decorre, ainda, da definição o intervalo aberto ( , ) , isto é, o que: conjunto dos números reais: 1 cotg x  , Im(f )  ( , )  IR tg x K iii) O período da função tangente é o número  x  IR, x  ,K  Z.  pois, a partir de  , a função tangente 2 repete os valores iniciais: Secante P Representando a secante de um arco x por sec x , por definição, temos: 1 Relação entre tangente, seno e sec x  ,cosseno de um arco trigonométrico cos x  Da semelhança dos triângulos OMB e OAT  x  IR, x   K , K  Z .da figura abaixo, podemos concluir que: 2 sen x  Cossecante tg x  ,  x  IR, x   K, K  Z cos x 2 Representando a cossecante de um arco x por cossec x , por definição, temos: t 1 y cossec x  , sen x T B  x IR, x  K, K  Z . C x tg x . . Relações trigonométricas O M A x fundamentais Observando o ciclo trigonométrico abaixo, nota-se que o triângulo OMB é retângulo em M. Além disso, MP  OC  sen x , OM  cos x e OP  1 (raio unitário). Assim, podemos escrever: sen2 x  cos2 x  1 ,  x  IR . Relações entre as funções ytrigonométricas B Algumas relações trigonométricas de um arco Cx, atendidas certas condições de existência, são xdefinidas à partir do seno ou do cosseno desse .arco. O M A x Cotangente Representando a cotangente de um arco xpor cotg x , por definição, temos: cos x cotg x  , sen x x IR, x  K, K  Z . Matemática – 2º ano – 8
  9. 9. E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino Médio Nota: Esta relação é chamada de relação 3. O arco x está no 4º quadrante, isto é, 3πtrigonométrica fundamental e a partir dela podemos 2  x  2π .estabelecer outras duas: r 1  tg x  sec x , 2 2 B’ ( x  IR, x   K, K  Z) 2 O A 1  cotg2 x  cossec2 x ,( x  IR, x  K, K  Z) . B sen x   sen(2  X) Redução ao 1º quadrante Objetivo: Calcular o valor das funçõestrigonométricas de arcos com extremidades no 2º, Procedendo de modo semelhante para o3º e 4º quadrantes. cálculo do cosseno, estabelecemos as seguintes relações: Cálculo do seno de um arco x 1. cos x   cos(  x) se x está no 2º 1. O arco x está no 2º quadrante, isto é, quadrante.   x  . 2 2. cos x   cos(  X) se x está no 3º quadrante. B B’ cos x  cos(2  X) se x está no 4º  r 3. quadrante. A’ O A Observações: 1. A partir destas relações estabelecidas para o seno e para o cosseno, pode-se sen x  sen(π  x) estabelecer relações para o cálculo da tangente de um arco x no 2º, 3º ou 4º quadrantes. 2. O arco x está no 3º quadrante, isto é, 2. As funções seno e cosseno são, π  x  3π 2 . respectivamente, ímpar e par. Uma r função f : A  B é: B’ i. par se, e somente se, para todo x  A , f(  x)  f( x) ; O A ii. ímpar se, e somente se, para todo x  A , f(  x)  f( x) . B Assim, podemos escrever: sen( x)  sen x sen x   sen(  X) e, cos(  x)  cos x Matemática – 2º ano – 9
  10. 10. E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino Médio Soma e diferença de dois arcos Cosseno do arco duplo Consideremos dois arcos quaisquer de uma cos 2 x  cos2 x  sen2 xcircunferência trigonométrica, cujas medidas são ae b . Podemos então escrever as seguintesrelações: Tangente do arco duplo 2  tg x (Seno da soma) tg 2 x  1  tg2 x sen(a  b)  sen a  cosb  sen b  cosa (Seno da diferença) Transformação em produto sen(a  b)  sen a  cosb  sen b  cosa Para transformar somas e diferenças trigonométricas em produto, utilizamos as relações abaixo: (Cosseno da soma) (Soma de senos) cos(a  b)  cosa  cosb  sen a  sen b  x  y  x  y sen x  sen y  2  sen    c os   2   2  (Cosseno da diferença) cos(a  b)  cosa  cosb  sen a  sen b (Diferença de senos)  x  y  x  y sen x  sen y  2  sen    c os    2   2  São válidas, ainda, para a  K , 2  b  K e ab  K , K Z, as (Soma de cossenos) 2 2  x  y  x  yseguintes relações: c os x  c osy  2  c os   c os   2   2  (Tangente da soma) tg a  tg b tg(a  b)  1  tg a  tg b (Diferença de cossenos)  x  y  x  y c os x  c osy  2  sen    sen    2   2  (Tangente da diferença) tg a  tg b tg(a  b)  1  tg a  tg b Equações trigonométricas Equação do tipo sen x  sen a Arco duplo Se dois arcos x e a têm senos iguais, então Para o cálculo do seno, do cosseno e da podemos escrever a seguinte equivalência:tangente do arco duplo, utilizamos as relaçõesabaixo:  x  a  2K   sen x  sen a  ou (K  Z) Seno do arco duplo  x  (   a)  2K sen 2x  2  sen x  cos x  Matemática – 2º ano – 10
  11. 11. E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino Médio Equação do tipo cos x  cosa estas relações em triângulos quaisquer utilizando a Se dois arcos x e a têm cossenos iguais, lei dos senos e dos cossenos.então podemos escrever a seguinte equivalência: Lei dos senos cos x  cosa  x  a  2K (K  Z) Em um triângulo qualquer as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. Equação do tipo tg x  tg a No triângulo ABC da figura abaixo, temos: Se dois arcos x e a têm tangentes iguais, a b centão podemos escrever a seguinte equivalência:   sen A sen B sen C  x  a  2K   tg x  tg a  ou (K  Z) B  x  (   a)  2K ou, ainda, c a tg x  tg a  x  a  K (K  Z) A C b Observações: Para resolver Algumas Observação: Como todo triângulo éequações trigonométricas, devemos antes reduzi- inscritível em uma circunferência de raio R,las a equações do 2º grau. Em outras, devemos podemos, ainda, escrever:aplicar as fórmulas de transformação em produto, a b capresentadas anteriormente.    2R sen A sen B sen C Exemplos: (Resolver dos exercícios) Lei dos cossenos Inequações trigonométricas Em um triângulo qualquer, o quadrado da Observe a seguinte questão: “Para quais medida de um lado é igual à soma dos quadradosvalores de x a função real f( x)   1  2  cos x das medidas dos outros dois lados menos duasé definida?”. vezes o produto das medidas desses lados pelo Para resolvê-la, devemos lembrar que em IR cosseno do ângulo formado por eles.a raiz quadrada existe quando o radicando é maior No triângulo ABC acima, são válidas asou igual a zero. Assim, para essa função ser igualdades:definida em IR devemos ter: ˆ a2  b 2  c 2  2  b  c  cos A 1  2  cos x  0 ˆ b 2  a2  c 2  2  a  c  cos B Essa sentença matemática é um exemplo de ˆ c 2  a2  b 2  2  a  b  cosCinequação trigonométrica. Vejamos como resolversentenças deste tipo. B Exemplos: (Resolver dos exercícios) c a Resolução de triângulos quaisquer h As razões trigonométricas relacionam os . A x H Clados e os ângulos dos triângulos. Estabeleceremos b Matemática – 2º ano – 11
  12. 12. E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino Médio Teorema da área de um triângulo 3. Uma escada rolante liga dois andares de um shopping e tem uma inclinação de 30º. A área de um triângulo qualquer é igual à Sabendo-se que a escada rolante tem 12metade do produto de dois de seus lados pelo seno metros de comprimento, calcule a altura de umdo ângulo compreendido entre esses lados. andar para o outro. A área S do triângulo acima pode sercalculada por qualquer uma das relações abaixo: 12 m 1 h S   b  c  sen A 2 30º .ou, 1 S  a  c  sen B 4. Na construção de um telhado, foram usadas 2 telhas francesas e o “caimento” do telhado é deou, 20º em relação ao plano horizontal. Sabendo que, até a laje do teto a casa tem 3 m de altura, 1 S   a  b  sen C determine a que altura se encontra o ponto 2 mais alto do telhado dessa casa. (Dados: sen20º  0,34 , cos20º  0,94 e tg 20º  0,36 ). 4Exercícios 20ºRazões trigonométricas no triângulo 3retângulo1. A torre Eiffel, a maior antes da era da televisão, foi concluída em 31 de março de 1889. Veja a figura e determine a altura dessa torre. 5. Uma pipa é presa a um fio esticado que forma um ângulo de 45º com o solo. O comprimento do fio é de 80 m. Determine a altura da pipa em relação do chão. 85º 80 m x 28,6 m . 45º2. A uma distância de 40 m, uma torre é vista sob um ângulo  , como nos mostra a figura. 6. A 100 m da base, um observador avista a Determine a altura h da torre se: extremidade de uma torre sob um ângulo de 60º a)   20º com a horizontal. Qual a altura dessa torre? b)   40º 7. Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 12 h cm e um dos catetos mede 6 cm. A medida do outro cateto é:  a) 6 2cm Matemática – 2º ano – 12
  13. 13. E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino Médio b) 6 3cm g) 450º c) 8 2cm h) 67º30‟ d) 8 3cm i) 41º15‟ 2. Expresse em graus:8. Os dois maiores lados de um triângulo retângulo medem 12 m e 13 m. O perímetro  a) rad desse triângulo é: 6 a) 30 m 11 b) rad 6 b) 32 m  c) rad c) 35 m 16 d) 36 m  d) rad 9 49. Calcule o valor de x em cada item: e) rad 3 a) b)  6 2 f) rad 3 5 20 x x 11 g) rad 2 3 c) x d) h) rad x 5 5 3 4 17 13 i) rad 410. Calcule o valor de x e y em cada um dos 3. A menor determinação positiva de 4900º é: triângulos retângulos: a) 100º 4 b) 140º 10 y 6 x c) 40º y . 45º 30º . d) 80º x e) n.d.a.Conversão1. Converta em radianos: Comprimento de arco 1. Qual é a medida, em radianos, de um arco de a) 30º 20 cm de comprimento, contido em uma b) 60º circunferência de raio 8 cm? c) 100º 2. O ponteiro dos minutos de um relógio mede 10 d) 120º cm. Qual é a distância que sua extremidade percorre em 30 minutos? e) 150º 3. Calcule o comprimento de um arco de 120º f) 300º contido numa circunferência de raio 12 cm. Matemática – 2º ano – 13
  14. 14. E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino MédioArcos Côngruos 2. Calcule os valores de k para os quais existe x nas igualdades:1. Escreva a expressão geral dos arcos côngruos a: a) sen x  2k  1 a) 60º b) 2  sen x  2k  4 b) 240º c) sen x  1  k c) 300º 3. Construa o gráfico e determine o período e a imagem de cada função para x  IR . d) 685º a) y  sen 2x e) – 400º x  b) y  sen f) rad 4 6 3x  c) y  3  sen g) rad 2 6 11 4. (Fuvest-SP) A figura a seguir mostra parte do h) rad gráfico da função: 3 15 y i) rad 2 2 9 j) rad 2 2 4 0 x 17 k) rad 4 –22. Descubra a primeira determinação positiva dos a) sen x arcos côngruos: x b) 2  sen a) 780º 2 b) 850º c) 2  sen x c) 1140º d) 2  sen 2x d) 1310º e) sen 2x e) 500º 11 Função cosseno f) rad 6 1. Calcule os valores de k para os quais existe x 10 g) rad nas igualdades: 3 a) cos x  4k  7 21 h) rad 5 b) cos x  4  2k  2. Determine os sinais de cos , cos 80º , 9Funções trigonométricas 10 cos 130º , cos e cos 300º .Função seno 9   21. Determine os sinais de sen , sen135º , sem 3. Calcule o valor de cos  cos 2  cos . 3 3 3 5 sen240º e sen . 3 Matemática – 2º ano – 14
  15. 15. E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino Médio  34. Sendo x , calcule o valor de 4. Sendo tg 30º  , calcule os valores de: 7 3 sen 7x  cos14x . a) tg 150º5. Calcule o valor de: b) tg 210º 3  sen  2  sen 0  sen y 2 2   cos  sen  cos2  5. Determine o período da função 2 4 3x f ( x )  4  6  tg 26. Construa o gráfico de cada uma das funções, determinando o período e a imagem. Relação entre funções trigonométricas x a) f( x )  cos , para 0  x  4 1. Calcule o valor de: 2 a) cotg 60º b) f( x )  1  cos x , para 0  x  2 b) cotg1110º c) f( x )  2  cos x , para 0  x  2 13 d) f( x )  cos x , para 0  x  2 c) sec 6 19 d) cossec 2Função tangente1. Determine o sinal de: a) tg 60º 2. (UEL-PR) Para todo número real x, tal que  sec x  tg x b) 0  x  , a expressão é tg 150º 2 cos x  cotg x 4 equivalente a: c) tg 3 a) (sen x )(cotg x ) d) tg 350º b) (sec x )(cotg x ) c) (cos x )( tg x )2. Determine o domínio das funções: d) (sec x )( tg x ) a) y  tg 2x e) (sen x )( tg x ) x b) y  tg 2  3. Determine o domínio da função real  c) f ( x )  tg  x   f ( x )  2  cotg x  tg x .  3 d) f ( x )  4  tg 3x    Relações trigonométricas fundamentais 12 3. Construa o gráfico e dê o período de cada uma 1. Sabendo que cos x  , 0  x  , calcule 13 2 das funções para 0  x  2 . sen x , tg x e sec x . a) y  tg 2x 7 3 2. Sabendo que tg x  , x , calcule as x 24 2 b) y  tg 2 demais funções trigonométricas do arco x. Matemática – 2º ano – 15
  16. 16. E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino Médio   c) sen 3285º3. (Fuvest-SP) Se  está no intervalo 0,  e  2 13 1 d) cossec satisfaz sen 4  cos 4   , então o valor da 5 4 70 tangente de  é: e) sec 3 3 a) 2 5 f) tg 3 5 b) 3 cos 200º  cos 340º 2. Simplifique y  . c) 3 sen 160º  sen 380º 7 7 d) 3. (UFRS) No círculo trigonométrico abaixo tem-se 3   120º . O valor de OA  OB é: 5 e) 1 7 a) 2 y 1 b) 4 . B 3 74. Sabendo que cotg x  e que x pertence 7 2  c) A ao 3º quadrante, calcule sec x . 2 . O x sec x  cos x 35. (FGV-SP) A expressão é d) cos sec x  sen x 2 equivalente a: 3 a) sec 3 x e) 4 b) sen 2 x 4. Simplifique: c) tg3 x sen (18  x ) a) y cos (10  x ) 1 d) tg x tg (20  x ) b) y cotg (2  x ) 1 e) 1  tg2 x sen ( 20º ) c) y cos 380º6. (UGF-RJ) Determine a de forma que se tenha 1 a 1 simultaneamente sen x  e cos x  . a a 5. Calcule o valor de:7. Sendo tg x  a  1 e cotg x  a  1, determine o sen ( 390º )  sen ( 405º ) y valor de a. cos ( 45º )  cos ( 750º )Redução ao 1º quadrante Soma e diferença1. Calcule o valor das funções abaixo, consultando 1. Calcule o valor de: a tabela trigonométrica quando necessário: 7 a) sen a) sen 208º 12 b) cos 330º b) cos 255º Matemática – 2º ano – 16
  17. 17. E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino Médio  1 3 c) cossec 2. Sendo sen x  e  x  2 , calcule 12 2 2 sen 2x , cos 2x e tg 2x .2. (UFES) Se x  105º , então sen x é: 3. Se cotg x  2 , qual o valor de tg 2x ? 6 2 2 a) 8 4. Construa o gráfico e determine o período da função f( x )  4  sen x  cos x . 6 3 7 b) 4 1 5. Sendo sen x  cos x  , qual o valor de c) 3  2  3 sen 2x ? 5 8 d) 1 3  2 4 Transformação em produto 1 1. Transforme em produto:3. Calcule cos( a  b) , para sen a  e 2 a) y  sen 40º  sen 80º  3   cos b  , 0a e  b  . 2 2 2 b) y  cos 70º  cos 10º4. Calcule y  sen 105º  cos 75º . c) y  sen 8x  sen 2x5. Calcule o valor de: d) y  cos 8x  cos 2x a) cotg 75º  2. Calcule o valor numérico de: b) cotg 12 cos 30º  cos 10º c) tg 375º E , sen 30º  sen 10º6. Determine: sabendo que tg 20º  0,3 . 1 a) tg ( x  y ) , sendo tg x  1 e tg y  . 3. Mostre que: 2 cos 36º  cos 18º b) tg ( x  y ) , sendo tg x  1 e tg y  4 . a)  tg 27º sen 18º  sen 36º sen 9a  sen a b)  tg 4a7. Sendo tg x  3 , x pertencente ao 1º quadrante, cos 9a  cos a   cos 75º  cos 15º calcule tg   x  . c) 1  4  sen 75º  sen 15º 1 18. Dados tg a  e tg b  , calcule a medida de 2 3 1 4. Transforme em produto y  cos x   sen 2x . a  b sabendo que 0  a  b  90º . 2Arco Duplo Equações trigonométricas1. Com os dados da figura, calcule sen 2x , 1. Resolva as equações em IR: cos 2x e tg 2x . 1 a) sen x   2 5 b) sen x  sen 10 7 8 c) sen 2x  sen x . x Matemática – 2º ano – 17
  18. 18. E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino Médio d) 2 sen x  1 2 e) 32. Resolva as equações em [0, 2 ] : 7. (MACK-SP) Se sen (  x )  cos (  x ) , então 3 a) sen x  x pode ser: 2 a)  b) sen x  sen (  x )  b) c) cossec x  2 2   3 d) cos   3 x   sen x c) 2  4 5 d) 43. Determine os arcos trigonométricos cujo seno 7 tem valor: e) 4 a) máximo; b) nulo. 8. Resolva em [0, 2 ] as equações:4. Resolva as equações em IR: a) sen x  sen 2x a) 2  cos x  3 0 b) 2  sen x  3  cossec x   sen x  cos x  1 b) 2  cos x  2  sen   x   3 c) 2  d) tg2 x  tg x  0 c) 2  cos 5x  2  0 d) sec x  1 9. (Fuvest-SP) Ache todas as soluções da e) tg 5x  tg 2x equação sen 3 x  cos x  3  sen x  cos3 x  0 no f) cotg x  3 intervalo [0, 2 ) . 10. Dadas as equações a seguir resolva-as em IR: a) sen 6x  sen 4x  05. Determine o polígono que se obtém unindo-se os pontos consecutivos da circunferência b) cos 2x  cos x  0 trigonométrica que satisfazem a equação cos 4x  1. 11. (MACK-SP) No intervalo [0, 2 ] , o número de6. (MACK-SP) O menor valor positivo de x para o soluções distintas da equação 1 qual 9 cos x  é: 1  cos x 3 sen 2 x  é: 2  a) a) 0 6  b) 1 b) 4 c) 2  c) d) 3 3 e) 4  d) 2 Matemática – 2º ano – 18
  19. 19. E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino MédioInequações trigonométricas 2. Determine a medida do lado a de um triângulo1. Resolva em [0, 2 ] as inequações: inscrito em um círculo cujo diâmetro mede 60 ˆ cm, sabendo que m(A)  60º . a) sen x  0 3. Num triângulo ABC, a  7 cm , b  5 cm e b) cos x  0 ˆ c  3 cm . Calcule a medida do ângulo A . c) 2  sen x  2  0 4. Sendo a  1cm , b  2 cm e ˆ m(C)  60º ,2. Resolva em IR as inequações: calcule o lado c do triângulo ABC. 3 a) cos2 x  sen 2 x  0 2 Teorema da área de um triângulo b) tg x  0 1. Calcule a área de um terreno de forma3. Resolva a inequação tg2 x  tg x  0 para triangular sabendo que dois de seus lados x  [0, 2 ] . medem 20 cm e 30 cm e o ângulo compreendido entre esses lados é igual a 150º.  4. (UFRGS) No intervalo real 0,  , o conjunto  2 2. Calcule a área de um paralelogramo cujos lados 1 medem 6 cm e 8 cm e formam um ângulo de solução da desigualdade sen x  cos x  é: 4 150º.    3. Calcule a área: a) 0, 15    A    b) 0, 12  5 cm   120º    c) 0, 10  C B   7 cm   4. A área do paralelogramo ABCD, cujos lados d) 0, 8  medem, respectivamente, 8 cm e 10 cm   formando um ângulo de 150º, é, em centímetros   quadrados, igual a: e) 0, 6    a) 205. Determine o conjunto solução da inequação b) 50 2 1  sen 2 x  1 no intervalo [0, 2 ] . c) 40 d) 80Resolução de triângulos quaisquer e) 1001. Quantos metros de arame serão gastos 5. (FGV-SP) A área do triângulo abaixo é: aproximadamente para cercar o canteiro representado na figura ao lado? a) 4 b) 2 1 7m c)   2 2 1 2 2 4 d) 2 3  1 45º 30º 40º e) 3 1 3m Matemática – 2º ano – 19
  20. 20. E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino Médio6. (MACK-SP) A área do triângulo ABC da figura é 25 3 . A 30º 60º B C Então, supondo que 3  17 , o perímetro do , triângulo é: a) 37 b) 39 c) 41 d) 43 e) 457. Calcule a área de um hexágono regular inscrito em uma circunferência de 10 cm de raio.8. (Fuvest-SP) a) Calcule sen 15º . b) Calcule a área do polígono regular de 24 lados inscrito no círculo de raio 1. Matemática – 2º ano – 20

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