E.E.B.A.P – 3º Ano Ens. Médio – Matemática - Profº Nélio Nahum          1          Matrizes.                              ...
E.E.B.A.P – 3º Ano Ens. Médio – Matemática - Profº Nélio Nahum        2        Exemplo:                                   ...
E.E.B.A.P – 3º Ano Ens. Médio – Matemática - Profº Nélio Nahum            3   e) Matriz Transposta.                       ...
E.E.B.A.P – 3º Ano Ens. Médio – Matemática - Profº Nélio Nahum                 4                                          ...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Matrizes

1.923 visualizações

Publicada em

0 comentários
1 gostou
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
1.923
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
13
Comentários
0
Gostaram
1
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Matrizes

  1. 1. E.E.B.A.P – 3º Ano Ens. Médio – Matemática - Profº Nélio Nahum 1 Matrizes. Se quisermos saber a quantidade de carros Gol vendidos em março, iremos procurar o número que Em um observatório meteorológico, um está na primeira linha e terceira coluna da tabela. cientista foi incumbido de registrar, de hora em hora, a Tabelas como estas são denominadas temperatura de uma região durante os quatro primeiros matrizes. Vamos formalizar uma estrutura dias do mês de junho. Depois de realizado o trabalho, o meteorologista apresentou um relatório com a seguinte algébrica para as matrizes, ou seja, definiremos tabela: igualdade e operações com elas. i Notação e Representação. 1 2 3 4 j Chama-se matriz do tipo mn (lê-se “m 1 18 15 19 17 por n”) toda tabela de números dispostos em m 2 17 16 18 17 linhas e n colunas. 3 16 18 20 17 Representamos as matrizes por letras 4 16 17 20 19 maiúsculas, colocando –se seus elementos entre 5 17 19 19 20 parênteses ou colchetes e representando-os por letras 6 18 19 17 20 minúsculas acompanhados de índices que indicam, 7 18 19 17 20 respectivamente, a linha e a coluna que o elemento Vejamos um exemplo: ocupa na matriz. 8 19 20 21 19 9 20 21 23 21 Considere a tabela a seguir, que indica o número de vendas efetuadas por uma agência de automóveis durante o pri Observe: 10 20 22 21 22 11 21 21 22 23 12 23 21 20 23  a11 a12  a1n  a  a 2n  13 22 20 21 22 a 22 A   21  14 22 21 22 20       15 21 23 21 21   16 20 21 20 19 a m1 a m1  a mn  MxN 17 20 21 21 20 18 19 20 21 20 19 18 19 22 21 Exemplo: 20 19 20 22 20 21 18 19 20 19 9 4   Na matriz A  5 6  22 17 18 19 18   23 17 18 18 17 1 3 3 x 2   24 17 18 16 15 Note a simplicidade dessa tabela. Se quisermos, por exemplo, saber qual foi a O número 9 esta posicionado na linha 1 e temperatura às 9h do dia 3 de junho, basta coluna 1; indica-se esse elemento por a11 , ou seja, olharmos para a intersecção da linha 9 com a a11 = 9; coluna 3 e encontraremos os 23°C. O 4 esta posicionado a linha 1 e coluna 2; Vejamos outro exemplo. indica-se esse elemento por a12 , ou seja, a12 = 4; O 5 esta posicionado na linha 2 e coluna 1; Considere a tabela a seguir, que indica o indica-se esse elemento por a21 , ou seja, a21 = 5. número de vendas efetuadas por uma agência de automóveis durante o primeiro trimestre do ano Analogamente, a22 = 6, a31 = 1 e a32 = -3. Janeiro Fevereiro Março Podemos também representar uma matriz por:Gol 20 18 25 A = (aiJ), tal que aiJ, satisfaz uma determinadaPalio 12 10 15Celta 15 9 20 condição.Fiesta 18 15 21
  2. 2. E.E.B.A.P – 3º Ano Ens. Médio – Matemática - Profº Nélio Nahum 2 Exemplo: Neste caso definimos duas diagonais, a principal e a secundária, onde: Escreva a matriz representada por: a) A = (aij)2x2, tal que aij = i + j. a ij  DP  i  j b) A = (aij)1x3, tal que aij = 2i - j a ij  DS  i  j  n  1 c) A = (aij)2x3, tal que aij = (i + j)2. Temos para este caso: 2 , se , i  j d) C = (cij)3x3, tal que c ij    i  j , se , i  j Diagonal Principal: D.P = 1, 4, 8 e  Diagonal Secundária: D.S = 0, 4, 1. e) D = (dij)2x4, tal que:  i 2 , se , i  j par Tipos de Matrizes. d ij   2i. j , se , i  j ímpar a) Matriz Nula. Matriz onde todos os elementos são zeros. Formas de Matrizes. 0 0 0  De acordo com o número de linhas(m) e de Exemplo: A colunas(n), as matrizes recebem nomes especiais. 0 0 0  2 X 3 a) Matriz Retangular.( m  n). Toda matriz que possui o número de linhas b) Matriz Escalar.diferentes do número de colunas. Exemplos: a 0 0   Exemplo: A  0 a 0  , onde a  0   0 2 0 0 a  3 X 3 2  5 7   3 5    A  B  0 1  8 2 X 3  8  5 3 X 2   c) Matriz Identidade. Casos Particulares: Matriz escalar onde os elementos da diagonal principal valem 1.  Matriz Linha ( 1 X n). Exemplo: Toda matriz que possui uma única linha.) Exemplos: 1 0 0 A  0 1 0    A  0  1 5 2 11X 5 0 0 1  3 X 3    Matriz Coluna (n X 1). Toda matriz que possui uma única coluna d) Matriz Oposta. Exemplos: Matriz obtida de uma matriz A, trocando-se todos os sinais de seus elementos.   2 Exemplo: A 5     1 2  3 3X 1 Sendo A    , então – A será:    2 5 2 X 2 b) Matriz Quadrada( m = n).   1  2 Toda matriz que possui igual número de linhas A e colunas.  2  5 2 X 2 Exemplos:  1 2 0 A    5 4 3    1 2 8 3 X 3  
  3. 3. E.E.B.A.P – 3º Ano Ens. Médio – Matemática - Profº Nélio Nahum 3 e) Matriz Transposta. III. Multiplicação de Escalar por Matriz. Chamamos de matriz transposta de A, e Dado um número real x e uma matriz A de Trepresentamos por A , a matriz obtida de A, através da ordem mXn, o produto de x por A é a matriz, de ordemtroca ordenada de linhas por colunas. mXn, obtida pela multiplicação de todos os elementos Exemplo: da matriz A por x. 1 5 9  Exemplo: Sendo A    , 7 6 3 2 X 3 1 2 Dadas as matrizes: A    e T teremos como A a seguinte matriz: 3 5 2 X 2  1 0 B  , 1 7  2 4 2 X 2 A  5 6 T   Determine: a) 3.A 9 3 3 X 2   b) -2.B f) Matriz Simétrica: 1 T c) A É uma matriz quadrada em que A = A . 2 d) 2A + B. Exemplo: e) 3.A - B 2 3 5 2 3 5  3 1 4 A  e A  3 1 4 T     5 4 7  3 X 3   5 4 7  3 X 3   IV. Multiplicação de Matrizes. Igualdade e Operações com Matrizes. A multiplicação da matriz A = ( aij)mXn, pela matriz B = ( bij)nXp, que indicamos por A.B, é a matriz I. Igualdade: obtida pela multiplicação das linhas de A, pelas colunas de B. Duas matrizes serão iguais se, possuem a Obs: só será possível multiplicar matrizes, se omesma ordem e apresentam elementos número de colunas da primeira for igual ao número decorrespondentes iguais. linhas da segunda. Exemplo: AmXn X BnXp = (A X B)mXp. Determine x, y e z, para que as matrizes A e B, Exemplo:sejam iguais. 2 1 3 Dadas as matrizes: A    e  x y 1 0  5 4 6 2 X 3 A  e B   z 2  5 2  2 x 2   2x2 4 1  B  2 3 .Calcule se possível:   II. Adição e Subtração. 5 2 3 X 2   Para somar(ou subtrair) matrizes, bastasomar(ou subtrair) os seus elementos correspondentes. a) A.B b) B.A Obs: só podemos somar ou subtrair matrizes c) B 2se elas forem de mesma ordem. d) A² Exemplo: Dadas as matrizes: 3 4  2 A  e 1 3 7  2 X 3 1  5 2  B  , determine: 0 4  7  2 X 3 a) A+B b) A–B
  4. 4. E.E.B.A.P – 3º Ano Ens. Médio – Matemática - Profº Nélio Nahum 4 1 2 m 1 Exercícios. 4ª). Sendo 1 4 . n   5 , determine m + n     1ª). Escreva as matrizes a seguir:  1a) A = (aij)2x2, tal que aij = 2i + j.   5ª). Sobre o produto M.N da matriz M  1    1b) B = (aij)2x3, tal que aij = i - j.  3 x1c) C = (cij)3x2, tal que: pela matriz N  1 1 11x3 dizemos que: 0 , se , i  j  ( a ) Não se define cij  2 , se , i  j ( b ) É a matriz identidade de ordem 3  1, se , i  j  ( c ) É a uma matriz quadrada de ordem um. ( d ) É a uma matriz quadrada de ordem 3d) D = (dij)2x2, tal que: ( e ) É uma matriz retangular 3x1. 6ª). Dada a matriz A (aij)2x2 tal que: i 2 , se , i  j par dij    j , se , i  j ímpar    sen i  se i  j aij    2  , Calcule:e) A  (aij )3 x 2 , tal que: aij  i  j cos(  . j) se i  j  1, se i = jf) B  (bij )3 x 2 , tal que bij   a) A i+j, se i  j b) A 2 0, se i  j 7ª). A matriz C fornece, em reais, o custo das  porções de arroz, carne e salada usados numc) B  (bij )3 x 3 , tal que aij  i, se i  j restaurante. A matriz P fornece o número de porções i  j , se i  j de arroz, carne e salada usados na composição dos  pratos P1, P1 e P3 desse restaurante.2ª). Dadas as matrizes: 2 1 1 prato 1 1 arroz P  1 2 1 prato 2 2 3 A 0 2 3 2 C  3 carne    , B  1 3 e C  1 0   2 2 0 prato 3   1 0      2 salada   A C S Determine a matriz X, tal que: Forme a matriz que fornece o custo dea) X+C =A produção, em reais, dos pratos P1, P1 e P3.b) X+B=A 8ª). Uma empresa produz certo produto em trêsc) 2A = B + X modelos, A, B e C. Cada modelo é parcialmented) A+B+X=0 fabricado na fábrica E1 em Castanhal e então concluído na fábrica E2 em Belém. O custo total de cada produto consiste no custo de manufatura e no custo de3ª). Calcule em cada caso A.B, B.A, A e B . 2 2 transporte. Onde os custos em cada fábrica (em reais) podem ser descritos pelas matrizes E1 e E2.Calcule o 1 1  3 4 custo total de C.a) A  e B  5 2  2 0   32 40 A  40 60 A  5  2 E1  50 50  B   E 2   50  50 B  0 b) A   1 0  e B      70 20 C 130 20 C 1     0  3 fabr transp fabr transp

×