Funciones matemáticas

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
PORTOVIEJO ABRIL –
FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS SEPTIEMBRE DEL 2012
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS INFORMÁTIVOS

DIARIO METACOGNITIVO

Clase No 1: 19 de Abril del 2012.

Tema discutido: Unidad I: Funciones.

PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS
FECHA: Martes, 17 de abril-jueves, 19 de Abril del 2012.
DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar

DESCRIPTORES ANALIZADOS
 Función
 Relación
 Grafo
 Dominio
 Codominio
 Conjunto
 Imagen
 Recorrido
 Conjunto de llegada
 Variables independientes y dependientes
 Constantes
 Productos cartesianos
 Par
 Función implícita y explicita
 Función creciente

Datos interesantes discutidos hoy: La técnica para determinar rápidamente si es
función o no.

¿Qué cosas fueron difíciles?: Ninguno.

¿Por qué?: Fue un tema muy bien explicado por el docente, así que no hubo ningún
inconveniente.

¿Cuáles fueron fáciles?: Fue muy fácil el poder reconocer que tipo de funciones son.

¿Por qué?: Mediante la observación de la relación de dominio e imagen es muy sencillo
determinar el tipo de función.

¿Qué aprendí hoy?: Reconocer una función de acuerdo a la relación Dominio-Imagen e
identificar a que tipo de función pertenece.



Clase No 2: 26 de Abril del 2012.

Tema discutido: Unidad I: Hallar dominio e imagen.

FECHA: Martes, 24 de abril-jueves, 26 de Abril del 2012.

DESCRIPTORES
 Criterio
 Cociente
 Despegue
 Problemas
 Objetivos
 Dibujo
 Datos
 Área
 Perímetro
 Largo
 Ancho
 Observación
 Tabulador


Datos interesantes discutidos hoy: Técnica para hallar dominio e imagen en una
función, Reflexión “oración a mi mismo”.

¿Qué cosas fueron difíciles?: Se me dificultó recordar todas las propiedades mediante
las cuales se obtiene el dominio e imagen.

¿Por qué?: Me confundía mucho con las estructuras de las propiedades.

¿Cuáles fueron fáciles?: El proceso de obtención de dominio e imagen.

¿Por qué?: La mayoría de las funciones no tenía mayor grado de complejidad para
realizar el proceso de obtención de dominio e imagen.

¿Qué aprendí hoy?: Aprendí la técnica para hallar el dominio e imagen de una función.



Clase No 3: 3 de Mayo del 2012.

Tema discutido: Unidad I: Funciones Polinomiales o potencia (función lineal (constante,
función identidad), función cuadrática, y función Cubica).

TIEMPO: 2 HORAS
FECHA: Jueves, 3 de mayo del 2012.

DESCRIPTORES
 Función
 Relación
 Dominio
 Co dominio
 Imagen
 Rango
 Recorrido
 Producto cartesiano
 Par
 Variable
 Constante
 V. Independiente
 V. Dependiente
 f. Implícita
 f. Explicita
 Plano Cartesiano
 f. Creciente
 f. Decreciente
 f. Constante

Datos interesantes discutidos hoy: Funciones Polinomiales o potencia (función lineal
(constante, función identidad), función cuadrática, y función Cubica).

¿Qué cosas fueron difíciles?, Reconocer cada uno de los diferentes tipos de funciones
mediante su gráfica.

¿Por qué?: Existen muchos tipos de funciones y es un poco dificultoso recordarlas
todas.

¿Cuáles fueron fáciles?: Reconocer una función sin necesidad de proceso alguno.

¿Por qué?: Es muy fácil utilizando la técnica impartida por el docente.

¿Qué aprendí hoy?: Técnica para reconocer las funciones si necesidad de proceso
alguno, y reconocer el nombre de una función mediante su gráfica.


Clase No 4: martes 8 de mayo 2012

Tema discutido: Función parte de las cónicas, función racional, función seccionada.
FECHA: Martes, 8 de mayo-jueves, 10 de mayo del 2012.

Datos interesantes discutidos hoy: Los diversos tipos de funciones existentes.

¿Qué cosas fueron difíciles?: Las formulas que corresponden a cada función

¿Por qué?: Mi dominio del Algebra es muy deficiente.

¿Cuáles fueron fáciles?: Las funciones seccionadas.

¿Por qué?: Su gráfica tiene características únicas muy fáciles de reconocer.

¿Qué aprendí hoy? : Los diversos tipos de funciones existentes y sus respectivas
formulas.



Clase No 5: 29 de Junio del 2012

Tema discutido: Función signo, funciones trigonométricas, función inversa
trigonométrica, función escalón unitario, función exponencial, función logarítmica,
función inversa, límites, límites especiales.



Datos interesantes discutidos hoy: Reflexión “Nadie te ama como yo”.
Reconocimiento y pasos para resolver límites en funciones.

¿Qué cosas fueron difíciles?: Salir de la indeterminación.

¿Por qué?: Se me dificulta recordar la formula para salir de la indeterminación.

¿Cuáles fueron fáciles?: Reconocer la variable de mayor exponente.

¿Por qué?: Se encuentra sin mayor proceso y está a simple vista.

¿Qué aprendí hoy?: Como realizar la inversa de una función y la aplicación de los
límites en las funciones.


Clase No 6

Tema discutido: límites trigonométricos, continuidad de una función en un número.


Datos interesantes discutidos hoy: La manera rápida de identificar si existe el límite
mediante la gráfica.

¿Qué cosas fueron difíciles?: Aplicación de límites en funciones con radicales y
determinar si es continua.

¿Por qué?: Se me dificulta la aplicación de las formulas para identificar si es continua o
discontinua.

¿Cuáles fueron fáciles?: Identificar si es una función o no y si tiene límite por medio de
su gráfica.

¿Por qué?: Es muy fácil identificar si es función mediante la técnica de línea vertical y el
límite mediante la técnica impartida por el docente.

¿Qué aprendí hoy? : Identificar si es una función o no y si tiene límite por medio de su
gráfica y los diferentes teoremas.



Clase No 7

Tema discutido: Derivadas y la tabla con cada una de sus diferentes formulas.


Datos interesantes discutidos hoy: Los variados modelos matemáticos que existen
para determinar la derivada de una función.
¿Qué cosas fueron difíciles?: Recordar los modelos matemáticos a utilizar en los
ejercicios de derivadas. ¿Por qué?: Son muchos modelos.

¿Cuáles fueron fáciles?: Remplazar los valores en los modelos matemáticos de las
derivadas. ¿Por qué?: Las tablas fueron de gran ayuda para identificar los modelos.

¿Qué aprendí hoy? : Varios modelos matemáticos de las derivadas, remplazar los
valores en las formulas y determinar la derivada de una función.


Clase No 8

Tema discutido: Presentación de proyectos.

FECHA: Martes, 12 de junio-jueves, 14 de junio del 2012.

TEMA DISCUTIDO:
Video reflexivo “NO DESISTAS” Nos motiva a luchar para cumplir nuestras metas.
CONTENIDOS:
PRESENTACIÓN DE PROYECTOS.
 Tipo de proyecto.
 Nombre del aporte.
 Herramientas informáticas.
 Descripción.
 Objetivo de aprendizaje.
 Duración del proyecto.
 Requisitos.
 Recursos y materiales.
 Actividades del docente y del equipo.
 Criterios de evaluación.
OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
Fortalecer sus potenciales de conocimiento.
 Aportar sus experiencias.
 Solucionar problemas críticos.
 Vincular el equipo con la comunidad y la familia.
COMPETENCIA GENERAL:
 Fortalecimiento con la praxis social Aplicación.
Datos interesantes discutidos hoy: Los Gestores de los Proyectos.
¿Qué cosas fueron difíciles?: Ninguna. ¿Por qué?: Fue una clase de verificación de
proyectos.

¿Cuáles fueron fáciles?: Presentar el Gestor del proyecto. ¿Por qué?: Estaba
previamente elaborado.

¿Qué aprendí hoy? : Que los proyectos deben ser propuestos por los estudiantes y no
por el docente.


Clase No 9


CONTENIDOS:
CALCULO DE DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES DE TIPO ALGEBRAICO.
 Derivada de la función Constante.
 Derivada de la función Idéntica.
 Derivada de la función potencia.
 Derivada de una constante por una función.
 Derivada de la suma de funciones.
 Derivada del producto de funciones.
 Derivada del cociente de dos funciones.
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA.
 Regla de la cadena,
 Regla de potencias combinadas con la regla de la cadena.
 Definir y calcular la derivada de algunas funciones de tipo algebraico.
 Definir y calcular derivadas de funciones compuestas.
 Definir y aplicar la regla de la cadena abierta.
 Aplicación directa de modelos matemáticos de la variación de diferentes tipos
de funciones.

Derivada de la función Constante


Derivada de una función constante
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para
cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a
C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),
f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Derivada de una suma

La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas
funciones.
Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya sean positivos o negativos.

Ejemplos

Derivada de un producto

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del
segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

Derivada de un cociente
La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el
denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el
cuadrado del denominador.

Apliquemos ln a: y = u/v
lny = ln u - ln v; derivemos en forma implícita, recordando que tanto y, u como v son f(x):
(1/y)*(dy/dx) = (1/u)*(du/dx) - (1/v)*(dv/dx); restamos a la derecha, sacando uv como factor común:
(1/y)*(dy/dx) = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)] / uv;

dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* y / uv; pero como y= u/v:
dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* u / uv*v;
dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* / v^2

Esto explica: y' = (u'v - v'u) / v^2


Regla de potencias combinadas con la regla de la cadena.

Datos interesantes discutidos hoy: Reglas de las potencias.
¿Qué cosas fueron difíciles?: Reglas de potencias combinadas con la regla de la
cadena. ¿Por qué?: Se debe tener cuidado con los parámetros a ser tomados en cuenta
al momento de la resolución del ejercicio.

¿Cuáles fueron fáciles?: La derivada de una suma, la de un producto ¿Por qué?: Se
deriva y se resuelve sin mayores inconvenientes.

¿Qué aprendí hoy? : Que existen reglas dentro del proceso de derivar potencias.


Clase No 10

Tema discutido: Video reflexivo “RECUERDAME”.


CONTENIDOS:
DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIA PARA EXPONENTES RACIONALES. Silva laso,
1139, Smith, 145
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Silva laso, 1149, Smith, 162, Larson,
135
DERIVADA IMPLICITA:
 Método de diferenciación implícita. Silva Laso, 1163, Smith, 182, Larson, 152

DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS:
 Derivada de funciones exponenciales. Smith, 170, Larson, 360
 Derivada de funciones exponenciales de base e.
 Derivada de funciones logarítmicas.
 Derivada de función logaritmo natural.
 Diferenciación logarítmica.


 Definir y calcular derivadas de funciones con exponentes racionales.
 Definir y calcular derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.
 Definir y calcular derivadas de función implícita.
Aplicación de modelos matemáticos directos y acertadamente para derivar diferentes
tipos de funciones

Regla de la cadena para derivada

Después de estudiar esta sección, el estudiante deberá ser capaz de:

1. Enunciar el teorema, regla de la cadena para derivadas.
2. Empleando el teorema de regla de la cadena, obtener la derivada de una función
compuesta.

El siguiente teorema conocido como regla de la cadena, nos servirá para obtener la
derivada de una función compuesta.
Teorema “Regla de la Cadena”
Si y es una función de u, definida por 𝑦 ( 𝑢) y 𝐷𝑢, 𝑦, existe y si u es una funciuon de x por
𝑢 ( 𝑥) y , 𝑢 existe, entonces y es una función de x y D y existe.

Derivación de Funciones Exponenciales

Sabemos que e es un número irracional, pues e =
2.718281828... La notación e para este número
fue dada por Leonhard Euler (1727).
La función f(x) = ex es una función exponencial
natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está
entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a la
izquierda.

Como e > 1, la función f(x) = ex es una función creciente. El dominio es el conjunto de
los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales positivos.
Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = e x.
Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = ex en cualquier punto (x,ex) es
igual a la coordenada y de ese punto. Por ejemplo, en la gráfica de f(x) = ex en el
punto (0,1) la pendiente es 1.

El logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano,
aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo
neperiano.
En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperiano
al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es
2,7182807066232140698591273860753 El logaritmo natural se le suele denominar
como ln(x) o a veces como loge(x), porque para ese número se cumple la propiedad de
que el logaritmo vale 1.
El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser
elevado el número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya
que e2=7,38905... El logaritmo de e es 1, ya que e1=e.
Desde el punto de vista del análisis matemático, puede definirse para cualquier número
real positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta
definición es la que justifica la denominación de "natural" para el logaritmo con esta
base concreta. Esta definición puede extenderse a los números complejos.
El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición los
números reales positivos:

y corresponde a la función inversa de la función exponencial:

Datos interesantes discutidos hoy: Reglas de las potencias.
¿Qué cosas fueron difíciles?: Derivadas de las funciones trigonométricas. ¿Por qué?:
No logré entender.

¿Cuáles fueron fáciles?: La derivada Implícita. ¿Por qué?: Es fácil de hallar.

¿Qué aprendí hoy? : Identificar el logaritmo natural.


Clase No 11

FECHA: Martes, 3 de julio-jueves, 5 de julio del 2012.

CONTENIDOS:

DERIVADA DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. Smith, 459, Larson, 432
DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR.
 Notaciones comunes para derivadas de orden superior. Silva Laso, 1163, Smith,
149

APLICACIÓN DE LA DERIVADA. Silva Laso, 1173
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL A LA CURVA EN UN PUNTO.
VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Silva Laso, 1178, Smith,, 216, Larson, 176
 Máximos y mínimos absolutos de un a función.
 Máximos y mínimos locales de una función.
 Teorema del valor extremo.
 Puntos críticos.

 Definir y calcular derivadas de orden superior
 Aplicar la derivada en ecuación de la recta tangente, valores máximos y
mínimos.

 Aplicación de la derivada en problemas de optimización

Derivación implícita y derivada de orden superior.

Después de estudiar esta sección el estudiante deberá ser capaz de:
1. De una función, implícitamente obtener la derivada de y con respecto de x.
2. Obtener la derivada de orden n de u a función dada.

Si y es una función definida por una expresión algebraica en términos de variable x, se
dice que f está definida EXPLICITAMENTE en términos de x.
Por ejemplo, las siguientes funciones están explícitamente en términos de x.


Datos interesantes discutidos hoy: Máximos y mínimos absolutos de una función.
¿Qué cosas fueron difíciles?: Aplicación de la derivada en problemas de optimización.
¿Por qué?: No logré entender.

¿Cuáles fueron fáciles?: Máximos y mínimos locales de una función. ¿Por qué?: Se lo
logra de manera directa.

¿Qué aprendí hoy? : Identificar máximos y mínimos de una función.


Clase No 12


CONTENIDOS:
FUNCIONES MONOTONAS Y PRUEBA DE LA 1RA. DERIVADA:
 Función creciente y función decreciente: definición. Silva Laso, 1179, Smith,
225, Larson, 176
 Pruebas de las funciones monótonas.
 Prueba de la primera derivada para extremos locales.
CONCAVIDADES Y PUNTO DE INFLEXIÓN:
 Concavidades hacia arriba y concavidades hacia abajo: definición. Silva Laso,
1184, Smith, 232
 Prueba de concavidades.
 Punto de inflexión: definición.
 Prueba de la 2da. Derivada para extremos locales.
TRAZOS DE CURVAS:
 Información requerida para el trazado de curvas: dominio, coordenadas al
origen, punto de corte con los ejes, simetría y asíntotas.
 Información de la 1ra. y 2da. Derivada.
 Aplicar la información de la 1ra. y 2da derivada en el trazo de graficas.
COMPETENCIA GENERAL: Aplicación de la derivada.

Función creciente y decreciente

Una función es creciente en un intervalo , si para dos valores
cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Es creciente cuando los valores de Y van incrementándose o manteniéndose conforme
se incrementa X.
Es creciente cuando los valores de Y van decreciendo o manteniéndose conforme se
incrementa X.
Si una función tiene el valor de Y constante, entonces es constante, pero también entra
en la definición tanto de creciente como de decreciente.

Si la función sólo crece o sólo decrece (no tiene ningún tramo en que esté estable, sin
crecer ni decrecer), entonces se dice que es estrictamente creciente o estrictamente
decreciente, según el caso.
Definición:
Si al aumentar el valor de x el valor de su imagen ((x) también se incrementa, se
dice que la gráfica de la función crece y, por el contrario, cuando el valor x
aumenta disminuye ((x), decimos que la función decrece.
Simbólicamente podríamos definir:
( es creciente en un intervalo [a, b] ( (x1 (x2 ([a, b]: x1 ( x 2 ((x1) ( ((x2)
( es decreciente en un intervalo [a, b] ( (x1 (x2 ([a, b]: x1( x 2 ((x1) ( ((x2)
[pic]
Criterios para Crecimiento y Decrecimiento
Sea f una función de variable real continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en
el intervalo abierto (a, b).
i. Si [pic]para todo [pic]entonces f es creciente en [a, b].
ii. Si [pic]para todo [pic]entonces f es decreciente en [a, b].
iii. Si [pic]para todo [pic]entonces f es constante en [a, b].
Observación:
El crecimiento y el decrecimiento de una curva coincide con el signo de la primera
derivada. Así:
Donde [pic](derivada positiva), f(x) es creciente.
[pic](derivada negativa), f(x) es decreciente.
El teorema del subtema 5.1.2, permite clasificar los extremos relativos (máximos y
mínimos) de una función, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera derivada.

Concavidad y puntos de Inflexión de una curva.
Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en
los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos
de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio
en la concavidad de la curva.
Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones
de tipo intuitivo.
Considere la función f cuya gráfica aparece en la fig. Note en primer lugar que la
curva que f representa, tiene tangente en todos sus puntos


Se observa que en los puntos “cercanos” a x1, pero diferentes de x1, la curva se
encuentra por “debajo” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es
cóncava hacia abajo en el punto x1.
Igualmente se observa que en los puntos “cercanos” a x2, pero diferentes de x2,
la curva se encuentra por “encima” de la recta tangente. Se dice en este caso que la
curva es cóncava hacia arriba en el punto x2. El punto (c, f (c)) de la curva en el cual
la concavidad “cambia” se conoce con el nombre de punto de inflexión de la curva.
Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones:
Definiciones:
Sea f una función derivable en un punto c.
i. f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un
intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x
≠ c se cumple que:


f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c, si existe un intervalo
abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x
≠ c se cumple que:

'

Z x = f x − f c x−c − f c <
iii. f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de
I. iv. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión, si existe un intervalo
abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad en los su
intervalos: (a, c) y (c, b).
Se usará el símbolo: ∪, para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o
cóncava positiva. Igualmente, se emplea el símbolo ∩, para denotar que una curva
es cóncava hacia abajo o cóncava negativa.
El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración establece una condición
suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.

Datos interesantes discutidos hoy: Funciones crecientes y decreciente.
¿Qué cosas fueron difíciles?: Trazos de curva. ¿Por qué?: No logré entender.

¿Cuáles fueron fáciles?: Concavidades y puntos de inflexión. ¿Por qué?: Se los puede
detectar de manera muy rápida y directa.

¿Qué aprendí hoy? : Identificar máximos y mínimos en los puntos de inflexión y
concavidades.


Clase No 13


CONTENIDOS:
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.
 Problema de máximos y mínimos.
 Aplicar la información de la derivada en problemas de máximos y mínimos.
 Definición de problemas de optimización.

Problema de máximos y mínimos.

Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa
recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser la
longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea
máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja?.
Solución:
Sea x: longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas (fig.
4.25 (a)), donde 20ax≤≤.

Al doblar la parte de cartulina restante, se forma la caja abierta que aparece en
la fig. 4.25 (b).
Ahora, volumen de la caja = área de la base x altura. Esto es,

Puesto que V (x) (función a maximizar) es una función continua en el intervalo

entonces V (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho
intervalo.
Al derivar V (x) en (1) e igualar a cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto:


Para analizar la naturaleza de los puntos críticos, se usa el criterio de la segunda
derivada.

lo cual indica que x=a2 corresponde a un mínimo relativo. (Interprete
geométricamente el resultado).

Máximo relativo.

En consecuencia, el volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la
cartulina cuadrados de lado 6a y se obtiene de esta forma una caja cuyo volumen viene
dado por:

Datos interesantes discutidos hoy: Concavidades de las funciones.
¿Qué cosas fueron difíciles?: Nada. ¿Por qué?: Es continuación de la clase anterior.

¿Cuáles fueron fáciles?: Los puntos críticos. ¿Por qué?: Se los trabaja en la segunda
derivada.

¿Qué aprendí hoy? : Identificar máximos y mínimos relativos.


Clase No 14


CONTENIDOS
INTRODUCCIÓN DE CONOCIMIENTOS:
 Cálculo integral: definición.
 Diferenciales: definición.
 Integral indefinida: definición
 Modelos matemáticos de apoyo para integración inmediata.
 Definir y calcular anti derivadas.
 Definición y aplicación de modelos matemáticos de integración indefinida.

Cálculo integral: definición.

Esto, es lo que hemos estudiado en la parte del cálculo infinitesimal que denominan
como “Cálculo Diferencial”. Ahora nos centraremos en otra parte de este, que
denominan “Cálculo Integral”.
Encontrar una función f a partir de su derivada, involucra el hecho de encontrar toda
una familia de funciones cuya derivada puede ser f; estas funciones reciben el nombre
de anti derivadas, puesto que para encontrarlas es necesario llevar el proceso contrario
al de la derivación y este proceso se llama “integración”. En forma análoga podemos
concluir que el problema de esta es, que si tenemos la velocidad de un punto móvil,
podemos hallar su trayectoria o si tenemos la pendiente de una curva, en cada uno se
sus puntos, podemos calcular dicha curva. Esto es a groso modo la una pequeña
definición de integración, pero esta es indefinida, es decir, que mediante este proceso,
podemos encontrar toda la familia de funciones cuya derivada es nuestra función dada;
ahora, veremos de que se trata la integración definida y sus aplicaciones, que es el
motivo real de este trabajo

EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL
Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos
estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de
funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor
aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando
la variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la
mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia,
aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que
llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.
DEFINICION Y EJEMPLOS
Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta
tangente.

Considerando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f
en las cercanías del punto de tangencia PT, si le llamamos a la
variación de f cuando x varía de xo a xo + h y a la variación de la recta tangente en
el mismo rango de variación en x, podemos afirmar que para valores de h "cercanos" a
0, estas dos variaciones son muy parecidas, es decir, T

 Integral indefinida: definición
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas,
especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una
integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo
integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el
proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la
matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes
de regiones y sólidos de revolución.
Las aplicaciones de las series infinitas son muchas, pero mencionamos como lo más
importante para nosotros en este momentos, su uso en la solución de problemas
matemáticos que no pueden resolverse en términos de funciones elementales
(potencias, raíces, funciones trigonométricas y sus inversas, logaritmos y exponenciales
y combinaciones de estos), o en caso de que puedan resolverse, es muy complicado
trabajar con ellos. En estos casos encontramos una respuesta en función de una serie y
usamos los términos requeridos de acuerdo a la presición deseada. Las ecuaciones
diferenciales son resueltas en muchas ocasiones en función de series infinitas. Una
integral definida,
0.1
por ejemplo,
∫e−x
0
dx , para la cual no hay solución en términos de funciones
elementales, se puede resolver su expandiendo su integrando en una serie e integrando
término a
término dicha serie.

Datos interesantes discutidos hoy: Calculo Integral.
¿Qué cosas fueron difíciles?: Todo lo respectivo al cálculo integral. ¿Por qué?: La
explicación del docente fue muy rápida.

¿Cuáles fueron fáciles?: Los modelos matemáticos. ¿Por qué?: Se encuentran escritos
en una gigantografía dentro del curso.

¿Qué aprendí hoy? : Técnicas para identificar el modelo matemático que corresponde
a cada integral.


Clase No 15

FECHA: Martes, 31 de julio-jueves, 2 de agosto del 2012.

CONTENIDOS:
INTRODUCCIÓN DE CONOCIMIENTOS:
 Modelos matemáticos de apoyo para integración inmediata.

 Definir y calcular antiderivadas.
 Definición y aplicación de modelos matemáticos de integración indefinida.

Definición
La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir,
consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:
Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una
derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra
antiderivada de f(x).
La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa
de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o
diferencial de x y C es la constante de integración.
Notación
La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente:

Teorema
Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de
números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales,
entonces cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede escribir como

c constante real.
Fórmula que relaciona la integral definida y la indefinida

A la hora de resolver una antiderivada o integral indefinida se deben tener disponibles
los recursos aritméticos y heurísticos. Estos son:
 Concepto.
 Propiedades.
 Reglas de integración.
 Integrales inmediatas.
 Métodos clásicos de integración:
-Integración por sustitución.
-Integración por partes.
-Integración de fracciones racionales mediante fracciones simples.
 Uso de tablas.
 Integración de funciones trigonométricas sencillas.
 Integración de funciones racionales sencillas.

Datos interesantes discutidos hoy: Antiderivadas.
¿Qué cosas fueron difíciles?: Todo. ¿Por qué?: No logré comprender.

¿Cuáles fueron fáciles?: Ninguna. ¿Por qué?: Es avanzábamos muy rápido.

¿Qué aprendí hoy? : Que existen las antiderivadas.


Clase No 16

FECHA: Martes, 7 de agosto-jueves, 9 de agosto del 2012.

CONTENIDOS:
SUSTENTACIÓN DE PROYECTOS DE INVESTIGACIÓN.
 Tipo de proyecto.
 Nombre del aporte.
 Herramientas informáticas.
 Descripción.
 Objetivo de aprendizaje.
 Duración del proyecto.
 Requisitos.
 Recursos y materiales.
 Actividades del docente y del equipo.
 Criterios de evaluación.
 Fortalecer sus potenciales de conocimiento.
 Aportar sus experiencias.
 Solucionar problemas críticos.
 Vincular el equipo con la comunidad y la familia.
 Fortalecimiento con la praxis social Aplicación.

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