Refleksi adalah transformasi geometri yang memindahkan semua titik pada sebuah bangun geometri terhadap suatu garis tertentu, serta bayangannya kongruen dengan bangun semula. Terdapat beberapa jenis refleksi, yaitu refleksi terhadap sumbu koordinat, garis y=x, y=-x, dan garis x=k.

1. RANGKUMAN
Mata Kuliah
GEOMETRI TRANSFORMASI
DI SUSUN OLEH :
Nama : Indah
Wijayanti
NPM :
200813500172
Dosen : Huri Suhendri S.Pd
KELAS : O. MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS TEKNIK MATEMATIKA DAN IPA
UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI JAKARTA
Jl. Nangka No.58C Tanjung Barat (TB Simatupang)
Jagakarsa, Jakarta Selatan 12530
Februari 2010
DAFTAR ISI

2. Geometri Transformasi
LEMBAR JUDUL
DAFTAR ISI.......................................................................................................
BAB PEMBAHASAN
2.1 REFLEKSI..........................................................................................
2.2 TRANSLASI.......................................................................................
2.3 ROTASI..............................................................................................
2.4 DILATASI...........................................................................................
2.5 KOMPOSISI TRANSFORMASI........................................................
DAFTAR PUSTAKA...........................................................................................
1 REFLEKSI
Matematika
2

3. Geometri Transformasi
a. Pengertian Refleksi
Pada gambar 7.5, tampak bahwa
ABC
dicerminkan
sehingga
menjadi
terhadap
garis
g
A’B’C’.
Garis
g
dinamakan sumbu simetri atau garis
invarian (tetap).
Perhatikan gambar 7.5. Titiktitik A, B, dan C pada Δ ABC dicerminkan
menjadi titik-titik A’, B’, dan C’ dengan
arah tegak lurus terhadap garis g, dengan AF = FA’, BE = EB’ dan CD = DC’, sehingga
diperoleh bayangannya Δ A’B’C’ yang kongruen (sama bentuk dan ukuran) dengan ABC.
Pencerminan seperti ini, yang memindahkan semua titik pada sebuah bangun geometri
terhadap suatu garis tertentu, serta bayangannya kongruen dengan bangun semula
dinamakan refleksi.
Refleksi terhadap Sumbu X
Pada gambar 7.6 terlihat 4 buah titik
yang diketahui pasangan koordinatnya yaitu
titik-titik A (4,2), B (-2,4), C (-4,-2), dan D (2,4).
Kemudian kita tentukan bayangan dari
titik-titik A (4,2), B (-2,4), C (-4,-2) dan D (2,-4)
pada refleksi (pencerminan) terhadap sumbu X,
sehingga
diperoleh
hasil
sebagai
berikut.
Kemudian kita tentukan bayangan dari titik-titik
A (4,2), B (-2,4), C (-4,-2) dan D (2,-4) pada
refleksi
(pencerminan) terhadap
sumbu
X,
sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.
Matematika
3

4. Geometri Transformasi
Bayangan dari titik-titik A (4,2),
B (-2,4), C (-4,-2), dan D (2,-4) pada
refleksi (pencerminan) terhadap sumbu
X adalah A’(4,-2), B’(-2,-4), C’(-4,2),
dan
D’(2,4).
Dari
hasil
tersebut
diperoleh bahwa koordinat x dari titik
yang dicerminkan terhadap sumbu X
sama
dengan
koordinat
x
dari
bayangannya, sedangkan koordinat y
dari titik yang dicerminkan terhadap
sumbu X sama dengan negatif dari
koordinat y dari bayangannnya.
Kesimpulan :
Titik P (a,b) di refleksikan maka P’ (a,-b)
Refleksi kurva terhadap
y = - f (x)
Contoh
1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan
terhadap sumbu X.
Penyelesaian:
•
Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap sumbu X adalah P’(-2,-3).
•
Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap sumbu X adalah Q’(3,-3).
•
Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap sumbu X adalah R’(3,-6).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap
sumbu X adalah titik-titik P’(-2,-3), Q’(3,-3), dan R’(3,-6).
2. Tentukan bayangan garis 3x + y = 7 yang di cerminkan terhadap sumbu x!
Penyelesaian: Ingat : y’ = -f(x) ^ y = 7 – 3x
^ y’ = - (7-3x)
^ y’ = -7 + 3x
^ y’ = 3x - 7
sbjj
x
Jadi, bayangan garis 3x + y = 7 jjj yaitu y = 3x - 7
jj
jj
jj
jj
jk
jj
j
Matematika
4

5. Geometri Transformasi
Refleksi terhadap Sumbu Y
Pada gambar 7.8 terlihat 4 buah titik yang
diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titik-titik
A (2,4), B (-4,2), C (-2,-4), dan D (4,-2).
Kemudian kita tentukan bayangan dari
titik-titik A (2,4), B (-4,2), C (-2,-4) dan D (4,-2)
pada refleksi (pencerminan) terhadap sumbu Y,
sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.
Bayangan dari titik-titik A (2,4), B (-4,2),
C
(-2,-4),
dan
D
(4,-2)
pada
refleksi
(pencerminan) terhadap sumbu Y adalah A’(2,4), B’(-4,2), C’(-2,-4), dan D’(-4,-2). Dari hasil
tersebut diperoleh bahwa koordinat y dari titik
yang dicerminkan terhadap sumbu Y sama
dengan
sedangkan
koordinat
koordinat
y
dari
x
dari
bayangannnya,
titik
yang
dicerminkan terhadap sumbu Y sama dengan
negatif dari koordinat x dari bayangannnya.
Kesimpulan :
Titik P (a,b) di refleksikan maka P’ (-a,b)
Refleksi kurva terhadap y = f (-x)
Contoh
3. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan
terhadap sumbu Y.
Penyelesaian:
•
Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah P’(2,3).
•
Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah Q’(-3,3).
•
Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah R’(-3,6).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap
sumbu Y adalah titik-titik P’(2, 3), Q’(-3,3), dan R’(-3,6).
4.
Tentukan bayangan garis y =2x + 8 yang di cerminkan terhadap sumbu y!
Matematika
5

6. Geometri Transformasi
Penyelesaian: Ingat : y’ = f(- x) ^ y = 2x + 8
^ y’ = 2(-x) + 8
^ y’ = - 2x + 8
sb
Jadi, bayangan garis y = 2x + 8 jjy yaitu y = -2x + 8
jj
jj
jj
jj
jk
jj
jj
j
j
Refleksi terhadap Garis y=x
Pada gambar 7.10 terlihat 4 buah titik yang
diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titiktitik A (2,5), B (-4,2), C (-2,-5), dan D (4,-2).
Kemudian kita tentukan bayangan dari titiktitik A (2,5), B (-4,2), C (-2,-5) dan D (4,-2)
pada refleksi (pencerminan) terhadap garis y =
x, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.
Bayangan dari titik-titik A (2,5), B (-4,2), C (-2,-5),
dan D (4,-2) pada refleksi (pencerminan) terhadap
terhadap garis y = x adalah A’(5,2), B’(2,-4), C’(-2,
—5), dan D’(-2,4). Dari hasil tersebut diperoleh
bahwa
koordinat
dicerminkan
x
menjadi
pada
suatu
koordinat
titik
yang
y
pada
bayangannya, sedangkan koordinat y pada suatu
titik yang dicerminkan menjadi koordinat x pada
bayangannya.
Kesimpulan :
Titik P (a,b) di refleksikan thdp sumbu maka P’ (b,a)
Refleksi kurva terhadap garis x = f (y)
Contoh
Matematika
6

7. Geometri Transformasi
5. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan
terhadap garis y = x.
Penyelesaian:
•
Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah P’(3,-2).
•
Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah Q’(3,3).
•
Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah R’(6,3).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap garis
y = x adalah titik-titik P’(3, -2), Q’(3,3), dan R’(6,3).
6. Tentukan bayangan garis y =2x + 8 yang di cerminkan terhadap sumbu y=x!
Penyelesaian: Ingat : x’ = f(y) ^ y = 2x + 8
^ x’ = 2(y) + 8
^ x’ = 2y + 8
y=x
Jadi, bayangan garis y = 2x + 8 garis jjjjyaitu x = 2y + 8
jjj
jjj
jjj
jjj
jjj
jjj
jj
k
Refleksi terhadap Garis y = -x
Pada gambar 7.12 terlihat 4 buah titik yang diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titiktitik A (-1,4), B (-4,3), C (1,-4), dan D (4,3).
Kemudian kita tentukan bayangan dari titik-titik A
(-1,4), B (-4,3), C (1,-4) dan D (4,3) pada refleksi
(pencerminan) terhadap garis y = -x, sehingga
diperoleh hasil sebagai berikut.
Bayangan dari titik-titik A (-1,4), B (-4,3), C (1,-4),
dan D (4,3) pada refleksi (pencerminan) terhadap
terhadap garis y = x adalah A’(-4,1), B’(3,4), C’(4,1), dan D’(-3,-4).
Dari
hasil
koordinat
tersebut
x
pada
diperoleh
suatu
titik
bahwa
yang
dicerminkan menjadi negatif dari koordinat
Matematika
y
7

8. Geometri Transformasi
pada bayangannya, sedangkan koordinat y pada suatu titik yang dicerminkan menjadi
negatif dari koordinat x pada bayangannya.
Kesimpulan :
Titik P (a,b) di refleksikan thdp sumbu maka P’ (-b,-a)
Refleksi kurva terhadapa garis x = - f (-y)
Contoh
7. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan
terhadap garis y = -x.
Penyelesaian:
•
Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap garis y = -x adalah P’(-3,2).
•
Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah Q’(-3,-3).
•
Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah R’(-6,-3).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap garis
y = x adalah titik-titik P’(-3,2), Q’(-3,-3), dan R’(-6,-3).
8. Tentukan bayangan garis y =6x + 5 yang di cerminkan terhadap sumbu y=x!
Penyelesaian: Ingat : x’ = - f(-y) ^ y = 6x + 5
^ x’ = -(6(-y) + 5)
^ x’ = 6y - 5
Jadi, bayangan garis y = 6x + 5
y=x
garis jjjjyaitu x = 6y -5
jjj
jjj
jjj
jjj
jjj
jjj
jj
k
Refleksi terhadap Garis x = k
Matematika
8

9. Geometri Transformasi
Pada gambar 7.14 tampak sebuah titik P(a,b) yang direfleksikan (dicerminkan) terhadap
garis x = k sehingga bayangannya adalah P’(a’,b’).
Kemudian kita cari hubungan antara a, b, a’, b’, dan k, hasilnya adalah sebagai
berikut.
a’ = a + PP’
^ a’ = a + PP’
^ a’ = a + 2PQ
^ a’ = a + 2(k – a)
^ a’ = a + 2k – 2a
^ a’ = 2k – a
Selanjutnya, dari gambar 7.14 tampak jelas bahwa b’ = b, sehingga titik P(a,b) berturutturut diganti oleh 2k–a dan b. Maka, koordinat titik P’(a’,b’) menjadi P’(2k–a,b).
Kesimpulan :
Titik P (a,b) di refleksikan thdp sumbu maka P’ (2k-a, b)
Refleksi kurva terhadap garis y = f (2k – x)
Contoh
9. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan
terhadap garis x = 5.
Penyelesaian:
•
Bayangan dari P (-2,3) - garis x = 5 maka P’(2(5)-(-2),3) = P’(12,3).
•
Bayangan dari Q (3,3) - garis x = 5 maka Q’(2(5)-3,3) = Q’(7,3).
•
Bayangan dari R (3,6) - garis x = 5 maka R’(2(5)-3,6) = R’(7,6).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap garis
x = 5 adalah titik-titik P’(12,3), Q’(7,3), dan R’(7,6).
Refleksi terhadap Garis y = k
Matematika
9

10. Geometri Transformasi
Pada gambar 7.15 terlihat sebuah titik P(a,b)
yang
direfleksikan
(dicerminkan)
terhadap
garis y = k sehingga bayangannya adalah
P’(a’,b’).
Kemudian kita cari hubungan antara a, b, a’,
b’, dan k, hasilnya adalah sebagai berikut.
^ b’ = b + PP’
b’ = b + PP’
^ b’ = b + 2PQ
^ b’ = b + 2(k – b)
^
= b + 2k – 2b
b’
^
b’
= 2k – b
Selanjutnya, dari gambar 7.15 tampak jelas bahwa a’ = a, sehingga titik P(a,b) berturutturut diganti oleh a dan 2k-b.Oleh karena itu,koordinat titik P’(a’,b’) menjadi P’(a,2k-b).
Kesimpulan :
Titik P (a,b) di refleksikan thdp sumbu maka P’ (a, 2k-b)
Refleksi kurva terhadap garis y = 2k – f(x)
Contoh
10. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan
terhadap garis y = 3.
Penyelesaian:
•
Bayangan dari P (-2,3) -- garis y = 4 adalah P’ (-2,2(4)-3) = P’ (-2,5).
•
Bayangan dari Q (3,3) -- garis y = 4 adalah Q’ (3,2(4)-3) = Q’(3,5).
•
Bayangan dari R(3,6) -- garis y = 4 adalah R’(3,2(4)-6) = R’(3,2).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap garis
y = 4 adalah titik-titik P’(-2,5), Q’(3,5), dan R’(3,2).
Matematika
10

11. Geometri Transformasi
No
Jenis Transformasi
Matriks
d
Refleksi
1
1 0
0 @1
My=0
Terhadap sumbu x
Bayangan titik
e
d
2
@1 0
0 1
Mx=0
Terhadap sumbu y
d
3
Terhadap garis y=x
0 1
1 0
My=x
Terhadap garis y=-x
e
A(x,y) ^ A’ (- x,y)
e
d
4
A(x,y) ^ A’ (x,-y)
0 @1
@1 0
My=-x
e
A(x,y) ^ A’ (y,x)
A(x,y) ^ A’ (-y,- x)
Contoh
11. Tentukan bayangan titik (3,-5), jika di cerminkan terhadap garis y=-x!
f
Penyelesaian :
x.
y.
d
g
0 @1
@1 0
= My=-x
g d
f
x.
y.
0 @1
=
@1 0
ed e
ed
3
@5
x
y
e
d
=
5
@3
e
12. Tentukan bayangan kurva y=x2,jika di cerminkan terhadap garis y=x!
f
d
g
x.
0 1
Penyelesaian : y. = My=x
1 0
d
0 1
=
1 0
f
x.
y.
ed e
x
y
ed e
x
y
d e
g
y
x
=
sehingga di dapat, x = y’ dan y = x’. Substitusikan ke persamaan kurva y=x 2 ,
maka diperoleh ^ y = x2
^ x’ = y’2
ww
ww
ww
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
^ y’ = ± px . Jadi, bayangan kurva tersebut adalah y = ± p x
13. Persamaan garis 3x + y – 2 = 0 dicerminkan terhadap garis y=-x. tentukan persamaan
bayangannya!
d
Penyelesaian : My=-x
e
0 @1
, maka T-1 =
@1 0
d
1
d
det 0 @1
@1 0
e
1
0 1
=- 1
e1 0
d
e d
0 1
0 @1
=
1 0
@1 0
e
Misalkan titik (x,y) terketak pada garis 3x + y – 2=0, maka bayangan titik (x’,y’) adalah:
Matematika
11

12. Geometri Transformasi
f
x.
y.
g
d e
y
= T x , kemudian masing-masing di kali dengan T-1
Subsitusikan x = -y’ dan y = -x’ ke pesamaan :
d e
f g
y
x.
-1
^ 3x + y – 2=0
^ T-1
y. = T T x
^ 3(-y’) + (-x’) – 2=0
d
ef g d e
y
x.
^ - 3y’ – x’ -2 = 0
^ 0 @1
y. = x
@1 0
^ x’ + 3y’ + 2 = 0
d e
f
g
y
@y.
^
= x ^ x = -y’ dan y = -x’ Sehingga, persamaan bayangan kurvanya
@x .
menjadi:
x + 3y + 2 = 0
14. Tentukan persamaan bayangan dari lingkaran x 2+ y2 + 4x – 6y – 3 = 0 oleh transformasi
d
e
0 1
yang bersesuaian dengan matrix
!
@1 0
Penyelesaian:
d
e
0 1
Cara I : Diketahui matrik T
,
@1 0
d
invers matrix T
-1
=
d
1
det 0 1
@1 0
e
d
e d
1f 0 @1
0 @1
f
=
=
0
1 1 0
e1
0 @1
1 0
e
Misalkan titik (x,y) terketak pada garis x2+ y2+4x–6y–3= 0,maka bayangan titik (x’,y’)
f
x.
y.
g
d e
y
= T x , kemudian masing-masing di kali dengan T-1
Subsitusikan x = -y’ dan y = x’ ke pesamaan :
d e
f g
y
x.
^ x2+ y2+4x–6y–3= 0
^ T-1
= T-1 T x
y.
^ (-y’)2+ (x’)2+4(-y’)–6(x’)–3= 0
d
ef g d e
y
x.
^ y’2 + x’2 - 4y’ – 6x’–3= 0
^ 0 @1
= x
y.
1 0
^ x’2 + y’2 - 6x’- 4y’- 3 = 0
d e
f
g
y
@y.
^
= x ^ x = -y’ dan y = x’ Sehingga, persamaan bayangan kurvanya
x.
menjadi: x2 + y2 - 6x- 4y- 3 = 0
adalah:
Matematika
12

13. Geometri Transformasi
2 TRANSLASI
a.
Pengertian Translasi
Pada gambar 7.1, tampak bahwa Δ ABC digeser sepanjang garis lurus dengan arah
dan jarak tertentu sedemikian hingga menjadi Δ A’B’C’. Pada pergeseran tersebut, Δ
A’B’C’ merupakan bayangan dari Δ ABC. Pergeseran yang memindahkan Δ ABC menjadi
jjj
jj
jj
jj
jj
jk
jj
jj
j
jj
jj
jj
jk
jj
jj
jj
j
j
jjj
jj
jj
jj
jj
jk
jj
jj
j
Δ A’B’C’ dapat diwakili oleh ruas garis-ruas garis berarah AA. atau BB. atau CC. .
Perhatikan gambar 7.1, tampak bahwa AA’
= BB’ = CC’ sehingga Δ A’B’C’ kongruen (sama
bentuk dan ukuran) dengan Δ ABC. Pergeseran
seperti ini, yang memindahkan semua titik pada
sebuah bangun geometri sepanjang garis lurus
dengan
arah
dan
jarak
tertentu,
serta
bayangannya kongruen dengan bangun semula
dinamakan translasi.
b.
Notasi dengan Pasangan Bilangan
DE
Suatu translasi dapat dinyatakan dengan menggunakan suatu pasangan bilangan
a
dengan a mewakili pergeseran arah horisontal dan b mewakilipergeseran arah
b
vertikal.
jjj
jj
jj
jj
jj
jk
jj
jj
j
Pada gambar 7.2, tampak bahwa ruas garis berarah AA. memperlihatkan sebuah
translasi yang memindahkan titik A ke titik A’.
Pergeseran titik A ke titik A’ dilakukan dengan
cara menggeser 5 satuan ke kanan dilanjutkan 3
satuan
ke
atas.
Translasi
dinyatakan dalam bentuk
jjj
jj
jj
jj
jj
jk
jj
jj
j
ditulis: AA.
DE
DE
jjj
jj
jj
jj
jj
jk
jj
jj
j
AA.
tersebut
5
atau secara singkat
3
5
.
3
Translasi berarti :
menggeser “a” satuan ke kanan (jika a > 0) atau a satuan ke kiri (jika a < 0)
menggeser “b” satuan ke atas (jika b > 0) atau b satuan ke bawah (jika b< 0).
Komponen a disebut komponen mendatar (absis) dan b disebut komponen
Matematika
vertical(ordinat)
13

14. Geometri Transformasi
c.
Menentukan Bayangan Titik oleh Translasi Tertentu
Pada gambar 7.3 tampak sebuah titik
DE
P(x,y) yang ditranslasikan oleh T =
a
b
sehingga bayangannya adalah P’(x’,y’).
Kemudian kita cari hubungan antara x,
y, x’, y’, a, dan b, hasilnya adalah sebagai berikut : ^ x’ = x + a
^ y’ = y + b
Sehingga titik P(x,y) berturut-turut diganti oleh x + a dan y + b. Oleh karena itu,
koordinat titik P’(x’,y’) menjadi P’(x + a,y + b).
Kesimpulan :
Pada tranlasi T = , bayangan titik P(x,y) adalah P’(x + a,y + b).
TRANSLASI KURVA
Jika kurva y = f (x) di tranlasi oleh T = , maka
bayangan kurva tersebut y – b = f (x – a)
Contoh
Matematika
14

15. Geometri Transformasi
D
@2
3
1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3) dan R(3,6) oleh translasi T
Penyelesaian:
•
E
D
•
E
D
•
D
E
@2
adalah P(-2+(-2),3+3) = P’(-4,6).
3
Bayangan P(-2,3) oleh translasi T =
Bayangan Q(3,3) oleh translasi T =
Bayangan R(3,6) oleh translasi T =
E
@2
adalah P(3+(-2),3+3) = Q’(1,6).
3
@2
adalah P(3+(-2),6+3) = R’(1,9).
3
D
E
@2
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) oleh translasi T =
adalah titik-titik
3
P’(-4,6), Q’(1,6), dan R’(1,9).
d e
a
b
2. Koordinat bayangan titik A (7,4) oleh Translasi T =
translasi T.
adalah A’ (1,9). Tentukan
d e
a
Penyelesaian : T = b ; A (7,4) Q A’ (7+a, 4+b) = A’ (1,9)
Sehingga, 7 + a = 1 ^ a = -6
4+b=9 ^b=5
d e d
e
a
@6
Jadi, translasi T = b =
5
d e
3. Koordinat bayangan titik M (-5,-4) oleh translasi T =
a
b adalah M’ (-4,-6). Tentukan
koordinat bayangan titik N (2,-7) oleh translasi T!
d e
a
Penyelesaian : T = b : M (-5,- 4) Q M’ (-5+a, - 4+b) = M’ (-4,-6)
Sehingga, -5 + a = -4 ^ a = 1
- 4 + b = -6 ^ b = -2
d e
d
e
a
1
Jadi, translasi T = b =
@2
d
4. Tentukanlah bayangan dari kurva 3x ― 5y + 7 = 0 jika di translasi oleh T =
@2
@5
e
Penyelesaian : Ingat : bayangan dari translasi kurva Q y – b = f (x – a)
Maka, 3 (x-(-2)) – 5 (y-(-5)) +7 = 0 ^ 3x + 6 ― 5y ― 25 +7 = 0
^ 3x ― 5y ― 12 = 0
2
5. Tentukan persamaan bayangan kurva y=2x oleh translasi T =
Matematika
d e
3
2
15

16. Geometri Transformasi
f
Penyelesaian:
x.
y.
d e
g
d e
x
y
=
f
x.
= y.
d e
x
y
d e
x
a
y + b
g d e
-
f
=
x . @3
y. @2
3
2
dari tranlasi di samping diperoleh
^
^
g
x = x’ – 3 …………1
y = y’ – 2 …………2
Substitusikan persamaan 1 dan 2 ke y = 2x2 maka :
^ y = 2x2
^ y’-2 = 2 (x’ – 3)2
^ y’ = 2 (x’2- 6x’ + 9) + 2
^ y’ = 2x’2 – 12x’ + 20
2
Jadi, bayangan kurva y = 2x oleh translasi T =
d e
3
adalah y = 2x2 – 12x + 20
2
d
6. Tentukan bayangan garis y = 2x + 4 oleh translasi T =
@1
2
e
Penyelesaian : Ingat : bayangan dari translasi kurva Q y – b = f (x – a)
Maka, y – 2 = 2 (x–(-1)) + 4 ^ y – 2 = 2x+2+4
^ y = 2x+8
3
a.
ROTASI
Pengertian Rotasi
Matematika
16

17. Geometri Transformasi
Pada gambar 7.16, tampak bahwa Δ ABC diputar menjadi Δ A’B’C’. Setiap titik
pada Δ ABC diputar dalam arah yang sama,
dengan besar sudut rotasi q pada suatu titik O
yang
meyebabkan
kedudukan
segitiga
berubah.
Ukuran-ukuran sisi serta sudut segitiga
tetap, sehingga Δ A’B’C’ kongruen (sama
bentuk
dan
ukuran)
dengan
Δ
ABC.
Perputaran seperti ini, yang memindahkan
semua titik pada bangun geometri yang
masing-masing
lingkaran
yang
bergerak
sepanjang
pusatnya
adalah
busur
pusat
perputaran sebesar suatu sudut tertentu dinamakan rotasi.
Rotasi ditentukan oleh tiga hal, yaitu titik pusat, besar sudut, dan arah sudut rotasi.
Suatu rotasi dikatakan memiliki arah positif, jika rotasi itu berlawanan arah dengan arah
putaran jarum jam. Sedangkan rotasi dikatakan memiliki arah negatif, jika rotasi itu searah
dengan arah putaran jarum jam.
Rotasi Titik Pusat O (0,0) Sebesar 90º
Pada gambar 7.17 terlihat 2 buah titik yang
diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titik-titik
A (2,3) dan B (-2,-4).
Dari gambar yang tampak di atas diperoleh bahwa
bayangan dari titik A(2,3) dan B(-2,-4) pada rotasi
sebesar 90º searah jarum jam masing-masing
adalah A’(3,2) dan B’(-4,-2).
Kesimpulan :
Bayangan titik P (a,b) pada Rotasi
adalah P’ (b,-a)
Contoh
1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadap
titik pusat O(0,0) sebesar 90º searah jarum jam?
Penyelesaian:
Matematika
17

18. Geometri Transformasi
B
C
Ingat : P (a,b) 0,90 ° maka P’ (b,-a)
jjjk
jjjj
jjjj
jjjj
jjj
jjj
jjj
jjj
j
•
Bayangan titik P (2,3) adalah P’(3,2).
•
Bayangan titik Q (3,3) adalah Q’(3,-3).
•
Bayangan titik R (3,6) adalah R’(6,-3).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadap titik pusat
O(0,0) sebesar 90º searah jarum jam adalah titik-titik P’(3,-2), Q’(3,-3), dan R’(6,-3).
Rotasi Titik Pusat O (0,0) Sebesar -90º
Pada gambar 7.18 terlihat 2 buah titik yang diketahui
pasangan koordinatnya, yaitu titik-titik A (2,-4) dan B (3, 4).
Dari gambar yang tampak di atas diperoleh bahwa
bayangan dari titik A(2,-4) dan B(-3,4) pada rotasi
sebesar 90º berlawanan dengan arah jarum jam [0,90º masing-masing adalah A’(4,2) dan B’(-4,-3).
Kesimpulan :
Bayangan titik P (a,b) pada Rotasi adalah P’ (-b,a)
Contoh
1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadap
titik pusat O(0,0) sebesar 90º berlawanan arah jarum jam?
Penyelesaian:
B
C
Ingat : P (a,b) 0, @90 ° maka P’ (-b,a)
jjjjj
jjjjj
jjjjj
jjjjj
jjjjk
jjjjj
jjjjj
jjjjj
j
•
Bayangan titik P (-2,3) adalah P’(-3,-2).
•
Bayangan titik Q (3,3) adalah Q’(-3,3).
•
Bayangan titik R (3,6) adalah R’(-6,3).
B
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi
C
0, @90 ° adalah
jjjjj
jjjjj
jjjjj
jjjjj
jjjjk
jjjjj
jjjjj
jjjjj
j
titik-titik P’(-3,-2), Q’(-3,3), dan R’(-6,3).
Matematika
18

19. Geometri Transformasi
Rotasi Titik Pusat O (0,0) Sebesar 180º dan -180º
Pada gambar 7.19 terlihat sebuah titik yang
diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titiktitik A (4,-2).
Dari gambar yang tampak di atas diperoleh
bahwa bayangan dari titik A(4,-2) pada rotasi
sebesar 180º searah atau berlawanan dengan
arah jarum jam adalah A’(-4,2).
Kesimpulan :
Bayangan titik P (a,b) pada Rotasi dan adalah P’ (-a,-b)
Contoh
B
1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi 0,180 °
Penyelesaian:
C
jjjjj
jjjj
jjjj
jjjj
jjjj
jjjk
jjjj
jjjj
j
B
C
Ingat : bahwa titik P (a,b) di Rotasi 0,180 ° maka P’ (-a,-b)
jjjjj
jjjj
jjjj
jjjj
jjjj
jjjk
jjjj
jjjj
j
•
Bayangan titik P (-2,3) adalah P’(2,-3).
•
Bayangan titik Q (3,3) adalah Q’(-3,-3).
•
Bayangan titik R (3,6) adalah R’(-3,-6).
B
C
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3) dan R(3,6) pada rotasi 0,180 ° P’(2,-3), Q’(3,-3), dan R’(-3,-6).
jjjjj
jjjj
jjjj
jjjj
jjjj
jjjk
jjjj
jjjj
j
Rotasi Titik Pusat O (0,0) Sebesar 270º
Pada gambar 7.20 terlihat sebuah titik yang
diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titik-titik A
(4,-2).
Matematika
19

20. Geometri Transformasi
Dari gambar yang tampak di atas diperoleh bahwa bayangan dari titik A(3,5) pada rotasi
sebesar 270º adalah A’(-5,3).
Kesimpulan :
Bayangan titik P (a,b) pada Rotasi adalah P’ (-b,a)
Contoh
1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadap
titik pusat O(0,0) sebesar 2700 searah arah jarum jam.
Penyelesaian:
B
C
Ingat : Titik P (a,b) di Rotasi 0,270 ° maka P’ (jjjjj
jjjj
jjjj
jjjj
jjjj
jjjk
jjjj
jjjj
j
b,a)
•
Bayangan titik P(-2,3) adalah P’(-3, 2).
•
Bayangan titik Q(3,3) adalah Q’(-3,3).
•
Bayangan titik R(3,6) adalah R’(-6,3).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan
B
C
R(3,6) pada rotasi 0,270 ° adalah titik-titik P’(jjjjj
jjjj
jjjj
jjjj
jjjj
jjjk
jjjj
jjjj
j
3,2), Q’(-3,3) dan R’(-6,3).
Rotasi Titik Pusat O (0,0) Sebesar - 270º
Pada gambar 7.21 terlihat sebuah titik yang diketahui pasangan koordinatnya,
yaitu titik-titik A (4,3).
Dari gambar yang tampak di atas diperoleh bahwa bayangan dari titik A(4,3) pada
rotasi sebesar 2700 berlawanan dengan arah jarum jam adalah A’(3,-4).
Kesimpulan :
Bayangan titik P (a,b) pada Rotasi adalah P’ (b,-a)
Matematika
20

21. Geometri Transformasi
MATRIX TRANSFORMASI ROTASI
1. R90º =
3. R270º =
2. R180º =
4. R-90º =
Rotasi yang berpusat di titik O(0,0) dengan sudut pusat sebesar θ
Perhatikan gambar di samping, koordinat titik P(x,y) dapat
dinyatakan oleh :
x = r cos α dan y = r sin α
Y
Karena rotasi tersebut, bayangan titik P adalah titik P’
(x’,y’) yang dapat di nyatakan sebagai berikut:
x’ = r cos (α+ θ) dan y’ = r sin (α+ θ)
P’ (x’,y’)
r
P (x,y)
θ
Gunakan rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut,
x’ = r cos (α+ θ)
= r cos α cos θ – r sin α sin θ
= x cos θ – y sin θ
x’= x cos θ – y sin θ
r
α
x
O
y’ = r sin (α+ θ)
= r sin α cos θ – r cos α sin θ
= y cos θ – x sin θ
y’= y cos θ – x sin θ
Dalam persamaan matrix maka dapat di simpulkan bahwa bayangan titik P(x,y) oleh
rotasi titik asal O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ dapat di nyatakan:
=
Untuk Rθ titik A(x,y) dengan pusat P (a,b)
=
+
Contoh
1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadap
titik pusat O(0,0) sebesar 2700 berlawanan dengan arah jarum jam.
Penyelesaian:
B
C
Ingat : Titik P (a,b) di Rotasi 0, @270 ° maka P’ (b,-a)
jjjjjj
jjjjjk
jjjjjj
jjjjjj
jjjjjj
jjjjj
jjjjj
jjjjj
j
•
Bayangan titik P(-2,3) adalah P’(3, 2).
•
Bayangan titik Q(3,3) adalah Q’(3,-3).
Matematika
21

22. Geometri Transformasi
•
Bayangan titik R(3,6) adalah R’(6,-3).
B
C
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi 0, @270 ° adalah
jjjjjj
jjjjjk
jjjjjj
jjjjjj
jjjjjj
jjjjj
jjjjj
jjjjj
j
titik-titik P’(3,2), Q’(3,-3), dan R’(6,-3).
2. Tentukan bayangan titik A(4,-5) oleh rotasi terhadap titik asal O(0,0) sebesar 90º!
f g
d e
x
x.
Penyelesaian :
= R90º y
y.
d
0 @1
=
1
0
ed
e
d e
4
=
@5
5
4
3. Tentukan bayangan titik A(2,-2) oleh rotasi titik asal O(0,0) sebesar 45º!
f g
d e
x
x.
Penyelesaian :
= R45º y
y.
d
cos 45 ° @sin 45 °
=
sin 45 °
cos 45 °
h
e d
2
@2
i
w
w
w
w
1fw
1fw
fw
fw
fw
fw
l p2 @ p2 m
l2
m
2
m
=l w
l w
w
w
j1f w
1fw m
fw
fw
fw k
fw
p2
p2
2
2
d
2
@2
e
e
=
w
w
w
w
w
f wg
2 p2
0
w
w
w
w
w
w
Jadi, rotasi bayangan titik A(2,-2) adalah A’ (2 p2 , 0)
4. Tentukan bayangan garis x + 2y = 4, jika di rotasikan dengan pusat O(0,0) dan R -90º
f g
d e
x
x.
Penyelesaian :
= R-90º y
y.
f
x.
y.
d
g
0 1
=
@1 0
d
=
y
@x
e
ed e
x
y
, maka x’ = y ^ y = x’
y’ = -x ^ x = -y
Subsitusikan nilai tersebut ke persamaan garis x + 2y = 4, di peroleh
- y’ + 2x’ = 4
2x’ – y’ = 4
Jadi, bayangan garis x + 2y = 4 oleh R-90º adalah 2x – y = 4
5. Tentukan bayangan titik A(4,6) oleh R90º dengan pusat titik P (3,-2)!
Penyelesaian :
Matematika
22

23. Geometri Transformasi
d
Pusat rotasi di translasikan sehingga berpindah ke titik asal dengan T=
e
@3
, akibatnya
2
titik A(4,6) juga ikut bergeser menjadi A’(1,8).Titik inilah yang selanjutnya R 90º di titik
f
(0,0), maka :
x.
y.
f
g
= R90º
d
x.
y.
0 @1
=
1
0
g
ed e
1
=
8
d
@8
1
e
Jadi, titik A’(1,8) berpindah menjadi titik A”(-8,1). Selanjutnya titik A”(-8,1) di
d
translasikan lagi dengan lawan translasi menjadi T1 yaitu T2 =
@3
2
e
yang menghasilkan
titik A’”(-5,1). Maka bayangan titik A(4,6) oleh R90º adalah titik A’”(-5,-1)
1f
f
f
π rad searah jarum jam
3
6. Tentukan matrik yang bersesuaian dengan rotasi sebesar
terhadap O !
Penyelesaian : rotasi sebesar
1f
1f
f
f
f
π searah jarum jam, artinya θ = — f , maka
π
3
3
h
i
h
1f
πf
πf
f
f
f
f
f
f
f
f
d
e lcos @ f @sin @ f m l
l 2
l
3
3 m l
cos θ @sin θ
m
=l
j
πf
πf = l 1fw
w
w
w
f
f
f
f
fk j f w
f
f
f
sin θ
cos θ
p
sin @
cos @
@ f3
3
3
2
h
1f
f
f
l
l 2
1f
f
f
Jadi, matrik rotasi π searah jarum jam yaitul
l
w
w
w
j 1fw
3
fw
p
@f 3
2
i
i
w
w
1fw
fw
fw
p3 m
2 m
m
1f m
f k
f
2
w
w
1fw
fw
fw
p3 m
2 m
m
1f m
f k
f
2
4 DILATASI
1.
Pengertian Dilatasi
Pada gambar 7.22, tampak bahwa
Δ
ABC dari titik O diperkecil menjadi Δ
Matematika
23

24. Geometri Transformasi
A’B’C’, dengan panjang sisi dan luas ABC diperkecil, sedangkan ukuran-ukuran sudut dan
bentuk Δ ABC tidak berubah. Sehingga diperoleh Δ A’B’C’ dan Δ A’’B’’C’’ masing-masing
sebangun (sama bentuk dan ukuran sudut) dengan Δ ABC.
Dilatasi merupakan transformasi yang megubah ukuran objek (memperbesar atau
memperkecil),akan tetapi tidak mengubah bentuknya. Dalam suatu dilatasi harus di
tetapkan pusat dilatasi dan faktor dilatasi atau faktor skala. Dilatasi yang berpuast di
titik asal O (0,0) dan titik sembarang P (x,y) masing-masing memiliki faktor skala k yang
di notasikan berturut-turut dengan [O, k] dan [P, k].
Secara umum, bayangan objek dengan dilatasi [O,k] dapat dinyatakan sebagai
berikut :
Jika k > 1 bayangan di perbesar dan letaknya searah terhadap pusat dilatasi O
dan objek
Jika 0 <
k < 1 bayangan di perkecil dan letaknya searah terhadap pusat
dilatasi O dan objek
Jika k < -1 bayangan di perbesar dan letaknya berlawanan arah terhadap
pusat dilatasi O dan objek
Jika -1 < k < 0 bayangan di perkecil dan letaknya berlawanan arah terhadap
pusat dilatasi O dan objek.
2. Dilatasi terhadap titik Pusat O (0,0)
Koordinat bayangan titik A (3,1)
oleh dilatasi [O,2] adalah titik A’ (6,2).
Perhatikan gambar
K
y
Adapaun koordinat bayangan titik B (4,2)
F
G
1f
f
f
oleh dilatasi O, @ adalah titik B’ (-2,2
1). Secara umum, koordinat bayangan
B (4,2)
A’ (6,2)
hasil dilatasi dinyatakan sebagai berikut :
A (3,1)
0
B’(-2,-1)
Matematika
x
Titik P (x,y) maka P’ ( kx, ky)
x’ = k x
y’ = k y
24

25. Geometri Transformasi
Gambar 7.23. Bayangan titik A (3,1) oleh dilatasi [O,2] dan
F
G
1f
f
f
2
bayangan titik B (4,2) oleh dilatasi O, @
3. Dilatasi terhadap titik Pusat P (a,b)
x’ = a + k (x – a)
y’ = b + k (y – b)
Jika titik A (x,y) di dilatasi terhadap titik pusat P (a,b)
dengan faktor skala k maka di dapat bayangan titik A’ (x’,y’)
yaitu :
4. Dilatasi pada kurva dengan [O,k]
y = f(x) y’ = k f
5. Matriks Transformasi Dilatasi
Bahwa bayangan Dilatasi terhadap O dengan faktor skala k, yang di tulis [O,k] adalah:
x’ = k x Q x’ = kx + 0.y
y’ = k y Q y’ = 0.y + ky
f
x.
Persamaan linier di atas dapat di tulis dengan persamaan matriks ^ y.
d
k
Jadi, matriks transformasi dilatasi [O,k] yaitu :
0
0
k
g d
e
k
=
0
0
k
ed e
x
y
Contoh
1. Titik sudut suatu persegi adalah A(1,3) B(4,3) C(4,6) dan D(1,6). Tentukanlah bayangan
dari titik-titik sudut tersebut oleh dilatasi [O,2] dan Gambarlah!
Penyelesaian :
D’
y
12
A (1,3) O,2 A’ ( 2x1, 2x3) = A’(2,6)
jjj
jjj
jjC
jj
jj
jj
jj
j
Bjk
A’
6
4
Matematika
2
Secara singkar dilatasi [O,k], di tulis :
B C
(x,y) O,k (kx,ky) sehingga
jjj C
jBj
jj
jj
jj
jj
jj
jj
j
k
D
10
8
C’
B (4,3) O,2 B’ (8,6)
jjj
jjj
jjC
jj
jj
jj
jk
j
Bjj
C (4,6) O,2 C’ (8,12)
jjj
jjj
jjC
jj
jj
jj
jk
j
Bjj
D (1,6) O,2 D’ (2,12)
jjj
jjj
jj
jj
jj
jj
jk
jj
j
25

26. Geometri Transformasi
C
A
B’
B
2
4
6
x
8
2. Titik P’ (6,-3) adalah bayangan titik P oleh dilatasi [O,
1f
f
f
]. Tentukan titik P!
3
Penyelesaian : Misal P (a,b) maka,
F 1f
G
f
f
f f
f
O, f P’ ( 1f 1f = P’ ( 6,-3)
P (a,b)
a, b)
3
3
3
jjj
jjj
jjj
jjj
jjj
jjj
jj
jj
k
1f
f
f
1f
f
f
a = 6 ^ a = 18 dan b = -3 ^ b = -9
3
3
Jadi, koordinat P adalah (18,-9)
Sehingga,
3. Carilah bayangan Titik A (2,-4) oleh dilatasi [O,3] !
d
e d
e
k 0
3 0
Penyelesaian : matrix dilatasi [O,k] =
=
maka,
0 k
0 3
f
g d
f
g
x.
y.
x.
y.
3
=
0
0
3
ed
d
6
@12
=
2
@4
e
e
Jadi, bayangan titik A’ yaitu (6,-12)
4. Tentukan koordinat bayangan titik A (5,7) dan B(3,6) oleh dilatasi terhadap titik
P (8,5) dengan factor skala = 4!
Penyelesaian : Ingat : x’ = a + k (x – a) dan y’ = b + k (y – b)
D c E
b
Maka, A (5,7)
8,5 ,4 A’ [8 + 4(5-8), 5 + 4(7-5)] ^ A’ (-4,13)
jjjjj
jjjjj
jjjjj
jjjj
jjjj
jjjj
jjjj
jjjk
j
D c E
b
B (3,6)
8,5 ,4 B’ [8 + 4(3-8), 5 + 4(6-5)] ^ B’ (-12,9)
jjjjj
jjjjj
jjjjj
jjjj
jjjj
jjjj
jjjj
jjjk
j
Jadi, bayangan titik A’ (-4,13) dan B’ (-12,9)
5. Tentukan bayangan titik A (-2,5) oleh dilatasi pusat (1,-1) dan faktor skala=2
f
x.
Penyelesaian: y.
Matematika
g
d
k
=
0
0
k
ed
e
x @a
y @b +
d e
a
b
26

27. Geometri Transformasi
f
g
f
g
f
g
x.
y.
x.
y.
x.
y.
f
x.
y.
d
2
=
0
0
2
2
=
0
0
2
d
d
ef
g
@2`@1 a
5 @ @1 +
ed
e d
@3
1
+
6
@1
e d
@6
1
+
12
@1
=
d
g
@5
11
=
d
e
1
@1
e
e
e
6. Tentukan bayangan kurva y=x2 oleh dilatasi [O,-2]!
f
g d
f
g
x.
Penyelesaian : y.
x.
y.
@2 0
=
0 @2
f
=
@2x
@2y
ed e
x
y
g
Sehingga di peroleh ,
1f
f
f
x’ = -2x ^ x = @ x’
2
1f
f
f
y’ = -2y ^ y = @ y’
2
Substitusikan nilai tersebut pada y= x2 dan diperoleh :
^
y = x2
1f
f
^ @ fy’ =
2
1f
f
^ @ fy’ =
2
^ y’ =
2
F 1f G
f
f
@ x.
2
1f 2
f
f
f
x.
4
Jadi, bayangan kurva y= x2 berubah menjadi y’ =
1f 2
f
@f
x.
2
1f 2
f
@f
x.
2
7. Tentukan peta darikurva y= x2 +2 jika dilatasi oleh [O,2]
B C
f g
f
f
f
O,k y’ = k f 1f sehingga
x
Penyelesaian : Ingat : y = f(x)
k
jjj
jjj
jj
jj
jj
jj
jj
jj
k
B
C
^ y= x2 +2 O,2 ^ y =
jjj
jjj
jj
jj
jj
jj
jk
jj
j
5
H
I
2
f g
f
f
L 1f
M
2 J x + 2K ^
2
y=
1f 2
f
f
x +4
2
KOMPOSISI
TRANSFORMASI
Komposisi Transformasi adalah transformasi yang di gunakan secara
berurutan. Suatu transformasi di lanjutkan T 1 yang dilanjutkan dengan
transformasi T2 di tulis dengan T2 ◦ T1. Karena transformasi juga merupakan
suatu pemetaan, maka komposisi transformasi T 2 ◦ T1 dapat di tunjukkan
sebagai berikut.
(x,y)
A
Matematika
T1
(x’,y’)
B
T2
(x”,y”
C
27

28. Geometri Transformasi
T2 ◦ T1
1. Komposisi Dua Translasi Berurutan
jj
jk
jj
jj
jj
j
j
j
j
Komposisi T2 ◦ T1 dapat di nyatakan dengan AC yaitu
translasi yang berpangkal di T1 , yaitu A, dan berujung
di translasi T2 yaitu C.
d e
a
Misalkan T1 = b dan T2 =
T2 ◦ T1 = T1 + T2
d e d e
a
c
= b + d
d
e
a+c
=
b+d
d e
y
C” (x”,y”)
T2 ◦ T1
T2
c
d sehingga,
B’ (x’,y’)
T1
A (x,y)
x
Jadi, jika P (x,y) ditranslasi T2 ◦ T1 , maka :
P (x,y) P’ (x+a, y+b) P”(x+a+c, y+b+d), atau
P (x,y) P” (x+(a+c), y+(b+d))
Contoh
d e
2
dan T2
1
1. Diketahui translasi T1 =
d e
3
. Carilah koordinat peta titik A(1,2) B(3,-2)
2
C(-1,4) oleh translasi T1 yang dilanjutkan dengan T2!
Penyelesaian:
T2 ◦ T1 =
=
T1 + T 2
d e d e
2
3
5
+
=
1
2
3
d e
T
2 N 1
Maka, A(1,2) Tjjjj A” (6,5
jjjj
jjjj
jjjk
jjjj
jjjj
jjj
jjj
j
T 2 N 1 B”(8,1)
T
B(3,-2) jjjj
jjjj
jjjk
jjjj
jjjj
jjjj
jjj
jjj
j
T 2 N 1 C”(4,7)
T
C(-1,4)
jjjj
jjjj
jjjk
jjjj
jjjj
jjjj
jjj
jjj
j
Matematika
28

29. Geometri Transformasi
2. Komposisi Dua Refleksi Berurutan
a. Komposisi dua refleksi berurutan untuk suatu titik terhadap sumbu sejajar
Refleksi terhadap garis x=a dinyatakan oleh transformasi M 1x dan refleksi terhadap
x=b dinyatakan oleh transformasi M2x . Dengan demikian, pemetaan A(x,y) ke
A’(x’,y’)dapat dinyatakan sebagai berikut :
A(x,y)
M1x (refleksi x=a) A’ = (2a-x, y), adapun pemetaan A’ (x’,y’) ke A”(x”,y”) yaitu
A’(x’,y’) M2x (refleksi x=b) A” (2b–x’, y’) = A” (2b – (2a – x’),y)
= A” [2(b-a)+x, y]
Contoh
Refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar dengan sumbu y
2. Bayangan dari (5,1) oleh refleksi berurutan terhadap x=4 kemudian x=h adalah (1,1).
Tentukan h!
Penyelesaian : Misal refleksi x=4 disebut M1x dan refleksi terhadap x=h disebut M2x.
Kemudian refleksi x=4 terhadap x=h di notasikan M2x ◦ M1x
(x,y) M2x ◦ M1x
[2(b-a)+x, y]
a = 4 dan b = h
(5,1) M2x ◦ M1x
[2(h-4)+5, 1] = (1,1)
Jadi, 2(h-4)+5 = 1 ^ 2(h-4) = -4
^ h-4=-2
^
h =2
Refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar dengan sumbu x
3. Tentukanlah bayangan dari (-3,2) oleh refleksi berurutan terhadap y=5 kemudian
terhadap y= -1!
Penyelesaian : Refleksi tersebut dapat di tulis M1y ◦ M2y
(x,y) M2y ◦ M1y
[x, 2(p-q)+y]
(-3,2) M2y ◦ M1y
p = -1 dan q = 5
[-3, 2(-1-5)+2] = (-3,-10)
b. Refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus
Refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus :
•
Ekivalen dengan rotasi π radian terhadap titik perpotongan kedua sumbu.
•
Bersifat komutatif
Matematika
29

30. Geometri Transformasi
Sehingga refleksi berurutan terhadap sumbu-sumbu koordinat x dan y di peroleh hasil
sebagai berikut : My=b o Mx=a = Mx=a o My=b = R [(a,b), π], dengan My=b adalah refleksi
terhadap y=b, Mx=a refleksi terhadap x=a dan R [(a,b), π] adalah rotasi π radian terhadap
pusat (a,b).
Contoh
Refleksi berurutan terhadap x=a di lanjtkan dengan y=b
4. Tentukan bayangan titik A (3,5) oleh refleksi berurutan terhadap x=1 kemudian
terhadap y=4!
Penyelesaian : (3,5) Mx=1
[(2x1)-3, 5] = (-1,5)
(2a-x, y)
[-1, (2x4)-5] = (-1,3)
(-1,5) My=4
(x,y) Mx=a
(x,y) My=b
(x, 2b-y)
Jadi, bayangan titik (3,5) adalah (-1,3)
f
x.
Cara 2 : y.
f
x.
y.
d
g
=
cos π @sin π
sin π cosππ
ed
e
x @a
y @b +
d
=
=
ed
e d e
d
g
ed
d e
a
b
e d e
@1 0
0 @1
@1 0
0 @1
d
e
@2
=
+
@1
d
e
@1
=
3
x @a
a
y @b + b
3 @1
1
+ 4
5 @4
d e
1
4
3. Komposisi Dua Rotasi Berurutan untuk suatu titik sepusat.
5. Tentukan bayangan titik (2,6) oleh rotasi sejauh 20º berlawanan arah jarum jam, di
lanjutkan dengan rotasi sejauh 40º terhadap titik pusat O!
Penyelesaian : Pada rotasi pertama θ1 = 20º dan θ2 = 40º, maka θ1+ θ2 = 20º+40º =60º
h
i
w
w
w
1f
1fw
f
f
fw
fw
d
e l
@ p3 m
l2
m
cos 60 ° @sin 60 °
2
l
m
R [O, θ1+ θ2] = R [O, 60º] =
= l w
w
w
j1fw
1f m
fw
fw
f k
f
sin 60 ° cos 60 °
p3
2
2
h
i
w
w
w
w
1f
1fw
h
f
fw
wi
w
w
w
w
w
p
d e lf
f g
@ f 3 md e
l2
m 2
1 @3 p3 k
x.
2
2
l
m
jw
w
w
w
w
= pw
w
w
w
y. = R [O, 60º] 6 = l1fw
j fw
1f m 6
fw
f k
f
3 +3
p3
2
2
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
Jadi, bayangan titik (2,6) adalah ( 1 @3 p3 , 3 + p3 )
Matematika
30

31. Geometri Transformasi
4. Komposisi Transformasi dengan memakai Matrix
Jenis Transformasi
Matriks
Refleksi
d
e
d
Terhadap sumbu x
e
1 0
0 @1
@1 0
0 1
Terhadap sumbu y
d
Terhadap garis y=x
d
0 1
1 0
e
e
0 @1
@1 0 e
d
k 0
D=
0 k
d
e
Terhadap garis y=-x
Dilatasi terhadap O dengan faktor skala k
cosθ @sin θ
sin θ cosθ
Rotasi sejauh θ terhadap titik pusat O
Contoh
d
e
@1 0
6. Diketahui transformasi T1 bersesuaian dengan M1 =
dan T2 bersesuaian dengan
1 2
d
M2
e
2 1
. Tentukan bayang titik (-2,3) oleh transformasi T1 di lanjutkan T2!
@3 5
Penyelesaian : Untuk transformasi T1 di lanjutkan T2, berlaku
T1 o T2 = M2 o M1
d
ed
e d
e
2 1
@1 0
@1 2
=
=
@3 5
1 2
8 10
Bayangan (-2,3) di tentukan sebagai berikut :
d
e d
ed
e
d
e
@2
@1 2
@2
8
T1 o T2
=
=
3
8 10
3
14
Jadi, bayangan (-2,3) oleh T1 o T2 adalah (8,14)
Matematika
31

32. Geometri Transformasi
Matematika
32