Aula 6

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Matemática financeira - CERS - CVM

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Aula 6

  1. 1. www.cers.com.br COMISSÃO DE VALORES MOBILIÁRIO Matemática Financeira Marcos Luciano 1 SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES E PERIÓDICOS (AMORTIZAÇÕES) Existem três tipos de Amortizações (Rendas Certas): Classificação das Amortizações: I. Postecipadas; II. Antecipadas; III. Diferidas ou com carência. Observação: quando não for informado o modelo de Amortização, deve-se considerar a Amortização Postecipada. III. AMORTIZAÇÃO DIFERIDA (COM CARÊNCIA) É a renda em que o primeiro pagamento ocorre p períodos após a realização do negócio. Assim sendo o nº de prestações é igual a n, a primeira prestação será paga na data p + 1 e a última prestação será quitada na data n + p. Fórmula para o cálculo do Valor Atual (Presente): sendo P o valor das prestações, A o valor atual (valor atual) e i a taxa de juros compostos, assim a fórmula para o cálculo de A é: • Com tabela: 𝐴 = 𝑃[𝑎 𝑛+𝑝¬𝑖 − 𝑎 𝑝¬𝑖] • Sem tabela ou com a tabela do fator de acumulação de capital (1 + 𝑖) 𝑛 : 𝐴 = 𝑃 ∙ (1 + 𝑖) 𝑛 − 1 𝑖 ∙ (1 + 𝑖) 𝑛+𝑝 EXERCÍCIOS EM AULA: 01. (TCE PI ESAF) Uma operação de financiamento de capital de giro no valor de R$ 50.000,00 deverá ser liquidada em doze prestações mensais e iguais com carência de quatro meses, ou seja, o primeiro pagamento só será efetuado ao final do quarto mês. Sabendo que foi contratada uma taxa de juros de 4% ao mês, então o valor de cada uma das prestações será igual a: (A) R$ 5.856,23 (B) R$ 5.992,83 (C) R$ 6.230,00 (D) R$ 6.540,00 (E) R$ 7.200,00 RESOLUÇÃO: 02. (ANALISTA DE ORÇAMENTO) Uma dívida, no valor de R$ 9.159,40, vai ser paga em cinco prestações mensais iguais e consecutivas, a primeira delas vencendo ao completar três meses da data do contrato. Os juros são compostos, à taxa de 3% ao mês. O valor de cada uma das prestações deve ser: (A) R$ 1.793,77 (B) R$ 2.121,80 (C) R$ 2.185,45 (D) R$ 2.251,01 (E) R$ 2.612,76 RESOLUÇÃO: IV. CAPITALIZAÇÃO Consiste em depósitos sucessivos, periódicos e de mesmo valor, a uma taxa de juros compostos, com o objetivo de obter um montante (valor futuro). Fórmula para o cálculo do Montante (valor futuro): sendo C o valor dos depósitos, M o valor do montante (valor futuro) e i a taxa de juros compostos, assim a fórmula para o cálculo de M é: • Sem tabela ou com a tabela de juros compostos: 𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖) 𝑛 − 1 𝑖 Sendo, (1 + 𝑖) 𝑛 − 1 𝑖
  2. 2. www.cers.com.br COMISSÃO DE VALORES MOBILIÁRIO Matemática Financeira Marcos Luciano 2 Denominado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DE UMA SÉRIE DE CAPITAIS. Tal fator pode ser indicado pela seguinte notação: 𝑠 𝑛,𝑖 Assim, a expressão acima pode ser escrita da seguinte forma: 𝑀 = 𝐶 ∙ 𝑠 𝑛,𝑖 (𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 ∙ 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟) Para cada valor de i e n, se obtém um valor diferente para tal fator. Dessa forma, o mesmo pode ser obtido em uma tabela. Segue a tabela para sua visualização: Assim, a fórmula: 𝑀 = 𝐶 ∙ 𝑠 𝑛,𝑖 (𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 ∙ 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟) É para ser utilizada quando for informada a tabela III. EXERCÍCIOS EM AULA: 01. (BACEN ESAF) Um contrato de aplicação financeira prevê que depósitos de mesmo valor sejam feitos mensalmente em uma conta de aplicação durante dezoito meses com o objetivo de atingir o montante de R$ 100.000,00 ao fim desse prazo. Obtenha o valor mais próximo da quantia que deve ser depositada ao final de cada mês, considerando uma taxa de rendimento de 3% ao mês: (A) R$ 5.550,00 (B) R$ 4.900,00 (C) R$ 4.782,00 (D) R$ 4.270,00 (E) R$ 4.000,00 RESOLUÇÃO: 02. (CVM ESAF) Um cliente negociou com seu banco depositar a quantia de R$1.000,00, ao fim de cada mês, para obter R$ 21.412,31, ao fim de 18 meses. A que taxa efetiva anual o banco renumerou o capital de seu cliente? (A) 12% (B) 12,68% (C) 2% (D) 24% (E) 26,82% RESOLUÇÃO: 03. (IRB ESAF 2004) Um contrato prevê que aplicações iguais sejam feitas mensalmente em uma conta durante quatro meses com o objetivo de atingir o montante de R$ 10.000,00 ao fim deste prazo. Calcule quanto deve ser aplicado ao fim de cada mês, considerando rendimentos de juros compostos de 4% ao mês e uma dedução de 25% dos juros realizada imediatamente antes de cada capitalização com o intuito de remunerar uma terceira parte. (Despreze os centavos): (A) R$ 2.354,00 (B) R$ 2.390,00 (C) R$ 2.420,00 (D) R$ 2.500,00 (E) R$ 3.187,00 RESOLUÇÃO:
  3. 3. www.cers.com.br COMISSÃO DE VALORES MOBILIÁRIO Matemática Financeira Marcos Luciano 3 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES Denominamos de Sistemas de Amortização às diferentes formas de devolução de um empréstimo. Existem vários tipos Sistemas de Amortização: • Sistema de Amortização Constante (SAC); • Sistema de Amortização Francês (tabela Price). RESOLUÇÃO: Nomenclaturas e definições importantes: • Principal: é o valor emprestado, financiado é o saldo devedor inicial (SD0); • Prestação (P): é o valor pago em determinado período formado por duas parcelas; uma que representa os juros e outra que representa a amortização do principal; 𝑃𝑘 = 𝐴 𝑘 + 𝐽 𝑘 • Amortização (A): é o valor que reduz a dívida (principal), que restitui a dívida; • Juros (J): são calculados sobre o saldo devedor. Os juros de um certo período é calculado com base no saldo devedor do período anterior, ou seja; 𝑗 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 ∙ 𝑠𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 ⇒ 𝑗 𝑘 = 𝑖 ∙ 𝑆𝐷(𝑘−1) • Saldo Devedor (SDk) : é o valor da dívida, ou seja o quanto falta ser pago em uma certa data. O saldo devedor do período é igual ao saldo devedor do período anterior menos a amortização do período, ou seja; 𝑆𝐷 𝑘 = 𝑆𝐷(𝑘−1) − 𝐴 𝑘 I. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE Como a própria nomenclatura afirma, as amortizações são constantes e são calculadas da seguinte forma: 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎çã𝑜 = 𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑛º 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çõ𝑒𝑠 ⇒ 𝐴 = 𝑆𝐷0 𝑛 EXEMPLO: Considere um empréstimo de R$ 100.000,00 que será devolvido pelo Sistema de Amortizações Constantes (SAC) em 4 prestações mensais e postecipadas à taxa de juros composta de 10% ao mês. Construa a planilha de pagamentos. RESOLUÇÃO: A partir dos dados: 𝑆𝐷0 = 100.000 ; 𝑛 = 4 ; 𝑖 = 4% 𝑒 𝑆𝐴𝐶 Vamos calcular o valor da amortização (constante) e preencher a planilha: 𝐴 = 𝑆𝐷0 𝑛 = 100.00 4 = 25.000
  4. 4. www.cers.com.br COMISSÃO DE VALORES MOBILIÁRIO Matemática Financeira Marcos Luciano 4 Características do SAC:  As cotas de amortizações são constantes;  O saldo devedor, os juros e as prestações diminuem em progressão aritmética;  As prestações e os juros diminuem numa P.A. de razão negativa = - i·A (taxa x tempo);  A maior prestação do SAC é a primeira;  A última cota de amortização igual ao penúltimo saldo devedor;  O saldo devedor de qualquer período será obtido por: 𝑆. 𝐷𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 𝑆. 𝐷𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 ∙ 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎çã𝑜 ⇒ 𝑆𝐷 𝑘 = 𝑆𝐷0 − 𝑘 ∙ 𝐴  Outra forma interessante se calcular o Saldo devedor em um período será através da seguinte relação: 𝑆. 𝐷𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = (𝑛º 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çõ𝑒𝑠 − 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜) ∙ 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎çã𝑜 ⇒ 𝑆𝐷 𝑛 = (𝑛 − 𝑘) ∙ 𝐴 EXERCÍCIOS EM AULA 01. (AFPS ESAF) Um financiamento habitacional no valor de R$ 120.000,00 vai ser pago por prestações mensais calculadas pelo sistema das amortizações constantes, a uma taxa de juros nominal de 12% ao ano, durante dez anos. Calcule décima prestação mensal do financiamento: (A) R$ 2.200,00 (B) R$ 2.120,00 (C) R$ 2.110,00 (D) R$ 2.100,00 (E) R$ 2.000,00 RESOLUÇÃO: 02. (ISS RJ ESAF 2010) Um financiamento no valor de R$ 360.000,00 deve ser pago em 180 prestações mensais, pelo Sistema de Amortizações Constantes - SAC, a uma taxa nominal de 12% ao ano, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro mês, a segunda ao fim do segundo mês e assim sucessivamente. Calcule o valor mais próximo da décima prestação. (A) R$ 5.600,00 (B) R$ 5.420,00 (C) R$ 5.400,00 (D) R$ 5.380,00 (E) R$ 5.500,00 RESOLUÇÃO: 03. (ADMINISTRADOR JÚNIOR PETROBRÁS CESGRANRIO 2010) A PHP Participações toma hoje, no Banco XPTO, um empréstimo de R$ 100.000,00 que deve ser pago em 5 prestações anuais, pelo sistema de amortização constante (SAC), com juros de 12% ao ano. A primeira prestação vence dentro de um ano. A soma das cinco prestações (principal e juros) que a PHP vai pagar ao XPTO, em reais, será: (A) 112.000,00 (B) 124.000,00 (C) 136.000,00 (D) 138.704,87 (E) 160.000,00 RESOLUÇÃO:

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