Definición de Integrales indefinidas.

1. INTEGRAL INDEFINIDA INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE MATEMATICA II ANIVAL TORRE 1

2. Integral Indefinida ANIVAL TORRE 2 Dada una función f, la anti derivada de la función f es otra función F, tal que f΄(x)= f(x) Ejemplo de éste proceso, se tiene la tabla que muestra la función f(x) y su anti derivada F΄(x)

3. ANIVAL TORRE 3 Obsérvese que si una función tiene una anti derivada, entonces tiene muchas anti derivadas, por lo contrario una función sólo puede tener una derivada así tenemos F(x)= x³ es una anti derivada de f(x)= 3x². También son las funciones G(x)= x³ + 17, H(x)= x³ - 20 En general F(x)= x³ + C es una anti derivada de f(x)= 3x² para cualquier valor de la constante C, por lo tanto: F(x) + C Si F es una anti derivada de f en un intervalo I entonces la anti derivada más general de f tiene la forma: F(x) + C Integral Indefinida

4. ANIVAL TORRE 4 Dada las funciones F: I  R y G: I  R, Tales que G’(x) = F(x) para todo x I, se da el nombre de anti derivada, primitiva o integral indefinida de F(x) a la función G(x), denotada por: Ant[ F(x) ] =  F(x) dx = G(x). Es decir:  F(x) dx = G(x) G’(x) = F(x) Integral Indefinida

5. ANIVAL TORRE 5 Proposición. La siguiente proposición permite evaluar las integrales indefinidas. Dada las funciones f: i  r y g: i  r, tales que g’ (x) = f(x) ,  x  i, Entonces  f(x) dx = g(x) + c donde c es la constante de integración. Integral Indefinida

6. ANIVAL TORRE 6 Evaluar la integral indefinida de las funciones: 01) f(x) = 2x solución:  f(x) dx = g(x) + c [g(x) + c]’ = f(x),  2xdx = x2 + c; pues (x2+c)’= 2x la gráfica de esta integral se representa por una familia de parábolas; existiendo una parábola para cada valor de la constante c.

7. Evaluar la integral indefinida de las funciones: ANIVAL TORRE 7 02)f(x) = cos x solución  cos x dx = sen x + c ; pues, (sen x +c)’ = cos x 03) f(x) = 6x solución  6xdx = 3x2+ c pues, (3x2+ c) ’ = 6x 04) f(x)= 5x2 solución  5x2 dx = 5/3x3+ c pues, (5/3x3+ c) ’ = 5x2

8. ANIVAL TORRE 8 Evaluar la integral indefinida de las funciones: 05)f(x) = 10x solución  10xdx = 5x2+ c pues, (5x2+ c) ’ = 10x 06) f(x) = 4x3 solución 4x3 dx = x4+ c pues, (x4+ c) ’ = 4x 3 07) f(x) = 5x4 solución 5x4 dx = x5+ c pues, (x5+ c) ’ = 5x 4

9. ANIVAL TORRE 9 Evaluar la integral indefinida de las funciones: 08) f(x) = 2x 3 09) f(x) = 7x 6 10) f(x) = 8x 7 11) f(x) = ½ x 3 12) f(x) = 9x 8 13) f(x) = sen x 14) f(x) =tg x 15) f(x) = ctg x 16) f(x) = sec x 17) f(x) = csc x

10. ANIVAL TORRE 10

11. ANIVAL TORRE 11 29)  audx =audx 30)  (u+v)dx = udx + vdx

12. PROBLEMAS DE APLICACION ANIVAL TORRE 12 Determine las siguientes integrales x5 dx = x5+1 /6+ c  3x2 dx = 3 x2 dx =3x2+1 /3+ c =x3 +c dx/ x2 =  x-2 dx = x-2+1 / -1 + c = -1 / x + c  (x2 +x)dx = x2 dx +  xdx =(x 3/3 +c1) + x 2/2 +c2) =x 3/3 + x 2/2 +c donde: c= c1 + c2 5)x1/2 dx = x 1/2+1/ 3/2 + c= 2x 3/2 /3 + c 6) dx / x1/2 =  x-1/2 dx= x-1/2 +1 / ½ + c =x1/2 / ½ + c

13. ANIVAL TORRE 13 7)  (3x2 +2x)dx 8)  (2x2 -5x + 3)dx 9)  (x+2) 2 dx 10)  (2x-2) 2 dx 11)  (3x+1) 3 dx 12) (1-x)√x dx 13) (2+x)√x dx 14) (1-x 2)√x dx 15)  (x2 +5x - 3)/x dx 16)  (x3 +5x 2 - 4)/x 2 dx 17)  (x2 +x)(2x+1)dx 18)  (x3 +2x)(3x 2 +2)dx 19)  (4x2 -3x)(8x-3)dx 20)  2e2xdx 21)  4xe2x²dx 22)  12xe3x²dx 23)  12x²e4x³dx 24)  2* 52xdx 25)  2* 46xdx 26)  3x* 73x²dx 27)  (6x+5)* 73x² +5xdx 28)  3x² / x3 dx 29)  (6x + 9) / (3x2 + 9x)dx 30)  2x3 / x4 dx PROBLEMAS DE APLICACION

14. Integración por cambio de variable ANIVAL TORRE 14 Para integrar usando la tabla, es necesario observar que la diferencial esté completa. Si no lo esta, es indispensable completarla. Para ello , debe multiplicarse y dividirse por una constante, en ningún caso se completan con variables. En esta sección damos ejemplos sobre el caso.

15. APLICACIONES ANIVAL TORRE 15 1) I= (x3+3)5 x2 dx sea: u = x3+3 du = 3x2 dx Como en la integral dada tenemos solo x2dx , entonces completamos con 3: I=1/3  (x3+3)5 3x2 dx = 1/3 u5 du = u6 / 6 + c I=

16. ANIVAL TORRE 16 2. I=  (2x3+4)1/2x2dx SOLUCION: u=2x3+4 ; du= 6x2dx I=1/6 (2x3+4)1/2 6x2dx I=1/6  u1/2du =1/6 (u3/2) / 3/2 + c I=2/18 u3/2 +c = 1/9(2x3+4 ) 3/2 + c

17. ANIVAL TORRE 17 3)  (2x+1)2 dx 4)  (3x-1)2 dx 5)  (4x2 + 2x)3(8x+2)dx 6)  (5x3 +2x2)4dx

18. EXPONENCIAL eudu = eu +c ANIVAL TORRE 18 sea: u = 3x2 – 2 du = 6x dx = 1/6  (6x) dx = 1/6  eu du 1/6 eu + c = 1/6 + c

19. DETERMINE LAS INTEGRALES ANIVAL TORRE 19 1) 3e3xdx 2) 2e2x+1dx ex²*2xdx e5x²*10xdx 18e6xdx e2xdx 2e4xdx 8) (1/3e5x+1)dx 9) ex²*5xdx 10) (4e3x +3e4x)dx

20. ANIVAL TORRE 20 aplicaciones 52x2dx 34x-14dx 2x6x²dx 9(3x²+x)6x+1)dx 72xdx 12(x-1)²(x-1)dx 11(x+1)³ (x+1)²dx (32x+24x)dx

21. LOGARITMICADu/u =ln I u I +c ANIVAL TORRE 21 APLICACIONES sea: u = 25-16x2 du = -32x dx =- = -

22. ANIVAL TORRE 22 2)2 /(2x+1) dx 3) (6x+2) /(3x²+2x) dx 4) 2(x+1) /(x+1) ²dx 5) 3x² /(2x³+1) dx 6) (4x+4) /(x²+2x) dx 7) (2x+1) /(2x²+2x) dx 8) 3(x+1) /(x+1) ²dx

23. PREGUNTAS DE REPASO ANIVAL TORRE 23

24. PREGUNTAS DE REPASO N°10 ANIVAL TORRE 24

25. ANIVAL TORRE 25 11.  (2x4+3)1/2x3dx 12. 13.  (x4- 3)3 2x3 dx 14. 15.  ( 3x+3) / (3x2+6x )1/2

26. Fórmulas de Derivación Trigonométricas ANIVAL TORRE 26

27. Fórmulas de Integración Inmediata. ANIVAL TORRE 27 1.  sen u du = - cos u + c 2.  cos u du = sen u +c 3.  tg u du = ln sec u + c 4.  ctg u du = ln sen u + c 5.  sec u du = ln sec u + tg u + 6.  csc u du = ln csc u – ctg u+ c 7.  sec 2 u du = tg u + c 8.  csc 2 u du = - ctg u + c 9.  sec u tg u du = sec u + c

28. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS ANIVAL TORRE 28 1. sen²x + cos²x= 1 2. 1+ tg²x=sec²x 3. 1+ ctg²x=csc²x 4. sen²x=(1- cos2x)/2 5. cos²=(1+cos2x)/2 6. senx. cosx= (sen2x)/2 7. senx.cscx=1 8. cosx.secx=1 9. tgx.ctgx=1 10. sen2x =2senx.cosx 11. cos2x= cos²x - sen²x 12. (1-cosx)=2sen²(x/2) 13. (1+cosx) = 2 cos²(x/2)

29. APLICACIONES:Sen u du = - cos u + c ANIVAL TORRE 29 Integrar las siguientes funciones 1) 2)

30. ANIVAL TORRE 30 3) sen 2x dx Solución: completando diferenciales sen 2x dx = -(1/2)  -sen 2x.2 dx -1/2 cos 2x + c

31. ANIVAL TORRE 31 (sen x )2dx Identidad trigonométrica: ( sen x )2 = sen2x =1/2 (1-cos 2x) ( cos x )2 = cos2x =1/2 (1+cos 2x)  ½ (1 – cos2x)dx  ½dx - 1/2  cos2xdx 1/2 x +c1 - ½*1/2 cos2x 2dx 1/2 x + c1 - ¼ sen 2x + c2 =1/2 x - ¼ sen 2x + c donde c= c1 + c2

33. sen2x = (1-cos 2x) sen22x =1/2 (1-cos 4x)

34. I=sen2 2x dx = 1/2 (1-cos 4x)dx I= ½dx - 1/2  cos4xdx I=1/2 x +c1 - ½*1/4 cos4x 4dx I= 1/2 x + c1 - 1/8 sen 4x + c2 I=1/2 x - 1/8sen 4x + c donde c= c1 + c2

35. cos u du =senu +c ANIVAL TORRE 33 1) cos 4x dx Completando diferenciales 1/4cos 4x 4dx= ¼ sen4x + c 2) cos 1/5 x dx Completando diferenciales: 5cos 1/5 x 1/5dx = 5 sen 1/5 x + c

36. ANIVAL TORRE 34

37. ANIVAL TORRE 35 5) cos2 x dx Remplazando la función por su identidad trigonométrica  ½ (1 +cos2x)dx =  ½dx + 1/2  cos2xdx = 1/2 x +c1 +1/2*1/2 cos2x 2dx = 1/2 x + c1 +1/4sen 2x + c2 =1/2 x + 1/4sen 2x + c donde c= c1 + c2

38. ANIVAL TORRE 36 6) cos2 3 x dx cos2 x = ½ (1 +cos2x) ; cos2 3 x= ½(1+cos6x) Remplazando la función por su identidad trigonométrica: =  ½ (1 +cos6x)dx =  ½dx +  cos6xdx = ½. x +c1 +1/2*1/6 cos6x 6dx = ½. x + c1 +1/12sen 6x + c2 = ½. x + 1/12.sen 6x + c ; donde c= c1 + c2

39. tg udu = (tg u secu)/sec udu =ln sec u + c ANIVAL TORRE 37 1) tang xdx = - (-senx/ cosx )dx = -ln cosx + c = ln sec x +c 2) tang 2xdx = -1/2 (-sen2x/ cos2x )*2dx = -1/2 ln cosx + c = 1/2ln sec x +c

40. ANIVAL TORRE 38 3) (1- Cog 6x)dx Remplazando por su identidad trigonométrica (1-cog6x)dx = tang 6x dx Completando diferenciales: = 1/6 tang 6x 6dx = 1/6 lnSec 6x +c

41. ANIVAL TORRE 39

42. ANIVAL TORRE 40 1) ctgxdx =(csc x ctg x)/cscxdx =- ln cosec x + c 2) cotg 2xdx =1/2 (cosec 2x cotg2x)2/cosc2xdx =- ½ ln cosec x + c

43. sec udu ANIVAL TORRE 41 = sec u( secu + tang u) / (secu + tang u) *du =  (sec2 u + sec u tang u)/ (secu + tang u)* du = ln secu + tang u  + c

44. INTEGRA LA SIGUIENTES FUNCIONES ANIVAL TORRE 42 1) sec xdx 2) sec 2xdx 3) sec 3/2 xdx

45. csc udu ANIVAL TORRE 43 =csc u( csc u -ctg u) / (csc u - ctg u) *du =  (csc2 u -csc u ctg u)/ (csc u -ctg u)*du = ln csc u - ctg u  + c

47. 2) csc2xdx

48. 3)  (1 / senx) dx

49. 4)  (1 / sen2x) dx

50. 5) (csc3x + sec 3x) dx

51. 6)  sec2x tg2x dx

52. 7)  sec2 7x dx

53. 8) csc23x dx

54. 9)  sec2 1/3 x dx

55. 10) sen5xdx

56. 11) sen27x dx

57. 12) sen√xdx

58. 13) cos9xdx

59. 14) cos25x dx

60. 15) cos √xdx

61. 16) sec9x tg9x dx

62. 17)  csc3x ctg3x dx

63. 18)  ctg 1/3 x dx

64. 19)  ctg 7 x dx

66. ANIVAL TORRE 46

67. ANIVAL TORRE 47

68. ANIVAL TORRE 48

69. ANIVAL TORRE 49