Princípios de Contagem

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Matemática Discreta.Princípios de Contagem

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Princípios de Contagem

  1. 1. Princípios de Contagem
  2. 2. Sumário • Princípio da Multiplicação • Princípio da Adição • Princípio da Inclusão e Exclusão • Princípio das Casas de Pombo
  3. 3. Motivação • Um problema de contagem envolve determinar o número de elementos em um conjunto finito ou o número de combinações possíveis em um dado contexto. ‣ dimensionar capacidades/limites (em problemas de alocação de recursos)
  4. 4. Princípio da Multiplicação • Se existem n1 resultados possíveis para um evento e n2 resultados possíveis para um segundo evento, então existem n1 ⋅ n2 resultados possíveis para a seqüência dos dois eventos. ‣ o princípio pode ser estendido a uma seqüência com qualquer número finito de eventos ‣ verificar a ocorrência de eventos sucessivos
  5. 5. Exemplo 1 • Se um homem tem 4 ternos, 8 camisas e 5 gravatas, de quantas maneiras diferentes ele pode se vestir?
  6. 6. Exemplo 2 • A última parte de um número de telefone contém 4 dígitos. Quantos códigos numéricos de 4 dígitos existem?
  7. 7. Exemplo 3 • Quantos códigos numéricos de 4 dígitos existem, se um mesmo dígito não puder ser repetido?
  8. 8. Seja |C| a cardinalidade de um conjunto C. Pelo princípio da multiplicação podemos determinar que: Se A e B são conjuntos finitos, então | A x B | = |A| ⋅ |B| Exemplo 4
  9. 9. Princípio da Adição • Se A e B são eventos disjuntos com n1 e n2 resultados possíveis, respectivamente, então o número total de possibilidades para o evento “A ou B” é n1 + n2. ‣ pode ser estendido a qualquer número finito de eventos disjuntos
  10. 10. Exemplo 1 • Um consumidor deseja comprar um veículo em uma concessionária.A concessionária tem 7 automóveis sedã e 8 automóveis “hatch” em estoque. Quantas escolhas possíveis o consumidor tem?
  11. 11. Pelo princípio da adição podemos determinar que: Se A e B são conjuntos finitos disjuntos, então | A ∪ B | = |A| + |B|. Se A e B são conjuntos finitos, então | A - B | = |A| - |A ∩ B|. Exemplo 2
  12. 12. Exercício 1 • Quantos números de 4 dígitos começam com 4 ou 5?
  13. 13. Exercício 2 • Se uma mulher tem 7 blusas, 5 saias e 9 vestidos, de quantas maneiras ela pode se vestir?
  14. 14. Exercício 3 • Quantos inteiros de 3 dígitos são pares?
  15. 15. Exercício 4 • Quantos sufixos de telefone (4 dígitos) existem com pelo menos 1 dígito repetido?
  16. 16. Árvores de Decisão • Árvores de decisão são representações gráficas das possibilidades de um evento baseado em uma série de escolhas.
  17. 17. Exemplo 1 • Considere o evento de lançar 3 vezes uma moeda. Quais as possíveis seqüências de cara ou coroa podem ser obtidas?
  18. 18. Exemplo 2 • Desenhe uma árvore de decisão para encontrar o número de cadeias binárias de comprimento 3 que não têm zeros consecutivos.
  19. 19. • Por que o princípio da multiplicação não se aplica no exemplo anterior? ‣ Embora o problema consista em eventos sucessivos, o número de resultados possíveis de cada evento não é constante (o número de resultados em um evento depende do resultado do evento anterior).
  20. 20. Resumo • O princípio da multiplicação é usado para contar o número de resultados possíveis para uma seqüência de eventos, cada um com um número finito de possibilidades. • O princípio da adição é usado para contar o número de resultados possíveis para eventos disjuntos.
  21. 21. Resumo • Os princípios da adição e multiplicação podem ser usados juntos. • As árvores de decisão podem ser usadas para contar o número de resultados possíveis para uma seqüência de eventos onde o número de resultados possíveis não é constante (mas depende do resultado do evento precedente)
  22. 22. Princípio de Inclusão e Exclusão Sejam A e B subconjuntos de um conjunto universo S. | A ∪ B | = | A | + | B | - | A ∩ B |
  23. 23. • O princípio pode ser estendido para n conjuntos. • Para 3 conjuntos: ‣ |A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| -| B∩C| + |A∩B∩C|
  24. 24. Exemplo 1 • Em uma pesquisa de opinião pública, foram entrevistados 35 eleitores, todos apoiando o referendo 1, o referendo 2, ou ambos. Sabe-se que 14 eleitores apoiaram o referendo 1 e 26 apoiaram o referendo 2. Quantos apoiaram ambos os referendos?
  25. 25. Exemplo 2 • Um grupo de estudantes está planejando encomendar pizzas. Sabe-se que 13 estudantes gostam de pizza calabresa, 10 gostam de marguerita, 12 gostam de portuguesa, 4 gostam tanto de calabresa quanto marguerita, 5 gostam tanto de marguerita quanto de portuguesa, 7 de calabresa e portuguesa e 3 gostam de todas. Quantos estudantes há no grupo?
  26. 26. Exemplo 3 • Em um grupo de 42 turistas, todos falam inglês ou francês. Sabe-se que 35 falam inglês e 18 falam francês. Quantos falam inglês e francês?
  27. 27. Princípio das Casas de Pombo • Se mais de k itens são colocados em k recipientes, então pelo menos um recipiente contém mais de um item.
  28. 28. Exemplos
  29. 29. Exemplos • Em um grupo de 13 pessoas, pelo menos duas fazem aniversário no mesmo mês.
  30. 30. Exemplos • Em um grupo de 13 pessoas, pelo menos duas fazem aniversário no mesmo mês. • Quantas vezes é preciso jogar um dado de modo a garantir que um mesmo número apareça duas vezes?
  31. 31. Exemplos • Em um grupo de 13 pessoas, pelo menos duas fazem aniversário no mesmo mês. • Quantas vezes é preciso jogar um dado de modo a garantir que um mesmo número apareça duas vezes? ‣ É preciso jogar o dado 7 vezes.
  32. 32. Mais exemplos
  33. 33. Mais exemplos • Quantas pessoas precisam estar presentes em uma sala para garantir que duas delas tenham o último nome começando com a mesma letra?
  34. 34. Mais exemplos • Quantas pessoas precisam estar presentes em uma sala para garantir que duas delas tenham o último nome começando com a mesma letra? ‣ 27 pessoas (considerando alfabeto de 26 letras)
  35. 35. Mais exemplos • Quantas pessoas precisam estar presentes em uma sala para garantir que duas delas tenham o último nome começando com a mesma letra? ‣ 27 pessoas (considerando alfabeto de 26 letras) • Em um grupo de 25 pessoas, é verdade que existem pelo menos 3 pessoas que nasceram no mesmo mês?
  36. 36. Mais exemplos • Quantas pessoas precisam estar presentes em uma sala para garantir que duas delas tenham o último nome começando com a mesma letra? ‣ 27 pessoas (considerando alfabeto de 26 letras) • Em um grupo de 25 pessoas, é verdade que existem pelo menos 3 pessoas que nasceram no mesmo mês? ‣ Sim
  37. 37. Exemplo 4 • Prove que, se quatro números forem escolhidos do conjunto C = {1,2,3,4,5,6}, pelo menos um par (entre os números escolhidos) tem que somar 7.
  38. 38. Resumo • Uso do Princípio de Inclusão e Exclusão para encontrar o número de elementos em uma união de conjuntos. • Uso do Princípio das Casas de Pombo para encontrar o número mínimo de elementos que garantem que dois deles têm uma propriedade em comum.

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