Recorrência

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Matemática Discreta. Recorrência

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Recorrência

  1. 1. Recorrência
  2. 2. Sumário • Definições Recorrentes ‣ Seqüências, conjuntos e operações • Resolução de Relações de Recorrência
  3. 3. Definições Recorrentes • Uma definição recorrente é uma definição onde o item sendo definido aparece como parte da definição. ‣ definir algo em termos de si mesmo • Exemplo: definição recorrente de fatorial
  4. 4. Partes de uma Definição Recorrente • Base (ou condição básica) ‣ casos elementares definidos explicitamente • Recorrência (ou passo indutivo) ‣ demais casos definidos em função dos casos elementares
  5. 5. • Recorrência é uma conceito importante que pode ser usado para definir: ‣ seqüências ‣ conjuntos ‣ operações ‣ algoritmos
  6. 6. Seqüências • Uma seqüência é uma lista ordenada de elementos • Exemplo: ‣ S = 2, 4, 8, 16, 32, ... ‣ S(1) = 2, S(4) = 16
  7. 7. Seqüências Definidas por Recorrência • Uma seqüência é definida por recorrência nomeando-se, explicitamente, o primeiro elemento na seqüência e depois definindo- se os demais elementos em termos dos anteriores • Exemplo (S = 2, 4, 8, 16, 32, ...) ‣ S(1) = 2 ‣ S(n) = 2 * S(n-1), para n ≥ 2
  8. 8. Exercício • Escreve os cinco primeiros valores da seqüência T definida a seguir ‣ T(1) = 1 ‣ T(n) = T(n-1) + 3
  9. 9. Seqüência de Fibonacci • É uma seqüência de números definida por recorrência como a seguir: ‣ F(1) = 1 ‣ F(2) = 1 ‣ F(n) = F(n-1) + F(n-2), para n ≥ 3 • Escreva os 8 primeiros termos da seqüência de Fibonacci.
  10. 10. Conjuntos • Um conjunto é uma coleção de objetos ‣ não há nenhuma ordem imposta à coleção • Conjuntos podem ser definidos por relações de recorrência. ‣ Base: objetos elementares do conjunto ‣ Recorrência: regra para composição de novos objetos do conjunto
  11. 11. Exemplo • Definição recorrente do conjunto das fórmulas proposicionais bem formuladas (FBF) ‣ Base: uma proposição é uma FBF ‣ Recorrência: se P e Q são FBFs então P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P′, e P Q também são FBFs
  12. 12. Operações Definidas por Recorrência • Certas operações podem ser definidas de forma recorrente • Exemplo: definição recorrente da exponenciação an ‣ a0 = 1 ‣ an = a * an-1, para n ≥ 1
  13. 13. Definições Recorrentes Seqüência Pelo menos o primeiro valor é definido explicitamente; os demais valores são definidos em termos dos anteriores. Conjunto Pelo menos um elemento do conjunto é definido explicitamente; os demais elementos são construídos a partir de elementos que pertencem ao conjunto. Operação Um caso trivial (elementar) é definido explicitamente; demais casos são calculados a partir de casos menores.
  14. 14. Exercícios • Escreve os cinco primeiros valores da seqüência M a seguir: ‣ M(1) = 2 ‣ M(2) = 2 ‣ M(n) = 2*M(n-1) + M(n-2) • Considerando a série de Fibonacci, prove que F(n+1) + F(n-2) = 2F(n), para n≥3
  15. 15. Considere a seqüência S definida por recorrência: S(1) = 2 S(n) = 2*S(n-1) Existe uma equação na qual podemos substituir o valor de n e calcular diretamente o valor de S(n) sem ter que calcular os valores anteriores?
  16. 16. Considere a seqüência S definida por recorrência: S(1) = 2 S(n) = 2*S(n-1) Existe uma equação na qual podemos substituir o valor de n e calcular diretamente o valor de S(n) sem ter que calcular os valores anteriores? S(n) = 2n
  17. 17. Resolvendo Relações de Recorrência • Resolver uma relação de recorrência significa encontrar para ela uma solução em forma fechada. • Uma solução em forma fechada para uma relação de recorrência sujeita a uma condição básica é uma equação na qual podemos substituir um valor para calcular diretamente o elemento que queremos.
  18. 18. Estratégias para Resolução de Recorrências • Método “expandir, conjecturar e verificar” • Solução geral ‣ no caso de uma relação de recorrência linear de primeira ordem.
  19. 19. “Expandir, conjecturar e verificar” • Consiste em usar repetidamente a relação de recorrência para expandir a expressão do n-ésimo termo até que seja possível perceber uma equação para a solução em forma fechada. • É preciso verificar a equação encontrada ‣ em geral, a verificação pode ser feita por indução
  20. 20. Exemplo • Considere a condição básica e a relação de recorrência para a seqüência S a seguir: ‣ S(1) = 2 ‣ S(n) = 2 * S(n-1) • Encontre a solução em forma fechada para a relação de recorrência.
  21. 21. Passo 1: Expandir S(n) = 2 * S(n-1)
  22. 22. Passo 1: Expandir S(n) = 2 * S(n-1) = 2 * 2 * S(n-2)
  23. 23. Passo 1: Expandir S(n) = 2 * S(n-1) = 2 * 2 * S(n-2) = 2 * 2 * 2 * S(n-3)
  24. 24. Passo 1: Expandir S(n) = 2 * S(n-1) = 2 * 2 * S(n-2) = 2 * 2 * 2 * S(n-3) = 2 * 2 * 2 * 2 * S(n-4)
  25. 25. Passo 2: Conjecturar S(n) = 2 * S(n-1) = 2 * 2 * S(n-2) = 2 * 2 * 2 * S(n-3) = 2 * 2 * 2 * 2 * S(n-4) Após k, expansões
  26. 26. Passo 2: Conjecturar S(n) = 2 * S(n-1) = 2 * 2 * S(n-2) = 2 * 2 * 2 * S(n-3) = 2 * 2 * 2 * 2 * S(n-4) ... = 2k * S(n-k) Após k, expansões
  27. 27. S(n) = 2k * S(n-k) Podemos continuar com a expansão indefinidamente ou existe um limite para k?
  28. 28. S(n) = 2k * S(n-k) Podemos continuar com a expansão indefinidamente ou existe um limite para k? O limite é o caso base S(1), ou seja, n-k = 1 ⇓ k = n-1
  29. 29. S(n) = 2k * S(n-k) Podemos continuar com a expansão indefinidamente ou existe um limite para k? O limite é o caso base S(1), ou seja, n-k = 1 ⇓ k = n-1 ⇓ S(n) = 2n-1 * S[n-(n-1)] = 2n-1 * S[1] = 2n-1 * 2 = 2n
  30. 30. Passo 3: Verificar • Por raciocínio indutivo, inferimos que a solução em forma fechada é S(n) = 2n. • Ainda é preciso demonstrar que, de fato, S(n) = 2n, para todo n ≥ 1. ‣ podemos fazer isso por indução em n.
  31. 31. Estratégias para Resolução de Recorrências • Método “expandir, conjecturar e verificar” • Solução geral ‣ no caso de uma relação de recorrência linear de primeira ordem.
  32. 32. Recorrência Linear • Uma relação de recorrência para uma seqüência S(n) é denominada linear se os valores anteriores de S aparecem na relação apenas na primeira potência. • Forma geral: ‣ S(n) = f1(n)S(n-1)+f2(n)S(n-2)+...+fk(n)S(n-k)+g(n)
  33. 33. Recorrência de Primeira Ordem • Uma relação de recorrência para uma seqüência S(n) é de primeira ordem se o cálculo do termo n depende apenas do termo n-1. • Forma geral: ‣ S(n) = f1(n) S(n-1) + g(n)
  34. 34. Solução Geral • Utilizando o método “expandir, conjecturar e verificar”, podemos encontrar uma solução em forma fechada geral para relações de recorrência lineares de primeira ordem com coeficientes constantes. • Solução geral para ‣ S(n) = cS(n − 1) + g(n) S(n) = cn−1 S(1) + n i=2 cn−i g(i)
  35. 35. Exemplo S(n) = cS(n − 1) + g(n) ⇓ S(n) = 2S(n − 1) c = 2 e g(n) = 0 S(n) = 2n−1 S(1) + n i=2 2n−1 0 = 2n−1 2 + n i=2 0 = 2n−1 2 + 0 = 2n S(n) = cn−1 S(1) + n i=2 cn−i g(i) i
  36. 36. Métodos para resolver relações de recorrência Método Passos “Expandir, conjecturar e verificar” 1.Expandir a recorrência até que seja possível inferir um padrão; 2.Determinar o padrão para k = n-1; 3.Demonstrar a fórmula resultante por indução. Solução Geral 1.Escrever a recorrência na forma 2.Substitua c, S(1) e g(n) na fórmula geral 3.Calcule o somatório para obter a fórmula final S(n) = cS(n − 1) + g(n) S(n) = cn−1 S(1) + n i=2 cn−i g(i)
  37. 37. Exemplo: Solução Geral • Considere a seqüência T como definida a seguir: ‣ T(1) = 2 ‣ T(n) = T(n-1) + n + 1 • Encontre a solução em forma fechada para a relação de recorrência, utilizando o método da solução geral.

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