1. материалы ЕГЭ и Г(И)А
2013 - 2014г.

2. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Геометрия является одним из центральных разделов школьной
математики. Но по ряду причин иногда изучение именно этого раздела
вызывает у учащихся затруднения.
Геометрия – наиболее уязвимое звено школьной математики.
Задания частей В и С единого государственного экзамена содержат
задания по геометрии, в том числе и из планиметрии. Итоги предыдущих лет
показали, что учащиеся с данными заданиями справлялись хуже, а иногда
даже не выполняли их, что связано с малым опытом решения
геометрических задач. Одно из назначений данной презентации восполнить
этот пробел.
Все задачи взяты из открытого банка задач: http://mathege.ru/
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Геометрия является одним из центральных разделов школьной
математики. Но по ряду причин иногда изучение именно этого раздела
вызывает у учащихся затруднения.
Геометрия – наиболее уязвимое звено школьной математики.
Задания частей В и С единого государственного экзамена содержат
задания по геометрии, в том числе и из планиметрии. Итоги предыдущих лет
показали, что учащиеся с данными заданиями справлялись хуже, а иногда
даже не выполняли их, что связано с малым опытом решения
геометрических задач. Одно из назначений данной презентации восполнить
этот пробел.
Все задачи взяты из открытого банка задач: http://mathege.ru/

3. содержание
• треугольник
• параллелограмм
• прямоугольник, ромб, квадрат
• трапеция
• вписанная окружность и описанная окружно
• площади

4. Решение:
• ∆ ABС – прямоугольный.
• АВ = 26; ВС =10.
по теореме Пифагора:
содержание
Задача:
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26.
Один из его катетов равен 10. Найдите другой катет.
Ответ: 24

5. В треугольнике ABC АС = ВС , угол C равен 120˚ , АВ = 2√3 .
Найдите AC. Решение:
• ∆ ABС – равнобедренный
• проведем СН,
СН – медиана, биссектриса, высота.
• АН = ВН = 2√3 : 2 = √3;
‫ے‬AСН = ‫ے‬BСН = 120˚ : 2 = 60˚
∆ ABН – прямоугольный.
• Ответ: 2содержание
Н

6. Задача:
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке
касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5
и 3, считая от вершины, противолежащей основанию.
Найдите периметр треугольника.
Решение:
• ∆ ABD - равнобедренный
АС = СВ = СК + КВ = 5 + 3 = 8.
• касательные, проведенные из общей
точки, расположенной вне окружности
равны.
ВК =ВМ = 3; АЕ = АМ = 3.
• AB = АМ + ВМ = 3 + 3 = 6.
• РАВС = АС +ВС + АВ = 8 + 8 + 6 = 22
• Ответ: 22
К
М
Е
содержание

7. Задача:
Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 4, а
периметр его равен 70. Найдите большую сторону
параллелограмма.
Решение:
• в параллелограмме
противоположные стороны равны
АD = BC; AB = DC.
• AD : AB = 3 : 4 и BC : DC = 3 : 4.
• Р = 20.
• AB = DC = 70 : (3+4+3+4)* 4=
=70:14*4 = 5*4 =20.
• Ответ: 20.
содержание

8. Задача:
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную
сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите
большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.
Решение:
• по условию АК : ВК = 4 : 3.
• биссектриса параллелограмма
отсекает равнобедренный
треугольник.
• АВК – равнобедренный;
AD = AK.
• AD : АВ = 4 :7.
• РABCD = 88.
• АВ = DC = 88 : (4+7+4+7)*7 =
= 88 : 22*7 = 4*7 = 28
Ответ: 28
К
содержание

9. Задача:
Периметр параллелограмма равен 46. Одна сторона
параллелограмма на 3 больше другой.
Найдите меньшую сторону параллелограмма.
Решение:
• в параллелограмме
противоположные стороны равны
АD = BC; AB = DC.
• РABCD = 46. AD + DC = 46 : 2 = 23.
• AD = (23 – 3) : 2 = 10
• Ответ: 10
содержание

10. Задача:
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма,
прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной
стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5.
Найдите его большую сторону.
Решение:
• биссектриса параллелограмма
отсекает равнобедренный
треугольник.
• АВЕ – равнобедренный;
АВ =АЕ =5.
СDE –равнобедренный
CD = DE = 5
• AD = AE = DE = 5 + 5 = 10.
Ответ: 10
содержание

11. Задача:
Середины последовательных сторон прямоугольника, диагональ
которого равна 5, соединены отрезками.
Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.
Решение:
• HG – средняя линия треугольника ADC;
HG = 5 : 2 = 2,5.
EF – средняя линия треугольника ABC;
EF = 5 : 2 = 2,5.
GF– средняя линия треугольника BDC;
GF = 5 : 2 = 2,5.
HE – средняя линия треугольника ADB;
HE = 5 : 2 = 2,5.
• PHGFE = 4*2,5 = 10
Ответ:10
содержание

12. Задача:
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма,
прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной
стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5.
Найдите его большую сторону.
Решение:
• биссектриса параллелограмма
отсекает равнобедренный
треугольник.
• АВЕ – равнобедренный;
АВ =АЕ =5.
СDE –равнобедренный
CD = DE = 5
• AD = AE = DE = 5 + 5 = 10.
Ответ: 10
содержание

13. Задача:
Найдите диагональ прямоугольника, если его периметр равен 28,
а периметр одного из треугольников, на которые диагональ
разделила прямоугольник, равен 24
Решение:
• у прямоугольника
противоположные стороны равны
АD = BC; AB = DC.
• РABCD = 28;
AD + DC = 28 : 2 = 14.
• PABC =24.
AD + DC + AC = 24.
• AC = PABC – (AD + DC) = 24 -14 =10.
• Ответ: 10
содержание

14. Задача:
Меньшая сторона прямоугольника равна 6, диагонали
пересекаются под углом 60 градусов.
Найдите диагонали прямоугольника.
Решение:
• диагонали прямоугольника равны и
точкой пересечения делятся
пополам.
AC = BD, поэтому
AO = OC = DO = OB.
• ∆АОD – равнобедренный,
где ‫ے‬АОD = 60˚ значит
∆ АОD – равносторонний
АD =AO = OD = 6.
• AC = AO +OC = 6 + 6 += 12
• Ответ: 12.
содержание

15. .
Задача:
В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1 : 2,
меньшая его сторона равна 6. Найдите диагональ данного
прямоугольника
Решение:
• ∆ ABD – прямоугольный.
‫ے‬BAС + ‫ے‬AСD = 90˚.
‫ے‬ BAС : ‫ے‬AСD = 2 : 1.
‫ے‬ BAС = 90˚ :3 = 30˚
• катет, лежащий против угла в 30˚
равен половине гипотенузы.
ВС = АС : 2. АС = 2* ВС = 2*6 =12.
Ответ: 12.
содержание

16. Задача:
Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого
равны 2, а острый угол равен 60˚.
Решение:
• ABCD – ромб,
значит AB = BC = CD =AD.
• ∆ ABD – равнобедренный,
где ‫ے‬BAD = 60˚ значит
∆ АBD – равносторонний.
AD =AB = BD = 2
• Ответ: 2
содержание

17. Задача: Найдите высоту ромба, сторона которого равна √3
, а острый угол равен 60˚.
содержание

18. Задача:
Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания
равны 30 и 16.
Решение:
• средняя линия трапеции равна
половине суммы её оснований.
ЕF = (AB + DC) : 2.
ЕF = (30 + 16) : 2 = 46 : 2 = 23.
• Ответ: 23
содержание

19. Задача:
Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание
равно 18. Найдите большее основание трапеции.
Решение:
• средняя линия трапеции
равна половине суммы её
оснований.
ЕF = (AB + DC) : 2.
тогда AB + DC = 2*EF
AB = 2*EF – DC
AB = 2*28 – 18 = 56 – 18 =38
• Ответ: 38
содержание

20. Задача:
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков,
на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее
диагоналей.
Решение:
• средняя линия трапеции
параллельна основаниям
EF ‫װ‬ DC; EF ‫װ‬ AB.
• AE = DE, значит по теореме
Фалеса
DM = BM.
• ME – средняя линия ∆ ABD.
ME = AB : 2 = 10 :2 = 5.
• Ответ: 5
M
содержание

21. Задача:
Около окружности, радиус которой равен √8, описан
квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около
этого квадрата.
О
М
содержание

22. Задача:
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности,
равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.
Решение:
• АDCB – описанная около
окружности, поэтому
DC + AB = AD + CD.
DC + AB = 3 + 5 =8.
MN – средняя линия
трапеции.
• Средняя линия трапеции
равна половине суммы
оснований.
MN = (DC + AB) : 2 = 8 : 2 = 4
Ответ: 4содержание

23. Задача:
Около окружности описана трапеция, периметр которой
равен 40. Найдите ее среднюю линию.
Решение:
• АDCB – описанная около
окружности, поэтому
DC + AB = AD + CD.
• Р ABCD = 40.
DC + AB = AD + CD = 40 : 2 = 20
MN – средняя линия трапеции.
• Средняя линия трапеции равна
половине суммы оснований.
• MN = (DC + AB) : 2 = 20 : 2 = 10
• Ответ: 10
содержание

24. Задача:
В четырехугольник ABCD вписана окружность,
АВ =10 , СD = 16 . Найдите периметр
четырехугольника.
Решение:
• в описанном около окружности
четырехугольнике суммы
противоположных сторон
равны.
АD + BC = AB + DC.
• АD + BC = AB + DC = 10 + 16.
• Р = (AB + DC) *2 = 16*2 = 32
• Ответ: 32
содержание

25. Задача:
Периметр четырехугольника, описанного около
окружности, равен 24, две его стороны равны 5 и 6.
Найдите большую из оставшихся сторон.
Решение:
• в описанном около окружности
четырехугольнике суммы
противоположных сторон равны.
АD + BC = AB + DC.
• РABCD =24.
АD + BC = AB + DC = 24 : 2 = 12.
5 + 6 = 11 значит заданы длины
соседних сторон.
• Пусть АВ = 5 и ВС = 6,
тогда АD =12 – BС = 12 – 6 =6.
DC = 12 – АВ = 12 – 5 = 7..
• Ответ: 7содержание

26. Задача:
Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее
площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.
Н Е
содержание

27. Е
Задача:
Площадь параллелограмма АВСD равна 60. Точка Е – середина
стороны ВС. Найдите площадь треугольника DЕС.
Решение:
• Е –середина ВС.
• проведем через точку Е
прямую ЕК, параллельную
сторонам АВ и DС.
• площадь ∆ DСЕ составляет
четвертую часть площади
параллелограмма АВСD.
• SDEC = SABCD : 4 = 60 : 4 = 15.
•
• Ответ: 15
содержание
Е
К

28. Задача:
Площадь треугольника АВС равна 12. КМ – средняя линия
треугольника АВС. Найдите площадь трапеции СВКМ.
содержание
М
А
С В
К

29. Задача:
У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим
сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4.
Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
H
F
содержание