Makalah ini membahas tentang logika matematika dengan menjelaskan beberapa konsep dasar seperti pengertian logika, pernyataan, kalimat terbuka, operasi-operasi dalam logika seperti konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, serta tautologi, kontradiksi dan kontingen.

1. MAKALAH
LOGIKA MATEMATIKA
Makalah ini diajukan untuk Memenuhi Tugas Ujian Akhir Semester (UAS)
Mata Kuliah: Bahasa Indonesia
Dosen Pengampu: Indrya Mulyaningsih, M.Pd.
Disusun Oleh :
Nasifah
NIM: 14121520520
Tarbiyah/Matematika-C/Semester II
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN)
SYEKH NURJATI CIREBON
2013

2. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Logika matematika merupakan pokok bahasan yang sangat penting
karena berhubungan dengan kemampuan berfikir secara logis. Berfikir secara
logis sangat diperlukan dalam setiap aspek kehidupan sehari-hari karena
merupakan pendukung keberhasilan suatu tindakan, misalnya dalam
pengambilan keputusan.
Banyak hal yang perlu kita ketahu mengenai logika. Melalui logika
kita dapat mengetahui kebenaran suatu pernyataan dari suatu kalimat dan
mengetahui apakah pernyataan pertama sama maknanya dengan pernyataan
kedua. Dengan logika, kita juga dapat mengetahui apakah suatu pernyataan
bernilai benar atau salah. Hal terpenting yang akan kita dapatkan setelah
mempelajari logika matematika adalah kemampuan atau keahlian mengambil
kesimpulan dengan benar atau sah.
B. Rumusan Masalah
Adapun masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai
berikut:
1. Apa yang dimaksud dengan Logika?
2. Apa yang dimaksud dengan pernyataan, kalimat terbuka, dan ingkaran?
3. Operasi-operasi apa saja yang terdapat dalam logika matematika?
4. Apa yang dimaksud dengan tautologi, kontradiksi, dan kontingen?
5. Apa yang dimaksud dengan ekuivalensi, implikasi, konvers, invers, dan
kontraposisi?
6. Apa yang dimaksud kalimat berkuantor?
7. Bagaimana cara menarik kesimpulan dan membuktikan kebenaran suatu
pernyataan?

3. C. Tujuan
Adapun tujuan dari makalah ini adalah sebagai berikut:
1. Mengetahui apa yang dimaksud dengan logika.
2. Mengetahui apa yang dimaksud dengan pernyataan, kalimat terbuka, dan
ingkaran.
3. Mengetahui operasi-operasi yang terdapat dalam logika matematika.
4. Mengetahui apa yang dimaksud dengan tautologi, kontradiksi, dan
kontingen
5. Mengetahui apa yang dimaksud dengan ekuivalensi, implikasi, konvers,
invers, dan kontraposisi.
6. Mengetahui apa yang dimaksud kalimat berkuantor?
7. Mengetahui bagaimana cara menarik kesimpulan dan membuktikan
kebenaran suatu pernyataan.

4. BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian Logika
Secara etimologis, istilah Logika berasal dari kata “logos” (Yunani)
yang berarti kata, ucapan, fikiran secara utuh, atau bisa juga mengandung
makna ilmu pengetahuan. Dalam arti luas Logika adalah sebuah metode dan
prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara penalaran yang
benar dengan penalaran yang salah.1
Dalam mempelajari Logika kita akan berkenalan dengan istilah
penalaran, yang diartikan sebagai penarikan kesimpulan dalam sebuah
argumen. Penalaran yang sering pula diartiakan cara berfikir, merupakan
penjelasan dalam upaya memperlihatkan hubungan antara dua hal atau lebih
berdasarkan sifat-sifat atau hukum-hukum tertentu yang sudah diakui
kebenarannya dengan langkah-langkah tertentu yang berakhir dengan sebuah
kesimpulan.2
Dalam logika kita mempelajari dan meneliti apakah sebuah penalaran
yang kita lakukan itu tepat atau tidak. Untuk dapat berfikir dengan tepat,
logika menawarkan pada kita sejumlah aturan atau kaidah-kaidah yang harus
diperhatikan agar kesimpulan yang kita peroleh hasilnya tepat.
“Dalam menghadapi kehidupan sehari-hari kita dituntut untuk
menggunakan akal fikiran dalam melakukan setiap kegiatan kita, harus
penuh pemikrian dan pertimbangan. Oleh karena itu, kita harus
mempunyai pola pikir yang tepat, akurat, rasional dan obyektif
disamping dapat berpikir kritis. Pola berpikir seperti ini adalah pola
berpikir atau penalaran yang terdapat dalam Logika. Oleh karena itu,
Logika sangat penting dalam setiap bidang kehidupan manusia”. (Yaya
S. Kusumah, 1986: 2)
1
Yaya S. Kusumah, Logika Matematika Elementer, (Bandung: Tarsito, 1986), h. 1.
2
Ibid.

5. B. Pernyataan, Kalimat Terbuka, dan Ingkaran
Pengertian kalimat dalam kehidupan sehari-hari adalah kumpulan
kata, frasa, dan lambang yang mempunyai arti. Dalam matematika ada dua
jenis kalimat, yaitu kalimat terbuka dan kalimat tertutup (pernyataan).
1. Pernyataan
Pernyataan adalah sebuah kalimat yang memiliki nilai logika
(kebenaran) benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
Dengan kata lain, pernyataan adalah sebuah kalimat yang sudah dapat
ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau salah. Benar dan salah
maksudnya sesuai dengan keadaan yang sebenarnya. Nama lain dari
pernyataan adalah kalimat deklaratif atau proposisi.3
Berikut ini adalah contoh suatu pernyataan dan nilai kebenarannya:
a. “Bangun datar persegi memiliki empat titik sudut”, pernyataan ini
benar.
b. “Nilai x yang memenuhi 2x = 10 adalah 6”, pernyataan ini salah.
c. “3 adalah bilangan prima”, pernyataan ini benar.
d. “7 kurang dari 6”, pernyataan ini salah.
Perlu diketahui bahwa setiap pernyataan adalah kalimat, tetapi
tidak setiap kalimat merupakan pernyataan. Kalimat-kalimat yang bukan
pernyataan ini tidak atau belum dapat ditentukan nilai kebenarannya,
seperti kalimat tanya, kalimat perintah, dan kalimat seru.
2. Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum dapat ditentukan
nilai kebenarannya karena masih belum memuat variabel. Variabel atau
peubah adalah lambang yang digunakan untuk mewakili anggota
sembarang dari suatu semesta pembicaraan.4
3
Siswanto, Theory and Application of Mathematics, (Solo: Bilingual, 2009), h. 248.
4
Ibid.

6. Berikut ini cuontoh kalimat terbuka:
a. 3x + 3 = 7
b. 2 log x = 1
c. x2
– 6x + 9 = 0
d. y – 3 < 4
Suatu kalimat terbuka dapat berubah menjadi pernyataan apabila
variabelnya diganti suatu konstanta, yaitu lambang yang mewakili anggota
dari suatu semesta pembicaraan. Konstanta pengganti variabel yang
menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar
disebut penyelesaian kalimat terbuka atau penyelesaian. Kumpulan semua
penyelesaian disebut himpunan penyelesaian. Kalimat terbuka juga dapat
diubah menjadi pernyataan dengan menggunakan kuantor.
3. Kata Hubung Logika dan Ingkaran
Jika terdapat dua pernyataan atau lebih, kita dapat membentuk
sebuah pernyataan baru dengan menggunakan kata hubung logika.
Pernyataan-pernyataan yang dibentuk dengan menggunakan kata hubung
logika dinamakan pernyataan majemuk atau pernyataan komposisi,
sedangkan pernyataan-pernyataan yang membentuk pernyataan majemuk
masing-masing disebut komponen pernyataan majemuk. Nilai kebenaran
pernyataan majemuk ghanya ditentukan oleh nilai kebenaran komponen-
komponen pembentuknya dan tidak diharuskan adanya hubungan antar
komponen pembentuknya.5
Pernyataan-pernyataan majemuk diantaranya adalah sebagai berikut:
a. Konjungsi, kata hunbungnya “dan” dilambangkan dengan “⋀”.
b. Disjungsi, kata hunbungnya “atau” dilambangkan dengan “⋁”.
c. Implikasi, kata hunbungnya “Jika ... maka ...” dilambangkan dengan
“→”.
d. Biimplikasi, kata hunbungnya “... jika dan hanya jika ...” dilambangkan
dengan “↔”.
5
Ibid., h. 250.

7. Selain menggunakan kata hubung logika, suatu pernyataan baru
juga dapat dibentuk dengan menggunakan ingkaran (negasi), yaitu
pernyataan baru yang bernilai benar apabila pernyataan semula bernilai
salah demikian pula sebaliknya.
Cara membentuk ingkaran dari suatu pernyataan yaitu dengan
menambahkan kata “tidak/bukan” atau “tidak benar bahwa” sesuai
berdasarkan aturan tata bahasa yang benar.
Jika suatu pernyataan ndinotasikan dengan “p” maka negasi dari
pernbyataan p dinotasikan dengan “~p” dibaca negasi p.
p ~p
B
S
S
B
Keterangan: B = Benar
S = Salah
Berikut ini contoh dari ingkaran:
a. p : 100 habis dibagi 5.
~p : Tidak benar bahwa 100 habis dibagi 5.
~p : 100 tidak habis dibagi 5.
b. q : Semua ikan bernafas dengan insang.
~q : Tidak semua ikan bernafas dengan insang.
~q : Tidak benar bahwa semua ikan bernafas dengan insang.
c. r : 3 adalah faktor dari 13.
~r : Tidak benar bahwa 3 adalah faktor dari 13.
~r : 3 bukan faktor dari 13.
C. Operasi-operasi dalam Logika Matematika
1. Konjungsi
Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p
dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung “dan”.

8. Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan sebagai berikut:
p ⋀ q (dibaca: p dan q)
Misalnya kita akan menyusun suatu konjungsi dari dua pernyataan
berikut:
p : Ada kendraan bermotor.
q : Tersedia bahan bakar.
Konjungsi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut:
p ⋀ q : Ada kendaraan bermotor dan tersedia bahan bakar.
Karena konjungsi merupakan suatu pernyataan maka dapat ditentukan nilai
kebenarannya, yaitu benar saja atau salah saja dan bukan keduanya.
Nilai dan tabel kebenaran Konjungsi.
p q p ⋀ q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
2. Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p
dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung “atau”.
Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan sebagai berikut:
p ⋁ q (dibaca: p atau q)
Misalnya kita akan menyusun suatu disjungsi dari dua pernyataan berikut:
p : Ada media elektronik.
q : Ada media cetak.
Disjungsi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut:
p ⋁ q : Ada media elektronik atau media cetak.

9. Nilai dan tabel kebenaran Konjungsi.
p q p ⋁ q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
B
S
3. Implikasi
Implikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah
pernyataan p dan q dalam bentuk “jika p maka q”.
Implikasi pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan sebagai berikut:
p → q (dibaca: jika p maka q)
Misalnya kita akan menyusun suatu disjungsi implikasi dari dua
pernyataan berikut:
p : 2m
× 2n
= 2m + n
.
q : 24
× 23
= 27
.
Implikasi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut:
p → q : Jika 2m
× 2n
= 2m + n
maka 24
× 23
= 27
.
Dari pernyataan ini, bagian “jika 2m
× 2n
= 2m + n
” dinamakan alasan atau
sebaba dan bagian “maka 24
× 23
= 27
” dinamakan kesimpulan atau akibat.
Nilai dan tabel kebenaran Implikasi.
p q p → q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B

10. 4. Biimplikasi
Biimplikasi adalah pernyataan yang disusun dari dua buah
pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung
“jika dan hanya jika”. Biimplikasi pernyataan p dan pernyataan q
dinotasikan sebagai berikut:
p ↔ q (dibaca: p jika dan hanya jika q)
Misalnya kita akan menyusun suatu biimplikasi dari dua pernyataan
berikut:
p : Dua garis saling berpotongan tegak lurus.
q : Dua garis saling membentuk sudut 900
.
Biimplikasi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut:
p ↔ q : Dua garis saling berpotongan tegak lurus jika dan hanya jika
kedua garis saling membentuk sudut 900
.
Nilai dan tabel kebenaran Biimplikasi.
p q p ↔ q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
B
D. Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingen
1. Tautologi
Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar
untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan
komponennya.6
Untuk dapat membuktikan apakah suatu pernyataan merupakan
tautologi, kita dapat menggunakan tabel kebenaran.
Contoh tautologi:
6
Sartono Wirodikromo, Matematika untuk SMA Kelas X, (Jakarta: Erlangga, 2004), h. 159.

11. a. Buatlah sebuah tabel kebenaran pernyataan untuk membuktikan bahwa
(p ⋀ q) → q merupakan tautologi.
Penyelesaian:
p q p ⋀ q (p ⋀ q) → q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
B
B
B
B
b. Buatlah sebuah tabel kebenaran pernyataan untuk membuktikan bahwa
p ⋁ ~p merupakan tautologi.
Penyelesaian:
p q ~p p ⋁ ~p
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
B
B
B
B
Berdasarkan pada kolom paling kanan kedua tabel di atas, tampak
bahwa (p ⋀ q) → q dan p ⋁ ~p selalu bernilai benar untuk setiap nilai
kebenaran dan komponennya. . Oleh karena itu, pernyataan (p ⋀ q) → q
dan p ⋁ ~p adalah suatu tautologi.
2. Kontradiksi
Kontradiksi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai salah
untuk setiap nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Seperti pada
tautologi, untuk membuktikan apakah suatu pernyataan merupakan
kontradiksi, kita dapat menggunakan tabel kebenaran.
Contoh kontradiksi:
Tunjukan bahwa pernyataan majemuk q ⋀ (p ⋀ ~q) merupakan
suatu kontradiksi.

12. Penyelesaian:
P q ~q p ⋀ ~q q ⋀ (p ⋀ ~q)
B
B
S
S
B
S
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
S
S
S
Pada kolom yang paling kanan dari tabel di atas, tampak bahwa q ⋀
(p ⋀ ~q) selalu bernilai salah untuk setiap kebenaran dari komponennya.
Oleh karena itu, pernyataan q ⋀ (p ⋀ ~q) adalah suatu kontradiksi.
3. Kontingen
Kontingen adalah pernyataan yang nilai kebenarannya merupakan
kumpulan dari nilai B dan S, di luar tautologi dan kontradiksi.
Contoh kontingen:
Tunjukan bahwa pernyataan p ⋀ [q ⋀ (p ⋁ q)] merupakan suatu
kontradiksi.
Penyelesaian:
p q p ⋁ q q ⋀ (p ˅ q) p ⋀ [q ⋀ (p ⋁ q)]
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
B
S
B
S
B
S
B
S
S
S
Pada kolom paling kakan tabel di atas, tampak bahwa nilai
kebenaran p ⋀ [q ⋀ (p ⋁ q)] bernilai salah dan benar untuk setiap
kebenaran dari komponennya. Oleh karena itu, p ⋀ [q ⋀ (p ⋁ q)]
merupakan kontingen.

13. E. Ekuivalensi
1. Membuktikan Pernyataan Majemuk dengan Menggunakan Tabel
Kebenaran
Dua pernyataan dikatakan ekuivalen apabila kedua pernyataan
tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama. Dua pernyatan p dan q
yang ekuivalen dinotasikan dengan p ≡ q.7
Contoh:
Dengan menggunakan tabel kebenaran, selidikilah apakah
pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen.
a. ~ (p ⋁ q) dengan ~p ⋀ ~q
b. p ⋀ (q → r) dengan (p ⋀ q) → (p ⋀ r)
Penyelesaian:
a. ~ (p ⋁ q) dengan ~p ⋀ ~q
p q ~p ~q p ⋁ q ~ (p ⋁ q) ~p ⋀ ~q
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
S
S
B
Dari tabel di atas, tampak bahwa nilai kebenaran ~ (p ⋁ q) sama
dengan nilai kebenaran ~p ⋀ ~q. Jadi, dapat disimpulkan bahwa ~ (p ⋁
q) ≡ ~p ⋀ ~q.
7
Siswanto, op.cit., h. 282.

14. b. p ⋀ (q → r) dengan (p ⋀ q) → (p ⋀ r)
p q r p⋀q p⋀r q→r p ⋀ (q→r) (p ⋀ q) → (p ⋀ r)
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B
B
S
S
S
S
S
S
B
S
B
S
S
S
S
S
B
S
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
S
S
S
S
B
S
B
B
B
B
B
B
Dari tabel di atas, tampak bahwa nilai kebenaran p ⋀ (q → r)
tidak sama dengan nilai kebenaran (p ⋀ q) → (p ⋀ r). Jadi, dapat
disimpulkan bahwa p ⋀ (q → r) tidak ekuivalen dengan (p ⋀ q) → (p ⋀
r).
2. Negasi dari Pernyataan Majemuk
Negasi dari suatu pernyataan majemuk dapat dibentuk dari negasi
pernyataan-pernyataan tunggal dengan menggunakan ukuivalensi, yaitu
apabila permyataan-pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran
yang sama dengan pernyataan majemuk negasi dari komponen-
komponennya.8
Dalam hal ini, terdapat ekuivalensi sebagai berikut:
a. ~(p ⋀ q) ≡ ~p ⋁ ~q
b. ~(p ⋁ q) ≡ ~p ⋀ ~q
c. ~(p → q) ≡ p ⋀ ~q
d. ~(p ↔ q) ≡ (p ⋀ ~q) ⋁ (q ⋀ ~p)
8
Ibid., h. 284.

15. Contoh:
a. Buktikan bahwa ~(p ⋀ q) ≡ ~p ⋁ ~q.
Bukti:
p q ~p ~q p ⋀ q ~(p ⋀ q) ~p ⋁ ~q
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
S
B
B
B
S
B
B
B
Terbukti bahwa ~(p ⋀ q) ≡ ~p ⋁ ~q.
b. Tuliskan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:
1) Nia adalah anak yang pandai dan pendiam.
2) Jika Anik mendapat nilai bagus maka ia naik kelas.
Penyelesaian:
1) Nia adalah anak yang tidak pandai dan dan pendiam.
2) Anik mendapat nilai bagus maka ia tidak naik kelas.
3. Membuktikan Pernyataan Majemuk tanpa Menggunakan Tabel
Kebenaran
Untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan majemuk dapat
dilakukan dengan menggunakan tabel kebenaran. Akan tetapi, pembuktian
dengan cara tersebut kurang efisien. Oleh karena itu, kita dapat
membuktikan kebenaran suatu pernyataan majemuk dengan menggunakan
sifat-sifat ekuivalensi, diantaranya sebagai berikut:
a. * p ⋁ p ≡ p
(p ⋁ q) ⋁ r ≡ p ⋁ (q ⋁ r)
p ⋁ q ≡ q ⋁ p
p ⋁ (q ⋀ r) ≡ (p ⋁ q) ⋀ (p ⋁ r)
~(p ⋁ q) ≡ ~p ⋀ ~q

16. * p ⋀ p ≡ p
(p ⋀ q) ⋀ r ≡ p ⋀ (q ⋀ r)
p ⋀ q ≡ q ⋀ p
p ⋀ (q ⋁ r) ≡ (p ⋀ q) ⋁ (p ⋀ r)
~(p ⋀ q) ≡ ~p ⋁ ~q
b. ~(~p) ≡ p
c. ~(p → q) ≡ p ~q
p → q ≡ ~p ⋁ q
p → (q ⋀ r) ≡ (p → q) ⋀ ~(p → r)
d. p ↔ q ≡ (p → q) ⋀ (q → p)
F. Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Seperti yang telah kita ketahui, bahwa dua buah pernyataan atau lebih
dapat dibentuk menjadi suatu kalimat majemuk. Pernyataan-pernyataan
majemuk yang menggunakan kata hubung “ → “ adalah implikasi, konvers,
invers, dan kontraposisi yang didefinisikan sebagai berikut.
Jika p dan q adalah suatu pernyataan, maka pernyataan majemuk:
1. p → q disebut implikasi (diketahui)
2. q → p disebut konvers dari p → q
3. ~p → ~q disebut invers dari p → q
4. ~q → ~p disebut kontraposisi dari p → q
Dengan menggunakan tabel kebenaran, kita dapat melihat nilai
kebenaran dari masing-masing pernyataan baru tersebut. Tabel kebenarannya
adalah sebagai berikut.
Pernyataan Implikasi Konvers Invers Kontraposisi
p q ~p ~q p → q q → p ~p → ~q ~q → ~p
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
S
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
S
B
B

17. Dengan memperhatikan nilai kebenaran pada tabel di atas, dapat
disimpulkan sebagai berikut:
1. Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya.
p → q ≡ ~q → ~p
2. Konvers suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya.
q → p ≡ ~p → ~q
Contoh:
Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi “Jika PQRS
adalah persegi, maka PQRS adalah persegi panjang”.
Pentelesaian:
Konvers : Jika PQRS adalah pesegi panjang, maka PQRS adalah persegi.
Invers : Jika PQRS bukan persegi, maka PQRS bukan persegi panjang.
Kontraposisi : Jika PQRS bukan pesegi panjang, maka PQRS bukan persegi.
G. Kalimat Kuantor dan Negasinya
1. Kuantor Universal
Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka, dengan x anggota
himpunan semesta pembicaraan S.
Pernyataan:
(∀x ∈ S) p(x) atau (∀x) p(x)
Dibaca “untuk setiap x, berlakulah p(x) disebut kalimat berkuantor
universal (universal quatifier). Penggunaan kata “untuk setiap” pada
kuantor universal senilai dengan kata “untuk semua”, “untuk tiap-tiap”,
dan “untuk seluruh”.
Contoh:
a. Tuliskan kalimat untuk “Untuk setiap n anggota himpunan bilangna asli
N, berlaku n anggota himpunan bilangna real R” dengan notasi
matematika.
Penyelesaian:

18. Kalimat tersebut adalah kalimat kuantor universal sehingga dengan
notasi matematika dapat ditulis (∀n) n ∈ N → n ∈ .
b. Jika semesta pembicaraannya bilangan real R, tentukan nilai kebenaran
dari (∀x) (x + 3 < 6).
Penyelesaian:
(∀x) (x + 3 < 6) bernilai salah. Misalkan diambil salah satu nilai x = 4.
Akibatnya, 4 + 3 < 6 (bernilai salah). Dengan demikian, tidak berlaku
untuk setiap x ∈ R.
2. Kuantor Eksistensial
Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka pada suatu himpunan
semesta pembicaraan S.
Pernyataan:
(∃x ∈ S) p(x) atau (∃x) p(x)
Dibaca “terdapat x sehingga p(x)” disebut kalimat kuantor eksistensial
(existential quantifier). Kata “terdapat” senilai dengan kata “ada”,
“beberapa”, “untuk suatu”, dan “untuk paling sedikit satu”.
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari kalimat berkuantor eksistensial
berikut jika x dan y adalah anggota himpunan bilangna real R.
a. (∃x) (x2
– 6x + 8 = 0)
b. (∃x) (x2
+ 9 < 0)
Penyelesaian:
a. (∃x) (x2
– 6x + 8 = 0) bernilai benar. Misalkan diambil x = 2 atau x = 4.
b. (∃x) (x2
+ 9 < 0) bernilai salah.
Untuk x ∈ R, x2
≥ 0, sedangkan 9 > 0. Jadi. Tidak mungkin dua
bilangan real positif jika dijumlahkan hasilnya bernilai negatif.

19. 3. Ingkaran (Negasi) Kalimat Berkuantor
Negasi kalimat berkuantor universal adalah kalimat berkuantor
eksistensial, sedangkan negasi kalimat berkuantor eksistensial adalah
kalimat berkuantor universal.9
Jika terdapat kalimat berkuantor universal (∀x) p(x) dan kalimat
berkuantor eksistensial (∃x) p(x), negasi dari keduanya ditulis sebagai
berikut:
~[(∀x) p(x)] ≡ (∃x) ~ p(x)
~[(∃x) p(x)] ≡ (∀x) ~p(x)
Contoh:
Tentukan negasi dari kalimat kuantor berikut jika x dan y adalah
anggota himpunan bilangan real.
a. (∀x) (x + 7 ≤ 9)
b. (∃x) (x2
= x)
Penyelesaian:
a. ~[(∀x) (x + 7 ≤ 9)] ≡ (∃x) ~(x + 7 ≤ 9)
≡ (∃x) (x + 7 > 9)
b. ~[(∃x) (x2
= x)] ≡ (∀x) ~(x2
= x)
≡ (∀x) (x2
≠ x)
H. Penarikan Kesimpulan
Untuk membuktikan suatu sifat atau menyelidiki kebenaran dari suatu
kesimpulan berdasarkan kebenaran yang sudah diketahui, dapat digunakan
pola argumentasi berdasarkan prinsip-prinsip logika. Kesimpulan ditarik dari
beberapa pernyataan yang diasumsikan benar terjadi. Asumsi-asumsi itu
disebut juga premis. Suatu penarikan kesimpulan dikatakan sah atau valid
apabila implikasi dari konjungsi premis-premis dengan konklusi merupakan
tautologi. Sebaliknya, apabila premis-premis tidak memberikan informasi
9
Ibid., h. 294.

20. yang cukup untuk mendukung kesimpulan yang diambil maka dikatakan
penarikan kesimpulan tidak valid.10
Prinsip-prinsi yang digunakan untuk menganbik kesimpulan, antara
lain modus ponen, modus tollens, dan silogisme.
1. Modus Ponen
Penarikan kesimpulan dengan menggunakan modus ponen
didasarkan pada prinsip “Jika p → q benar maka q pasti benar”. Prinsip
tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:
Premis 1 : p → q
Premis 2 : p
Konklusi : ∴ q
Tanda “∴” dibaca “maka” atau “jadi”.
Prinsip di atas dibaca: Jika p → q benar dan p benar maka q benar.
Sahnya modus ponen dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran pernyataan
majemuk “[(p → q) ⋀ p] → q”.
p q p → q (p → q) ⋀ p (p → q) ⋀ p] → q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
B
S
S
S
B
B
B
B
Pada tabel tersebut tampak bahwa pada kolom kelima nilai
kebenarannya adalah “benar” seluruhnya. Oleh karena itu, (p → q) ⋀ p] →
q merupakan suatu tautulogi.
10
Ibid., h. 297.

21. Contoh:
Premis 1 : Jika segitiga ABC sama sisi maka AB = AC = BC.
Premis 2 : Segitiga ABC sama sisi.
Konklusi : Jadi, AB = AC = BC.
2. Modus Tollens
Penarikan kesimpulan pada modus Tollens didasarkan pada prinsip
“Jika p → q benar dan q tidak benar maka p pasti tidak benar”. Prinsip
tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:
Premis 1 : p → q
Premis 2 : ~q
Konklusi : ∴ ~p
Prinsip ini dibaca : Jika p → q benar dan ~q benar maka ~p benar.
Kebenaran dari modus tollens dapat dibuktikan dengan
menggunakan tabel kebenaran kontraposisi.
Contoh:
Premis 1 : Jika segitiga ABC siku-siku di titik B maka AC2
= AB2
+ BC2
.
Premis 2 : AC2
≠ AB2
+ BC2
.
Konklusi : Jadi, segitiga ABC tidak siku-siku di titik B.
3. Silogisme
Penarikan kesimpulan dengan silogisme berdasarkan prinsip “Jika
p → q benar dan q → r benar maka p → r pasti benar”. Prinsip tersebut
dapat dirumuskan sebagai berikut:

22. Premis 1 : p → q
Premis 2 : q → r
Konklusi : ∴ p → r
Kebenaran dari silogisme dapat dilihat pada tabel kebenaran [(p →
q) ⋀ (q → r)] → (p → r) adalah suatu tautologi.
p q r p→q q→r p→r (p→q) ⋀
(q→r)
[(p→q) ⋀ (q→r)]
→ (p→r)
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B
B
S
S
B
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
B
S
B
S
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Contoh:
Premis 1 : Jika guru Matematika tidak masuk sekolah maka murid-
murid bercengkrama.
Premis 2 : Jika murid-murid bercengkrama maka mereka bergembira.
Konklusi : Jadi, jika guru Matematika tidak masuk sekolah maka mereka
bergembira.
I. Pembuktian
Pembuktian suatu sifat dalan matematika menunjukan kebenaran sifat
dalam matematika secara logika.

23. 1. Pembuktian dengan Bukti Langsung
Pembuktian dengan bukti langsung digunakan untuk membuktikan
sifat dalam matematika dengan implikasi p → q. Pembuktian ini
menggunakan nilai kebenaran pernyataan (implikasi), yaitu jika diketahui
p bernilai benar (anteseden benar) dan implikasi bernilai benar, kemudian
dengan langkah-langkah yang benar, pasti dihasilkan q yang bernilai benar
(konsekuen bernilai benar).11
Contoh:
Buktikan bahwa jika x + 2 = 5 maka x = 3.
Bukti:
Diketahui x + 2 = 5. Kemudian, akan dibuktikan bahwa x = 3. Karena x + 2
= 5 maka x + 2 – 2 = 5 – 2 atau x = 3. Jadi, terbukti bahwa jika x + 2 = 5
maka x = 3.
2. Pembuktian dengan Bukti Terbalik
Pembuktian dengan bukti terbalik menggunakan prinsip modus
tollens. Terdapat dua cara dalam pembuktian dengan bukti terbalik, yaitu
kontraposisi dan kontradiksi.
a. Kontraposisi
Pembuktian dengan kontraposisi digunakan untuk membuktikan
sifat matematika yang mempunyai implikasi p → q. Nilai kebenaran
suatu implikasi sama dengan nilai kebenaran kontraposisinya. Oleh
karena itu, pembuktian dengan kontraposisi dari sifat matematika
dengan implikasi p → q dilakukan dengan menunjukan kebenaran sifat
matematika ~q → ~p.12
Misalkan akan dibuktikan sifat matematika p →q. Pembuktian
dilakukan dengan membuktikan ~q → ~p. Dalam hal ini, diketahui ~q
bernilai benar dan implikasi bernilai benar, kemudian dengan langkah-
langkah yang benar, pasti dihasilkan ~p yang benar.
11
Ibid., h. 304.
12
Ibid., h. 305.

24. Contoh:
Buktikan bahwa jika x dan y bilangan ganjil maka x + y bilangna genap.
Bukti:
Kontraposisi dari implikasi “Jika x dan y bilangan ganjil maka x
+ y bilangna genap” adalah “Jika x + y bukan bilangan genap maka x
dan y bukan bilangna genap”.
Diketahui x + y bukan bilangan genap, berarti x + y bilangan
ganjil. Oleh karena itu, x atau y merupakan bilangna ganjil berarti x atau
y bukan bilangan genap. Jadi, terbukti bahwa jika x atau y bilangan
ganjil maka x atau y bilangna genap.
b. Kontradiksi
Pembuktian dengan kontradiksi dapat digunakan untuk
membuktikan sifat matematika yang merupakan suatu implikasi. Untuk
membuktikan sifat matematika yang merupakan suatu implikasi p → q,
diandaikan tidak q. Selanjutnya, jika dihasilkan kontradiksi (sesuatu
yang salah misalkan tidak p karena yang diketahui adalah p), berarti
pengandaian salah. Oleh karena itu, pengandaian harus diingkar. Jadi,
diperoleh q. Sedangkan untuk membuktikan sifat matematika yang
berupa sifat p, diandaikan tidak p. Selanjutnya, jika dihasilkan
kontradiksi (sesuatu yang salah misalkan 1 bilangan genap), berarti
pengandaian salah. Oleh karena itu, pengandaian harus diingkar.13
Contoh:
Buktikan bahwa 2 + 4 = 6.
Bukti:
Andaikan 2 + 4 ≠ 6 maka 2 + 4 – 4 ≠ 6 – 4 atau 2 ≠ 2. Hal ini
kontradiksi dengan ketentuan bahwa 2 = 2. Pengandaian 2 + 4 ≠ 6 harus
diingkar sehingga 2 + 4 = 6. Jadi, terbukti 2 + 4 = 6.
13
Ibid., h. 306.

25. 3. Pembuktian dengan Induksi Matematika
Pembuktian dengan induksi matematika digunakan untuk
membuktikan sifat matematika yang memuat bilangan asli. Misalkan akan
dibuktikan bahwa untuk setiap n bilangan asli, berlaku P(n). Langkah-
langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
a. Dibuktikan berlaku P(n) untuk n = 1.
b. P(n) dianggap benar untuk n = k. Selanjutnya, dibuktikan bahwa P(n)
benar untuk n = k + 1.
c. Dari langkah a dan b, disimpulkan bahwa untuk setiap n bilangan asli
berlaku P(n).
Contoh:
Buktikan bahwa untuk setiap n bilangan asli, 4n
– 1 habis dibagi 3.
Bukti:
a. Untuk n = 1 maka 4n
– 1 = 41
– 1 = 4 – 1 = 3 habis dibagi 3.
b. Dianggap benar untuk n = k, berarti 4k
– 1 habis dibagi 3. Selanjutnya,
untuk n = k + 1 berlaku sebagai berikut:
4k + 1
– 1 = (4k
× 4) – 1
= [4k
× (3 + 1)] – 1
= [(4k
× 3) + (4k
× 1)] – 1
= (3 × 4k
) + (4k
– 1)
Karena 3 × 4k
dan 4k
– 1 habis dibagi 3 maka 4k + 1
– 1 =(3 × 4k
) + (4k
–
1) habis dibagi 3.
c. Dari langkah a dan b, disimpulkan bahwa untuk setiap n bilangan asli,
berlaku 4n
-1 habis dibagi 3.

26. BAB III
KESIMPULAN
Logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan
secara tegas antara penalaran yang benar dengan penalaran yang salah.
Dalam mempelajari logika matematika pasti berhubungan dengan istilah
pernyataan, kalimat majemuk dan ingkaran. Pernyataan-pernyataan majemuk
diantaranya adalah sebagai berikut:
1. Konjungsi, kata hunbungnya “dan” dilambangkan dengan “⋀”.
2. Disjungsi, kata hunbungnya “atau” dilambangkan dengan “⋁”.
3. Implikasi, kata hunbungnya “Jika ... maka ...” dilambangkan dengan “→”.
4. Biimplikasi, kata hunbungnya “... jika dan hanya jika ...” dilambangkan
dengan “↔”.
Di dalam logika matematika terdapat beberapa jenis operasi yang
digunakan, diantaranya yaitu operasi konjungsi, disjungsi, implikasi, dan
biimplikasi.
Ada tiga jenis cara penarikan kesimpulan dalam logika matematika,
diantaranya adalah sebagai berikut:
1. Dengan Modus Ponen.
2. Dengan Modus Tollens.
3. Dengan Silogisme.
Untuk membuktikan kebenaran dari suatu pernyataan dapat dilakukan
dengan tiga cara yaitu:
1. Pembuktian dengan bukti langsung.
2. Pembuktian dengan bukti tidak langsung.
3. Pembuktian dengan induksi matematika.

27. DAFTAR PUSTAKA
Kusumah, Yaya S. 1986. Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito.
Munir, Rinaldi. 2012. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika.
Ruseffendi. 1989. Dasar-dasar Matematika Modern dan Komputer. Bandung:
Tarsito.
Siswanto. 2009. Theory and Application of Mathematics. Solo: Bilingual.
Wirodikromo, Sartono. 2001. Matematika untuk SMA kelas X. Jakarta: Erlangga.