Aula 03
Dependência e Independência Linear e
Produto Vetorial
Vetores colineares
Dois vetores são colineares se tiverem a
mesma direção.
U
V
V
U V
Vetores LDs
Isso acontece se, e somente se, existe um
número real tal que ou .
Diremos, então, que um vetor é escrito
como...
Vetores LIs
Quando tomamos dois vetores nos quais não é
possível escrever um vetor como combinação
linear do outro, dizemo...
Vetores LIs
Se e são linearmente independentes,
então, todos os vetores da forma
podem ser representados sobre um mesmo
pl...
Vetores LIs
Toda combinação linear de dois vetores LIs
pode ser representada sobre o plano .
Por essa razão, se os dois ve...
Componentes de um vetor
Se um vetor se escreve como uma
combinação linear , diremos que
os vetores e são componentes do
ve...
Três vetores coplanares
Se os vetores , e possuem
representantes pertencentes em um
mesmo plano , dizemos que eles são
cop...
Observação
Dois vetores quaisquer são sempre
coplanares, pois sempre podemos tomar
um ponto do espaço e, com origem nele,
...
Obeservação

U
V
W
1
V
W
3 vetores LDs 3 vetores LIs
Base
Se três vetores do espaço são linearmente
independentes, então eles geram o
espaço.
Um conjunto de três vetores linea...
Base ortonormal
Uma base chama-se ortogonal se
os seus vetores são mutuamente
ortogonais, isto é, se
Se, além disso, os ve...
Base canônica
A base canônica do espaço tridimensional é
formada pelos vetores ,
e , ou seja, é uma
base ortonormal.
Todo ...
Exemplo
Dados e
determine:
a) b) c) d)
Solução:
(1,2, 2)U   6 2 3V i j k  
|| ||U || ||V U V Vproj U
2 2 2
|| || 1 2...
Produto vetorial
Nós iremos definir agora um tipo de
multiplicação vetorial que produz um
vetor como produto, mas que é ap...
Definição
Se e são
vetores no espaço tridimensional, então o
produto vetorial é o vetor definido por
ou em notação de dete...
Observação
Em vez de memorizar as fórmulas, você
pode obter os componentes de como
segue:
• Forme a matriz 2 x 3 dada por
...
Observação
• Para obter o primeiro componente de ,
descarte a primeira coluna e tome o
determinante;
• Para obter o segund...
Exemplo
Se e calcule
e .
Solução:
(2, 1, 1)U   V i j k   U V
V U
1 1 2 1 2 1
, , (0,3,3) 3 3
1 1 1 1 1 1
U V j k
 ...
Abuso de notação
O produto vetorial de e
pode ser representado
simbolicamente como um determinante
3x3:
1 2 3( , , )U u u ...
Exemplo
Se e calcule .
Solução:
(2, 1, 1)U   V i j k   U V
2 1 1
1 1 1
i j k
U V  

3 3j k 
Observação
Os vetores canônicos satisfazem:
Propriedades do Produto Vetorial
Sejam U, V e W vetores no espaço e  um
escalar.
Relações entre Produtos
Escalar e Vetorial
Sejam U e V vetores do espaço, então:
) ( ) 0i U U V  
) ( ) 0ii V U V  
...
Observação
mostram que o vetor é ortogonal
simultaneamente a e a .
De
obtemos
) ( ) 0i U U V   ) ( ) 0ii V U V  
U V...
Regra da mão direita
Se e são vetores não-nulos, pode ser
mostrado que o sentido de pode ser
determinado usando a "regra d...
Resumindo
Se U e V são vetores não-nulos, então:
I) O vetor é ortogonal simultaneamente
a e a .
II)
III) O sentido de pode...
Interpretação Geométrica do
Produto Vetorial
U
V
parA base altura 
senparA U V 
parA U V 
2
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U V
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
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senV 

Exemplo
Calcule a área do triângulo de vértices
A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3).
Solução:
1
2
A AB AC  ( 3,1, 1)AB...
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  1. 1. Aula 03 Dependência e Independência Linear e Produto Vetorial
  2. 2. Vetores colineares Dois vetores são colineares se tiverem a mesma direção. U V V U V
  3. 3. Vetores LDs Isso acontece se, e somente se, existe um número real tal que ou . Diremos, então, que um vetor é escrito como combinação linear do outro, e neste caso, os vetores e são ditos linearmente dependentes.  U V V U
  4. 4. Vetores LIs Quando tomamos dois vetores nos quais não é possível escrever um vetor como combinação linear do outro, dizemos que os vetores são linearmente independentes. Neste caso os dois vetores não são colineares mas são coplanares, isto é, possuem representantes pertencentes a um mesmo plano .  U V
  5. 5. Vetores LIs Se e são linearmente independentes, então, todos os vetores da forma podem ser representados sobre um mesmo plano, e reciprocamente.  U V W U V  U V U V U V 
  6. 6. Vetores LIs Toda combinação linear de dois vetores LIs pode ser representada sobre o plano . Por essa razão, se os dois vetores são linearmente independentes, diremos que eles geram um plano.
  7. 7. Componentes de um vetor Se um vetor se escreve como uma combinação linear , diremos que os vetores e são componentes do vetor na direção dos vetores e . Os escalares e são as coordenadas de em termos aos vetores e . W U V  U V W U V   W U V
  8. 8. Três vetores coplanares Se os vetores , e possuem representantes pertencentes em um mesmo plano , dizemos que eles são coplanares. WU V  U V W
  9. 9. Observação Dois vetores quaisquer são sempre coplanares, pois sempre podemos tomar um ponto do espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantes pertencendo a um plano que passa por esse ponto. Três vetores podem ser ou não complanares.
  10. 10. Obeservação  U V W 1 V W 3 vetores LDs 3 vetores LIs
  11. 11. Base Se três vetores do espaço são linearmente independentes, então eles geram o espaço. Um conjunto de três vetores linearmente independentes chama-se uma base para o espaço dos vetores. A base que consiste dos vetores , e , nessa ordem, será indicada por . WU V { , , }U V W
  12. 12. Base ortonormal Uma base chama-se ortogonal se os seus vetores são mutuamente ortogonais, isto é, se Se, além disso, os vetores são unitários, a base chama-se ortonormal. { , , }U V W 0.U V U W V W     
  13. 13. Base canônica A base canônica do espaço tridimensional é formada pelos vetores , e , ou seja, é uma base ortonormal. Todo vetor pode ser escrito como uma combinação linear de e . (1,0,0)i  (0,1,0)j  (0,0,1)k  { , , }B i j k ,i j k
  14. 14. Exemplo Dados e determine: a) b) c) d) Solução: (1,2, 2)U   6 2 3V i j k   || ||U || ||V U V Vproj U 2 2 2 || || 1 2 ( 2) 1 4 4 9 3U          2 2 2 || || 6 ( 2) 3 36 4 9 49 7V          (1,2, 2).(6, 2,3) 6 4 6 4U V         2 2 4 24 8 12 (6, 2,3) , , || || 7 49 49 49 V U V proj U V V             
  15. 15. Produto vetorial Nós iremos definir agora um tipo de multiplicação vetorial que produz um vetor como produto, mas que é aplicável somente ao espaço tridimensional.
  16. 16. Definição Se e são vetores no espaço tridimensional, então o produto vetorial é o vetor definido por ou em notação de determinante, 1 2 3( , , )U u u u 1 2 3( , , )V v v v 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( , , )U V u v u v u v u v u v u v     2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 , , (1) u u u u u u U V v v v v v v        
  17. 17. Observação Em vez de memorizar as fórmulas, você pode obter os componentes de como segue: • Forme a matriz 2 x 3 dada por cuja primeira linha contém os componentes de e cuja segunda linha contém os componentes de . 2 31 2 31 u uu v vv      
  18. 18. Observação • Para obter o primeiro componente de , descarte a primeira coluna e tome o determinante; • Para obter o segundo componente, descarte a segunda coluna e tome o negativo do determinante; • Para obter o terceiro componente, descarte a terceira coluna e tome o determinante.
  19. 19. Exemplo Se e calcule e . Solução: (2, 1, 1)U   V i j k   U V V U 1 1 2 1 2 1 , , (0,3,3) 3 3 1 1 1 1 1 1 U V j k              1 1 1 1 1 1 , , (0, 3, 3) 3 3 1 1 2 1 2 1 V U j k                
  20. 20. Abuso de notação O produto vetorial de e pode ser representado simbolicamente como um determinante 3x3: 1 2 3( , , )U u u u 1 2 3( , , )V v v v 1 2 3 1 2 3 i j k U V u u u v v v   2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 u u u u u u i j k v v v v v v   
  21. 21. Exemplo Se e calcule . Solução: (2, 1, 1)U   V i j k   U V 2 1 1 1 1 1 i j k U V    3 3j k 
  22. 22. Observação Os vetores canônicos satisfazem:
  23. 23. Propriedades do Produto Vetorial Sejam U, V e W vetores no espaço e  um escalar.
  24. 24. Relações entre Produtos Escalar e Vetorial Sejam U e V vetores do espaço, então: ) ( ) 0i U U V   ) ( ) 0ii V U V   2 2 2 2 ) || || || || || || ( )iii U V U V U V    (Id. de Lagrange) ) ( ) ( ) ( )iv U V W U W V U V W      )( ) ( ) ( )v U V W U W V V W U     
  25. 25. Observação mostram que o vetor é ortogonal simultaneamente a e a . De obtemos ) ( ) 0i U U V   ) ( ) 0ii V U V   U V U V 2 2 2 2 ) || || || || || || ( )iii U V U V U V    2 2 2 2 2 2 || || || || || || || || || || cosU V U V U V    2 2 2 || || || || (1 cos )U V   2 2 2 || || || || senU V  || || || || || || senU V U V  
  26. 26. Regra da mão direita Se e são vetores não-nulos, pode ser mostrado que o sentido de pode ser determinado usando a "regra da mão direita"! u v u v 
  27. 27. Resumindo Se U e V são vetores não-nulos, então: I) O vetor é ortogonal simultaneamente a e a . II) III) O sentido de pode ser determinado usando a “regra da mão direita”. U V U V || || || || || || senU V U V   U V
  28. 28. Interpretação Geométrica do Produto Vetorial U V parA base altura  senparA U V  parA U V  2 tri U V A   senV  
  29. 29. Exemplo Calcule a área do triângulo de vértices A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3). Solução: 1 2 A AB AC  ( 3,1, 1)AB    ( 1,1,1)AC   3 1 1 1 1 1 i j k AB AC     2 4 2i j k   1 2 6 2 A  6 . .u a
  30. 30. Obrigado!

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