ΚΛ

2. Μια σχέση ισότητας ή ανισότητας είναι στην ουσία
μια ζυγαριά, η οποία είτε ισορροπεί, είτε γέρνει από
τη μία πλευρά, είτε γέρνει από την άλλη.

3. Η ζυγαριά ισορροπεί, άρα τα βάρη α και β είναι ίσα.

4. Τώρα είναι προφανές ότι τα βάρη δεν είναι ίσα.

5. Δραστηριότητα 1
Ο Γιώργος έχει μια ζυγαριά που ισορροπεί, όπως φαίνεται
στο παρακάτω σχήμα. Πρόκειται δηλαδή για ένα κύβο που
έχει βάρος ίσο με το βάρος δύο κώνων.
Προσθέτει στο δίσκο της ζυγαριάς όπου βρίσκεται ο κύβος,
μια μπάλα. Τι θα συμβεί στη ζυγαριά;

6. Προφανώς η ζυγαριά θα γύρει από την πλευρά που βρίσκεται
ο κύβος.
Πόσες μπάλες πρέπει να τοποθετήσει στο δίσκο της ζυγαριάς
όπου βρίσκονται οι δύο κώνοι, για να ισορροπήσει και πάλι η
ζυγαριά;

7. Για να ισορροπήσει και πάλι η ζυγαριά, πρέπει βέβαια
να τοποθετήσει και στην άλλη πλευρά το ίδιο βάρος,
δηλαδή μία μπάλα.
Αν βγάλει τους δύο κώνους από το δεύτερο δίσκο, τι θα
πρέπει να κάνει ώστε να ισορροπήσει και πάλι η
ζυγαριά;

8. Τα συμπεράσματά μας αυτά μπορούμε να τα διατυπώσουμε ως
γενικότερους κανόνες για τις ισότητες.
Αν και στα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε
προκύπτει και πάλι μια ισότητα. Δηλαδή:
Αν α = β τότε α + γ = β + γ
Αν και στα δύο μέλη μιας ισότητας αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε
προκύπτει και πάλι μια ισότητα. Δηλαδή:
Αν α = β τότε α - γ = β - γ

9. Δραστηριότητα 2
Ο Γιώργος ξέρει ότι ένας κύβος ισορροπεί με 2 κώνους.
Αν βάλει 4 κύβους στη μία πλευρά, πόσους κώνους πρέπει να βάλει
στην άλλη πλευρά, ώστε να ισορροπήσει και πάλι η ζυγαριά;

10. Αφού τετραπλασίασε το βάρος στη μία πλευρά, πρέπει
να τοποθετήσει τετραπλάσιο βάρος και στην άλλη
πλευρά, ώστε να ισορροπήσει και πάλι η ζυγαριά,
δηλαδή πρέπει να τοποθετήσει 8 κώνους.

11. Γενικά:
Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο
αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα. Δηλαδή:
Αν α = β τότε α  γ = β  γ
Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας διαιρεθούν με τον ίδιο (μη μηδενικό)
αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα. Δηλαδή:
α = β
γ γ
Αν α = β τότε , με γ ≠ 0
Γιατί πρέπει να βάλουμε τον περιορισμό γ ≠ 0 ;

12. Η έννοια της εξίσωσης
Δραστηριότητα 3
Η διπλανή ζυγαριά ισορροπεί. Μπορείτε να
βρείτε πόσο ζυγίζει ένας κύβος; Τα βαρίδια
ζυγίζουν 100 gr το καθένα
Η λύση θα δοθεί αν μπορέσουμε να απομονώσουμε στον ένα
δίσκο της ζυγαριάς έναν κύβο, φροντίζοντας όμως να μη
χαλάσει η ισορροπία της ζυγαριάς.
Τι μπορούμε να κάνουμε λοιπόν στην αρχή;

13. Αφαιρούμε 2 βαρίδια των 100gr και από τους δύο δίσκους.
Χάλασε η ισορροπία;
Μετά τι άλλο μπορούμε να κάνουμε;

14. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να αφαιρέσουμε έναν κύβο
από κάθε δίσκο. Εξακολουθεί να ισορροπεί η ζυγαριά;
Ωραία! Τώρα που δεν έχουμε ίδια αντικείμενα να αφαιρέσουμε,
τι θα κάνουμε; Παρατηρείστε καλά το πλήθος και το είδος των
αντικειμένων που βρίσκονται σε κάθε δίσκο.

15. Έχουν μείνει λοιπόν 2 κύβοι στον έναν δίσκο και 4 βαρίδια
στον άλλο. Αν απομακρύνουμε τον έναν κύβο που είναι το
μισό βάρος του δίσκου, θα πρέπει να απομακρύνουμε το
μισό βάρος και του άλλου δίσκου, δηλαδή 2 βαρίδια.
Έτσι τώρα έχουμε την λύση! Το βάρος του κύβου είναι 2
βαρίδια, δηλαδή 200gr.

16. Ας δούμε τώρα μια «μαθηματική» λύση του παραπάνω προβλήματος:
Έστω ότι κάθε κύβος ζυγίζει x γραμμάρια. Τότε, στον αριστερό δίσκο της
ζυγαριάς βρίσκονταν στην αρχή
3x + 200 gr
ενώ στον δεξιό δίσκο
x + 600 gr

17. Αφού η ζυγαριά ισορροπεί, θα είναι : 3x + 200 = x + 600
Η ισότητα αυτή, που περιέχει τον άγνωστο αριθμό x,
ονομάζεται εξίσωση.
Η παράσταση 3x + 200 λέγεται πρώτο μέλος της εξίσωσης, ενώ η
παράσταση x + 600 λέγεται δεύτερο μέλος αυτής.
Μια αλγεβρική παράσταση με μια μεταβλητή είναι εξίσωση;

18. Για να βρούμε τον άγνωστο x με μαθηματικό τρόπο εργαζόμαστε ως εξής:
3x + 200 = x + 600
Αφαιρούμε το 200 και από τα δύο μέλη της εξίσωσης
3x + 200 – 200 = x + 600 –
200
Κάνουμε τις πράξεις
3x = x + 400
Αφαιρούμε το x και από τα δύο μέλη της εξίσωσης
3x – x = x + 400 – x
Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων και πράξεις
(3 – 1)x = 400 άρα 2x = 400
Διαιρούμε με το 2 και τα δύο μέλη της εξίσωσης
Απλοποιούμε τα κλάσματα και έχουμε τη λύση:
x = 200

19. Έτσι ο κύβος ζυγίζει 200 gr.
Όταν λύνουμε μια εξίσωση μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι το
έχουμε κάνει σωστά αν στο τέλος κάνουμε επαλήθευση.
Στο πρόβλημά μας έχουμε:
3x + 200 = x + 600
Για x = 200
Πρώτο μέλος: 3 ∙ 200 + 200 = 600 + 200 = 800
Δεύτερο μέλος: 200 + 600 = 800
Άρα η τιμή που βρήκαμε είναι σωστή!

20. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να λύσετε τις εξισώσεις χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των
ισοτήτων:
α. –7x + 49 = 7 β. 5x – 13 = 11
γ. 4x – 20 = 28 δ. 8x = 7x + 4
ε. 20x = 16x – 6 στ. 10x = 9 + x
2. Να λύσετε τις εξισώσεις χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των
ισοτήτων:
α. 11 + 7t = 23 + 4t β. 4y – 1 = 1 + y
γ. 3x – 8 = 6x + 4 δ. 4 + 5z = 2 + 4z
ε. 3,5 + t = 4,7 – 3t