1. INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LA LAGUNA
INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIAL
INGENIERÍA ECONÓMICA
UNIDAD UNO
M. A. Diana M. Vázquez Peña
1.1 Importancia de la ingeniería económica.
Un buen gestor se preocupa por las decisiones que toma diariamente porque afectan el
futuro; por lo que debe contar con las herramientas que le proporciona la Ingeniería
Económica ya que es la disciplina que estudia los aspectos económicos de la ingeniería;
implica la evaluación sistemática de los costos y beneficios de los proyectos
presupuestos por la empresa.
1.1.1 La ingeniería económica en la toma de decisiones.
En el mundo globalizado en el que vivimos en la actualidad, la toma de decisiones es
primordial para la competitividad de las empresas; por lo que la Ingeniería Económica es
necesaria por dos razones fundamentales, según lo expresa el Autor Gabriel Baca Urbina
en su libro Fundamentos de Ingeniería Económica:
• Proporciona las herramientas analíticas para tomar mejores decisiones económicas.
• Esto se logra al comparar las cantidades de dinero que se tienen en diferentes
periodos de tiempo, a su valor equivalente en un solo instante de tiempo, es decir,
toda su teoría está basada en la consideración de que el valor del dinero cambia a
través del tiempo.
1.1.2 Tasa de interés y tasa de rendimiento.
• Tasa de interés.
La tasa de interés podría definirse de manera concisa y efectiva como el precio que
debo pagar por el dinero.
http://tiie.com.mx/tasa-de-interes/
1

2. Dicho de otro modo: si pido dinero prestado para llevar adelante una compra o una operación
financiera, la entidad bancaria o la empresa que me lo preste me cobrará un adicional por el
simple hecho de haberme prestado el dinero que necesitaba. Este adicional es lo que
conocemos como tasa de interés.
La tasa de interés se expresa en puntos porcentuales por un motivo evidente, y es que cuanto
más dinero me presten más deberé pagar por el préstamo.
En economía, la tasa de interés cumple un rol fundamental. Si las tasas de interés son bajas
porque hay más demanda o mayor liquidez, habrá más consumo y más crecimiento económico.
Sin embargo, las tasas de interés bajas favorecen la inflación, por lo que muchas veces se
mantienen altas a propósito para favorecer el ahorro y evitar que se disparen los precios.
En cuanto a la TIIE (TASA DE INTERES INTERBANCARIA DE EQUILIBRIO), esta tasa de interés es
muy importante porque refleja de manera diaria la Tasa Base de Financiamiento. De este modo,
los bancos la utilizan como parámetro para establecer las tasas de interés que cobrarán por los
créditos que otorgan.
• Tasa de rendimiento.
Tasa esperada para una inversión determinada.
Porcentaje de beneficio del capital invertido en una determinada operación
1.1.3 Introducción a las soluciones por computadora.
Laboratorio
2

3. 1.1.4 Flujos de efectivo: su estimación y diagramación.
Uno de los elementos fundamentales de la Ingeniería Económica son los flujos de
efectivo, pues constituyen la base para evaluar proyectos, equipo y alternativas de
inversión.
El flujo de efectivo es la diferencia entre el total de efectivo que se recibe (ingresos) y el
total de desembolsos (egresos) para un periodo dado (generalmente un año).
La manera más usual de representar el flujo de efectivo es mediante un diagrama de
flujo de efectivo, en el que cada flujo individual se representa con una flecha vertical a lo
largo de una escala de tiempo horizontal.
Los flujos positivos (ingresos netos), se representa convencionalmente con flechas hacia
arriba y los flujos negativos (egresos netos) con flechas hacia abajo. La longitud de una
flecha es proporcional a la magnitud del flujo correspondiente.
Se supone que cada flujo de efectivo ocurre al final del periodo respectivo.
Esquemas de flujos de efectivo.
• Para evaluar las alternativas de gastos de capital, se deben determinar las entradas y
salidas de efectivo.
• Para la información financiera se prefiere utilizar los flujos de efectivo en lugar de las
cifras contables, debido a que estos son los que reflejan la capacidad de la empresa
para pagar cuentas o comprar activos.
Los esquemas de flujo de efectivo se clasifican en:
• Ordinarios
• No ordinarios
• Anualidad
• Flujo mixto
3

4. FLUJOS DE EFECTIVO ORDINARIOS: Consiste en una salida seguida por una serie de entradas de
efectivo:
Gráfica:
FLUJOS DE EFECTIVO NO ORDINARIOS: Se dan entradas y salidas alternadas. Por ejemplo la
compra de un activo genera un desembolso inicial y una serie de entradas, se repara y vuelve a
generar flujos de efectivo positivos durante varios años.
Gráfica:
ANUALIDAD (A): Es una serie de flujos de efectivo iguales de fin de periodo (generalmente al
final de cada año). Se da en los flujos de tipo ordinario.
FLUJO MIXTO: Serie de flujos de efectivos no iguales cada año, y pueden ser del tipo ordinario o
no ordinario.
1.2 El valor del dinero a través del tiempo.
4

5. El valor del dinero en el tiempo (en inglés, Time Value of Money, abreviado usualmente
como TVM) es un concepto basado en la premisa de que un inversionista prefiere recibir un
pago de una suma fija de dinero hoy, en lugar de recibir el mismo monto en una fecha
futura. En particular, si se recibe hoy una suma de dinero, se puede obtener interés sobre
ese dinero. Adicionalmente, debido al efecto de inflación (si esta es positiva), en el futuro
esa misma suma de dinero perderá poder de compra.
Todas las fórmulas relacionadas con este concepto están basadas en la misma fórmula
básica, el valor presente de una suma futura de dinero, descontada al presente. Por
ejemplo, una suma FV a ser recibida dentro de un año debe ser descontada (a una tasa
apropiada i) para obtener el valor presente, PV.
Algunos de los cálculos comunes basados en el valor tiempo del dinero son:
• Valor presente (PV) de una suma de dinero que será recibida en el futuro.
• Valor presente de una anualidad (PVA) es el valor presente de un flujo de pagos futuros
iguales, como los pagos que se hacen sobre una hipoteca.
• Valor presente de una perpetuidad es el valor de un flujo de pagos perpetuos, o que se
estima no serán interrumpidos ni modificados nunca.
• Valor futuro (FV) de un monto invertido (por ejemplo, en una cuenta de depósito) a una
cierta tasa de interés.
• Valor futuro de una anualidad (FVA) es el valor futuro de un flujo de pagos
(anualidades), donde se asume que los pagos se reinvierten a una determinada tasa de
interés.
1.2.1 Interés simple e interés compuesto.
5

6. Conceptos básicos para el estudio del Valor del Dinero en el Tiempo
Existen dos entes que intervienen en toda transacción económica
a) PRESTADOR. Es el propietario del dinero
b) PRESTATARIO. Es el que pide el dinero
• INTERES. Es la cuota ( $ ) que se carga por el uso del dinero de otra persona, tomando
en cuenta el monto, el tiempo y la tasa de interés.
PROBLEMA CON INTERES ($)
Suponga que usted desea pedir prestados $20,000.00 para comenzar su propio negocio. Un
Banco puede prestarle el dinero siempre y cuando Ud. esté de acuerdo en pagarle $920.00
mensuales durante dos años.
¿Cuánto le están cobrando de interés?
La cantidad total que pagará al Banco es de ($920.00) (24) = $22,080.00
Como el préstamo original era de $ 20,000.00, el interés es:
($22.080.00 - $20,000.00) = $ 2,080.00
• TASA DE INTERES. Es el porcentaje ( % ) que se cobra por el préstamo de una
cantidad de dinero (principal), durante un periodo específico. (Generalmente un año).
PROBLEMA CON TASA DE INTERES (%)
Suponga que usted hace un préstamo a su vecino por $ 5,000.00 que deberá pagarle en una
sola suma después de un año.
¿Qué tasa de interés anual corresponde a un pago único de $ 5,425.00?
Si la cantidad total de interés a pagar es de: $ 425.00 = ($ 5,425.00 - $ 5,000.00), entonces la
tasa de interés es:
6

7. $425.00
×100% = 8.5% anual
$5, 000.00
• INTERES SIMPLE. Es la cantidad ( $ ) que resulta de multiplicar la cantidad de dinero
prestada por la vida del préstamo y por la tasa de interés.
FORMULA:
I=niP
Donde:
I = Cantidad total de Interés Simple
n = Periodo del préstamo (tiempo) o (vida del préstamo)
i = Tasa de interés (expresada en decimal)
P = Principal (cantidad de dinero prestada)
NOTA:
Tanto n como i se refieren a una misma unidad de tiempo (generalmente un año)
Cuando se hace un préstamo con interés simple no se hace pago alguno sino hasta el final del
periodo del préstamo; en este momento se pagan tanto el principal como el interés acumulado;
por lo que la cantidad total que se debe puede expresarse como:
F=P+I = P(1+ni)
Donde:
F = Cantidad futura, o bien: cantidad a n periodos del presente, que es equivalente a P con una
tasa de interés i
PROBLEMA CON INTERES SIMPLE
7

8. Suponga que usted pide a su vecino $3,000.00 para terminar sus estudios. Su vecino accede a
prestárselos siempre y cuando Ud. le pague un interés simple a una tasa del 5.5% anual.
Considere que podrá pagarle el préstamo completo en dos años.
¿Cuánto dinero tendrá que pagar?
F = P + I = P (1 + ni)
F = 3,000 [( 1 + ( 2 ) (0.055)] = $ 3,330.00
NOTA:
Tanto n como i deben estar en una misma unidad de tiempo (por ejemplo un año)
• INTERES COMPUESTO. Capitalización periódica del Principal más el Interés.
FORMULA
F = P ( 1 + i )n
Deducción de la fórmula de Interés compuesto:
Periodos Cantidad al + Interés del = Cantidad al
Principio del Período final del período
Período de de interés
Interés
1er. Año P + iP = P(1+i)
2do.Año P(1+i) + i P( 1 + i ) = P ( 1 + i )2
3er.Año P(1+i) 2 + i P( 1 + i ) 2 = P ( 1 + i )3
. . . .
. . . .
. . . .
Año n P(1+i) n−1 + i P( 1 + i ) n−1 = P ( 1 + i )n
8

9. PROBLEMA CON INTERES COMPUESTO
FORMULA
F = P ( 1 + i )n
Suponga que usted deposita $ 1,000.00 en una cuenta de ahorros que paga intereses a una tasa
del 6% anual capitalizado anualmente. Si se deja acumular todo el dinero, ¿Cuánto dinero
tendrá después de 12 años?
Compare esta cantidad con lo que hubiera acumulado si le hubieran pagado interés simple.
FORMULA
F = P (1 + i ) n
F = 1,000 ( 1 + 0.06) 12 = $ 2,012.20
Si le pagaran interés simple:
FORMULA
F = P (1 + ni)
F = 1,000 [ ( 1 + (12) (0.06) ] = $ 1,720.00
9

10. 1.2.2 Concepto de equivalencia.
En el análisis económico, “equivalencia” significa “el hecho de tener igual valor”. Este
concepto se aplica primordialmente a la comparación de flujos de efectivo diferentes.
Como sabemos, el valor del dinero cambia con el tiempo; por lo tanto, uno de los
factores principales al considerar la equivalencia es determinar cuándo tienen lugar las
transacciones. El segundo factor lo constituyen las cantidades específicas de dinero que
intervienen en la transacción y por último, también debe considerarse la tasa de interés
a la que se evalúa la equivalencia.
EJEMPLO
Suponga que en el verano Ud. estuvo trabajando de tiempo parcial y por su trabajo
obtuvo $1,000.00.
Ud. piensa que si los ahorra, podrá tener para el enganche de su iPhone.
Su amigo Panchito le insiste en que le preste ese dinero y promete regresarle $1,060.00
(1,000*0.06+1,000) o bien, (1,000 * 1.06) dentro de un año, pues según él, esto es lo
que recibiría si Ud. depositara ese dinero en una cuenta de ahorros que paga una tasa
de interés anual efectiva del 6%.
¿Qué haría usted. Depositaría los $1,000.00 o se los prestaría a su amigo Panchito?
Solución
Considereremos que Ud. tiene únicamente esas dos alternativas, entonces las dos son
equivalentes, ya que las dos le proporcionán $1,060.00 (1,000*0.06+1,000); dentro de
un año como recompensa por no usar el dinero hoy; por lo que dada esta equivalencia,
su decisión estará basada en factores externos a la ingeniería económica, tales como la
confianza que le tenga a su amigo Panchito o la alternativa de obtener su iPhone, entre
otros.
Por otro lado, si Ud. tuviera otra opción de invertir su dinero con mayor rendimiento,
por ejemplo al 9% anual, el valor equivalente de su dinero dentro de un año, sería de
$1,090.00 (1,000*0.09+1,000); por lo tanto las alternativas de prestar o ahorrar, ya no
serían equivalentes.
No siempre se puede distinguir la equivalencia de manera directa, ya que flujos de
efectivo con estructuras muy distintas, tales como transacciones por diferentes
cantidades efectuadas en diferentes momentos, pueden ser equivalentes a cierta tasa
de interés.
1.2.3 Factores de pago único:
• Factor de cantidad compuesta de un Pago Único
10

11. F/P = ( 1 + i ) n → ( F/P, i%, n )
EJEMPLO
Suponga que Ud. deposita $1,000.00 en una cuenta de ahorros que paga interés de 6% anual,
capitalizada cada año. Si Ud. deja que el dinero se acumule, ¿qué cantidad tendrá después de
12 años?
Datos:
P = $1,000.00
i = 6% anual, capitalizada cada año
n = 12 años
F=?
FORMULA
• Factor de Valor Presente de un Pago Único
P/F = (F/P)
−1
= (1 + i ) − n → ( P/F, i%, n)
EJEMPLO
Suponga que Ud. depositará cierta suma de dinero en una cuenta de ahorros que paga interés anual a la
tasa de 6% anual, capitalizado anualmente. Si permite que todo el dinero se acumule, ¿cuánto deberá
depositar en un principio para disponer de $5,000.00 después de 10 años?
Datos:
F = $5,000.00
i = 6% anual, capitalizado anualmente
n = 10 años
P=?
FORMULA
11

12. 1.2.4 Factores de Valor Presente y Recuperación de Capital.
• Factor de Valor Presente de una Serie Uniforme
1 − (1 + i ) − n (1 + i ) − 1
n
P/A = (A/P) −1
= = → (P/A, i%, n)
i i (1 + i ) n
EJEMPLO
Suponga que su papá, que también es Ingeniero en Gestión Empresarial, está
planeando su retiro y piensa que podrá sostenerse con $10,000.00 cada año, cantidad
que piensa retirar de su cuenta de ahorros.
¿Cuánto dinero deberá tener en el banco al principio de su retiro si el banco le ofrece
un rendimiento del 6% anual, capitalizado cada año y está planeando un retiro de 12
años?
Datos:
A = $10,000.00
i = 6% anual, capitalizado anualmente
n = 12 años
P=?
FORMULA
• Factor de Recuperacion de Capital de una Serie Uniforme
i i (1 + i ) n
A/P = = 
→ ( A/P, i%, n)
1 − (1 + i ) −n (1 + i ) n − 1
EJEMPLO
Suponga que su papá, que también es Ing. en Gestión Empresarial, está a punto de retirarse y
ha reunido $50,000.00 en su cuenta de ahorros que le ofrece un rendimiento de 6% anual,
12

13. capitalizado cada año. Le pide su asesoría para que le diga qué cantidad máxima podrá retirar
de manera fija al final de cada año, durante 10 años.
Datos:
FORMULA
1.2.5 Factor de fondo de amortización y cantidad compuesta.
• Factor de Fondo de Amortizacion de una Serie Uniforme
i
A/F = (F/A) −1 = 
→ ( A/F, i%, n)
(1 + i ) n − 1
EJEMPLO
Suponga que Ud. deposita una cantidad fija de dinero, (A), en una cuenta de ahorros al final de
cada año durante 20 años.
Si el banco le paga el 6% anual, capitalizado cada año, encuentre esa cantidad fija de dinero (A)
tal que al final de los 20 años se hayan acumulado $50,000.00.
Datos:
FORMULA
• Factor de Cantidad Compuesta de Una Serie Uniforme
(1 + i ) n − 1
F/A = 
→ ( F/A, i%, n)
i
EJEMPLO
13

14. Suponga que Ud. planea depositar $600.00 cada año en una cuenta de ahorros durante un
periodo de 10 años y quiere saber cuánto dinero habrá acumulado al final de los diez años,
sabiendo que el banco le paga 6% anual, capitalizado cada año.
Datos:
FORMULA
1.3 Frecuencia de capitalización de interés.
Las transcacciones financieras generalmente requieren que el interés se capitalice con más
frecuencia que una vez al año (por ejemplo, semestral, trimestral, bimestral, mensual,
diariamente, etc. Por ello se tienen dos expresiones para la tasa de interés: Tasa de interés
nominal y tasa de interés efectiva.
1.3.1 Tasa de interés nominal y efectiva.
• Tasa de interés nominal ( r ), se expresa sobre una base anual. Es la tasa que
generalmente se cita al describir transacciones que involucran un interés
• Tasa de interés efectiva ( i ) es la tasa que corresponde al periodo real de interés . Se
obtiene dividiendo la tasa nominal ( r ) entre ( m ) que representa el número de
períodos de interés por año:
r
i=
m
Suponga que un Banco sostiene que paga a sus depositantes una tasa de interés de
6% anual, capitalizada trimiestralmente.
¿Cuále es la tasa de interés nominal y cuál la tasa de interés efectiva?
Solución:
La tasa de interés nominal ( r ) es la tasa que el Banco menciona: r = 6% anual
Ya que hay cuatro periodos de interés por año, la tasa de interés efectiva ( i ) es:
r
i=
m
14

15. 6%
i= = 1.5% por trimestre
4
1.3.2 Cuando los periodos de interés coinciden con los periodos de
pago.
Cuando los periodos de interés y los periodos de pago coinciden, es posible usar en
forma directa tanto las fórmulas de interés compuesto desarrolladas anteriormente, así como
las tablas de interés compuesto que se encuentran en todos los libros de Ingeniería Económica,
siempre que la tasa de interés i se tome como la tasa de interés efectiva para ese periodo de
interés. Aún más, el número de años n debe reemplazarse por el número total de periodos de
interés mn
Ejemplo
Suponga que Ud. necesita pedir un préstamo de $3,000.00. Deberá pagarlo en 24 pagos
mensuales iguales. La tasa que tiene que pagar es del 1% mensual sobre saldos insolutos.
¿Cuánto dinero deberá pagar cada mes?
Este problema se puede resolver mediante la aplicación directa de la siguiente ecuación, ya que
los cargos de interés y los pagos uniformes tienen ambos una base mensual.
Datos:
P = $3,000.00
n = 24 pagos mensuales
i = 1% mensual sobre saldos insolutos
A = ? mensual
FORMULA
i i (1 + i ) n
A/P = = 
→ (A/P, i%, n)
1 − (1 + i ) −n (1 + i ) n − 1
0.01(1 + 0.01) 24
A = 3000 = $141.22
(1 + 0.01) 24 − 1
Por lo tanto, Ud. debe pagar $141.22 cada fin de mes durante 24 meses.
De manera alternativa, lo puede resolver calculando el factor (A/P, i%, n)
15

16. A = P ( A / P,1%, 24) = 3000(0.04707) = $141.21
OTRO EJEMPLO
Suponga que un Ingeniero desea comprar una casa cuyo precio es de $80,000.00 dando un
enganche de $20,000.00 y por los $60,000.00 restantes, pide un préstamo que pagará
mensualmente a lo largo de 30 años. Calcule el monto de los pagos mensuales si el banco le
cobra un interés del 9.5% anual, capitalizado cada año.
Nota: En este caso se sustituye i por r/m y n por mn
Datos:
FORMULA
1.3.3 Cuando los periodos de interés son menores que los
periodos de pago.
Cuando los periodos de interés son menores que los periodos de pago, entonces el interés
puede capitalizarse varias veces entre los pagos. Una menera de resolver problemas de este
tipo es determinar la tasa de interés efectiva para los periodos de interés dados y después
analizar los pagos por separado.
EJEMPLO
Suponga que Ud. deposita $1,000.00 al fin de cada año en una cuenta de ahorros. Si el banco le
paga un interés del 6% anual, capitalizado trimestralmente, ¿cuánto dinero tendrá en su cuenta
después de cinco años?
Datos:
FORMULA
Este problema también se puede resolver calculando la tasa efectiva de interés para el periodo
de pago dado y después proceder como cuando los periodos de pago y los de interés coinciden.
Esta tasa de interés efectiva puede determinarse como:
α
 r
i = 1 +  − 1
 α
16

17. En donde:
α = Número de periodos de interés por periodo de pago
r = Interés nominal para ese periodo de pago
α = m (Cuando el periodo de pago es un año); por lo tanto se obtiene la siguiente ecuación
para determinar la tasa efectiva de interés anual:
m
 r
i = 1 +  − 1
 m
Resolviendo el problema anterior utilizando ahora la tasa efectiva de interés anual:
Tenermos que:
r = 6%
α = m= 4
Por lo tanto:
4
 0.06 
i = 1 +  − 1 = 0.06136
 4 
Resolviendo:
(1 + 0.06136)5 − 1
F=A(F/A, 6.136%,5) = 1,000 = $5,652.40
0.06136
1.3.4 Cuando los periodos de interés son mayores que los
periodos de pago.
Si los periodos de interés son mayores que los periodos de pago, puede ocurrir que algunos
pagos no hayan quedado en depósito durante un periodo de interés completo. Estos pagos no
ganan interés durante ese periodo.
En otras palabras, sólo ganan interés aquellos pagos que han sido depositados o invertidos
durante un periodo de interés completo.
Las situaciones de este dipo pueden manejarse según el siguiente algoritmo:
1. Considérense todos los depósitos hechos durante el periodo de interés como si se
hubieran hecho al final del periodo (por lo tanto no habrán ganado interés en ese
periodo)
17

18. 2. Considérese que los retiros hechos durante el periodo de interés se hicieron al principio
del periodo (de nuevo sin ganar interés)
3. Después procédase como si los periodos de pago y de interés coincidieran.
EJEMPLO
Suponga que Ud. tiene $4,000.00 en una cuenta de ahorros al principio de un año calendárico.
El banco paga 6% anual capitalizado trimestralmente, según se muestra en la tabla siguiente en
donde se muestran las transacciones realizadas durante el año, la segunda columna muestra las
fechas efectivas que debemos considerar de acuerdo a los pasos 1 y 2 del algoritmo.
Para determinar el balance en la cuenta al final del año calendárico, debemos calcular la tasa de
interés efectiva 6%/4 = 1.5% por trimestre.
Posteriormente se suman las cantidades en las fechas efectivas.
Datos:
P = $4,000.00 y ver tabla
i = 6% anual capitalizado trimestralmente = 6%/4 = 1.5% trimestral
F=?
Fecha Fecha efectiva Depósito Retiro
Enero 10 $ 175.00
Febrero 20 $1,200.00
Abril 12 $1,500.00
Mayo 5 $ 65.00
Mayo 13 $ 115.00
Mayo 24 $ 50.00
Junio 21 $ 250.00
Agosto 10 $1,600.00
Septiembre 12 $ 800.00
Noviembre 27 $ 350.00
Diciembre 17 $2,300.00
Diciembre 29 $ 750.00
18

19. 1.3.5 Tasa de interés efectiva para capitalización continua.
Podemos definir que la capitalización continua es el caso límite de la situación de
capitalización múltiple de cuando los periodos de interés son menores que los
periordos de pago. Al fijar la tasa de interés nominal anual como r y haciendo que el
número de periodos de interés tienda a infinito, mientras que la duración de cada
periodo de interés se vuelve infinitamente pequeña.
De la ecuación
m
 r
i = 1 +  − 1
 m
Se obtiene la tasa de interés efectiva anual con capitalización continua
 r m  r
i= m→∞ (1 + ) − 1 = e − 1
lim
 m 
EJEMPLO
Un banco vende certificados de ahorro a largo plazo que pagan interés a una tasa de 7.5% anual
con capitalización continua. El banco sostiene que el rendimiento real anual de estos
certificados es 7.79%. ¿Qué significa esto?
La tasa de interés nominal anual es 7.5%. Como el interés se capitaliza continuamente, la tasa
de interés anual efectiva es:
i = e0.075 − 1 = 0.077884 ≈ 7.79%
PAGOS DISCRETOS
Si los pagos se hacen anualmente, aun cuando el interés se capitalice de manera continua, se
pueden utilizar las siguientes fórmulas:
F/P = e rn 
→ [ F / P, r %, n]
P/F = e − rn 
→ [ P / F , r %, n]
19

20. e rn − 1
F/A = 
→ [ F / A, r %, n]
er − 1
er − 1
A/F = 
→ [ A / F , r %, n]
e rn − 1
er − 1
A/P = 
→ [ A / P, r %, n ]
1 − e − rn
1 − e − rn
P/A = 
→ [ P / A, r %, n)]
er − 1
1 n
A/G = − rn 
→ [ A / G, r %, n]
e −1 e −1
r
Donde n representa el número de años
Nota: Recuerde que un límite importante en cálculo es:
lim ( 1 + x )
1/ x
= 2.71828 = e
x →∞
20